19 bài tập khoảng cách giữa hai đường thẳng (dạng 2) file word có lời giải chi tiết

19 bài tập - Khoảng cách giữa hai đường thẳng (Dạng 2) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = 2a , hình chiếu vuông
góc của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết SH = a , khoảng cách
giữa 2 đường thẳng SA và BC là:
A.

2a
3

B.

4a
3

C.

a 3
2

D.

a 3
3

Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi M là trung điểm của AB, tam
a3 3
giác ( A ' CM ) cân tại A ' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích lăng trụ bằng
.
4
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CC ' .
A.

2a 57
5

B.

2a 57
19

C.

2a 39
13

D.

2a 39
3

Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng ( ABCD ) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB . Biết góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và
mặt phẳng đáy bằng 45°. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD là:
A.

3a 34
17

B.

2a 13

3

C.

2a 51
13

D.

2a 38
17

Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a 3 , BC = 2a .
Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B ' C biết AA ' = a 2 .
A.

a 10
10

B. a 2

C.

a 30
10

D. 2a

Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có AC = a, BC = 2a, ACB = 120° và đường thẳng A ' C tạo
với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 30°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B, CC ' .

A.

a 21
14

B.

a 21
7

C.

a 21
3

D.

a 21
21

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và mặt phẳng ( SBD ) tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc bằng 60°. Gọi M là trung điểm của
AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BM.
A.

2a
11

B.

6a
11

C.

a
11

D.

3a
11


a 21
Câu 7. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ( ABC ) bằng
.
7
Góc tạo bởi mặt bên với mặt phẳng đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, MN.
A.

9a 3
42

B.

3a 3
42

C.

6a 3
42

D.

12a 3
42

Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm cạnh
BC và SM =
A.

3a
. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SM và AD là:
2

a 3
2

B. a

C.

a
2

D. a 2

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi
M là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng CM và SA là:
A.

6a
13

B.

3a
10

C.

2a
5

D.

6a
10

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , đáy ABC tam giác vuông tại B có
AB = a , BC = a 3 . Biết SA =

A.

a 39
13

B.

a
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC.
2
a 30
20

C.

a 30
15

D.

a 30
10

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm của
cạnh CD, biết SA = a 5 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SD và BM là:
A.

2a 39
3

B.

2a 145
15

C.

2a 39
13

D.

2a 145
29

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD, các đường thẳng SA, AC
và CD đôi một vuông góc với nhau; SA = AC = CD = a 2 và AD = 2 BC . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng SB và CD.
A.

a 5
2

B.

a 5
5

C.

a 10
5

D.

a 10
2

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = a , BC = a ,
CD = a 6 , SA = a 2 . Khi SA ⊥ ( ABCD ) thì khoảng cách giữa AD và SC là?


A.

a 5
3

B.

a 5
2

C.

a 6
3

D.

a 6
2

Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều ABC cạnh là a, cạnh bên SA = a , SA ⊥ ( ABC ) , I là
trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và AB là?
A.

a 17
4

B.

a 57
19

C.

a 23
7

D.

a 17
7

Câu 15. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Có CA = a , CB = b , cạnh SA = h vuông
góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là?
ah

A.

a2 + h2

B.

bh

b 2 + 4h 2

C.

ah
b 2 + 4h 2

D.

ah
b 2 + 2h 2

Câu 16. Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 2a ; BC = 2a 3 .
Tam giác A ' BC vuông cân tại A ' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

( ABC ) . Khoảng cách giữa 2

đường thẳng AA ' và BC là:
A. a 3

B.

a 2
2

C.

a 5
2

D.

a 3
2

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và SA vuông góc với mặt phẳng

( ABC ) .

AB = AC = SA = 2a . Gọi I là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SI, AC.
A.

2a 10
5

B.

2a 5
5

C.

a 10
5

D.

a 5
5

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng
vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 60°. Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng SB, AD.
A. a 3

B.

a 3
2

C.

a 3
3

D.

a 3
5

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O tam giác ABC vuông cân tại A có

AB = AC = a , SA ⊥ ( ABCD ) . Đường thẳng SD tạo với đáy một góc 45°. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD

và SB là:
A.

a 3
2

B.

a 5
5

C.

a 10
10

D.

a 10
5


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án A
+) Dựng Ax / / BC ⇒ d ( SA, BC ) = d ( B; SAx )
+) Dựng HK ⊥ Ax ⇒ ( SHK ) ⊥ Ax
+) Dựng HE ⊥ SK ⇒ d ( B, SAx ) = 2d ( H , SAx )
a
·
= a sin 56° =
Ta có: HK = AH sin HAK
2
d ( H , SAx ) = HE =

SH .HK
SH + HK

+) Do đó d ( SA, BC ) =

2

2

=

a
3

2a
3

Câu 2. Chọn đáp án B
+) Ta có: ∆A ' CM cân tại A ' . Dựng A ' H ⊥ CM ⇒ H là trung
điểm của CM và A ' H ⊥ ( ABC ) .
Khi đó V = A ' H .S ABC = A ' H .

a 2 3 a3 3
=
⇒ A' H = a
4
4

+) d ( AB, CC ') = d ( CC ', A ' AB ) = d ( C , A ' AB ) = CK
Vậy CK =

A ' H .CM

=
A' M

A ' H .CM
A ' H 2 + MH 2

=

2a 57
19

Hoặc các em có thể tính như sau:
d ( C ', ( A ' AB ) ) = 2d ( H , ( A ' AB ) ) =

2. A ' H .MH
A ' H 2 + MH 2

Câu 3. Chọn đáp án A
+) Dựng HK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SHK )
·
do vậy (·SCD, ABCD ) = SKH
= 45° .
Ta có: ∆HKD vuông cân tại K do vậy
HK = KD =

3a
3a
⇒ SH = HK tan 45° =
.
2

2

+) Dựng Ax / / BD ta có:
d ( SA, BD ) = d ( BD, ( SAx ) ) = d ( H , ( SAx ) )


Dựng HE ⊥ Ax ⇒ HE = OA = a 2
Dựng HF ⊥ SE ⇒ HF ⊥ ( SAx )
Ta có: HF =

SH .HE
SH + HE
2

2

=

3a 34
17

Câu 4. Chọn đáp án C
Gọi N là trung điểm của BB ' suy ra MN / / B ' C .
Do đó d ( AM , B ' C ) = d ( B ' C , ( AMN ) ) = d ( C , ( AMN ) ) .
Mà M là trung điểm của BC nên d ( B, ( AMN ) ) = d ( C , ( AMN ) ) .
Ta có BA, BM, BN đôi một vuông góc với nhau.
Nên

1
1

1
1
=
+
+
.
2
2
BM
BN 2
d ( B, ( AMN ) ) BA
2

Mặt khác BM =

BC
1
a
= a, AB = a 3, BN = BB ' =
.
2
2
2

1
1
1
= 2+
Suy ra d ( B, ( AMN ) ) a
a 3

(

2

⇒ d ( B, ( AMN ) ) =

)

2

+

1
2

 a 

÷
 2

=

10
3a 2 .

a 30
a 30
⇒ d ( AM , B ' C ) =
10

10

Câu 5. Chọn đáp án B
Kẻ CH ⊥ AB ( H ∈ AB ) ⇒ CH ⊥ ( ABB ' A ') .
Nên A ' H là hình chiếu vuông góc của A ' C lên ( ABB ' A ') .
· ' H = 30° .
Do đó (·A ' C , ( ABB ' A ' ) ) = CA
Vì ABC. A ' B ' C ' là hình lăng trụ nên CC '/ / AA ' ⇒ CC '/ / ( ABB ' A ')
⇒ d ( A ' B, CC ') = d ( CC ', ( ABB ' A ' ) ) = d ( C , ( ABB ' A ') ) = CH .
Ta có S ∆ABC =

1
a2 3
.
AC.BC.sin ·ACB =
2
2

·
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 AC.BC.cos BCA
= 7a 2 ⇒ AB = a 7
⇒ CH =

2.S ∆ABC a 21
a 21
=
⇒ d ( A ' B, CC ') =
AB
7
7

Câu 6. Chọn đáp án A
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
⇒ AO ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SAO ) .
a 6
·
Do đó (·
.
= 60° ⇒ SA =
( SBD ) , ( ABCD ) ) = SOA
2
Qua C vẽ đường thẳng song song với BM cắt AD tại E.
Khi đó BM / / ( SCE ) ⇒ d ( BM , SC ) = d ( M , ( SCE ) )
Mà ME =

2
2
AE ⇒ d ( M , ( SCE ) ) = d ( A, ( SCE ) )
3
3

Kẻ AH ⊥ CE tại H suy ra CE ⊥ ( SAH ) và AH .CE = CD. AE .
Kẻ AK ⊥ SH tại K suy ra AK ⊥ ( SCE ) ⇒ d ( A, ( SCE ) ) = AK .
Mà AH =

3a
1
1
1

3a
=
+ 2 ⇒ AK =
nên
.
2
2
AK
AH
SA
5
11

Do đó d ( BM , SC ) =

2 3a
2a
=
3 11
11

Câu 7. Chọn đáp án A
Gọi H là tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC.
¶ = 60° .
Suy ra (·
( SBC ) , ( ABC ) ) = (·SI , AI ) = SIA
Đặt AB = x ⇒ HI =
⇒

1

x 3
x
AI =
⇒ SH = tan 60°.HI =
3
6
2

x a 21
2a 21
3a 2 3
.
=
⇔x=
⇒ S ∆ABC =
2
7
7
7

Gọi P là trung điểm của AC suy ra NP / / SA ⇒ SA / / ( MNP ) .
⇒ d ( SA, MN ) = d ( SA, ( MNP ) ) = d ( A, ( MNP ) ) =
• 3VA.MNP = d ( N , ( ABC ) ) = S ∆AMP
• S ∆MNP =

9a 3 7
=
392

1

1 a 21 a a 2 21
.
MP.NP = .
. =
2
2 7 2
28

3VA.MNP
.
S ∆MNP


Do đó d ( A, ( MNP ) ) =

9a 3
9a 3
⇒ d ( SA, MN ) =
42
42


Câu 8. Chọn đáp án C
Lấy H là hình chiếu của A lên SB.
AB ⊥ BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH
AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH
Ta có: Vì AD / / ( SBC ) chứa SM
⇒ d ( AD, SM ) = d ( AD, ( SAB ) ) = d ( A, ( SAB ) ) = AH
Tính:
AM = BA2 + BM 2 =

a 5
⇒ SA = SM 2 − AM 2 = a
2

1
1
1
a
=
+
⇒ AH =
.
2
2
2
AH
AS
AB
2
Câu 9. Chọn đáp án B
Lấy H là hình chiếu của A lên MC.
MC ⊥ AH ⊥ SA ⇒ d ( SA, CM ) = AH
Tính: CM = DM 2 + DC 2 = a 10
CD
·
AH .MC = AM . AC.sin MAC
= AM . AC.
AC
⇒ AH =

3a
.
10

Câu 10. Chọn đáp án D
+) Dựng Bx / / AC , AE ⊥ Bx ⇒ ( SAE ) ⊥ Bx
+) Dựng AF ⊥ SE ⇒ d ( AC , SB ) = AF
Dựng BH ⊥ AC dễ thấy AE = BH =
Ta có: AF =

AE.SA
SA2 + AE 2

=

a 30
10

a 3
2


Câu 11. Chọn đáp án D
Dựng DN / / BM ⇒ N là trung điểm của AB.
Khi đó d ( SD, BM ) = d ( BM , ( SDN ) )
= d ( B, ( SDN ) ) = d ( A, ( SDN ) )
Dựng AE ⊥ DN ⇒ DN ⊥ ( SAE ) , dựng AF ⊥ SE
 AF ⊥ SE
⇒ AF ⊥ ( SDN )

khi đó 
 AF ⊥ DN
Do vậy d ( B, ( SDN ) ) = d ( A, ( SDN ) )
= AF =
Với AE =

AE.SA
AE 2 + SA2

= 2a

AN . AD
AN + AD
2

2

=

5
2a 145
=
29
29
2a
.
5

Câu 12. Chọn đáp án C
Ta có SA ⊥ AC , SA ⊥ CD ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) .

Gọi I là trung điểm của AD ⇒ AI = BC , AI / / BC và
CI ⊥ AD .
Do đó ABCI là hình vuông suy ra AB ⊥ AD .
Có CD / / BI ⇒ CD / / ( SBI ) ⇒ d ( SB , CD ) = d ( C , ( SBI ) )
Gọi H = AC ∩ BI và AK ⊥ SH tại K.
Ta có AK ⊥ ( SBI ) ⇒ d ( C , ( SBI ) ) = d ( A, ( SBI ) ) = AK .
Nên
1
1
1
a 10
a 10
.
=
+
⇒
AK
=
⇒
d
C
,
SBI
=
(
)
(
)
AK 2 SA2 AH 2
5

5
Câu 13. Chọn đáp án C
Do AD / / BC
⇒ d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )
Kẻ AH ⊥ SB
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH
Ta có 
BC
⊥
SA



Mà AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) )
Ta có

1
1
1
3
a 6
=
+
= 2 ⇒ AH =
2
2
2
AH
AB

AS
2a
3

⇒ d ( AD, SC ) =

a 6
3

Câu 14. Chọn đáp án B
Kẻ IJ / / AB ⇒ d ( SI , AB ) = d ( AB, ( SIJ ) ) = d ( A, ( SIJ ) )
Kẻ AH ⊥ SD ⇒ AH = d ( A, ( SIJ ) )
Ta có AD =
Ta có

1
a 3
MC =
2
4

1
1
1
19
a 57
=
+
= 2 ⇒ AH =
2

2
2
AH
AS
AD
3a
19

⇒ d ( SI , AB ) =

a 57
19

Câu 15. Chọn đáp án B
Dựng hình bình hành ACKD ⇒ d ( AC , SD ) = d ( AC , ( SDK ) ) = d ( A, ( SDK ) ) = d .
+) Kẻ AP ⊥ DK ⇒

1
1
1
= 2+
.
2
d
SA
AP 2

+) Gọi M = BC ∩ DK ⇒ ACMP là hình chữ nhật ⇒ AP = CM =
⇒

1
1
4
bh
= 2 + 2 ⇒d =
2
2
d
h b
b + 4h 2

Câu 16. Chọn đáp án D
+) Gọi H là trung điểm của cạnh BC
⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' H ⊥ HC ⇒ HC ⊥ HA ' .
 HC ⊥ HA
+) ∆ABC cân tại A ⇒ AH ⊥ HC ⇒ 
 HC ⊥ HA '
⇒ HC ⊥ ( A ' AH ) ⇒ BC ⊥ ( A ' AH )
+) Kẻ HP ⊥ A ' A ( P ∈ A ' A ) ⇒ BC ⊥ HP

b
2


⇒ HP là đường vuông góc chung của A ' A và BC

⇒ d ( A ' A, BC ) = HP .
+) ∆A ' BC vuông cân tại A ' ⇒ A ' H =

BC

=a 3.
2

+) Cạnh HA = AB 2 − BH 2 = 4a 2 − 3a 2 = a
Câu 17. Chọn đáp án B
+) Gọi E là trung điểm của cạnh
AB ⇒ AC / / IE ⇒ AC / / ( SEI )
⇒ d ( AC , SI ) = d ( AC , ( SEI ) ) = d ( A, ( SEI ) )
 AC / / IE
⇒ IE ⊥ AE ,
+) 
 AC ⊥ AE
kẻ AP ⊥ SE ( P ∈ SE )
⇒ d ( A, ( SEI ) ) = AP ⇒ d ( AC , SI ) = AP
Ta có
1
1
1
1
1
5
2a 5
2a 5
= 2+
= 2 + 2 = 2 ⇒ AP =
⇒ d ( AC , SI ) =
2
2
AP
SA

AE
4a
a
4a
5
5
Câu 18. Chọn đáp án B
( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA

⇒ SA ⊥ ( ABCD )
+) ( SAB ) ⊥ ( ABCD )

( SAD ) ⊥ ( ABCD )
·
⇒ (·SB, ( ABCD ) ) = SBA
= 60°
+) AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC )
⇒ d ( AD, SB ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )
+) Ta có AB ⊥ BC , kẻ AP ⊥ SB ( P ∈ SB )
⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AP ⇒ d ( AD, SB ) = AP .
Câu 19. Chọn đáp án D
Lấy M là trung điểm BC, H là hình chiếu của A lên SM.
·
Xác định được (·AD, ( ABCD ) ) = SDA
= 45°


SA ⊥ BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ AH
AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH
Vì AD / / ( SBC ) chứa BC nên:

d ( SB, AD ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH
Tính: SA = AD = a 2, AM =

a
.
2

1
1
1
2
=
+
⇒ AH = a
.
2
2
2
AH
AS
AM
5