Tìm số phức có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn điều kiện cho trước

wWw.kenhdaihoc.com - Đồng hành cùng bạn bước vào đại học!

Tìm số phức có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn điều kiện cho trước

Số phức là một nội dung mới trong các đề thi Đại học Cao đẳng gần đây. Đây
là một nội dung khá dễ chịu đối với thí sinh. Câu hỏi về số phức trong đề thi
thường rất cơ bản, thí sinh nắm vững khái niệm số phức, ý nghĩa hình học,
các phép toán cộng trừ, nhân chia, khai căn số phức và dạng lượng giác của
số phức là có thể làm được bài. Trong bài viết này, Mình xin giới thiệu một
dạng bài tập liên quan đến số phức là biểu diễn hình học của số phức và tìm
số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước.

Trước hết xét một số ví dụ về biểu diễn hình học của số phức.

Ví dụ 1.
Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa
mãn

a) ;
b) ;
c)

Lời giải.

Viết dưới dạng đại số

a)



Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm bán kính

b)



Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn tâm bán kính , không kể

những điểm thuộc đường tròn biên.

c)



Vậy tập hợp cần tìm là tất cả những điểm nằm ngoài hình tròn tâm

bán kính .

wWw.kenhdaihoc.com - Đồng hành cùng bạn bước vào đại học!

Ví dụ 2 (Khối B-2010)

Trong mặt phẳng , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa

mãn

Lời giải.

Viết

Khi đó

Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm bán kính .

Bây giờ ta xét thêm một số ví dụ kết hợp biểu diễn hình học và tìm số phức

có môđun nhỏ nhất.

Ví dụ 3.

Trong các số phức thỏa mãn , tìm số phức có môđun nhỏ
nhất.

Lời giải.

Viết

Khi

đó

Suy ra tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn cho các số

phức thỏa mãn là đường tròn có tâm bán

kính

Do môđun của một số phức được biểu diễn bởi điểm là khoảng cách

từ đến gốc tọa độ nên sô phức có môđun nhỏ nhất thỏa

mãn là số phức được biểu diễn bởi và cách gốc

khoảng ngắn nhất.

Suy ra là giao điểm gần gốc nhất của với đường thẳng đi qua
wWw.kenhdaihoc.com - Đồng hành cùng bạn bước vào đại học!


và .

có VTCP .

PTTS của



hoặc

Suy ra thuộc và gần nhất.

Vậy số phức cần tìm là

Ví dụ 4. Trong các số phức thỏa mãn , tìm số phức

wWw.kenhdaihoc.com - Đồng hành cùng bạn bước vào đại học!

có môđun nhỏ nhất.

Lời giải.

Viết .

Khi đó




Đến đây ta có thể giải theo hai cách:

Cách 1 (Đại số)

Ta có

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi .

Vậy khi hay

Cách 2 (Hình học)

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa

mãn là đường thẳng .

Số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn được biểu

diễn bởi điểm trên cách khoảng gần nhất. Do đó là hình chiếu
wWw.kenhdaihoc.com - Đồng hành cùng bạn bước vào đại học!

của trên .

Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với

VTPT của là



Do đó

Vậy

Nhận xét: Có thể nói đa số tập hợp số phức phải tìm được biểu diễn bởi
đường thẳng hoặc đường tròn. Nếu được biểu diễn bởi đường thẳng thì ta
nên giải theo phương pháp đại số cho ngắn gọn. Trường hợp không phải
đường thẳng thì dùng phương pháp hình học.

Bài tập đề nghị

Bài 1 (Khối D-2009). Trong mặt phẳng tìm tập hợp các điểm biểu diễn
cho các số phức thỏa mãn .
Bài 2. Trong các số phức thỏa mãn , tìm số phức có môđun
nhỏ nhất.
wWw.kenhdaihoc.com - Đồng hành cùng bạn bước vào đại học!

Bài 3. Trong mặt phẳng tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho các số
phức thỏa mãn:
a) ;
b) ;
c) .