29 bài tập hình không gian trong các đề thi (đề 02) file word có lời giải chi tiết

29 bài tập - Hình không gian trong các Đề thi (Đề 02) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 5 . M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD
là giao điểm của CN và DM. SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SH = 2a 3 . Thể tích của S.CDNM
là:
A.

a3 3
6

B.

25a 3 3
12

C.

a3 3
12

D.

25a 3 3
6

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC , tam giác ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a ,
BC = 2a 3 , mặt bên ( SBC ) tạo với đáy góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. 2a 3

B.

a3

3

C. 7a 3

D. 8a 3

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA = a ; SB = 3a 2 ; SC = 2a 3 , ASB = BSC = CSA = 60° . Thể tích
khối chóp S.ABC là:
A. 2a

3

3

B. 3a

3

3

C. a

3

3

a3 3
D.
3

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. A ' là điểm trên cạnh SA sao cho

SA ' 3
=
SA 4

. Mặt phẳng ( P ) đi qua A ' và song song với ( ABCD ) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B ', C ', D ' . Mặt phẳng

( P)

chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó là:

A.

37
98

B.

27
37

C.

4
19

D.

27

87

Câu 5. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy bằng a 5 . Khoảng cách từ A đến mặt
a 5
phẳng ( A ' BC ) bằng
. Thể tích khối lăng trụ là:
2
A. 2a

3

2

a3 5
B.
3

5a 3 15
C.
3

6a 3 3
D.
5

Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên ( SAB ) và ( SAC ) cùng
vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SC = a 3 .
2a 3 6
A.
9

a3 6
B.
12

a3 3
C.
4

a3 3
D.
2

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt
bên ( SCD ) hợp với đáy một góc 60°. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
A.

2a 3 3
3

B.

a3 3
3

C.

a3 3
6

D. a 3 3


Câu 8. Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông tại B, AB = a , AC = a 3 . Tính thể
tích khối chóp S.ABC, biết rằng SB = a 5 .
a3 2
A.
3

a3 6
B.
6

a3 6
C.
4

a 3 15
D.
6

Câu 9. Hình chóp S.ABCD có đường cao là SA, đáy hình chữ nhật, AB = 3a , BC = 4a , góc giữa SC và
mặt phẳng đáy bằng 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD là
12a 3
A.
5

B. 20a 3

C. 10a 3

D. 10 2a 3

Câu 10. Cho khối chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = 2a ,
góc giữa ( SBC ) và mặt đáy bằng 60°. Khi đó thể tích khối chóp đã cho là:
A. V =

a3 3
3

B. V =

a3 3
6

C. V =

2a 3 3
3

D. V =

a3 3
9

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với
đáy một góc 45°. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD mặt phẳng ( AHK ) , cắt SC tại I. Khi đó thể
tích của khối chóp S.AHIK là:
A. V =

a3
18

B. V =

a3
36

C. V =

a3
6

D. V =

a3
12

Câu 12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 4cm, diện tích tam giác A ' BC bằng
12cm 2 . Thể tích khối lăng trụ đó là:
A. V = 24 2cm3

B. V = 24 3cm3

C. V = 24cm3

D. V = 8 2cm3

Câu 13. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SC và ( ABCD ) bằng 60°.

A. VS . ABCD = 18a

3

3

B. VS . ABCD

C. VS . ABCD = 9a 3 3

9a 3 15
=
2

D. VS . ABCD = 18a 3 15

Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD là hình chữ nhật, SA = a , AB = 2a , BC = 4a .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Thể tích của khối chóp S.MNC là
A.

a3
3

B.

a3
2

C.

a3
4

D.

a3
5

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD là hình chữ nhật, SA = a , AB = 2a , BC = 4a .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Thể tích của khối chóp S.MNC là
A.

a3
3

B.

a3
2

C.

a3
4

D.

a3
5

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có ∆ABC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD ) ;
ABCD là hình vuông. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
a3 3
A.
6

a3 2
B.
6

a3 3
C.
12

a3 2
D.
12

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC, M là trung điểm của SB, điểm N thuộc cạnh SC thỏa SN = 2 NC . Tỉ
số

VS . AMN
VS . ABC

A.

1
6

B.

1
5

C.

1
4

D.

1
3

Câu 18. Cho khối chóp S.ABC có. Gọi A ', B ' lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số thể
tích của hai khối chóp S . A ' B ' C và S.ABC bằng:
A.

1
2

B.

1
3

C.

1

4

D.

1
6

Câu 19. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60°.
Thể tích của hình chóp đều đó là:
a3 6
A.
2

a3 3
B.
6

a3 3
C.
2

a3 6
D.
6

Câu 20. Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông tại B, AB = a , AC = a 3 .
Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng SB = a 5 .
A.

a3 2

3

B.

a3 6
4

Câu 21. Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là
của khối lăng trụ là:
A. 6a 3

B. 3a 3

C.

a3 6
6

D.

a 3 15
6

3a 2 . Độ dài cạnh bên là a 2 . Khi đó thể tích

C.

2a 3

D.

6a 3
3

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a; AD = a . Tam giác SAB là
tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và

( ABCD ) bằng 45°. Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là
A.

3 3
a
3

B.

1 3
a
3

C. 2a 3

D.

2 3
a
3

Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) cùng
vuông góc với mặt đáy ( ABC ) ; góc giữa SB và mặt ( ABC ) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp

S.ABC


3a 3
A.
4

a3
B.
2

a3
C.
4

a3
D.
12

Câu 24. Cho khối chóp S.ABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A ', B ', C ' sao cho
1
1
1
SA ' = SA ; SB ' = SB; SC ' = SC . Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và
3
4
2
S . A ' B ' C ' . Khi đó tỉ số

A. 12

V
là
V'

B.

1
12

C. 24

D.

1
24

Câu 25. Cho khối lăng trụ đều ABC . A ' B ' C ' và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng
( B ' C ' M ) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó
A.

6
5

B.

7
5

C.

1
4

D.

3
8

Câu 26. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên
mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC
bằng

a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là
4

a3 3
A.
24

a3 3
B.
12

a3 3
C.
3

a3 3

D.
6

Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a; AD = a 3 . Hình chiếu của
S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AB; góc tạo bởi SD và mặt phẳng đáy là 60°. Thể tích của
khối chóp
a 3 13
A.
2

3a 3 13
B.
4

3a 3 13
C.
2

a 3 13
D.
4

Câu 28. Khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a có thể tích bằng:
A.

a3 2
6

B.

a3
3

C.

a3 3
12

D.

a3 3
4

Câu 29. Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a bằng:
a3
A.
3

B.

a3 3
4

C.

a3 3
6

D.

a3 2
3


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án B

Ta có: S ABCD = AB 2 = 5a 2 .
Mặt khác S AMN

AN 2 5a 2
5a 2
=
=
; S MBN =
2
8
4

Do đó S DNMC = S ABCD − S AMN − S MBC

25a 2
=
8

1
25a 3 3
Suy ra VS .CDNM = SCDNM .SH =
.
3

12
Câu 2. Chọn đáp án A

Dựng HK ⊥ BC ⇒ HK là đường trung bình của tam giác vuông ABC.
·
= 60° .
Mặt khác SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SKH ) ⇒ SKH
Lại có HK = a ⇒ SH = HK tan 60° = a 3; S ABC = 2a 2 3
1
Do đó VS . ABC = SH .S ABC = 2a 3 .
3


Câu 3. Chọn đáp án C

Trên các cạnh SB; SC lấy các điểm B ', C ' sao cho
SA = SB ' = SC ' = a suy ra S . AB ' C ' là hình chóp đều có các mặt bên là tam giác đều suy ra
AB ' = B ' C ' = C ' A ' .
Ta có: S ABC

a2 3
a
a 6
=
; AH =
⇒ SH = SA2 − AH 2 =
.
4
3
3

Khi đó VS . AB ' C ' =

VS . AB ' C ' SA SB SC
1
a3 2
=
.
.
=
. Lại có
VS . ABC
SA SB ' SC ' 6 6
12

Do đó VS . A ' B ' C ' = a 3 3 .
Câu 4. Chọn đáp án B

2

V
SA ' SB ' SC '  3 
27
.
.
= ÷ =
Ta có: S . A ' B ' C ' =
VS . ABC
SA SB SC  4 
64

Do đó

VS . A ' B ' C '
27
VS . D ' B ' C '
27
=
=
; tương tự
VABC . A ' B ' C ' 37
VDBC .D ' B ' C ' 37

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra:
VS . A ' B ' C '
V
VS . A ' B ' C ' + VS . D ' B ' C '
27
= S .D ' B ' C ' =
=
.
VABC . A ' B ' C ' VDBC .D ' B ' C ' VABC . A ' B ' C ' + VDBC . D ' B ' C ' 37


Câu 5. Chọn đáp án C

 AH ⊥ BC
⇒ AH ⊥ ( A ' BC )
Dựng AH ⊥ A ' B . Do 
 AH ⊥ A ' B
Do đó d ( A, ( A ' BC ) ) = AH =

Mặt khác

a 5
.
2

1
1
1
a 15
.
=
+
⇒ AA ' =
2
2
2
AH
AA '
AB
3

Suy ra VABCD. A ' B ' C ' D ' = AA '.S ABCD =

5a 3 15
.
3

Câu 6. Chọn đáp án B

( SAB ) ⊥ ( ABC )
⇒ SA ⊥ ( ABC )
Ta có: 
SAC
⊥
ABC
(
)
(
)

+) SA = SC 2 − AC 2 = a 2; S ABC =
⇒ VS . ABC

1
a3 6
.
= .SA.S ABC =
3
12

Câu 7. Chọn đáp án B

a2 3
4


 AD ⊥ CD
·
⇒ CD ⊥ ( SDA ) ⇒ (·SCD ) , ( ABC ) = SDA

Do 
 SA ⊥ CD
Khi đó SA = AD tan 60° = a 3 .
Suy ra VS . ABCD

1
a3 3
.
= SA.S ABCD =
3
3

Câu 8. Chọn đáp án A

Ta có: SA = SB 2 − AB 2 = 2a; BC = AC 2 − AB 2 = a 2
S ABC

AB.BC a 2 2
1
a3 2
.
=
=
⇒ VS . ABC = SA.S ABC =
2
2
3
3

Câu 9. Chọn đáp án B

·
Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ (·SC , ( ABC ) ) = SCA
= 45°
Mặt khác AC = AB 2 + BC 2 = 5a ⇒ SA = AC tan 45° = 5a .
1
Khi đó VS . ABCD = SA.S ABCD = 20a 3 .
3
Câu 10. Chọn đáp án A

 AB ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( SBA ) .
Do 
 SA ⊥ BC
·
Khi đó (·
= 60° ⇒ SA = AB tan 60° = a 3
( SBC ) , ( ABC ) ) = SBA
1
1
a3 3
Suy ra VS . ABC = SA.S ABC = SA. AB.BC =
.
3
6
3
Câu 11. Chọn đáp án A

·
Ta có SBA
= 45° ⇒ SA = AB = a .
 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH .
Lại có 
BC
⊥
AB

Mà AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ AH .
Tương tự SC ⊥ AK ⇒ SC ⊥ ( AHK ) ⇒ SC ⊥ AI .
SA2
SI
a2
1
SI 1
=
=
=
⇒
= .
Ta có
AC 2 IC 2a 2 2
SC 3
Tỉ số

VS . AHI SA SH SI
1 1
1

=
.
.
= 1. . ⇒ VS . AHI = VS . ABCD .
VS . ABC SA SB SC
2 3
12

Tỉ số

VS . AIK SA SI SK
1 1
1
=
.
.
= 1. . ⇒ VS . AIK = VS . ABCD .
VS . ACD SA SC SD
3 2
12

1
1 1
a3
⇒ VS . AHIK = VS . AHI + VS . AIK = VS . ABCD = . .a.a 2 = .
6
6 3
18
Câu 12. Chọn đáp án A

Kẻ A ' P ⊥ BC ( P ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ AP .


Ta có

1
24
A ' P.BC = 12 ⇒ A ' P =
= 6.
2
4

Cạnh AP =

AB 3
= 2 3 ⇒ A ' A = 36 − 12 = 2 6
2

1
⇒ V = A ' A.S ABC = 2 6. .4.2 3 = 24 2 .
2
Câu 13. Chọn đáp án B

Kẻ SH ⊥ AB ( H ∈ AB ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
·
⇒ SCH
= 60° ⇒ tan 60° =

SH
⇒ SH = HC 3 .

HC

2

3a
3a 5
3a 15
Cạnh HC = 9a +  ÷ =
⇒ SH =
2
2
 2 
2

1 3a 15
9a 3 15
2
.
⇒V = .
.9a =
3
2
2
Câu 14. Chọn đáp án A


1
1
1 1
a3

Ta có V = SA. CM .CN = a. .2a.a = .
3
2
3 2
3
Câu 15. Chọn đáp án A

1
1
1 1
a3
Ta có V = SA. CM .CN = .a. .2a.a = .
3
2
3 2
3
Câu 16. Chọn đáp án A

Kẻ SH ⊥ AB ( H ∈ AB ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .
Cạnh SH =

AB 3 a 3
=
2
2

1 a 3 2 a3 3
.
⇒V = .
.a =

3 2
6
Câu 17. Chọn đáp án A
Ta có

VS . AMN AM AN 1 1 1
=
.
= . = .
VS . ABC
AB AC 2 3 6

Câu 18. Chọn đáp án C


Ta có

VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' 1 1 1
=
.
= . = .
VS . ABC
SA SB 2 2 4

Câu 19. Chọn đáp án D

Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )
SO
a
·

⇒ SCO
= 60° ⇒ tan 60° =
⇒ SO = OC 3 =
. 3
OC
2
1 3 2 a3 6
⇒ V = a .a =
.
3 2
6
Câu 20. Chọn đáp án A

Cạnh SA = SB 2 − AB 2 = 5a 2 − a 2 = 2a .
Cạnh BC = AC 2 − AB 2 = a 2
1
1
a3 2
.
⇒ V = .2a. .a.a 2 =
3
2
3
Câu 21. Chọn đáp án A
Thể tích khối lăng trụ đó là V = a 2 3.a 2 = a 3 6 .


Câu 22. Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB

( SAB ) ⊥ ( ABCD )
⇒ SH ⊥ ( ABCD )
Ta có 
 SH ⊥ AB
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB ) mà ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB
Ta có 
BC
⊥
SH

·
⇒ (·
= 45°
( SAB ) , ( ABCD ) ) = (·HB, SB ) = SBH
Mà HB =

1
AB = a ⇒ SH = a
2

1
1
2a 3
V
=
SH
.
S
=

.
a
.2
a
.
a
=
Ta có S . ABCD
.
ABCD
3
3
3
Câu 23. Chọn đáp án C

( SAB ) ⊥ ( ABC )
⇒ SA ⊥ ( ABC )
Ta có 
( SAC ) ⊥ ( ABC )


Ta có SB ∩ ( ABC ) = { B} và SA ⊥ ( ABC )
·
⇒ (·SB, ( ABC ) ) = (·SB, AB ) = SBA
= 60°
Mà AB = a ⇒ SA = a.tan 60° = a 3
Ta có S ABC =

a2 3
4

1
1
a 2 3 a3
.
⇒ VS . ABC = SA.S ABC = .a 3.
=
3
3
4
4
Câu 24. Chọn đáp án C
Ta có

V
SA SB SC
=
.
.
= 3.4.2 = 24 .
V ' SA ' SB ' SC '

Câu 25. Chọn đáp án B

Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( B ' C ' M )
và khối chóp là tứ giác B ' C ' NM
Khi đó thiết diện chia hình lăng trụ thành 2 phần là BCNMB ' C ' và AMNA ' B ' C '
Gọi S là giao điểm của C ' N với AA '
Ta có

VSAMN
SA SM SN 1 1 1 1
1
=
.
.
= . . = ⇒ VSAMN = VSA ' B ' C '
VSA ' B ' C " SA ' SB ' SC ' 2 2 2 8
8

7
7 1
7 1
⇒ VAMNA ' B ' C ' = VSA ' B ' C ' = . .SA '.S A ' B ' C ' = . .2 AA '.S A ' B ' C '
8
8 3
8 3


=

7
7
5
AA '.S A ' B ' C ' = VABC . A ' B ' C ' ⇒ VBCNMB ' C ' = VABC . A ' B ' C '
12
12
12

Do đó tỉ số thể tích hai phần là

7 5 7
: = .
12 12 5

Câu 26. Chọn đáp án B

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra A ' H ⊥ ( ABC ) . Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với BC. Ta có Ax / / BC
⇒ d ( A ' A, BC ) = d ( BC , ( A ' Ax ) )
= d ( M , ( A ' Ax ) ) =

3
d ( H , ( A ' Ax ) )
2

 BC ⊥ AM
Kẻ HK ⊥ AA ' ta có 
 BC ⊥ A ' H
⇒ BC ⊥ ( A ' AM ) ⇒ BC ⊥ HK
Mà HK ⊥ AA ' ⇒ HK ⊥ ( A ' Ax ) ⇒ HK =
Ta có

a 3
6

1
1
1
a

a2 3
a3 3
=
+
⇒
HA
'
=
mà
.
S
=
⇒
V
=
A
'
H
.
S
=
ABC
ABC
HK 2 HA2 HA '2
3
4
12

Câu 27. Chọn đáp án A

Ta có SD ∩ ( ABCD ) = { D} và SH ⊥ ( ABCD )
·
⇒ (·SD, ( ABCD ) ) = (·SD, HD ) = SDH
= 60°
Ta có HD = AH 2 + DA2 =
⇒ SH = HD.tan 60° =

a 13
2

a 39
2

Ta có S ABCD = AB. AD = a 2 3
1
a 3 13
.
⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD =
3
2
Câu 28. Chọn đáp án C
2

2 a 3
a2 3
a 6
Chiều cao của khối chóp là h = a −  .
mà S day =
.

÷ =
4
3
3 2 
2

1
a3 3
Do đó thể tích khối chóp là h.S day =
.
3
12
Câu 29. Chọn đáp án B
Diện tích đáy là

a2 3
a3 3
.
⇒V =
4
4