17 bài tập góc giữa hai mặt phẳng file word có lời giải chi tiết

17 bài tập - Góc giữa hai mặt phẳng - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC  60�, tam giác SBC là tam giác
đều có cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng  SAC 
và  ABC  .
A.

3

B. 2 3

C.

3
6

D.

1
2

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng SO vuông góc
a 3
với mặt phẳng đáy  ABCD  và SO 
. Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  .
2
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

3
2
và vuông góc với mặt đáy  ABC  . Gọi M là trung điểm AB, tính tan của góc giữa hai mặt phẳng  SMC 
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  2, BC  2 3 , cạnh bên SA 
và mặt đáy  ABC  .
A.

4
13

B.

13
4

C. 1

D.

2
2

Câu 4. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng

 BDA '

và

 ABCD  .
A.

3
3

B.

3
2

C.

6
3

D.

2
2

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  AC  a ; cạnh bên SA  a và
vuông góc với đáy. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  .
A.

6
3

B.

2
2

C.

3
3

D.

3
2

Câu 6. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
 SBD  và  SCD  .
A.

6

B.

2
2

C.

3
2

D.

2

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA  a và vuông góc với mặt
phẳng  ABCD  . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  bằng  . Tính cosin của góc giữa hai
mặt phẳng  SBC  và  SCD  biết rằng cot   2 .


A.

1
3

B.

1
2

C.

2
3

D.

1
6

Câu 8. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a. Gọi I là trung điểm của BC.
Góc giữa mặt phẳng  C ' AI  và mặt phẳng  ABC  bằng 60°. Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C '

bằng
a3
A.
4

3a 3
B.
4

a3
C.
8

3a 3
D.
8

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB là đáy lớn và tam giác
ABC là cân tại C, AC  a . Các mặt phẳng  SAB  và  SAC  cùng vuông góc với đáy, cạnh bên
SC  a 3 và tạo với mặt phẳng  SAB  một góc bằng 30°. Góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAC 
bằng
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt

phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60°. Tính tan góc giữa 2 mặt phẳng
 SCD  và  ABCD  .
A. 15

B.

15
2

C.

15
5

D.

15
15

Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB  a; BC  a 3 . Cạnh bên
SA   ABC  , biết SC  a 5 , gọi M là trung điểm của AC tính tan góc giữa 2 mặt phẳng  SBM  và mặt

phẳng đáy  ABC  .
A. 3

B. 4

C.

2

3

D.

3
2

Câu 12. Cho hình lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng
 A ' BC  và mặt đáy  ABC  .
A.

3
2

B.

2
3

C.

21
7

D.

21
21

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có góc BAD  120�, hình chiếu vuông góc của

điểm H trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC, biết đường cao của khối chóp là
SH 

a 6
và tam giác SBD vuông tại S. Tính góc giữa 2 mặt phẳng  SAD  và  SCD  .
3

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có AB  AC  2a và BC  2a 3 . Tam giác
SBC đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng  SAB  và  SAC  là:


A.

5
13

B.

6
13

C.

4
13

D.

7
13

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AB  2a , SA  a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng  SAD  và

 SBC 
A.

là:
2
2

B.

2
3

C.

2
4

D.

2
5

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AB  2a ,
AD  DC  a , SA  a và SA   ABCD  . Tan của góc giữa 2 mặt phẳng  SBC  và  ABCD  là:
A.

1
3

B.

3

C.

2

D.

1
2

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA   ABC  , SA  a 3 . Cosin của
góc giữa 2 mặt phẳng  SAB  và  SBC  là:
A.

2
5

B.

2
5

C. 

1
5

D.

1
5


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC � SM  BC
�
 SBC    ABC 
� SM   ABC 
Ta có �
�SM  BC
Gọi N là trung điểm của AC � MN / / AB � MN  AC
�AC  MN
� AC   SMN 
Ta có �

AC

SM
�
�
� �
MN , SN   SNM
 SAC  ,  ABC    �
Ta có SM 

2a 3
1
a
 a 3, MN  AC 
2
2
2

�  SM  2 3
� tan SNM
MN
Câu 2. Chọn đáp án C


Gọi M là trung điểm của BC � OM  BC
�BC  OM
� BC   SOM 
Ta có �
BC


SO
�
�
� �
 SBC  ,  ABCD    SMO
� 
Ta có tan SMO

SO
�  60�
 3 � SMO
OM

Câu 3. Chọn đáp án B

CM  AH
�
� CM   SAH 
Kẻ AH  CM ta có �
CM  SA
�
�
AH , SH   SHA
 SMC  ,  ABC    �
�
Ta có AH 

S ABC 2 39
�  SA  13


� tan SHA
CM
13
AH
4

Câu 4. Chọn đáp án A


�BD  AC
� BD   A ' AC 
Ta có �
BD

A
'
A
�
� �
A ' OA
 BDA ' ,  ABCD    �
Ta có AO 

a 2
a 6
, A ' A  a � A ' O  AO 2  A ' A2 
2
2

AO

3
� cos �
A ' OA 

A 'O
3
Câu 5. Chọn đáp án C

�AB  AC
� AB   SAC 
Kẻ AH  SC ta có �
�AB  SA
� AB  SC mà SC  AH � SC   SHB 
� �
AH , HB   �
AHB
 SAC  ,  SBC    �
Ta có

1
1
1
2
a 2


 2 � AH 
2
2
2

AH
AS
AC
a
2


� HB  AB 2  AH 2 

a 6
AH
3
� cos �
AHB 

2
BH
3

Câu 6. Chọn đáp án D

Ta có SO   ABCD  và tứ giác ABCD là hình vuông.
CO  BD
�
� CO   SBD  .
Như vậy �
CO  SO
�
�
�  OC .

Kẻ OP  SD  P �SD  � tan   SCD  ,  SBD    tan CPO
OP
2
2
2
2
Ta có SO  SA  OA  a 

� tan �
 SCD  ;  SBD  
Câu 7. Chọn đáp án B

a2
a
a
� OS 
 OD � OP 
2
2
2

a
 2  2
a
2


Ta có cot  

AC

 2 � AC  SA 2  a 2 � AB  a .
SA

Tọa độ hóa với A �O, AD �Ox, AB �Oy, AS �Oz
� S  0;0; a  , D  a;0;0  , C  a; a;0  , B  0; a;0  .
uuu
r
ur
uuu
r uuu
r
�SD   a;0; a 
�
�
�  a 2 ;0; a 2 
n

SD
,
SC
�
u
u
u
r
�
�1 �
�
Như vậy �SC   a; a; a  � �uu
r

uuu
r uur
n2  �
SC , SB �
  0; a 2 ; a 2 
�uur
�
�
�
�
�SB   0; a; a 
ur uu
r
� cos �
 SBC  ,  SCD    cos n1; n2 





a2

a4
1

2.a 2 2 2

Câu 8. Chọn đáp án D

Ta có C ' C   ABC  và CI  AI

�' AI
�' IC
=
�=
C
�C
� V  CC.S ABC

tan 60

CC '
IC

a 3 a 2 3 3a 3

.

2
4
8

Câu 9. Chọn đáp án C

CC '

IC 3

a 3
2

Dựng CK  AB , lại có CK  SA
�  �
Do đó CK   SAB  � CSK
CS ,  SAB    30�
Suy ra CK  SC sin 30�

a 3
a 3
. Xét tam giác ABC cân tại C có đường cao CK 
� ABC đều
2
2

�  60�
suy ra BAC
.
�  60�
Mặt khác  CAB   SA � �
 SAC  ,  SAB    CAB
Câu 10. Chọn đáp án B

Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH  AB
Mặt khác  SAB    ABCD  suy ra SH   ABCD  .
�  60�
Khi đó �
SC ,  ABCD    SCH
Lại có HC  HB 2  BC 2  a 5 � SH  a 5.tan 60� a 15
Dựng HK  CD lại có SH  CD � CD   SKH 

�  �
� SKH
 SCD  ,  ABC  
� 
Khi đó tan SKH

SH SH a 15
15



HK BC
2a
2

Câu 11. Chọn đáp án C

Ta có: AC  AB 2  BC 2  2a � BM 

BC
a
2

Mặt khác SA  SC 2  AC 2  a
Dựng AE  BM , lại có SA  BM � BM   SEA
�
Do đó �
 SBM  ,  ABC    SEA
Do S ABM 

1
1
a2 3 1
a 3
S ABC  AB.BC 
 . AE.BM � AE 
2
4
4
2
2

�  3��
Hoặc do tan BAC
A  60�do đó tam giác ABM đều cạnh a
Suy ra AE 

a 3
�  SA  2
. Do đó tan SEA
AE
3
2

Câu 12. Chọn đáp án C


Gọi M là trung điểm của BC khi đó AM  BC
�' MA

Lại có AA '  BC suy ra  A ' MA   BC � �
A ' BC , ABC   A
Mặt khác AM 

MA '
a 3
�

do đó cos A ' MA 
A' M
2

MA '
AA '2  AM 2

a 3
21
2


7
3a 2
a2 
4
Câu 13. Chọn đáp án D

Do H là trọng tâm tam giác ABC nên HA  2 HO
Dễ thấy HD  2 HB . Mặt khác tam giác SBD vuông tại S có đường cao SH suy ra
SH 2  HB.HD  2 HB 2
� HB 

a 3
a 3
� OB 
3
2


Do đó AB  AC  a � OA 

a
.
2

�AC  BD
� AC   SBD  � AC  SD
Ta có: �
�AC  SH
Dựng CK  SD �  ACK   SD
Ta

có

d  H ; SD  

HD.SH
HD 2  SH 2



2a
3
a
�  OK  1 � OKC
�  45�
� OK  d  H ; SD   � cos OKC
3
4
2
KC
2

� �
SAD, SCD   �
AKC  90�
Hoặc OK 

1
a
AC  � �
AKC  90�(tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
2
2

Câu 14. Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC khi đó SH  BC
Mặt khác  SBC    ABC  suy ra SH   ABCD  .
�BC  AH
� BC  SA

Ta có: �
�BC  SH
Dựng BI  SA , lại có BC  SA �  BIC   SA
Mặt khác SH 
Do đó IH 

2a 3. 3
 3a; AH 
2

SH . AH
SH 2  HA2



AB 2  BH 2  a

3a
a 390
� IB  IC  IH 2  HB 2 
10
10


BI 2  CI 2  BC 2 7
7
�

 0 � cos �
Suy ra cos BIC 

 SAB  ,  SAC   
2.BI .IC
13
13
Câu 15. Chọn đáp án C

Gọi I là giao điểm của AD và BC
�BD  AD
� BD   SAD  � BD  SI
Ta có �
�BD  SA
�SI  BD
� SI   BDE 
Kẻ DE  SI ta có �
�SI  DE
� �
DE , BE 
 SAD  ,  SBC    �
AIS 
Ta có sin �

SA
3
DE

AIS 
mà sin �
SI
DI
7

a 3
� DE  DI .sin �
AIS 
7
�  BD  7 � cos DEB
�  2
� tan DEB
ED
4
Câu 16. Chọn đáp án D


Ta có �
ACS
 SBC  ,  ABCD    �
Ta có AC  AD 2  DC 2  a 2
SA
1
� tan �
ACS 

AC
2
Câu 17. Chọn đáp án D

Gọi M là trung điểm AB
CM  AB
�
� CM   SAB  � CM  SB

Ta có �
CM  SA
�
�SB  MN
� SB   CMN 
Kẻ MN  SB ta có �
�SB  CM
�
� �
MN , NC   MNC
 SAB  ,  SBC    �
� 
Ta có tan SBA

SA
�  60�
 3 � SBA
AB


� 
Ta có sin SBA

MN
a 3
�  1
� MN 
� cos MNC
MB
4

5