30 bài tập mặt cầu – KHỐI cầu file word có lời giải chi tiết

CHỦ
ĐỀ
7.

MẶT CẦU - MẶT TRỤ - MẶT
NÓN

 BÀI 01
MẶT CẦU – KHỐI CẦU
I. ĐỊNH NGHĨA
1. Mặt cầu
Tập hợp các điểm trong khơng gian cách điểm O cố định một khoảng R
khơng đổi gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R .
Kí hiệu: S ( O; R ) = { M OM = R} .
2. Khối cầu
Mặt cầu S ( O; R ) cùng với các điểm nằm bên trong nó được gọi là một khối
cầu tâm O , bán kính R .
Kí hiệu: B ( O; R ) = { M OM �R} .
Nếu OA, OB là hai bán kính của mặt cầu sao cho A, O, B thẳng hàng thì
đoạn thẳng AB gọi là đường kính của mặt cầu.
Định lí. Cho hai điểm cố định A, B . Tập hợp các
� = 900 là
điểm M trong khơng gian sao cho AMB
B
mặt cầu đường kính AB .
● A �S ( O; R ) � OA = R.
O

● OA1 < R � A1 nằm trong mặt cầu.
A

● OA2 > R � A2 nằm ngồi mặt cầu.
II. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện ( H ) gọi là mặt
S

cầu ngoại tiếp hình đa diện ( H ) và khi đó ( H ) được gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt
cầu ngoại tiếp là đáy của nó là một đa giác nội tiếp
một đường tròn.
Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp.

A
D
O
C

B

III. MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH CHĨP
1. Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp
xúc với với tất các mặt của hình chóp.
2. Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp.
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu S ( O; R ) và mặt phẳng ( P ) , gọi d là khoảng cách từ O đến


( P ) và H là hình chiếu vuông góc của O trên ( P ) . Khi đó
O
O

O

r
(P)

H
(P)

H

H
(P)

● Nếu d < R thì mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu S ( O; R ) theo giao tuyến là
đường tròn nằm trên mặt phẳng ( P ) có tâm là H và có bán kính r = R 2 - d2 .
Khi d = 0 thì mặt phẳng ( P ) đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi
là mặt phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn
có tâm O và bán kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
●Nếu d = R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu S ( O; R) có một điểm chung duy
nhất H .
Khi đó ta nói ( P ) tiếp xúc với S ( O; R ) tại H và ( P ) gọi là tiếp diện của mặt
cầu, H gọi là tiếp điểm.
Chú ý. Cho H là một điểm thuộc mặt cầu S ( O; R ) và mặt phẳng ( P ) qua
H . Thế thì ( P ) tiếp xúc với S ( O; R ) � OH ^ ( P ) .
●Nếu d > R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu S ( O; R) không có điểm chung.
V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho mặt cầu S ( O; R ) và đường thẳng D . Gọi H là hình chiếu vuông góc
của O trên D và d = OH là khoảng cách từ O đến D . Khi đó
H

A
O
H
B

O
O
H

● Nếu d < R thì D cắt S ( O; R ) tại hai điểm A, B và H là trung điểm của
AB .
● Nếu d = R thì D và S ( O; R ) chỉ có một điểm chung H , trong trường hợp
này D gọi là tiếp tuyến của mặt cầu S ( O; R ) hay D tiếp xúc với S ( O; R ) và H
là tiếp điểm.
● Nếu d > R thì D và S ( O; R ) không có điểm chung.
VI. DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU


Gọi R là bán kính của mặt cầu thì
● Diện tích mặt cầu: S = 4pR 2.
4
● Thể tích khối cầu: V = pR 3.
3

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho đường tròn ( C ) đường kính AB và đường thẳng D . Để hình tròn
xoay sinh bởi ( C ) khi quay quanh D là một mặt cầu thì cần có thêm điều
kiện nào sau đây:
(I)Đường kính AB thuộc D .

(II) D cố định và đường kính AB thuộc D .
(III) D cố định và hai điểm A, B cố định trên D .
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Chỉ (III).
D. Không cần thêm điều kiện nào.
Câu 2. Cho mặt cầu ( S) tâm O , bán kính R và mặt phẳng ( P ) có khoảng
cách đến O bằng R . Một điểm M tùy ý thuộc ( S) . Đường thẳng OM cắt

( P ) tại N . Hình chiếu của O trên ( P ) là I . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. NI tiếp xúc với ( S) .

O

B. ON = R 2 � IN = R.
C. Cả A và B đều sai.
D. Cả A và B đều đúng.

M

N

I

Câu 3. Cho mặt cầu S ( O; R ) và một điểm A , biết OA = 2R . Qua A kẻ một tiếp
tuyến tiếp xúc với ( S) tại B . Khi đó độ dài đoạn AB bằng:
R
.
C. R 2 .
D. R 3 .

2
Câu 4. Cho mặt cầu S ( O; R ) và một điểm A , biết OA = 2R . Qua A kẻ một cát
A. R .

B.

tuyến cắt ( S) tại B và C sao cho BC = R 3 . Khi đó khoảng cách từ O đến
BC bằng:
R
A. R .
B.
.
C. R 2 .
D. R 3 .
2
Câu 5. Cho mặt cầu S ( O; R ) và mặt phẳng ( a ) .
R
. Khi
2
đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( a ) với
Biết khoảng cách từ O đến ( a ) bằng

S ( O; R )
bằng:
A. R .

O

là một đường tròn có đường kính
B. R 3 .

r

H


R
.
2

R 3
.
2
Câu 6. Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2,6cm . Một mặt phẳng cắt mặt cầu
và cách tâm I một khoảng bằng 2,4cm . Thế thì bán kính của đường tròn do
mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:
A. 1,2cm .
B. 1,3cm .
C. 1cm .
D. 1,4cm .
Câu 7. Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p . Một mặt phẳng ( a ) cắt
C.

D.

hình cầu theo một hình tròn có diện tích là

p
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu
2

đến mặt phẳng ( a ) bằng:
p
1
2p
p
.
B.
.
C.
.
D.
.
p
p
p
2p
Câu 8. Một hình cầu có bán kính là 2m , một mặt phẳng cắt hình cầu theo một
hình tròn có độ dài là 2,4pm . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
là:
A.1,6m .
B. 1,5m.
C. 1,4m .
D. 1,7m .
A.

Câu 9. Cho mặt cầu S ( O; R ) , A là một điểm ở trên mặt cầu ( S) và ( P ) là mặt
phẳng qua A sao cho góc giữa OA và ( P ) bằng 600.
Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:
A. pR 2.

C.

B.

pR 2
.
4

D.

pR 2
.
2

pR 2
.
8

O

r

A

H

Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng
a . Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng:
A.

(

).

a 1+ 3

B.

(

a

6-

).

2

C.

(

a

).

6+ 2

D.

(

a

).

3- 1

2
2
4
4
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
BA = BC = a . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
a 2
a 6
B. 3a.
C.
D. a 6.
.
.
2
2
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên
SA = a 6 và vuông góc với đáy ( ABCD ) . Tính theo a diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta được:
A. a2 2.
B. 8pa2.
C. 2a2.

D. 2pa2.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,
AB = a . Cạnh bên SA = a 2 , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy
A.


trùng với trung điểm của cạnh huyền AC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp S.ABC là:
a 6
a 2
a 2
a 6
B.
C.
D.
.
.
.
.
3
3
2
2
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên
a 21
bằng
. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu
6
R
ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số

bằng:
h
A.

7
7
7
1
.
A. 12
B. 24 .
C. 6
D. 2.
Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên
hợp với mặt đáy một góc 600 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp
S.ABCD là:
4pa3
2pa3 6
8pa3 6
8pa3 6
.
.
.
.
A. 3
B.
C.
D.
9
9

27
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn
AD = 2a , AB = BC = CD = a . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi R
R
là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD . Tỉ số
nhận giá trị nào
a
sau đây?
A. a 2.
B. a.
C. 1
D. 2.
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a ,
AD = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 450 .
Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán
kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N .ABC . Biểu thức liên hệ giữa R và h là:
4

5 5
h.
D. R = 4 h.
5 5
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a .
Đường thẳng SA = a 2 vuông góc với đáy ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm SC
, mặt phẳng ( a ) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt
SB , SD lần lượt tại E , F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E , M , F
nhận giá trị nào sau đây?
A. 4R = 5h.

B.

5R = 4h.

C.

R=

a
a 2
.
.
D.
2
2
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường
thẳng SA vuông góc đáy ( ABCD ) . Gọi H là hình chiếu của A trên đường
thẳng SB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị nào sau
đây?
A. a 2.

B.

a

.

C.

a
a 2

.
.
D.
2
2
Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
A. a 2.

B.

a

.

C.


BC = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABC ) . Gọi H , K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC . Thể tích của khối cầu tạo
bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là:
pa3
2pa3
3
.
.
2
p
a
.
A.

B.
C. 6
D.
3
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy

pa3
.
2
tâm O , BD = a .
( ABCD ) là trung

điểm OD . Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 600 . Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nhận giá trị nào sau đây?
a
a
a
.
B. .
C. .
D. a.
3
4
2
Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của
A.

cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 . Gọi G

là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc
với mặt phẳng ( SAB) . Đẳng thức nào sau đây sai?
G,( SAB) �
.
A. R = d �
�
�
C.

R2
4 3
=
.
SDABC
39

B. 3 13R = 2SH .
D.

R
= 13.
a

Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên
SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
pa3
pa3
2pa3
11 11pa3

B.
C.
D.
.
.
.
.
6
3
3
162
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a .
Cạnh bên SA = a 3 và vuông góc với đáy ( ABC ) . Bán kính mặt cầu ngoại
tiếp khối chóp S.ABC là:
A.

a
.
2

a 39
a 13
a 15
C.
. D.
.
.
6
2
4

Câu 25. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và
OA = a , OB = 2a , OC = 3a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là:
A.

B.

3a
a 6
a 14
C.
D.
.
.
.
2
2
2
Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,
AB = AC = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABC ) . Gọi I là trung điểm
A. a 3

B.

của BC , SI tạo với đáy ( ABC ) một góc 600. Gọi S, V lần lượt là diện tích
mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . Tỉ số

V
bằng ?
S

a 2
a 14
3a 14
C.
D.
.
.
.
6
12
4
Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc
� = 1200 . Cạnh bên SA = a 3 và vuông góc với đáy ( ABCD ) .
BAD
A. a 14

B.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACD nhận giá trị:
a 13

2a
.
3

a 13
a 13
D.
.

.
3
2 3
3 3
Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC = a
� = 1200 . Bán kính mặt
. Mặt phẳng ( SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a , ASB
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
A.

.

B.

C.

a
a
.
B. .
C. a.
D. 2a.
4
2
Câu 29. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
�
bằng 300 . Góc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng
AC = a 3 , góc ACB
( ABC ) bằng 600 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' ABC bằng:
A.

A.

3a
.
4

A.

85a
.
108

a 21
a 21
a 21
C.
D.
.
.
.
8
4
2
Câu 30. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt
phẳng ( AB 'C ') tạo với mặt đáy góc 600 và điểm G là trọng tâm tam giác
ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A ' B 'C ' bằng:
B.

B.

3a
.
2

C.

3a
.
4

D.

31a
.
36

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Chọn C.
O,( P ) �
= OI mà d �
O,( P ) �
=R
Câu 2. Vì I là hình chiếu của O trên ( P ) nên d �
�
�
�
�
nên I là tiếp điểm của ( P ) và ( S) .
Đường thẳng OM cắt ( P ) tại N nên IN vuông góc với OI tại I . Suy ra IN

tiếp xúc với ( S) .
Tam giác OIN vuông tại I nên ON = R 2 � IN = R . Chọn D.
Câu 3. Vì AB tiếp xúc với ( S) tại B nên AB ^ OB .
Suy ra AB = OA2 - OB2 = 4R 2 - R 2 = R 3. Chọn D.
Câu 4. Gọi H là hình chiếu của O lên BC .


CD R 3
Ta có OB = OC = R , suy ra H là trung điểm của BC nên HC =
.
=
2
2
R
Suy ra OH = OC 2 - HC 2 = . Chọn B.
2
Câu 5. Gọi H là hình chiếu của O xuống ( a ) .
R
Ta có d �
O,( a ) �
= OH = < R nên ( a ) cắt S ( O; R ) theo đường tròn C ( H ;r ) .
�
�
2
R 3
Bán kính đường tròn C ( H ;r ) là r = R 2 - OH 2 =
.
2
Suy ra đường kính bằng R 3. Chọn B.
Câu 6. Mặt phẳng cắt mặt cầu S ( I ;2,6cm) theo một đường tròn ( H ;r ) .

2

2

Vậy r = R 2 - IH 2 = ( 2,6) - ( 2,4) = 1cm . Chọn C.
Câu 7. Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu
và đi qua tâm của hình cầu. Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng
có bán kính là R .
Theo giả thiết, ta có pR 2 = p � R =

p
p
p
và pr 2 = � r =
.
p
2
2p

p
. Chọn D.
2p
Câu 8. Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d , ta có d2 = R 2 - r 2 .
Suy ra d = R 2 - r 2 =

Theo giả thiết R = 2m và 2pr = 2,4pm� r =

2,4p
= 1,2m .
2p

Vậy d = R 2 - r 2 = 1,6m . Chọn A.
Câu 9. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ( P ) thì
● H là tâm của đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S) .
�,( P ) = (�
● OA
OA, AH ) = 600.
Bán kính của đường tròn giao tuyến: r = HA = OA.cos600 =
2

R
.
2

�
R�
pR 2
�
Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: pr 2 = p�
=
. Chọn C.
�
�
�
�
�2 �
4
Câu 10.
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD .
Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.

Gọi M là trung điểm của CD và I là chân
� (I �SH ) .
đường phân giác trong của góc SMH
Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình
chóp, bán kính r = IH .


SH = SA2 - AH 2 =
Ta có

a 2
;
2

a 3
a
; MH = .
2
2
Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có:
SM =

(

a
IS
MS
SH
MS + MH
SH .MH

a
=
�
=
� IH =
=
=
IH
MH
IH
MH
MS + MH
2+ 6

6-

)

2

4

.

Chọn

B.
Câu 11. Gọi M là trung điểm AC , suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC .
S

Gọi I là trung điểm SC , suy ra
IM PSA nên IM ^ ( ABC ) .
Do đó IM là trục của D ABC , suy ra
IA = IB = IC.
I

I

( 1)

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có
là trung điểm SC nên IS = IC = IA .

C

A

M

( 2)
B

Từ ( 1) và ( 2) , ta có IS = IA = IB = IC

hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
2
2
Vậy bán kính R = IS = SC = SA + AC = a 6 . Chọn C.S
2
2

2
Câu 12. Gọi O = AC �BD , suy ra O là tâm
đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .
Gọi I là trung điểm SC , suy ra

IO PSA � IO ^ ( ABCD ) .
Do đó IO là trục của hình vuông ABCD , suy ra

A

IA = IB = IC = ID. ( 1)
Tam giác SAC vuông tại A có I
IS = IC = IA . ( 2)

I
D

là trung điểm cạnh Ohuyền SC nên
B

C

SC
= a 2.
2
Vậy diện tích mặt cầu S = 4pR 2 = 8pa2 (đvdt). Chọn B.
Câu 13. Gọi M là trung điểm AC , suy ra SM ^ ( ABC ) � SM ^ AC.
Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC
cân tại S .
Từ ( 1) và ( 2) , ta có: R = IA = IB = IC = ID = IS =

Ta có AC = AB2 + BC 2 = a 2 , suy ra tam giác SAC đều.

S

( 1)

Gọi G là trọng tâm D SAC , suy ra GS = GA = GC .
G
A

M
B

C


Tam giác ABC vuông tại B , có M là trung
điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC .
Lại có SM ^ ( ABC ) nên SM là trục của tam giác ABC .
Mà G thuộc SM nên suy ra GA = GB = GC .

( 2)

Từ ( 1) và ( 2) , suy ra
GS = GA = GB = GC hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC .
2
a 6
Bán kính mặt cầu R = GS = SM =

. Chọn B.
3
3
a 3
Câu 14. Gọi O là tâm D ABC , suy ra SO ^ ( ABC ) và AO =
.
3
a
Trong SOA , ta có h = SO = SA2 - AO2 = .
2
Trong mặt phẳng SOA , kẻ trung trực d của đoạn
SA cắt SO tại I , suy ra
A
● I �d nên IS = IA .
● I �SO nên IA = IB = IC .
Do đó IA = IB = IC = IS nên I là tâm mặt cầu
ngoại tiếp khối chóp S.ABC .
Gọi M là tung điểm SA , ta có D SMI � D SOA nên

S

M

I

C

O
B

2

R = SI =

R 7
SM .SA SA
7a
= . Chọn C.
=
= . Vậy
h 6
SO
2SO 12

S

Câu 15. Gọi O = AC �BD , suy ra SO ^ ( ABCD ) .
�
�,OB = SBO
� .
Ta có 600 =SB
,( ABCD) = SB

d

a 6
.
2
I
A

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD .
Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung
trực d của đoạn SB .
O
I
�
SO
IA
=
IB
=
IC
=
ID
�
�
D
C
��
� IA = IB = IC = ID = IS = R .
Gọi I = SO �d � �
�
�
�
�
I �d
IS = IB
�
�
� =

Trong D SOB , ta có SO = OB.tan SBO

B

SB = SD
�
� D SBD đều.
Xét D SBD có �
��
� = 60o
�
SBD = SBO
�
Do đó d cũng là đường trung tuyến của D SBD . Suy ra I là trọng tâm
D SBD .
2
a 6
4
8pa3 6
Bán kính mặt cầu R = SI = SO =
. Suy ra V = pR 3 =
. Chọn D.
3
3
3
27
� = 900.
Câu 16. Ta có SA ^ AD hay SAD

Gọi E là trung điểm AD .
Ta có EA = AB = BC nên ABCE là hình thoi.
1
Suy ra CE = EA = AD .
2
ACD
Do đó tam giác
vuông tại C . Ta có:
DC ^ AC
�
�
� = 900.
� DC ^ ( SAC ) � DC ^ SC hay SCD
�
�
DC
^
SA
�
� = 900.
Tương tự, ta cũng có SB ^ BD hay SBD
� = SBD
� = SCD
� = 900 nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của
Ta có SAD
2
2
SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính R = SD = SA + AD = a 2 . Suy ra
2
2

R
= 2. Chọn D.
a
�
�, AC = SCA
� .
Câu 17. Ta có 450 = SC
,( ABCD ) = SC

Trong D SAC , ta có h = SA = a 5.
BC ^ AB
�
� BC ^ ( SAB) � BC ^ BN .
Ta có �
�
�
BC ^ SA
�
Lại có NA ^ AC . Do đó hai điểm A, B cùng
nhìn đoạn NC dưới một góc vuông nên hình
chóp N .ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung
điểm NC , bán kính
2

R =JN =

�
NC 1
SA �
� = 5a. Chọn A.

= . AC 2 +�
�
�
� 4
�
�2 �
2
2

Câu 18. Mặt phẳng ( a ) song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E , F nên
S
EF P BD .
D SAC cân tại A , trung tuyến AM nên AM ^ SC . ( 1)
BD ^ AC
�
� BD ^ ( SAC ) � BD ^ SC .
Ta có �
�
�
BD ^ SA
�
Do đó EF ^ SC . ( 2)

I

E

Từ ( 1) và ( 2) , suy ra SC ^ ( a ) � SC ^ AE . ( *)
BC ^ AB
�

� BC ^ ( SAB) � BC ^ AE . ( * *)
Lại có �
�
�
BC ^ SA
�

F

M
A

D
O
C

B

Từ ( *) và ( * *) , suy ra AE ^ ( SBC ) � AE ^ SB . Tương tự ta cũng có AF ^ SD.
� = SMA
� = SFA
� = 900 nên năm điểm S, A, E , M , F cùng thuộc mặt
Do đó SEA
SA a 2
cầu tâm I là trung điểm của SA , bán kính R =
. Chọn C.
=
2
2
Câu 19. Gọi O = AC �BD .

S

H

A

D
O

B

C


Vì ABCD là hình vuông nên OB = OD = OC . ( 1)
CB ^ AB
�
� CB ^ ( SAB) � CB ^ AH .
Ta có �
�
�
CB ^ SA
�
Lại có AH ^ SB .
Suy ra AH ^ ( SBC ) � AH ^ HC nên tam
giác AHC vuông tại H và có O là trung
điểm cạnh huyền AC nên suy ra OH = OC .
( 2)
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra
R = OH = OB = OD = OC =

a 2
. Chọn C.
2

Câu 20. Theo giả thiết, ta có
� = 900 và AKC
� = 900 .
ABC
�
�AH ^ SB
Do �
�
BC ^ AH
�

( BC ^ ( SAB) )

( 1)

� AH ^ HC. ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) , suy ra ba điểm B, H , K
cùng nhìn xuống AC dưới một góc 900 nên
hình chóp A.HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I
AC ,
là
trung
điểm
bán

kính
R=

AC AB 2 a 2
.
=
=
2
2
2

4
2pa3
Vậy thể tích khối cầu V = pR 3 =
(đvtt). Chọn A.
3
3
�
�, HD = SDH
� .
Câu 21. Ta có 600 = SD
,( ABCD) = SD
Trong tam giác vuông SHD , có
BD
� = a 3 và SD = HD = a .
.tan SDH
�
2
cosSDH
4

4
Trong tam giác vuông SHB , có
SH =

a 3
.
2
Xét tam giác SBD , ta có SB2 + SD 2 = a2 = BD 2 .
Suy ra tam giác SBD vuông tại S .
Vậy các đỉnh S, A, C cùng nhìn xuống BD dưới một góc vuông nên tâm mặt
1
a
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là O , bán kính R = BD = . Chọn C.
2
2
0
�
�
�
Câu 22. Ta có 60 = SA,( ABC ) = SA, HA = SAH .
SB = SH 2 + HB2 =


a 3
Tam giác ABC đều cạnh a nên AH =
.
2
� = 3a .
Trong tam giác vuông SHA , ta có SH = AH .tan SAH
2

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với ( SAB) nên bán kính mặt cầu
R = d�
G,( SAB) �
.
�
�
1
2
G,( SAB) �
= d�
C,( SAB) �
= d�
H ,( SAB) �
.
Ta có d �
�
�
�
�
�
3
3 �
Gọi M , E lần lượt là trung điểm AB và MB .
�
CM ^ AB
HE ^ AB
�
�
�
�

�
Suy ra �
a 3 và �
1
a 3.
�
�
CM =
HE = CM =
�
�
�
�
2
2
4
�
�
Gọi K là hình chiếu vuông góc của
H trên SE , suy ra HK ^ SE . ( 1)
�
HE ^ AB
� AB ^ ( SHE ) � AB ^ HK . ( 2)
Ta có �
�
�
�AB ^ SH
H ,( SAB) �
= HK .
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra HK ^ ( SAB) nên d �

�
�
Trong tam giác vuông SHE , ta có HK =

SH .HE
2

SH + HE

2

=

3a
2 13

.

2
a
Vậy R = HK =
. Chọn D.
3
13
Câu 23. Gọi O = AC �BD
Suy ra OA = OB = OC = OD. ( 1)
Gọi M là trung điểm AB , do tam giác
SAB vuông tại S nên MS = MA = MB .
Gọi H là hình chiếu của S trên AB .
Từ giả thiết suy ra SH ^ ( ABCD) .

OM ^ AB
�
� OM ^ ( SAB) nên OM là
Ta có �
�
�
OM ^ SH
�
trục của tam giác SAB , suy ra OA = OB = OS.
( 2)
Từ ( 1) và ( 2) , ta có OS = OA = OB = OC = OD.

.

a 2
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD , bán kính R = OA =
2
4
2pa3
Suy ra V = pR 3 =
(đvtt). Chọn A.
3
3


Câu 24. Gọi G là trọng tâm D ABC , suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp
D ABC .
Từ G dựng tia Gx ^ ( ABC ) (như hình vẽ).
Suy ra Gx là trục của tam giác ABC .
Trong mặt phẳng ( SA,Gx) ,

kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA .
O �Gx �
OA = OB = OC
�
��
Gọi O = Gx �d � �
�
�
�
�
O �d
OA = OS
�
�
� OA = OB = OC = OS = R .
Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC .
1
a 3
Ta có OG = PA = SA =
;
2
2
AG =

2
2 a 3 a 3
.
AM = .
=
3

3 2
3

Trong tam giác vuông OGA , ta có R = OA = OG 2 + AG 2 =

a 39
. Chọn C.
6

Câu 25. Gọi M là trung điểm BC ,
suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp D OBC.
Kẻ Mx ^ ( OBC ) (như hình vẽ).
Suy ra Mx là trục của D OBC .
Trong mặt phẳng ( OA, Mx) , kẻ trung trực d
của đoạn thẳng OA cắt Mx tại I .
Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bán kính mặt cầu: R = IO = IM 2 +OM 2 =

a 14
. Chọn D.
2

�
�, AI = SIA
� .
Câu 26. Ta có 60o = SI
,( ABC ) = SI
S

1

a 2
Tam giác ABC vuông cân tại A , suy ra AI = BC =
.
2
2
� =a 6.
Trong D SAI , ta có SA = AI .tan SIA
2

d

x

Kẻ Ix ^ ( ABC ) (như hình vẽ).

J

Suy ra Ix là trục của D ABC .
Trong mặt phẳng ( SA, Ix) , kẻ trung trực d của
đoạn thẳng SA cắt Ix tại J . Khi đó J chính là
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

A

C
I

B

V

R a 14
a 14
Bán kính: R = J A = J I + AI =
nên
= =
. Chọn B.
S
3
12
4
2

2


Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ACD . Kẻ Gx ^ ( ACD ) , suy ra Gx là trục
của D ACD .
Trong mặt phẳng ( SA,Gx) , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt Gx tại I .
S

Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Ta có IG = MA =

SA a 3
;
=
2
2

x

2
a 3
AE =
.
3
3
Suy ra bán kính:
R = IA = IG 2 +GA2 =

I

M

GA =

d
A

a 39
. Chọn A.
6

D
G

E

C

B

Câu 28. Gọi M là trung điểm AB , suy ra SM ^ AB và SM ^ ( ABC ) .
Do đó SM là trục của tam giác ABC .

Trong mặt phẳng ( SMB) , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I .
S R = SI .
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , bán kính
� = a 3.
Ta có AB = SA2 + SB2 - 2SA.SB.cos ASB
Trong tam giác vuông SMB , ta có
� = a.cos600 = a .
SM = SB.cos MSB
2
Ta có D SMB�D SPI , suy ra
SM
SP
SB.SP
=
� R = SI =
= a.
A
SB
SI
SM
Chọn C.
�
�', AB = B
�' AB .
Câu 29. Ta có 600 = AB

',( ABC ) = AB
Trong D ABC , ta có

P

M

B

I
C

� = a 3.
AB = AC.sin ACB
2
Trong D B ' BA , ta có
�' AB = 3a.
BB ' = AB.tan B
2
Gọi N là trung điểm AC ,
suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC .
Gọi I là trung điểm A 'C ,
suy ra IN P AA ' � IN ^ ( ABC ) .
Do đó IN là trục của D ABC , suy ra IA = IB = IC. ( 1)
Hơn nữa, tam giác A ' AC
IA ' = IC = IA . ( 2)

vuông tại A có I

là trung điểm A 'C

nên


Từ ( 1) và ( 2) , ta có IA ' = IA = IB = IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp
2
2
hình chóp A '.ABC với bán kính R = IA ' = A 'C = AA ' + AC = a 21 . Chọn B.
2
2
4
Câu 30. Gọi M là trung điểm B 'C ' , ta có
A
C
�, A ' M = AMA
� '.
G
600 = (�
AB 'C ') ,( A ' B 'C ') = AM

Trong D AA ' M , có A ' M =

B

a 3
;
2

� ' = 3a .
AA ' = A ' M .tan AMA

2
Gọi G ' là trọng tâm tam giác đều A ' B 'C ' , suy
ra G ' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp
D A ' B 'C '.
Vì lặng trụ đứng nên GG ' ^ ( A ' B 'C ') .
Do đó GG ' là trục của tam giác A ' B 'C ' .

P

I
C'

A'
G'
B'

Trong mặt phẳng ( GC 'G ') , kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC ' cắt GG ' tại
I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A ' B 'C ' , bán kính R = GI .
Ta có D GPI � DGG 'C ' �

GP GG '
=
GI
GC '

� R = GI =
D.

GP.GC ' GC '2 GG '2 +G 'C '2 31a
=

=
=
.
GG '
2GG '
2GG '
36

Chọn