27 bài tập hình không gian trong các đề thi (đề 01) file word có lời giải chi tiết

27 bài tập - Hình không gian trong các Đề thi (Đề 01) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 3 . Thể
tích của khối chóp S.ABCD là:
A. a

3

a3
B.
4

3

a3 3
C.
3

a3 3
D.
2

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ở A và B, AB = 3a, AD = 2 BC = 2a . SA vuông
góc với đáy, mặt phẳng ( SCD ) tạo với đáy một góc 45°. Thể tích khối chóp S.ABC?
A.

a3 3
2

B.

3a 3 10

10

C.

8a 3
10

D.

4 3a 3
3

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, độ dài cạnh đáy bằng a, góc BAC = 60° .
SO vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SO = a 6 . Tính thể tích khối chóp S.ABC?
a3 2
A.
4

3a 3 2
B.
2

a3 2
C.
2

3a 3 2
D.
4

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy AB và CD với AB = 2CD = 2a , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3a . Tính chiều cao h của hình thang ABCD, biết khối chóp
S.ABCD có thể tích bằng
A. h = 2a

3a 3 .
B. h = 4a

C. h = 6a

D. h = a

Câu 5. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích V khối chóp S.ABC.
A. V =

a3 2
12

B. V =

a3 3
6

C. V =

a3
12

D. V =

a3
4

Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD, biết góc giữa SC và ( ABCD ) bằng
60°.
A. V = 18a

3

3

9a 3 15
B. V =
2

C. V = 9a 3 3

D. V = 18a 3 15

Câu 7. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, a là độ dài cạnh đáy. Cạnh bên SA vuông góc với đáy,
SC tạo với ( SAB ) góc 30°. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
a3 3
A.
3

a3 2
B.
4

a3 2
C.
3

a3 2
D.
2

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A ', B ', C ', D ' lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Khi đó tỉ số
thể tích của hai khối chóp S . A ' B ' C ' D ' và S.ABCD là:
A.

1
2

B.

1
8

C.

1
16

D.

1
4

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD,
DC. Hai mặt phẳng ( SMC ) và ( SNB ) cùng vuông góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với đáy góc 60°. Thể
tích của khối chóp S.ABCD là:
A.

16 15 3
a
5

B.

16 15 3
a
15

C. 15a 3

D.

15 3
a
3

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có AB = a, BC = a 3 , AC = a 5 và SA vuông góc với mặt đáy, SB tạo
với đáy góc 45°. Thể tích của khối chóp S.ABC là:
a3
B.
12

11 3
A.
a
12

C.

3 3
a
12

D.

15 3
a
12

Câu 11. Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là:
a3 2
A.
6

a3 3
B.
3

a3 3
C.
6

a3 2
D.
3

Câu 12. Cho khối chóp S.ABC có SA = a, SB = a 2, SC = a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là:
A.

a3 6
6

B.

a3 6
3

C. a 3 6

D.

a3 6
2

Câu 13. Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, tính thể tích khối chóp S.ABC biết cạnh bên bằng
a là:
A. VS . ABC =

a3 2
12

B. VS . ABC =

a3 3
6

C. VS . ABC =

a3
12

D. VS . ABC =

a3
4

Câu 14. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SC và ( ABCD ) bằng 60°.
A. VS . ABCD = 18a 3 3

B. VS . ABCD = 18a 3 3

C. VS . ABCD = 9a 3 15

D. VS . ABCD =

9a 3 15
2

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy SA = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.BCD.
A.

a3 3
3

B.

a3 3
6

C.

Câu 16. Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng
A. 1cm3

B. 27cm3

a3 3
4

D.

a3 3
2

3cm . Tính thể tích khối lập phương đó.

C. 8cm3

D. 64cm3

Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối chóp đã cho.
a3 2
A.
4

4a 3 2
B.
3

a3 3
C.
12

a3 2
D.
6


Câu 18. Cho hình chóp tam giác S.ABC có ASB = CSB = 60°, CSA = 90° , SA = SB = SC = 2a . Tính thể
tích khối chóp S.ABC.
a3 6
A.
3

2a 3 6
B.
3

2a 3 2
C.

3

a3 2
D.
3

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , SB = a 5 , ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60° .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. a 3

B. a 3 3

C.

a3 3
3

D. 2a 3

Câu 20. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và AD. Thể tích của khối chóp S.AECF là:
A.

V
2

B.

V
4

C.

V
3

D.

V
5

Câu 21. Cho hình tứ diện ABCD có DA = BC = 5 , AB = 3, AC = 4 . Biết DA vuông góc với mặt phẳng
( ABC ) . Thể tích khối tứ diện ABCD là:
A. V = 10

B. V = 20

C. V = 30

D. V = 60

a3 2
C.
12

D. a 3

Câu 22. Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là:
a3
A.

3

a3
B.
2 3

Câu 23. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB,
SC, SD. Tỉ số
A.

VS .MNPQ
VS . ABCD

1
8

là
B.

1
16

C.

3
8

D.

1

6

Câu 24. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , AD = a 2 . Biết
SA ⊥ ( ABCD ) và góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng đáy bằng 45°. Thể tích khối chóp

S.ABCD bằng:
A. a

3

2

B. 3a

3

C. a

3

6

a3 6
D.
3

Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) một góc 30°. Thể tích của khối chóp đó bằng
A.

a3 3
3

B.

a3 2
4

C.

a3 2
2

D.

a3 2
3

Câu 26. Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a, các mặt bên tạo với đáy một góc
α . Thể tích của khối chóp đó là


a3
A. sin α
2

a3
B. tan α
2

a3
C. cot α
6

a3
D. tan α
6

Câu 27. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và có độ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:
a3
A.
3

a3
B.
6

a3
C.
8

a3
D.
4


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án C
Ta có S ABCD = a 2 , SA = a 3 .

Thể tích của khối chóp S.ABCD là
1
a3 3
.
VS . ABCD = S ABCD .SA =
3
3
Câu 2. Chọn đáp án B
Ta có AC = AB 2 + BC 2 = a 10
Gọi M là trung điểm AD
⇒ AM = MD = a và CM ⊥ AD
3
DC = DM 2 + MC 2 = a 10 ⇒ sin ·ACD =
5
3 10
Kẻ AN ⊥ DC ta có AN = AC sin ·ACN =
a
5
·
Góc giữa ( SCD ) với ( ABCD ) là SNA
= 45°
SA = AN =

3 10
1
3a 2
.
a; S ABC = AB.BC =
5
2

2

1
3 10 3
VS . ABC = S ABC .SA =
a .
3
10
Câu 3. Chọn đáp án A
·
Ta có ∆ABC có AB = BC = a, BAC
= 60°
⇒ ∆ABC đều; S ABC

a2 3
=
4

1
a3 2
.
VS . ABC = S ABC .SO =
3
4


Câu 4. Chọn đáp án A
1
3V
VABCD = S ABCD .SA ⇒ S ABCD = S . ABCD = 3a 2

3
SA
S ABCD =

1
2S
( AB + CD ) .h ⇒ h = ABCD = 2a .
2
AB + CD

Câu 5. Chọn đáp án A
Ta

có

S ABC =

a2 3
4

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC )
AG =

a 3 và
a 6
SG = SA2 − AG 2 =
3
3

VS . ABC

1
a3 2 .
= S ABC .SG =
3
12

Câu 6. Chọn đáp án B
Ta có S ABCD = ( 3a ) = 9a 2
2

Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
CH là hình chiếu vuông góc của SC trên ( ABCD )
·
⇒ (·SC , ( ABCD ) ) = (·SC , CH ) = SCH
= 60°
Xét ∆SCH vuông tại H có
CH = BC 2 + BH 2 =

3a 5
2

3a 15
·
SH = CH tan SCH
=
2
VS . ABCD

1

9a 3 15
.
= S ABCD .SH =
3
2


Câu 7. Chọn đáp án C
Ta có S ABCD = a 2
CB ⊥ AB
⇒ CB ⊥ ( SAB )

CB ⊥ SA
SB là hình chiếu vuông góc của SC lên ( SAB )
·
⇒ (·SC , ( SAB ) ) = (·SC , SB ) = CSB
= 30°
Xét ∆CSB vuông tại B có SB =

BC
=a 3
·
tan CSB

SA = SB 2 − AB 2 = a 2
1
a3 2
VS . ABCD = S ABCD .SA =
3
3

Câu 8. Chọn đáp án B
Xét hình chóp S.ABC
VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' 1
1
=
.
.
= ⇒ VS . A ' B ' C ' = VS . ABC
VS . ABC
SA SB SC 8
8
1
Tương tự VS . A ' C ' D ' = VS . ACD
8
1
VS . A ' B ' C ' D ' = VS . ABCD .
8
Câu 9. Chọn đáp án A
H = NB ∩ MC → SH là giao tuyến của ( SMC ) , ( SNB ) .
→ SH ⊥ ( ABCD ) .
Do giả thiết 
·
Góc (·SB, ( ABCD ) ) = (·SB, HB ) = SBH
= 60° .
∆BCN vuông tại C có BN = BC 2 + CN 2 = a 5


→ HB =

BC 2 4a 2 4a 5

=
=
.
BN a 5
5

∆SHB vuông tại H có SH = HB.tan 60° =

4a 5
4a 15
.
3=
5
5


Câu 10. Chọn đáp án A
·
Góc (·SB, ( ABC ) ) = (·SB, AB ) = SBA
= 45° .
·
∆SBA vuông tại A có SBA
= 45° 
→ SA = AB = a
·
cos BAC
=
S ABC

AB 2 + AC 2 − BC 2 3 5

55
·
.
=
→ sin BAC
=
2. AB. AC
10
10

1
a 2 11
·
= AB. AC.sin BAC =
2
4

1
1 a 2 11
a 3 11
.
VS . ABC = S ABC .SA =
.a =
3
3 4
12
Câu 11. Chọn đáp án D
Khối bát diện đều là khối ghép bởi 2 khối chóp tứ giác S.ABCD đều cạnh a, với O là tâm đáy.
2

a 2
a 2
2
a3 2
.
SO = SA − OA = a − 

→V = 2.VS . ABCD = .S ABCD .SO =
÷ =
2
3
3
 2 
2

2

2

Câu 12. Chọn đáp án A

S SBC =

1
1
1
a2 6
·
.
SB.SC.sin BSC

≤ SB.SC = a 2.a 3 =
2
2
2
2

→ AH ≤ SA = a .
Gọi H là hình chiếu của A lên mặt ( SBC ) 
1
1 a2 6
a3 6
Vậy VS . ABC = S SBC .SA ≤
.
.a =
3
3 2
6
Câu 13. Chọn đáp án A
→ SH ⊥ ( ABC ) .
Gọi H là trọng tâm ∆ABC đều 
AH =

2
a 3
(M là trung điểm BC)
AM =
3
3

∆SAH vuông tại H có SH = SA2 − AH 2 =

∆ABC đều cạnh a nên S ABC =

a 6
.
3

a2 3
.
4

1
1 a 2 3 a 6 a3 2
Vậy V = S ABC .SH = .
.
.
=
3
3 4
3
12
Câu 14. Chọn đáp án D


H là trung điểm của AB → SH ⊥ AB (do ∆SAB cân tại S).
→ SH ⊥ ( ABCD ) .
Do giả thiết 
·
Góc (·SC , ( ABCD ) ) = (·SC , HC ) = SCH
= 60° .

∆BHC vuông tại B có HC = BC 2 + BH 2 =
∆SHC vuông tại H có SH = HC.tan 60° =

3a 5
.
2

3a 5
3a 15
. 3=
2
2

1
1 2 3a 15 9a 3 15
.

→V = S ABCD .SH = .9a .
=
3
3
2
2
Câu 15. Chọn đáp án C
S BCD =

1
a2
1
1 a2

a3 3
.
S ABCD =

→VS .BCD = S BCD .SA =
.a 3 =
2
2
3
2 2
4

Câu 16. Chọn đáp án A

(

Độ dài đường chéo hình lập phương: d = a 2 + a 2

→a =

)

2

= a 3 với a là cạnh khối lập phương.

d
= 1cm 
→V = 1cm3 .
3

Câu 17. Chọn đáp án B
Gọi khối chóp đó là S.ABCD có tâm O. Vẽ hình nhanh ta thấy OA =

AC
=a 2.
2

1
1
4a 3 2
.
SO = SA2 − OA2 = a 2 
→VS . ABCD = S ABCD .SO = .4a 2 .a 2 =
3
4
3
Câu 18. Chọn đáp án D
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Vì SA = SB = SC ⇒ I là chân đường cao kẻ từ S xuống mp ( ABC ) .
Tam giác SAB cân, có ·ASB = 60° suy ra ∆SAB đều ⇒ AB = 2a
·
Tam giác SBC cân, có CSB
= 60° suy ra ∆SBC đều ⇒ BC = 2a
·
Tam giác SAC cân, có CSA
= 90° suy ra ∆SAC vuông cân ⇒ AC = 2a 2
.
Khi đó AC 2 = AB 2 + CB 2 suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.
⇒ I là trung điểm của AC ⇒ SI =

AC
=a 2.
2


1
a3 2
.
⇒ VS . ABC = .SI .S ∆ABC =
3
3
Câu 19. Chọn đáp án C
Tam giác SAB vuông tại A, có SA = SB 2 − AB 2 =
Diện tích hình thoi ABCD là S ABCD =

( a 5)

2

− a 2 = 2a .

a2 3
1
1
a 2 3 a3 3
.
⇒ VS . ABCD = .SA.S ABCD = .2a.
=
2

3
3
2
3

Câu 20. Chọn đáp án A
Vì E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
1
1
1
Suy ra S AECF = S ABCD − S ∆EBC − S ∆FCD = S ABCD − S ABCD − S ABCD = S ABCD .
4
4
2
1
V
Thể tích khối chóp S.AECF là VS . AECF = .d ( S , ( ABCD ) ) .S AECF = .
3
2
Câu 21. Chọn đáp án A
Dễ thấy AB 2 + AC 2 = BC 2 suy ra ∆ABC vuông tại A.
Suy ra AB, AC, AD đôi một vuông góc ⇒ VABCD =

AB. AC. AD
= 10 .
6

Câu 22. Chọn đáp án C
a3 2
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là V =

.
12
Câu 23. Chọn đáp án A
Ta có áp dụng công thức tỉ số thể tích, ta có

VS .MQP SM SQ SP
VS .MNP SM SN SP
=
.
.
=
.
.
và
VS . ABC
SA SB SC
VS . ADC
SA SD SC

Vì M, N, P, Q là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD ⇒
Và VS . ABC = VS . ADC

1
= VS . ABCD suy ra
2

SM SN SP SQ 1
=
=
=

= .
SA SB SC SD 2

VS .MNP + VS .MQP 1 1 VS .MNPQ 1
= + ⇒
=
1
8
8
V
8.
S . ABCD
.VS . ABCD
2


Câu 24. Chọn đáp án D
Vì AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp ( ABCD ) .
·
Suy ra (·SC , ( ABCD ) ) = (·SC , AC ) = SCA
= 45° .
·
=
Tam giác SAC vuông tại A, có tan SCA

SA
⇒ SA = AC .
AC

Tam giác ABC vuông tại A, có AC = AB 2 + BC 2 = a 3 .

1
a3 6
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD = .SA.S ABCD =
.
3
3
Câu 25. Chọn đáp án D
Theo bài ra, ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC
Và ABCD là hình vuông ⇒ BC ⊥ AB suy ra BC ⊥ ( SAB ) .
⇒ SB là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ( SAB ) .

·
⇒ (·SC , ( SAB ) ) = (·SC , SB ) = CSB
= 30° .
·
=
Tam giác SBC vuông tại B, có tan CSB
⇒ SD =

BC BC
=
SB SD

BC
3
= a:
= a 3 ⇒ SA = SD 2 − AD 2 = a 2 .
tan 30°
3

1
a3 2
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD = SA.S ABCD =
.
3
3
Câu 26. Chọn đáp án C
Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O.
OM ⊥ AB
⇒ AB ⊥ ( SMO ) .
Gọi M là trung điểm của AB suy ra 
 SO ⊥ AB
·
Khi đó (·SAB ) , ( ABCD ) = (·SM , OM ) = SMO
=α .
·
=
Tam giác SMO vuông tại O, có tan SMO
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD

SO
a.tan α
⇒ SO =
.
MO
2

1
a3
= .SO.S ABCD = .tan α .

3
6

Câu 27. Chọn đáp án B
1
1 1
1
a3
Thể tích VS . BCD = VS . ABCD = . SA.S ABCD = .a.a 2 = .
2
2 3
6
6