TÌM điểm THỎA mãn điều KIỆN CHO TRƯỚC

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

VẤN ĐỀ 7: TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:
�x = x0 + at
, t �R ( hoặc D : x - x0 = y - y0 ) có dạng
 Điểm A thuộc đường thẳng D : �
�
�
a
b
�y = y0 + bt
A ( x0 + at; y0 + bt )
� - at - c �
�
t;
�
 Điểm A thuộc đường thẳng D : ax + by + c = 0 (ĐK: a2 + b2 � 0) có dạng A �
�
�với
�
b �
�
�
- bt - c �
;t �
�
b � 0 hoặc A �
�

�với a � 0
�
� a
�
2.Bài tập trắc nghiệm.
Câu 1:

NHẬN BIẾT
�x  1  2t
Điểm nào nằm trên đường thẳng  : �
�y  3  t
A. A  2; –1 .

B. B  –7;0  .

 t �� .

C. C  3;5  .

D. D  3; 2  .

Hướng dẫn giải
�x  1  2  3  y 
�x  1  2t
��
� x  2y  7  0 .
Ta có: �
t  3 y
�
�y  3  t

Thay lần lượt tọa độ của các điểm A, B, C , D thấy chỉ có D  3; 2  thỏa mãn.  Chọn D.
Câu 2:

Câu 3:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng 5 x  2 y  10  0 và trục hoành là:
A.  2;0  .
B.  0;5  .
C.  2;0  .

D.  0; 2  .

Hướng dẫn giải
Thay y  0 vào phương trình đường thẳng ta có: 5 x  2.0  10  0 � x  2
 Chọn A .
Giao điểm của hai đường thẳng 7 x  3 y  16  0 và x  10  0 là điểm có tọa độ
A.  10; 18  .
B.  10;18  .
C.  10;18  .
D.  10; 18  .
Hướng dẫn giải

Ta có: x  10 thay vào phương trình đường thẳng ta có: 7.  10   3 y  16  0 � y  18
 Chọn A .
Câu 4:

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng  d1  :
A.  2; 1 .

B.  2;1 .

x2 y3

và  d 2  : x  y  1  0 .
2
1

C.  2;3 .

D.  2;1 .

Hướng dẫn giải

 d1  :

x2 y 3

� x  2y  4  0
2
1

�x  2 y  4  0
�x  2 y  4
�x  2
��
��
Xét hệ phương trình: �
�x  y  1  0
�x  y  1

�y  1
 Chọn D .
Câu 5:

�x  12  5t
Cho đường thẳng d : �
. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d ?
�y  3  6t

24 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

A.  13;33 .

B.  20;9  .

C.  7;5  .

D.  12; 0  .

Hướng dẫn giải
 Chọn A.
Câu 6:

�x  3  4t

�x  1  4t �
, d2 : �
�y  2  5t
�y  7  5t �

Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d1 : �
A.  1;7  .

B.  3; 2  .

C.  2; 3 .

D.  5;1 .

Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d 2 là nghiệm của hệ phương trình:
3  4t  1  4t � �
t 1
�
��
thay vào phương trình đường thẳng d1 và d 2 ta được x  1, y  7
�
2  5t  7  5t � �
t�
0
�
 Chọn A
Câu 7:

�x  22  2t

,  d 2 : 2 x  3 y  19  0
y

55

5
t
�

Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d1 : �
A.  2;5  .

B.  10; 25  .

C.  1;7  .

D.  2;5  .

Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d 2 là nghiệm của hệ phương trình:
�x  22  2t
�
� 2.  22  2t   3  55  5t   19  0 � t  10
�y  55  5t
�
2x  3y  19  0
�
Suy ra toạ độ giao điểm là  2;5  .
Câu 8:

Câu 9:

 Chọn A

Đường thẳng 12 x  7 y  5  0  không đi qua điểm nào sau đây ?
� 5
�
� 17 �
 ; 0 �.
1; �.
A. (1; 1) .
B.  1;1 .
C. �
D. �
� 12 �
� 7�
Hướng dẫn giải
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy điểm (1;1) không thỏa mãn
phương trình đường thẳng.
 Chọn B.
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng  :15 x  2 y  10  0 và trục tung Oy .
�2 �
A.  5;0  .
B.  0;5  .
C.  0; 5  .
D. � ;5 �.
�3 �
Hướng dẫn giải
15 x  2 y  10  0
�

�y  5
��
Giải hệ: �
.
�x  0
�x  0
Vậy tọa độ giao điểm của  :15 x  2 y  10  0 và trục tung Oy là  0; 5  .

 Chọn C.

Câu 10: Khoảng cách từ điểm M (1 ; 1) đến đường thẳng  :   3 x  4 y  17  0 là:
A.

2
.
5

B.

10
.
5

C. 2.

D. 

18
.
5

Hướng dẫn giải
Khoảng cách từ điểm M (1 ; 1) đến đường thẳng  :   3 x  4 y  17  0 là:
25 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

d ( M ; ) 

3.1  4.( 1)  17
32   4 

 2.

2

 Chọn C.

THÔNG HIỂU
�x  t
Câu 11: Cho hai điểm A  –2;0  , B  1; 4  và đường thẳng d : �
. Tìm giao điểm của đường thẳng
�y  2  t
d và AB .
A.  2;0  .
B.  –2;0  .

C.  0;2  .
D.  0; – 2  .
Hướng dẫn giải
uuur
r
Đường thẳng AB đi qua điểm A  –2;0  và có vtcp AB   3; 4  , vtpt n   4;  3
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB : 4 x  3 y  8  0 .
r
r
Đường thẳng d . đi qua điểm M  0; 2  và có vtcp u   1;  1 , vtpt p   1;  1
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d : x  y  2  0 .
Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và AB .
�4 x  3 y  8  0
�x  2
��
� K  2;0  �A
Tọa độ điểm K thỏa hệ phương trình �
�x  y  2  0
�y  0
 Chọn B.

�x  1  2t
. Tìm một điểm M trên d và cách A một khoảng
�y  t

Câu 12: Cho điểm A(0;1) và đường thẳng d : �
bằng 10 ?
A.





2;3 .

B.  3; 2  .

C.  3; 2  .

D.  3; 2  .

Hướng dẫn giải
M �d � M (1  2t; t )
Ta có: MA  10 �  1  2t 

2

t  2 � M  3; 2 
�
�
 (t  1) 2  10 � 5t 2  6t  8  0 � � 4
13 4 �
�
t  �M� ; �
�
�5 5 �
� 5

Chọn B
Câu 13: Tìm điểm M nằm trên  : x  y  1  0 và cách N  1;3 một khoảng bằng 5 ?

A.  2; 1 .

B.  2; 1 .

C.  2;1 .

D.  2;1 .

Hướng dẫn giải
M � � M (t;1  t ).
�
t  2 � M  2; 1
2
2
2
Ta có : MN  5 :  1  t   (2  t )  25 � 2t  6t  20  0 � �
t  5 � M  5;6 
�
 Chọn A
Câu 14: Cho đường thẳng  :  21x  11 y  10  0 . Trong các điểm M (21 ; 3), N  0 ; 4  , P  19 ; 2  ,

Q  1 ; 5  điểm nào cách xa đường thẳng  nhất ?
A. N .
B. M .
C. P .
Hướng dẫn giải

26 | H H 1 0 - C 3

D. Q .

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

Ta có: d ( M ; ) 

d ( M ; ) 

21.21  11.( 3)  10
212   11



2

21.(19)  11.2  10
212   11

2



464

21.0  11.4  10

; d ( N ; ) 

562
431
562

212   11

; d ( N ; ) 

2

21.1  11.5  10
212   11

2





54
562
44
562

Vậy điểm M cách xa đường thẳng  nhất.
 Chọn B.
Câu 15: Cho 4 điểm A(0 ; 2), B ( 1 ; 0), C (0 ; 4), D (2 ; 0) . Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường
thẳng AB và CD

� 3 1�
; �
.
� 2 2�


B. �

A. (1 ; 4) .
C. (2 ; 2) .

D. Không có giao điểm.
Hướng dẫn giải

uuur
uuur
AB có vectơ chỉ phương là AB   1; 2  và CD có vectơ chỉ phương là CD   2; 4  .
uuur
uuur
Ta có : AB   1; 2  và CD   2; 4  cùng phương nên AB và CD không có giao điểm.
 Chọn D.
Câu 16: Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng 1 : 3 x  2 y  6  0 và
 2 : 3x  2 y  3  0
A. (0 ; 2) .

�1
�
B. � ; 0 �.
�2
�

D. ( 2  ; 0).

Hướng dẫn giải

Ta có : M �Ox � M  x;0 

d ( M ; 1 )  d ( M ;  2 ) �

C.  1 ; 0  .

3x  6
13



3 x  6  3 x  3(vn)
�
��
1
�
3 x  6  3x  3 � x 
13
�
2

3x  3

�1 �
Vậy M � ;0 �.

�2 �

 Chọn B.

Câu 17: Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy và cách đều hai đường thẳng : d1 : 3 x  2 y  6  0 và
d 2 : 3x  2 y  3  0
� 3�
0;  �
A. �
� 4�

B. (0; 2)

C.





2;0 .

D.  1;0  .

Hướng dẫn giải
Gọi M (0; m) . Theo bài ra ta có
d  M , d1   d  M , d 2  � 2m  6  2m  3 � m 

3
� 3�
�M �

0;  �.  Chọn A.
4
� 4�

Câu 18: Tam giác ABC đều có A(1; 3) và đường cao BB�
: 5 x  3 y  15  0 . Tọa độ đỉnh C là:
128 36 �
128 36 � C. �
128 36 �D.
� 128 36 �
A. C �
B. C �
.

; �
.
C � ; �
.
C�

; �
.
� ; �
�
17 �
�17 17 �
� 17 17 �
�17
� 17 17 �
Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC đều nên A và C đối xứng nhau qua BB�
27 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

� d : 3x  5 y  12  0
Gọi d là đường thẳng qua A và d  BB�
5 x  3 y  15  0
�
128 15 �
�
� H � ; �
H  d �BB�
� tọa độ điểm H là nghiệm của hệ: �
3 x  5 y  12  0
�34 34 �
�

128 36
; ).
17 17
 Chọn A
Câu 19: Cho đường thẳng D : 3x - 4y - 12 = 0
a) Tìm tọa độ điểm A thuộc D và cách gốc tọa độ một khoảng bằng bốn
�
- 28 - 96�

�
;
�
A. A1 ( 4;0)
B. A2 �
�
�
�
�25 25 �

Suy ra C (

�
- 28 - 96�
�
;
�
C. A1 ( 4;0) và A2 �
�
�
�
�25 25 �

D. A1 ( 0;- 3)

b) Tìm điểm B thuộc D và cách đều hai điểm E ( 5;0) , F ( 3;- 2)
�
- 28 - 96�
�
;

�
A. B ( 4;0)
B. B ( 0;- 3)
C. B �
�
�
�
�25 25 �

�
24 3�
;- �
�
D. B �
�
�
�
7�
�7

c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M ( 1;2) lên đường thẳng D
�
�76 18�
- 28 - 96�
�
�
�
;
H
;�

�
A. H ( 4;0)
B. H ( 0;- 3)
C. H �
D.
�
�
�
�
�
�
25 25�
�25 25 �
�
Lời giải
r
a) Dễ thấy M ( 0;- 3) thuộc đường thẳng D và u ( 4;3) là một vectơ chỉ phương của D nên có phương
� x = 4t
trình tham số là �
.
�
�
�y = - 3 + 3t
Điểm A thuộc D nên tọa độ của điểm A có dạng A ( 4t;- 3 + 3t ) suy ra
�t = 1
�
2
2
2
OA = 4 � ( 4t ) + ( - 3 + 3t ) = 4 � 25t - 18t - 7 = 0 � � - 7

�
t=
�
� 25
�
�
- 28 - 96�
;
�
Vậy ta tìm được hai điểm là A1 ( 4;0) và A2 �
�
�
�
�25 25 �
b) Vì B �D nên B ( 4t;- 3 + 3t )
Điểm B cách đều hai điểm E ( 5;0) , F ( 3;- 2) suy ra
2

2

2

2

EB 2 = FB 2 � ( 4t - 5) + ( 3t - 3) = ( 4t - 3) + ( 3t - 1) � t =
�
24 3�
;- �
�
Suy ra B �

�
�
�
7�
�7

6
7

c) Gọi H là hình chiếu của M lên D khi đó H �D nên H ( 4t;- 3 + 3t )
r
uuuu
r
Ta có u ( 4;3) là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với HM ( 4t - 1;3t - 5) nên
uuuu
rr
19
HM .u = 0 � 4( 4t - 1) + 3( 3t - 5) = 0 � t =
25

28 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

�76 18�
�

;�
Suy ra H �
�
�
�
25 25�
�
Câu 20: Cho hai điểm A(3; 1) và B  0;3 . Tìm tọa độ điểm M trên trục  Ox sao cho khoảng cách từ
M đến đường thẳng AB bằng AB ?
�34 �
;  4; 0  .
A. � ;0 �
B.  2;0  và  1;0  .
C.  4;0  .
D. ( 13;0).
�9 �
Hướng dẫn giải
Ta gọi M  a;0  , pt AB : 4 x  3 y  9  0, AB  5
� d  M , AB   5 �

4a  9
5

� 34
a
�34 �
 5 � � 9 � M1 � ; 0 �
, M 2  4;0 
�
9 �

�
a  4
�

 Chọn A
VẬN DỤNG THẤP
Câu 21: Cho đường thẳng d : 2 x – 3 y  3  0  và M  8; 2  . Tọa độ của điểm M �đối xứng với M qua
d là:
A. (4;8) .
B. ( 4; 8) .
C. (4;8) .
D. (4; 8) .
Hướng dẫn giải
Ta thấy hoành độ và tung độ của điểm M �chỉ nhận một trong 2 giá trị nên ta có thể làm như
sau:
r
uuuuur
Đường thẳng d có 1 VTPT n(2; 3) , Gọi M '( x; y ) thì MM '( x  2; y  3)
uuuuur
r
M �đối xứng với M qua d nên MM '( x  2; y  3) và n(2; 3) cùng phương khi và chỉ khi
x2 y3
28  2 y

�x
2
3
3
Thay y  8 vào ta được x  4

Thay y  8 vào thấy không ra đúng x  �4 .
 Chọn C.
Cách khác:
+ Ptdt  đi qua M và vuông góc với d là: 3( x  8)  2( y  2)  0 � 3 x  2 y  28  0 .
+ Gọi H  d � � H (6;5) .
+ Khi đó H là trung điểm của đoạn MM �Áp dụng công thức trung điểm ta suy ra
�xM � 2 xH  xM  12  8  4
(4;8) .
. Vậy M �
�
�yM � 2 y H  yM  10  2  8
Câu 22: Cho đường thẳng đi qua 2 điểm A(3 ; 1), B  0 ; 3 , tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho
khoảng cách từ M tới đường thẳng AB bằng 1 .
A.  1;0  và  3,5;0  .
B. ( 13  ; 0).
C.  4 ; 0  .
D.  2 ; 0  .
Hướng dẫn giải

uuur
Đường thẳng đi qua 2 điểm A(3; 1) và B  0;3 có vectơ chỉ phương là AB   3; 4  suy ra
tọa độ vectơ pháp tuyến là (4;3) .
Vậy PTTQ AB : 4  x  3  3  y  1  0 � 4 x  3 y  9  0

M �Ox � M  x;0 

29 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

d ( M ; AB )  1 �

� 7
�7 �
x  � M � ;0 �
4x  9  5 �
�
2
1� �
�2 �.
4 x  9  5 �
�
42  32
�
x  1 � M  1;0 
�

4x  9

 Chọn A.

Câu 23: Cho đường thẳng đi qua 2 điểm A  1; 2  , B  4;6  , tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho diện
tích MAB bằng 1 .
� 4�
0; �
. C.  0; 2  .

A.  0;1 .
B.  0;0  và �
D.  1;0  .
� 3�
Hướng dẫn giải
uuur
AB   3; 4  � AB  5; M  0; yM 

 AB  : 4 x  3 y  2  0

1
AB.d  M ,  AB    1
2
2
� d  M ,  AB   
5
S MAB 

�

| 4.0  3. yM  2 |
4 2  32

�yM  0
2
 ��
.
�y M  4
5
�

3

 Chọn B.

Câu 24: Toạ độ hình chiếu của M  4;1 trên đường thẳng () : x – 2 y  4  0 là :
14 17 �
�
� 14 17 �
 ; �.
C. � ; �.
D. �
�5 5 �
� 5 5�
Hướng dẫn giải
r
Đường thẳng () có 1 VTPT n(1; 2) , Gọi H (2t  4; t ) là hình chiếu của M  4;1 trên đường
uuuu
r
thẳng () thì MH (2t  8; t  1)
uuuur
r
H (2t  4; t ) là hình chiếu của M  4;1 trên đường thẳng () nên MH (2t  8; t  1) và n(2; 3)

A. (14; 19 ) .

B. (2;3 ) .

cùng phương khi và chỉ khi

2t  8 t  1

17

�t
1
2
5

14 17 �
�
�H� ; �
�5 5 �

 Chọn C.

Câu 25: Cho điểm C  2;5  và đường thẳng  : 3x  4 y  4  0 . Tìm trên  hai điểm A, B đối xứng
� 5�
với nhau qua I �2; �và diện tích tam giác ABC bằng 15 .
� 2�
�52 50 � � 8 5 �
� 8 5 � �52 50 �
, B�
 ; �hoặc A �
 ; �
, B � ; �.
A. A � ; �
12 12 � � 12 12 �
12 12 �
�
� 12 12 � �
�52 50 � � 8 5 �

� 8 5 � �52 50 �
, B � ; �hoặc A �
 ; �
, B � ; �.
B. A � ; �
12 12 �
�11 11 � � 11 11 �
� 12 12 � �
�52 50 � � 8 5 �
� 8 5 � �52 50 �
, B � ; �hoặc A �
 ; �
, B � ; �.
C. A � ; �
�13 13 � � 11 11 �
� 11 11 � �13 13 �
�52 50 � � 8 5 �
� 8 5 � �52 50 �
, B � ; �hoặc A �
 ; �
, B � ; �.
D. A � ; �
�11 11 � � 11 11 �
� 11 11 � �11 11 �
Lời giải
30 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

r
Dễ thấy đường thẳng  đi qua M  0;1 và nhận u  4;3 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham
� x  4t
số là �
�y  1  3t
Vì A � nên A  4t ;1  3t  , t �R .
4t  xB
�
2
�
�x  4  4t
�
� 5�
2
� �B
Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua I �2; �suy ra �
� 2�
�yB  4  3t
�5  1  3t  yB
�2
2
Do đó B  4  4t ; 4  3t 
Ta có AB 

 4  8t 

Suy ra S ABC 

2

  3  6t   5 2t  1 và d  C ;   
2

3.  2   4.5  4
5



22
5

1
1
22
AB.d  C ;    .5 2t  1 .  11 2t  1
2
2
5

15
13
2
Diện tích tam giác ABC bằng 15 � 11 2t  1  15 � 2t  1  � � t 
hoặc t   .
12
11
11

13
�52 50 � � 8 5 �
, B � ; �
Với t  � A � ; �
11
�11 11 � � 11 11 �
Với t  

2
� 8 5 � �52 50 �
� A�
 ; �
, B� ; �
11
� 11 11 � �11 11 �

�52 50 � � 8 5 �
� 8 5 � �52 50 �
, B�
 ; �hoặc A �
 ; �
, B � ; �.
Vậy A � ; �
�11 11 � � 11 11 �
� 11 11 � �11 11 �
Câu 26: Cho đường thẳng d : x - 2y - 2 = 0 và 2 điểm A ( 0;1) và B ( 3;4) . Tìm tọa độ điểm M trên
uuur
uuur
MA
+

2
MB
d sao cho
là nhỏ nhất.
�

1�

A. M �1;  �
� 2�

B. M  0; 1

C. M  2;0

�
�
16 3�
; �
D. M �
�
�
�
�5 5 �

Lời giải
uuur
uuur
M �d � M ( 2t + 2;t ) , MA ( - 2t - 2;1 - t ) , MB ( 1- 2t;4 - t ) do đó
uuur

uuur
MA + 2MB = ( - 6t;- 3t + 9)
uuur
uuur
� 3�
2
2
314
314
t- �
+
�
Suy ra MA + 2MB = ( - 6t ) + ( - 3t + 9) = 45�
�
�
�
�
� 5� 5
5
uuur
uuur
�
�
16 3�
3
MA + 2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi t = do đó M �
; �
là điểm cần tìm.
�
�

�5 5�
�
5
Câu 27: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A ( - 1;4) , B ( 1;- 4) , đường thẳng BC đi qua điểm
�7 �
K�
;2�
�
�. Tìm toạ độ đỉnh C.
�
�3 �
A. C ( - 2;4)

31 | H H 1 0 - C 3

B. C ( 3;5)

C. C ( - 2;5)
Lời giải

D. C ( - 3;4)

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

uuur �4 �
r

�
BK
;6�
�suy ra đường thẳng BC nhận u ( 2;9) làm VTCP nên có phương trình là
Ta có
�
�
�
�3 �
�x = 1 + 2t
�
�
�
�y = - 4 + 9t
C �BC � C ( 1 + 2t;- 4 + 9t )
uuur
uuur
uuur uuur
Tam giác ABC vuông tại A nên AB .AC = 0, AB ( 2;- 8) , AC ( 2 + 2t;- 8 + 9t ) suy ra
2( 2 + 2t ) - 8( 9t - 8) = 0 � t = 1
Vậy C ( 3;5)
�x = - 1 - t
�
D
:
x
2
y
+
6

=
0
D
'
:
Câu 28: Cho hai đường thẳng
và
.
�
�
� y =t
a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A ( - 1;0) qua đường thẳng D
A. A '( - 2;4)

B. A '( - 3;5)

C. A '( - 2;5)

D. A '( - 3;4)

b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với D ' qua D
�x = - 1 + t
�x = - 3 + 2t
�x = - 3 + 5t
�x = - 3 + t
�
�
�
A. �
B. �

C. �
D. �
�
�y = 4 - 7t
�y = 4 - 7t
�
�
y
=
4
7
t
�
�y = 4 - 7t
�
�
Lời giải
a) Gọi H là hình chiếu của A lên D khi đó H ( 2t - 6;t )
r
uuur
Ta có u ( 2;1) là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với AH ( 2t - 5;t ) nên
uuur r
AH .u = 0 � 2( 2t - 5) + t = 0 � t = 2 � H ( - 2;2)
A ' là điểm đối xứng với A qua D suy ra H là trung điểm của AA ' do đó
�xA ' = 2xH - xA
�xA ' = - 3
�
��
�
�

�
�
�yA ' = 2yH - yA
�yA ' = 4
Vậy điểm cần tìm là A '( - 3;4)
�x = - 1 - t
5
b) Thay �
vào phương trình D ta được - 1 - t - 2t + 6 = 0 � t = suy ra giao điểm của
�
�
y
=
t
3
�
� 8 5�
- ; �
�
D và D ' là K �
�
�
�
� 3 3�
Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng D ' do đó đường thẳng đối xứng với D ' qua D đi qua điểm A ' và
uuuur �1 7 � 1
�x = - 3 + t
;- �
�= ( 1;- 7) nên có phương trình là �
điểm K do đó nhận A 'K = �

�
�
� 3
�
�
�3 3�
�y = 4 - 7t
Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H của A lên D ta có thể làm cách khác như sau: ta có đường thẳng
r
AH nhận u ( 2;1) làm VTPT nên có phương trình là 2x + y + 2 = 0 do đó tọa độ H là nghiệm của hệ

�x - 2y + 6 = 0
�
� H ( - 2;2)
�
�
�2x + y + 2 = 0
Câu 29: Cho hai điểm A(1;1), B(4;-3), tìm điểm C nằm trên đường thẳng x-2y-1=0 sao cho khoảng cách
từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

32 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

C (7;3)
�

�
A.
43 27 .
�
C ( ;  )
� 11 11

C (2;3)
�
�
B.
43 27 .
�
C ( ;  )
� 11 11

C (7; 3)
�
�
C.
43 27 .
�
C ( ;  )
� 11 11

C (7;3)
�
�
D.
43 27 .

�
C( ;  )
� 11 11

Hướng dẫn giải.
C nằm trên x  2 y  1  0 nên C  2c  1; c  .

AB : 4  x  1  3  y  1  0 � 4 x  3 y  7  0 .
Ta có d  C , AB   6 �

4  2c  1  3c  7
42  32

c3
�
�
 6 � 11c  3  30 �
27
�
c
�
11

Câu 30: Cho A  2; 2  , B  5;1 và đường thẳng  : x – 2 y  8  0. Điểm C � . C có hoành độ dương
sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17. Tọa độ của C là
A.  10;12  .
B.  12; 10  .
C.  8; 8  .
D.  10; 8  .
Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng AB : x  3 y  8  0
Điểm C � � C  2t  8; t 
t  10
�
5t  16
1
1
�
10.
 17 �
Diện tích tam giác ABC : AB.d  C ; AB   17 �
18 � C  12;10 
�
2
2
t
10
5
�

Chọn B.
VẬN DỤNG CAO
�7 5�
� 3�
�
; �
CD
,
D
3; �

�
�
Câu 31: Cho hình bình hành ABCD . Biết I �
là
trung
điểm
của
cạnh
và đường phân
�
�
�
�
�
�
�2 2�
� 2�
�
giác góc BAC
có phương trình là D : x - y + 1 = 0 . Xác định tọa độ đỉnh B.
A. B ( - 2;4)
B. B ( 3;5)
C. B ( - 2;5)
D. B ( 2;4)
Lời giải
�xC = 2xI - xD = 4
�
� 7�
�C�
4; �

�
Cách 1: Điểm I là trung điểm của CD nên �
�
�
7
�
�
�
2�
�
y
=
2
x
y
=
�
C
I
D
�
2
Vì A �D nên tọa độ điểm A có dạng A ( a;a + 1)
uuu
r uuur
Mặt khác ABCD là hình bình hành tương đương với DA, DC không cùng phương và
uuur
uuur
AB = DC

33 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

� xB - a = 4 - 3
uuur
uuur
�
AB = DC � �
�
7 3�
�
y
a
1
=
�B
�
2 2

�xB = a + 1
�
� B ( a + 1;a + 3)
�
�
y

=
a
+
3
B
�

3
uuu
r uuur
a + 111
DA, DC không cùng phương khi và chỉ khi a - 3
2
�۹
a
1
2
2
r
�
Đường thẳng D là phân giác góc BAC
nhận vectơ u = ( 1;1) làm vec tơ chỉ phương nên
uuur r
uuur r
uuur r
uuur r
AB .u
AC .u
cos AB ;u = cos AC ;u � uuur r = uuur r (*)
AB u

AC u

(

)

(

)

uuur
uuur �
�
5
4 - a; - a �
�
Có AB ( 1;2) , AC �
�
�nên
�
2
�
�

( *)

�

3
5

=

13
- 2a
2
� 2a2 - 13a + 11 = 0 �
2
�
�
2
5
- a�
�
( 4 - a) + �
�
�
�
2
�
�

�a = 1
�
� 11
�
a = (l )
�
� 2

Vậy tọa độ điểm B ( 2;4)
� 7�
4; �
�
Cách 2: Ta có C �
.
�
�
�
� 2�
r
Đường thẳng d đi qua C vuông góc với D nhận u ( 1;1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương
� 7�
�
y- �
= 0 hay 2x + 2y - 15 = 0
trình là 1.( x - 4) + 1.�
�
�
�
� 2�
Tọa độ giao điểm H của D và d là nghiệm của hệ:
x - y +1= 0
�
�
�
�
�
�2x + 2y - 15 = 0

�
13
�
x=
�
�
13 17 �
�
4 �H�
; �
�
�
�
�
�
�
17
4
4�
�
�
y=
�
�
4

Gọi C ' là điểm đối xứng với C qua D thì khi đó C ' thuộc đường thẳng chứa cạnh AB và H là
�
5
�xC ' = 2xH - xC

�
�
�
5 �
xC ' =
�
�
��
� C '�
;5�
trung điểm của CC ' do đó �
�
2
�
�
�
�
2 �
�
�yC ' = 2yH - yC
�yC ' = 5
�
uuur
Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C ' và nhận DC ( 1;2) làm vectơ chỉ phương nên có
�
5
�
x = +t
�
phương trình là �

2
�
�
y
=
5
+ 2t
�
34 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng D ta được
5
3
suy ra A ( 1;2)
+ t - 5 - 2t + 1 = 0 � t = 2
2
uuur
uuur
ABCD là hình bình hành nên AB = DC �

�xB - 1 = 1
�
�
�

�
�yB - 2 = 2

�xB = 2
�
�
�
�yB = 4

Suy ra B ( 2;4)
Chú ý: Bài toán có liên quan đến đường phân giác thì ta thường sử dụng nhận xét " D là đường
phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau D 1 và D 2 khi đó điểm đối xứng với điểm
M �D 1 qua D thuộc D 2 "
Câu 32: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của
11 1 �
�
cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN  2 ND . Giả sử M � ; �và đường thẳng
�2 2 �
2
x

y

3

0
AN có phương trình
. Tìm tọa độ điểm A .
A. A  1;1 hoặc A  4;5  .
B. A  1; 1 hoặc A  4; 5  .

C. A  1; 1 hoặc A  4; 5  .

D. A  1; 1 hoặc A  4;5  .
Hướng dẫn giải.

A

P

B

Q
H

D

C

N

Gọi H là giao điểm của AN và BD . Kẻ đường thẳng qua H và song song với AB , cắt AD
và BC lần lượt tại P và Q .
Đặt HP  x . Suy ra PD  x, AP  3x và HQ  3 x .
Ta có QC  x , nên MQ  x . Do đó AHP  HMQ , suy ra AH  HM .
Hơn nữa, ta cũng có AH  HM .
Do đó AM  2MH  2d  M , AN  

3 10
2

A �AN , suy ra  t ; 2t  3 .
2
2
t 1
�
3 10
� 11 � � 7 � 45
MA 
��
t  � �
2t  �
��
t4
2
� 2 � � 2� 2
�

Vậy A  1; 1 hoặc A  4;5  .
35 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

Câu 33: Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5). Tìm toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng () : 3 x  y  5  0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích

bằng nhau.

7
A. M (9; 32), M ( ; 2)
3
7
C. M (9; 32), M ( ; 2)
3

7
3

B. M (9; 32), M ( ; 2)

7
3

D. M (9;32), M ( ; 2)

Hướng dẫn giải
Viết phương trình đường AB: 4 x  3 y  4  0 và AB  5
Viết phương trình đường CD: x  4 y  17  0 và CD  17
Điểm M thuộc  có toạ độ dạng: M  (t ;3t  5) Ta tính được:

d ( M , AB ) 

13t  19
11t  37
; d ( M , CD ) 
5
17

Từ đó: S MAB  S MCD � d ( M , AB ). AB  d ( M , CD ).CD � t  9 �t 

7
3

� Có 2 điểm cần tìm

7
3

là: M (9; 32), M ( ; 2)

Câu 34: Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh
BC,phương trình đường thẳng DM: x  y  2  0 và C  3; 3 .Biết đỉnh A thuộc

đường thẳng d : 3x  y  2  0 ,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D.
A. A  1;5  , B  3; 1 , D  5;3 B. A  1;5  , B  3; 1 , D  5;3
C. A  1;5  , B  3;1 , D  5;3

D. A  1;5  , B  3; 1 , D  5;3

Hướng dẫn giải

Gọi

A  t; 3t  2  .Ta

d  A, DM   2d  C, DM  �

4t  4

2



có

khoảng

cách:

2.4
� t  3 �t  1
2

hay A  3; 7  �A  1;5  .Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM nên chỉ có A  1;5 
thoả mãn.

uuur

uuur

Gọi D  m; m  2  �DM thì AD   m  1;m  7  ,CD   m  3;m  1

uuur uuur
m  5 �m  1
�
�
DA.DC  0
�
��

Do ABCD là hình vuông � �
2
2
2
2
DA  DC
 m  1   m  7    m  3   m  1
�
�
� m5
uuur uuur
Hay D  5;3 AB  DC   2; 6  � B  3; 1 .
Kết luận A  1;5  , B  3; 1 , D  5;3

Câu 35: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D ; AB = AD
, AD < CD ; B(1;2) ; phương trình đường thẳng BD : y =2 . Biết rằng đường thẳng d : 7x-y-

36 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG
25 = 0 cắt các cạnh AD,CD lần lượt tại M,N sao cho BM vuông góc với BC và tia BN là tia
� . Tìm tọa độ đỉnh D có hoành độ dương.
phân giác của MBC
A. D(-3;2
B. D(3;2
C. D(3;-2

D. D(-3;-2

Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD

 ABM   HBC � BM  BC � BNC  BMN
� BH  d  B, d   2 2 � BD  4
D �BD � D  m; 2  :BD  4 �  d  1  4 � d  1(L) V d  3
2

Vậy : D(3;2)

Câu 36: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường cao AH, phân giác trong BD và trung
tuyến CM . Biết

17 �
�
H (4;1); M � ;12 �và phương trình đường thẳng BD: x + y – 5 = 0. Tìm tọa độ
�5
�

đỉnh A của tam giác ABC.

�4
�5

�
�

 ; 25 �

A. A �

�4
�5

�
�

B. A � ; 25 �

�4
�5

�
�

 ;25 �
C. A �

�4
�5

�
�

D. A � ;25 �

Hướng dẫn giải
Gọi H’ là đối xứng của H qua phân giác trong BD thì H ' �AB

HH '  BD � ptHH ' : x  y  c  0
H (4;1) �HH ' � c  5
Vậy pt HH’: x –y + 5 = 0
Gọi K là giao điểm của HH’ và BD , tọa độ K thỏa hệ:

�x  y  5
� K (0;5)
�
�x  y  5
K là trung điểm HH’ � H '(4;9)

uuuur �3
�3
MH '  � ; 3 �  1; 5 
�5
�5
�
quaH '  4;9 
�
AB : �
r
VTPT
n
  5;1
�
Pt AB: 5x + y – 29 = 0

5 x  y  29
�
� B(6; 1)

x

y

5
�

B là giao điểm của AB và BD � tọa độ B thỏa hệ �

�4
�5

�
�

M là trung điểm AB � A � ;25 �
37 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

Câu 37: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I. Trung điểm cạnh AB là
M (0;3) , trung điểm đoạn CI là J (1;0) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường
thẳng  : x  y  1  0 .
A. A(2;3), B(2;3), C (2; 1), D( 2;1).
B. A(2; 3), B (2;3), C (2; 1), D( 2; 1).
C. A(2;3), B(2;3), C (2; 1), D( 2; 1).

D. A(2;3), B(2;3), C (2;1), D( 2; 1).
Hướng dẫn giải.
Gọi N là trung điểm CD và H là tâm hình chữ nhật AMND. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ
nhật AMND. Từ giả thiết, suy ra NJ//DI, do đó NJ vuông góc với AC, hay J thuộc (C) (vì AN là đường
kính của (C)). Mà MD cũng là đường kính của (C) nên JM vuông góc với JD. (1)

uuu
r
uuur
 nên D(t ; t  1) � JD(t  1; t  1), JM ( 1;3). Theo (1)
uuu
r uuur
JD.JM  0 � t  1  3t  3  0 � t  2 � D(2; 1) .

D thuộc

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Dễ thấy

a2
DM  2 5  a 
� a  4.
4
2

�x  2; y  3
2
2
�AM  2 �x  ( y  3)  4
�
��

�� 6
Gọi A( x; y ). Vì �
7
x ;y 
( x  2) 2  ( y  1) 2  16
�
�AD  4
�
5
� 5
- Với A(2;3) � B(2;3) � I (0;1) � C (2; 1) � J (1;0) (thỏa mãn)
- Với

�6 7 �
� 6 23 � �8 9 �
�22 11 �
A � ; �� B �
 ; �� I � ; �� C � ; �� J  3; 2  (loại).
�5 5 �
� 5 5 � �5 5 �
�5 5 �
Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là A(2;3), B (2;3), C (2; 1), D ( 2; 1). .

Câu 38: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Đường thẳng d song song với
BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N sao cho AM  CN . Biết rằng M  –4; 0  ,

C  5; 2  và chân đường phân giác trong của góc A là D  0; –1 . Hãy tìm tọa độ của A và
B .

A. B(–5; 4).

B. B(–5; –4).

C. B(5; –4).
Hướng dẫn giải

D. B(5; 4).

Gọi D ' là điểm trên cạnh BC sao cho CD '  MN .
Ta có MNCD ' là hình bình hành

38 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

� MD '  CN  AM � AMD ' cân tại M .

  MD'A =  MAD' = D'AC
 AD' là phân giác của góc A  D' trùng D. CA qua C và song song MD
uuuu
r

 CA có vectơ chỉ phương là MD = (4; –1)
�x  5 4t
.
�y  2 t

 AC: �

uuuu
r

A  AC  A  5  4a; 2 – a   MA =  9  4a; 2 – a  .
Ta có MA = MD  (9 + 4a)2 + (2 – a)2 = 17  17a2 + 68a + 85 – 17 = 0  a = –2 .
Vậy A(–3; 4).
uuur
uuuu
r
x 4 y
  4 x – y  –16 ; DC = (5; 3) 
MA =(1;4)AB:
1
4

BC:

x y1

 3x – 5 y  5
5
3
�4x  y  16
�x  5
�
. Vậy B  –5; –4  .
3x  5y  5

�
�y  4

Do đó B: �

Câu 39: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh
11 1 �
�
BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN  2 ND . Giả sử M � ; �và đường thẳng AN
�2 2 �
có phương trình là 2 x – y – 3  0 . Tìm tọa độ điểm A .
A. A  1; –1 hoặc A  4; 5  .
B. A  1; –1 hoặc A  4; 5  .
C. A  1; –1 hoặc A  4; 5  .

D. A  1; –1 hoặc A  4; 5  .
Hướng dẫn giải

Gọi H là giao điểm của AN và BD . Kẻ đường thẳng qua H và song song với AB , cắt AD và BC
lần lượt tại P và Q . Đặt HP  x . Suy ra PD  x, AP  3x và HQ  3 x . Ta có QC  x , nên
MQ  x . Do đó AHP  HMQ , suy ra AH vuông góc với HM .
đồng thời ta cũng có AH  HM .

� AM  MH 2  d ( M , AN ). 2 

3 10
2

A thuộc AN : 2 x – y – 3  0 suy ra A  t ; 2t – 3
2

� AM ² 

2

45 �
11 � �7
�
 � – t � � – 2t �
2 �2
2
� �
�

� t ² – 5t  4  0 � t  1 hoặc t  4 .
Vậy A  1; –1 hoặc A  4; 5  .

39 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

Câu 40: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc
nhau và AD  3BC . Đường thẳng BD có phương trình x  2 y – 6  0 và tam giác ABD có
trực tâm là H  –3; 2  . Tìm tọa độ các điểm C và D .
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo AC , BD .
A. D  4;1 hoặc D  –8;7 

B. D  4;1 hoặc D  –8;7 
C. D  4;1 hoặc D  –8;7 

D. D  4;1 hoặc D  –8;7 
Hướng dẫn giải
r

Đường thẳng AC đi qua điểm H  –3; 2  và vuông góc với BD : x  2 y – 6  0 , nhận nAC  2; –1
làm vector pháp tuyến. Suy ra AC có phương trình 2  x  3 – y  2  0 hay 2 x – y  8  0 .
Tọa độ của I thỏa mãn: x  2 y – 6  0 và 2 x – y  8  0 .

� x  –2 và y  4 � I  –2; 4  .
Mặt khác IB  IC và IB vuông góc với IC � IBC vuông cân tại I .
mà BH vuông góc với AD nên BH vuông góc với BC .
Suy ra BCH vuông cân tại B . Khi đó IC  IH  IB .

I là trung điểm HC � C  –1; 6  .
IH  IB  IC  5 ; mà

IC IB BC 1


 � ID  3.IB  3 5 .
IA ID AD 3

vì D thuộc BD nên D  6 – 2t; t  .
Do đó ID ²  45 �  8 – 2t  ²   t – 4  ²  45 � t ² – 8t  7  0 � t  1 hoặc t  7 .

Vậy D  4;1 hoặc D  –8; 7  .

40 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP


Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG

41 | H H 1 0 - C 3

BÀI TẬP