Thầy sơn vấn đề 3 4 bài ELIP HH10

VẤN ĐỀ 3: TÌM ĐIỂM TRÊN ELIP THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Câu 1: Cho elip (E) cóphươngtrìnhchínhtắc:
A.

M 1 (5 3;3)

.

B.

M 2 (3;5 3)

x2 y 2
+
=1
100 36

.

C.

.Trongcácđiểmsauđâyđiểmnàonằmtrênelip (E)

M 3 (−3;5 3)

.

D.

M 4 (3 3;5)

.

Hướng dẫn giải
Lần lượt thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào, chỉ có đáp án A thỏa mãn. Chọn A

Câu 2: Cho elip
(E)

A.

(E )

M 1 (0;1)

cóphươngtrìnhchínhtắc:

M 2 (1;
.

B.

3
)
2

x2
+ y2 = 1
4

.

C.

. Trongcácđiểmsauđâyđiểmnàokhôngnằmtrênelip

M 3 (1;0)

3
)
2

M 4 (1; −
.

D.

.

Hướng dẫn giải
Lần lượt thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào, chỉ có đáp án C không thỏa mãn. Chọn C

Câu 3: Cho elip

(E )

cóphươngtrìnhchínhtắc:

x2 y 2
+

=1
25 9

. Trongcácđiểmsauđâyđiểmnàokhôngnằmtrênelip

(E)

A.

9
M 1 (4; )
5

.

B.

9
M 2 ( ; 4)
5

M 3 (3;

.

C.

12
)
5

M 4 (−3;

.

D.

12
)
5

.

Hướng dẫn giải
Lần lượt thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào, chỉ có đáp án B không thỏa mãn. Chọn B

Câu 4: Cho điểm

M (−2;3)

nằmtrênđườngelip

(E)

Trongcácđiểmsauđâyđiểmnàokhôngnằmtrênelip
A.

M 1 (2;3)

.

B.

M 2 (−2; −3)

.

cóphươngtrìnhchínhtắc:
(E )

C.

M 3 (2; −3)

.

x2 y 2
+
= 1 ( 0 < b < a)
a2 b2

D.

M 4 (3; 2)

.

.

Hướng dẫn giải

M
(2;3)
M 2 (−2; −3) M 3 (2; −3)
(E)
(E)
1
Do tính đối xứng của
nên các điểm
;
;
đều nằm trên
. Chọn D


(E )

9 x 2 + 25 y 2 = 225

Câu 5: Cho elip
cóphươngtrình:
. Tìmtọađộcácđiểm
F1 F2
F1 , F2
(E)
M
nhìn
dướimộtgócvuông, vớibiết
làhaitiêuđiểmcủa
.
M1 (

A.
M1 (
B.
M1 (
C.
M1 (
D.

5 7 9
5 7 9
5 7 9
5 7 9
; ); M 2 (
; − ); M 3 (−
; ); M 4 (−
;− )
4 4
4
4
4 4
4
4
5 7 3
5 7 3
7 9
7 9
; ); M 2 (
; − ); M 3 (−
; ); M 4 (−
;− )

4 4
4
4
4 4
4
4
7 9
5 7 3
5 7 3
7 9
; ); M 2 (
; − ); M 3 (−
; ); M 4 ( −
;− )
4 4
4
4
4 4
4
4

M

nằmtrênelip

(E)

saochođiểm

.

.

.

5 7 9
5 7 3
5 7 9
5 7 3
; ); M 2 (
; − ); M 3 (−
; ); M 4 (−
;− )
2 4
4
2
2 4
4
2

.

Hướng dẫn giải

Viết lại phương trình elip ta được

x2 y 2
+
=1
25 9

.

Ta có
a 2 = 25 a = 5
⇒
⇒ c = a2 − b2 = 4
 2
b = 3
b = 9
Gọi

M ( x; y ) ∈ ( E ) ⇔ 9 x 2 + 25 y 2 = 225 ( 1)

Theo giả thuyết,

∆F1MF2

vuông tại

M ⇔M

R=
thuộc dường tròn tâm O bán kính

⇔ x 2 + y 2 = 16 ( 2 )

Giải hệ gồm phương trình (1), (2) ta được
Vậy chọn A.


5 7
 x = ±
4

y = ± 9

4

.

F1F2
=c=4
2


Câu 6: Cho elip
hai tiêu điểm

( E ) : 9x 2 + 36 y 2 = 324

F1 , F2

A.
C.

(−

dưới một góc vuông. Tọa độ điểm

6; − 3

( −2

. Điểm M với hoành độ, tung độ âm thuộc

M

)

6; − 3

là
B.

)

D.

( −2

6; 3

(−

3; −2 6

(E)

sao cho M nhìn

)
)

Hướng dẫn giải

Viết lại phương trình elip ta được

x2 y2
+
=1
36 9

.

Ta có

a 2 = 36 a = 6
⇒
⇒ c = a2 − b 2 = 3 3
 2
b = 3
b = 9

Gọi

M ( x ; y ) ∈ ( E ) ⇔ 9x 2 + 36 y 2 = 324 ( 1)

Theo giả thuyết,

∆F1MF2

vuông tại

R=

M ⇔M

thuộc dường tròn tâm O bán kính

F1F2
=c = 3 3
2

⇔ x + y 2 = 27 ( 2 )
2

Giải hệ gồm phương trình (1), (2) ta được

x = ±2 6

 y = ± 3

(

.

M −2 6; − 3

M

Vì
có hoành độ và tung độ âm nên
Vậy chọn C.

(E)

x2 y 2
+
=1
36 16

)

.

Câu 7: Cho elip
có phương trình:
với hai tiêu điểm là
(E)
nằm trên
nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
M1 (
A.

F1 ; F2

. Tìm tọa độ các điểm

8 5 6 5

8 5 6 5
8 5 6 5
8 5 6 5
;
); M 2 (
;−
); M 3 (−
;
); M 4 (−
;−
)
5
5
5
5
5
5
5
5

.

M


M1 (
B.

8 5 4 5
8 5 4 5

8 5 4 5
8 5 4 5
;
); M 2 (
;−
); M 3 (−
;
); M 4 ( −
;−
)
5
5
5
5
5
5
5
5

M1 (
C.
M1 (
D.

.

.

.

.

6 3 8 5
6 3 8 5
6 3 8 5
6 3 8 5
;
); M 2 (
;−
); M 3 (−
;
); M 4 ( −
;−
)
5
5
5
5
5
5
5
5

6 5 8 5
6 5 8 5
6 5 8 5
6 5 8 5
;
); M 2 (−
;

); M 3 (
;−
); M 4 (−
;−
)
5
5
5
5
5
5
5
5

.

Hướng dẫn giải
Ta có
a 2 = 36 a = 6
⇒
⇒ c = a2 − b2 = 2 5
 2
b = 4
b = 16
Gọi

M ( x; y ) ∈ ( E ) ⇔ 16 x 2 + 36 y 2 = 576 ( 1)

Theo giả thuyết,

∆F1MF2

vuông tại

R=

M ⇔M

thuộc dường tròn tâm O bán kính

F1F2
=c=2 5
2

⇔ x + y 2 = 20 ( 2 )
2

Giải hệ gồm phương trình (1), (2) ta được
Vậy chọn D.


6 5
x = ±

5

y = ± 8 5

5

x2 y 2
+
=1
25 16

(E)
Câu 8: Cho elip
có phương trình:
AF1 + BF2 = 8
AF2 + BF1
. Giá trị của
bằng
A.

AF2 + BF1 = 8

B.

AF2 + BF1 = 12

.

với hai tiêu điểm là

C.

AF2 + BF1 = 10

Hướng dẫn giải
2

Từ phương trình

2

x
y
+
= 1 ⇒ a 2 = 25 ⇒ a = 5
25 16

F1 ; F2

D.

. Lấy

A, B ∈ ( E )

AF2 + BF1 = 20

sao cho


Ta có:

 AF + AF2 = 2a = 10
A, B ∈ ( E ) ⇒  1
 BF1 + BF2 = 2a = 10
⇒ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 20 ⇒ AF2 + AF1 = 20 − ( AF1 + BF2 ) = 12

x2 y 2
+
=1
36 16

(E)

Câu 9: Cho elip
có phương trình:
AF1 + BF2 = 10
AF2 + BF1
. Giá trị của
bằng
A.

AF2 + BF1 = 24

B.

AF2 + BF1 = 14

với hai tiêu điểm là

F1 ; F2

AF2 + BF1 = 10

C.

D.

. Lấy

. Chọn B.

A, B ∈ ( E )

sao cho

AF2 + BF1 = 12

Hướng dẫn giải
2

Từ phương trình

Ta có:

2

x
y
+
= 1 ⇒ a 2 = 36 ⇒ a = 6
36 16

 AF + AF2 = 2a = 12
A, B ∈ ( E ) ⇒  1
 BF1 + BF2 = 2a = 12
⇒ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 24 ⇒ AF2 + AF1 = 24 − ( AF1 + BF2 ) = 14

(E) :
Câu 10: Cho elip

x2
a2

+

y2
b2

=1

( 0 < b < a)

Giá trị nào sau đây bằng giá trị biểu thức
A.

c

2

.

B.

2a

. Gọi

là hai tiêu điểm và cho điểm

MF1.MF2 − OM 2

2

.

F1, F2

C.

2b

?

2

.

Hướng dẫn giải
Ta có

M ≡ B1

nên

M ∈( E )

. Khi đó,
 MF1 = a

2
2
 MF2 = a ⇒ MF1.MF2 − OM = c

2
2
OM = b

Vậy chọn A.

. Chọn B.

D.

a2 − b2

.

M ( 0; −b )

.


VẤN ĐỀ 4: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

Câu 1: Đường thẳng
MN

bằng

1
A. .

d : 3x + 4 y − 12 = 0

B.

5

cắt

x2 y 2
(E) : +
=1
16 9

.

C.

7

tại hai điểm phân biệt

.

5

D.

M,N

. Độ dài đoạn

.

Hướng dẫn giải
3x + 4 y − 12 = 0
x = 4 x = 0
 2
⇔
∨
x
y2
y
=
0
+
=
1

y = 3

M,N
16 9
Tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình:
.

Do đó:

M (0;3), N (4;0) ∨ N (0;3), M (4;0) ⇒ MN = 25 = 5

Chọn B.

d : 3x + 4 y − 12 = 0
Câu 2: Đường thẳng
cắt
G
OMN
tâm của tam giác
là

A.

3
G ( ;1)
4

.

B.

(E) :

3
G (1; )
4

x2 y 2
+
=1
16 9

tại hai điểm phân biệt

.

C.

4
G ( ;1)
3

M,N

.

. Tọa độ trọng

D.

4
G (1; )
3

.

Hướng dẫn giải

3x + 4 y − 12 = 0
x = 4 x = 0
 2
⇔
∨
x
y2
y
=
0
+
=
1

y = 3

M,N
16 9
Tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình:
.

Do đó:

4
M (0;3), N (4;0) ∨ N (0;3), M (4;0) ⇒ G ( ;1)
3

Chọn C.
Câu 3: Đường thẳng

MN
bằng

A.

3 2
5

.

d :x− y+2=0

B.

4 2
5

cắt

.

(E) : x2 + 4 y2 = 4

C.

tại hai điểm phân biệt

4 17
5

.

D.

2 5

M,N

.

. Độ dài đoạn


Hướng dẫn giải

M,N

Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ phương trình:

M (−2;0), N (
Do đó:

6

x=−

x
=

−
2
x − y + 2 = 0


5
⇔
∨
 2
2
y = 0 y = 4
x + 4 y = 4

5

.

−6 4
−6 4
; ) ∨ N (−2;0), M ( ; )
5 5
5 5

Chọn B.
Câu 4: Đường thẳng
MN
I
điểm của
là

A.

8 8
I (− ; )
5 5

d :x− y+2=0

.

B.

cắt

(E) : x2 + 4 y2 = 4

8 8
I( ;− )
5 5

.

C.

tại hai điểm phân biệt

8 8
I( ; )
5 5

.

D.

M,N

. Tọa độ trung

8 8
I (− ; − )
5 5

.

Hướng dẫn giải

Tọa độ điểm

M,N

là nghiệm của hệ phương trình:

M (−2;0), N (
Do đó:

6

x
=
−

x − y + 2 = 0
 x = −2 
5
⇔
∨
 2
2
y = 0 y = 4
x + 4 y = 4

5

.

−6 4
−6 4
−8 8
; ) ∨ N (−2;0), M ( ; ) ⇒ I( ; )
5 5
5 5
5 5

Chọn A.

Câu 5: Đường thẳng
OMN
giác
bằng
A.

6

.

d : 3x + 4 y − 12 = 0

B.

12

.

(E) :

cắt

x2 y 2
+
=1
16 9

C.

24

.

tại hai điểm phân biệt

D.

M,N

10

. Diện tích tam

.

Hướng dẫn giải
3x + 4 y − 12 = 0
x = 4 x = 0
 2
⇔
∨
x
y2
y = 0 y = 3
+
=1


M,N
16 9
Tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình:
.


Do đó:

1
1
M (0;3), N (4;0) ∨ N (0;3), M (4;0) ⇒ S∆OMN = OM .ON = 3.4 = 6
2
2

Chọn A.

d :x− y+2=0

Câu 6: Đường thẳng
OMN
giác
bằng

A.

5
4

.

B.

Tọa độ điểm

M,N

⇒ S ∆OMN =

.

C.

tại hai điểm phân biệt

4 2
5

là nghiệm của hệ phương trình:

M (−2;0), N (
Do đó:

8
5

cắt

(E) : x2 + 4 y 2 = 4

.

M,N

D.

4
5

. Diện tích tam

.

6

x=−

x − y + 2 = 0
 x = −2 
5
⇔
∨
 2
2
y
=
0
4

x + 4 y = 4
y =

5

.

−6 4
−6 4

4 2
; ) ∨ N (−2;0), M ( ; ) ⇒ MN =
5 5
5 5
5

1
1
4 2 4
d (O, d ).MN = . 2.
=
2
2
5
5

Chọn D.
2

Câu 7: Elip
A. 0

2

y
=1
( E ) : x25 + 16

và đường tròn

B. 1

( C ) : x 2 + y 2 = 25

có bao nhiêu điểm chung ?

C. 2

D. 4

Hướng dẫn giải

Xét elip

(E)

, ta có

Xét đường tròn

(C )

a = 5

b = 4

.

R =5

, ta có

. Vì

R =a

nên elip và đường tròn cắt nhau tại hai điểm

A1, A 2

.

Do đó, chọn C.

( E) :
Câu 8: Elip
A. 0.

x2 y 2
+
=1
64 36

và đường tròn

B. 1.

( C ) : ( x − 5)2 + ( y + 4)2 = 49
C. 2.
Hướng dẫn giải

có bao nhiêu điểm chung ?
D. 4


Xét elip

(E)

, ta có

Xét đường tròn

(C )

a = 8

b = 6

.

R=7

, ta có

. Vì

b< R
nên elip và đường tròn cắt nhau tại bốn điểm.

Do đó, chọn D.

( E) :
Câu 9: Elip
A. 0.

x2 y 2
+
=1
49 36

và đường tròn

( C ) : ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = 9

B. 1.

có bao nhiêu điểm chung ?

C. 2.

D. 4

Hướng dẫn giải

Xét elip

(E)

, ta có

Xét đường tròn

(C )

a = 7

b = 6

, ta có

.

R=3

. Vì

R
nên elip và đường tròn không có điểm chung.

Do đó, chọn A.

( E) :
Câu 10: Elip
A. 0.

x2 y 2
+

=1
8
2

và đường tròn

B. 1.

( C ) : ( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 9

có bao nhiêu điểm chung ?

C. 2.

D. 4

Hướng dẫn giải

Xét elip

(E)

, ta có

Xét đường tròn

(C )

 a = 2 2


b = 2

, ta có

.

R=3

. Vì

R>a

nên elip và đường tròn không có điểm chung.

Do đó, chọn A.

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
hai điểm phân biệt
A.

−4 < m < 4

B.

−4 ≤ m ≤ 4

C.

d : y = x+m

m < −4 ∨ m > 4

cắt

( E ) : x 2 + 4 y 2 = 16

D.

m ≤ −4 ∨ m ≥ 4

tại


Câu 12: Cho elip

điểm của

(E)

x2 y2
( E ) : 16 + 9 = 1

đến đường thẳng

A. 16.

∆

và đường thẳng

∆: y +3=0

. Tích các khoảng cách từ hai tiêu

bằng giá trị nào sau đây:

B. 9.

C. 81.

D. 7.

Hướng dẫn giải

(E)

∆
Vì hai tiêu điểm của
nằm trên trục hoành, đường thẳng song song và cách trục hoành 1 khoảng
bằng 3 nên khoảng cách từ mỗi tiêu điểm đến trục hoành bằng 3.
Vậy chọn B.