2 100 bài tập PHƯƠNG TRÌNH QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT PHƯƠNG TRÌNH bậc 2 file word có lời giải chi tiết

 BÀI02
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT,
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất
Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng
sau
ax + b = 0
( 1)
Hệ số

Kết luận
( 1) có nghiệm duy nhất

a¹ 0

a= 0

x =-

b¹ 0
b= 0

b
a

( 1) vô nghiệm
( 1) nghiệm đúng với mọi x

Khi a¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai
Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong
bảng sau
ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0)
( 2)
Kết luận

D = b2 - 4ac

D >0

( 2) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 = - b± D

D =0

( 2) có nghiệm kép x = -

D <0

( 2) vô nghiệm

2a

b
2a

3. Định lí Vi–ét
2
Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì

b
c
,
x1x2 = .
a
a
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các
nghiệm của phương trình
x1 + x2 = -

x2 - Sx + P = 0.
II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc
bậc hai.
Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định
nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt
đối.
Ví dụ 1. Giải phương trình x - 3 = 2x +1. ( 3)
Giải
Cách 1
a) Nếu x ³ 3 thì phương trình ( 3) trở thành x - 3 = 2x +1. Từ đó x = - 4.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại.
2

b) Nếu x < 3 thì phương trình ( 3) trở thành - x + 3 = 2x +1. Từ đó x = .
3
giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.
2
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = .
3
Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình ( 3) ta đưa tới phương trình hệ
quả
2
2
( 3) Þ ( x - 3) = ( 2x +1)
Þ x2 - 6x + 9 = 4x2 + 4x +1
Þ 3x2 +10x - 8 = 0.
2
Phương trình cuối có hai nghiệm là x = - 4 và x = .
3
2
Thử lại ta thấy phương trình ( 3) chỉ có nghiệm là x = .
3

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương
hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.
Ví dụ 2. Giải phương trình 2x - 3 = x - 2. ( 4)
3
.
2
Bình phương hai vế của phương trình ( 4) ta đưa tới phương trình hệ quả
Giải. Điều kiện của phương trình ( 4) là x ³

( 4) Þ 2x - 3 = x2 - 4x + 4
Þ x2 - 6x + 7 = 0.
Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3+ 2 và x = 3- 2. Cả hai giá trị này
đều thỏa mãn điều kiện của phương trình ( 4) , nhưng khi thay vào phương
trình ( 4) thì giá trị x = 3- 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị
x = 3+ 2 là nghiệm (hai vế cùng bằng 2 +1 ).
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình ( 4) là x = 3+ 2.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 4) x = 3m+ 6 vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2.
C. m= ±2.
D. m= - 2.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m= 0
vô nghiệm.
A. mÎ Æ.
B. m= { 0} .
C. mÎ ¡ +.
D. mÎ ¡ .
m
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số
để phương trình
2
2
m
5
m
+

6
x
=
m
2
m
vô nghiệm.
(
)
A. m= 1.

B. m= 2.

C. m= 3.

D. m= 6.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2

Câu 4. Cho phương trình ( m+1) x +1= ( 7m- 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m để phương trình đã cho vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2; m= 3.
C. m= 2.
D. m= 3.
2
2

y
=
m
+
1
x
+
3
m
x
+
m
y
=
m
(
)
( +1) x2 +12x + 2 . Tìm
Câu 5. Cho hai hàm số
và
tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau.
A. m= 2.
B. m= - 2.
C. m= ±2.
D. m= 1.
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( 2m- 4) x = m- 2 có nghiệm duy nhất.
A. m= - 1.
B. m= 2.
C. m¹ - 1.

D. m¹ 2.
Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để
2
phương trình ( m - 9) x = 3m( m- 3) có nghiệm duy nhất ?

A. 2.
B. 19.
C. 20.
D. 21.
Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[- 5;10] để phương trình ( m+1) x = ( 3m2 - 1) x + m- 1 có nghiệm duy nhất. Tổng
các phần tử trong S bằng:
A. 15.
B. 16.
C. 39.
D. 40.
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 + m) x = m+1 có nghiệm duy nhất x = 1.
A. m= - 1.

B. m¹ 0.

C. m¹ - 1.
D. m= 1.
Câu 10. Cho hai hàm số y = ( m+1) x - 2 và y = ( 3m+ 7) x + m . Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.
A. m¹ - 2.
B. m¹ - 3.
C. m¹ - 2; m¹ 3.
D. m= - 2; m= 3.

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 1) x = m- 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ .
2

A. m= 1.
B. m= ±1.
C. m= - 1.
D. m= 0.
2
Câu 12. Cho phương trình m x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 2.
B. m¹ - 2.
C. m¹ - 2 và m¹ 2.
D. mÎ ¡ .
2
2
Câu 13. Cho phương trình ( m – 3m+ 2) x + m + 4m+ 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc
¡.
A. m= - 2.
B. m= - 5.
C. m= 1.
D. Không tồn tại.
2
2
Câu 14. Cho phương trình ( m - 2m) x = m - 3m+ 2. Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 0.
B. m= 2.

C. m¹ 0; m¹ 2.
D. m¹ 0.
2
Câu 15. Cho hai hàm số y = ( m+1) x +1 và y = ( 3m - 1) x + m . Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau.
2
2
A. m= 1; m= - .
B. m¹ 1 và m¹ - .
3
3
2
C. m= 1.
D. m= - .
3

Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 16. Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
ìï a ¹ 0
ìï a = 0
.
A. a= 0.
B. ïí
hoặc ïí
ïïî D = 0
ïïî b ¹ 0

ìï a ¹ 0
.
C. a = b = c = 0.
D. ïí
ïïî D = 0

Câu 17. Số - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
A. x2 + 4x + 2 = 0.
B. 2x2 - 5x - 7 = 0.
C. - 3x2 + 5x - 2 = 0.
D. x3 - 1= 0.
2
Câu 18. Nghiệm của phương trình x - 7x +12 = 0 có thể xem là hoành độ giao
điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây?
A. y = x2 và y = - 7x +12.
B. y = x2 và y = - 7x - 12.
C. y = x2 và y = 7x +12.

D. y = x2 và y = 7x - 12.

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 10;10]
để phương trình x2 - x + m= 0 vô nghiệm?
A. 9.
B. 10.
C. 20.
D. 21.
2
Câu 20. Phương trình ( m+1) x - 2mx + m- 2 = 0 vô nghiệm khi:
A. m£ - 2.
B. m<- 2.

C. m> 2.
D. m³ 2.
2
2
Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình x( kx - 4) - x + 6 = 0
vô nghiệm là?
A. k = - 1.
B.
Câu 22. Phương trình
A. m= 1; m= 2. B.
Câu 23. Phương trình
A. mÎ Æ.
B.
Câu 24. Phương trình

k = 1.
C. k = 2.
D. k = 3.
2
( m– 2) x + 2x – 1= 0 có nghiệm kép khi:
m= 1.
C. m= 2.
D. m= - 1.
mx2 + 6 = 4x + 3m có nghiệm duy nhất khi:
m= 0.
C. mÎ ¡ .
D. m¹ 0.
mx2 – 2( m+1) x + m+1= 0 có nghiệm duy nhất khi:

B. m= - 1.

C. m= 0; m= - 1.
D. m= 1.
2
Câu 25. Phương trình ( m+1) x – 6( m+1) x + 2m+ 3 = 0 có nghiệm kép khi:
A. m= 0.

A. m= - 1.

B. m= - 1; m= -

6
6
C. m= - .
7
7

6
D. m= .
7

2
Câu 26. Phương trình 2( x - 1) = x( mx +1) có nghiệm duy nhất khi:

17
17
.
B. m= 2.
C. m= 2; m= .
D. m= - 1.
8

8
Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương
2
trình ( m- 2) x - 2x +1- 2m= 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử
trong S bằng:
5
7
9
A. .
B. 3.
C. .
D. .
2
2
2
2
Câu 28. Phương trình ( m- 1) x + 6x - 1= 0 có hai nghiệm phân biệt khi:
A. m=

5
5
C. m>- 8; m¹ 1.
D. m>- ; m¹ 1.
.
4
4
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 5;5]
A. m>- 8.

B. m>-

2
để phương trình mx - 2( m+ 2) x + m- 1= 0 có hai nghiệm phân biệt.
A. 5.
B. 6.
C. 9.
D. 10.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2
2
Câu 30. Phương trình ( m + 2) x +( m- 2) x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi:

A. 0 < m< 2.
B. m> 2.
C. mÎ ¡ .
D. m£ 2.
Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m tiếp xúc
2
với parabol ( P ) : y = ( m– 1) x + 2mx + 3m– 1.
A. m= 1.
B. m= - 1.
C. m= 0.
D. m= 2.
2
Câu 32. Phương trình x + m= 0 có nghiệm khi:
A. m> 0.
B. m< 0.

C. m£ 0.
D. m³ 0.
Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc
[- 20;20] để phương trình x2 - 2mx +144 = 0 có nghiệm. Tổng của các phần tử
trong S bằng:
A. 21.
B. 18.
C. 1.
D. 0.
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số
y = - x2 - 2x + 3 và y = x2 - m có điểm chung.

7
7
7
.
B. m<- .
C. m>- .
2
2
2
2
Câu 35. Phương trình ( m- 1) x + 3x - 1= 0 có nghiệm khi:
A. m= -

D. m³ -

7
.
2

5
5
5
5
.
B. m£ - .
C. m= - .
D. m= .
4
4
4
4
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để
A. m³ -

phương trình mx2 - mx +1= 0 có nghiệm.
A. 17.
B. 18.
C. 20.
D. 21.
2
Câu 37. Biết rằng phương trình x - 4x + m+1= 0 có một nghiệm bằng 3 .
Nghiệm còn lại của phương trình bằng:
A. - 1.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3x2 - ( m+ 2) x + m- 1= 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.

ì5 ü
ì
ì 2ü
ì 3 ü
1ü
A. mÎ ïí ;7ïý.
B. mÎ ïí - 2;- ïý.
C. mÎ ïí 0; ïý.
D. mÎ ïí - ;1ïý.
ïîï 2 ïþ
ïîï
ïîï 5ïþ
ïîï 4 ïþ
2ïþ
ï
ï
ï
ï
m
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
3x2 - 2( m+1) x + 3m- 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại.
A. m= 7.
B. m= 3.
C. m= 3; m= 7.
D. mÎ Æ.
Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( x - 1) ( x2 - 4mx - 4) = 0 ba nghiệm phân biệt.
A. mÎ ¡ .

B. m¹ 0.

C. m¹

3
.
4

D. m¹ -

3
.
4

Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Câu 41. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
khi và chỉ khi:
ìï D > 0
ìï D ³ 0
ìï D > 0
ìï D > 0
.
.
.
.
A. ïí
B. ïí
C. ïí
D. ïí

ïïî P > 0
ïïî P > 0
ïïî S > 0
ïïî S < 0
2
Câu 42. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm âm phân biệt khi và

chỉ khi:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïì D > 0
ïï
ï
.
B. í P > 0.
C. ïí P > 0.
D. ïí
ïï
ïï
ïïî S > 0
ïïî S > 0
ïïî S < 0
2
Câu 43. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm dương phân biệt khi
và chỉ khi:
ïìï D > 0

ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïì D > 0
ïï
ï
.
.
A. í
B. í P > 0.
C. ïí P > 0.
D. ïí
ïïî P > 0
ïï
ïï
ïïî S > 0
ïïî S > 0
ïïî S < 0
ïì D > 0
.
A. ïí
ïïî P > 0

2
Câu 44. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ
khi:
ìï D > 0
ïì D > 0
.
.
A. ïí

B. ïí
C. P < 0.
D. P > 0.
ïïî S < 0
ïïî S > 0
Câu 45. Phương trình x2 - mx +1= 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi:
A. m<- 2.
B. m> 2.
C. m³ - 2.
D. m¹ 0.
Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [- 5;5] để phương

trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt?
A. 5.
B. 6.
C. 10.
D. 11.
Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
mx2 + x + m= 0 có hai nghiệm âm phân biệt là:
æ1 ö
æ 1 1ö
æ 1ö
- ;0÷
. B. mÎ ç
- ; ÷
.
0; ÷
÷
÷
÷

A. mÎ ç
C. mÎ ( 0;2) .
D. mÎ ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷.
ç
ç
ç
è 2 ø
è 2 2ø
è 2ø
Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[- 2;6] để phương trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng
các phần tử trong S bằng:
A. - 3.
B. 2.
C. 18.
D. 21.
m
Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
x2 - 2( m+1) x + m2 - 1= 0 có hai nghiệm dương phân biệt là:
æ1
ö
- ;+¥ ÷
÷

A. mÎ ( - 1;1) . B. mÎ ( 1; +¥ ) .
C. mÎ ç
D. mÎ ( - ¥ ; - 1) .
ç
÷.
ç
è 2
ø
2
Câu 50. Phương trình ( m- 1) x + 3x - 1= 0 có hai nghiệm trái dấu khi:
A. m> 1.
B. m< 1.
C. m³ 1.
D. m£ 1.

Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
2
Câu 51. Giả sử phương trình x - ( 2m+1) x + m + 2 = 0 ( m là tham số) có hai

nghiệm là x1, x2 . Tính giá trị biểu thức P = 3x1x2 - 5( x1 + x2 ) theo m.
A. P = 3m2 - 10m+ 6.
B. P = 3m2 +10m- 5.
2
C. P = 3m - 10m+1.
D. P = 3m2 +10m+1.
Câu 52. Giả sử phương trình x2 - 3x - m= 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là
x1, x2 . Tính giá trị biểu thức P = x12 ( 1- x2 ) + x22 ( 1- x1 ) theo m.
A. P = - m+ 9. B. P = 5m+ 9.

C. P = m+ 9.
D. P = - 5m+ 9.
2
Câu 53. Giả sử phương trình 2x - 4ax - 1= 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị
của biểu thức T = x1 - x2 .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2
2
4a2 + 2
. B. T = 4a2 + 2.
C. T = a + 8 .
D. T = a + 8 .
3
2
4
2
Câu 54. Cho phương trình x + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các
nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó p bằng
A. 4q+1.
B. 4q- 1.
C. - 4q+1.
D. q+1.

A. T =

2
2

Câu 55. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - ( 2m+1) x + m +1= 0 ( m

là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P =

x1x2
có giá trị
x1 + x2

nguyên.
A. m= - 2.
B. m= - 1.
C. m= 1.
D. m= 2.
2
2
Câu 56. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2( m+1) x + m + 2 = 0 (
m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x1x2 - 2( x1 + x2 ) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất.
1
A. m= .
B. m= 1.
C. m= 2.
D. m= - 12.
2
Câu 57. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 ( m là
tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 .
1
25
9
A. Pmax = .
B. Pmax = 2.

C. Pmax = .
D. Pmax = .
2
4
4
x1, x2
Câu
58.
Gọi
là
hai
nghiệm
của
phương
trình
2
2
x - 2( m- 1) x + 2m - 3m+1= 0 ( m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của
biểu thức P = x1 + x2 + x1x2 .
9
9
1
A. Pmax = .
B. Pmax = 1.
C. Pmax = .
D. Pmax = .
8
16
4
Câu 59. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - mx + m- 1= 0 ( m là

2x1x2 + 3
tham số). Tìm m để biểu thức P = 2
đạt giá trị lớn nhất.
x1 + x22 + 2( x1x2 +1)
1
5
A. m= .
B. m= 1.
C. m= 2.
D. m= .
2
2
Câu 60. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - mx + m- 1= 0 ( m là
2x1x2 + 3
.
tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = 2
x1 + x22 + 2( x1x2 +1)
A. Pmin = - 2.

B. Pmin = -

1
.
2

C. Pmin = 0.

D. Pmin = 1.

Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 61. Nếu m¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0 thì
tổng m+ n bằng:
1
1
A. - .
B. - 1.
C. .
D. 1.
2
2
Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0 là lập phương các
nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3

A. p+ q = m3.

B. p = m3 + 3mn.

C. p = m3 - 3mn.

æ
mö
p
÷
D. ç
= .
÷
ç
÷
ç

èn ø q

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 63. Cho hai phương trình x2 - 2mx +1= 0 và x2 - 2x + m= 0. Có hai giá trị
của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của
phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó.
5
1
1
A. S = - .
B. S = 1.
C. S = - .
D. S = .
4
4
4
Câu 64. Cho hai phương trình x2 - mx + 2 = 0 và x2 + 2x - m= 0 . Có bao nhiêu
giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của
phương trình kia có tổng là 3 ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 65. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của
phương trình x2 + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình
x2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu thức S = a+ b+ c + d.
A. S = - 2.

B. S = 0.

C. S =

- 1+ 5
.
2

D. S = 2.

Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
3
3x
=
là:
x- 1 x- 1
ì 3ü
C. S = ïí ïý.
D. S = ¡ \ {1} .
ïîï 2ïþ
ï

Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình 2x +
ì 3ü
A. S = ïí 1; ïý.
ïîï 2ïþ
ï

B. S = {1} .

Câu 67. Tập nghiệm của phương trình
A. S = {1;4} .

B. S = {1} .

x2 - 5x

4

=-

x- 2
C. S = Æ.

x- 2

là:
D. S = { 4} .

2x2 - 10x
= x - 3 có bao nhiêu nghiệm?
x2 - 5x
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
10
50

=
Câu 69. Gọi x0 là nghiệm của phương trình 1.
x - 2 x + 3 ( 2- x) ( x + 3)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
]
A. x0 Î ( - 5;- 3) . B. x0 Î [- 3;- 1.
C. x0 Î ( - 1;4) .
D. x0 Î [ 4;+¥ ) .
Câu 68. Phương trình

Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình

( m2 +1) x x +1

1

= 1 trong trường hợp

m¹ 0 là:
ïì m+1ïü
.
A. S = í
2 ý
ïï
îïï m þ

B. S = Æ.

C. S = ¡ .

Câu 71. Tập nghiệm S của phương trình
A. S = Æ.

ì 3ü
B. S = ïí - ïý.
ïîï mïïþ

( 2m2 + 3) x + 6m

C. S = ¡ .

x

ïì 2 ïü
D. S = í 2 ý.
ïï
îïï m þ
= 3 khi m¹ 0 là:
D. S = ¡ \ { 0} .

x2 + mx + 2
Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình
=1
x2 - 1
vô nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 73. Phương trình
A. m¹

2mx - 1
= 3 có nghiệm duy nhất khi:
x +1

3
.
2

B. m¹ 0.

3
1
3
.
D. m¹ và m¹ .
2
2
2
Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 3;5]
C. m¹ 0 và m¹

x- m x- 2
=
có nghiệm. Tổng các phần tử trong tập S bằng:

x +1 x - 1
A. - 1.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
m
Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
thuộc đoạn [1;20] để
để phương trình

x +1
m
x+3
+
=
có nghiệm.
2
x - 2 4- x
x+2
A. 4.
B. 18.
C. 19.
D. 20.
Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình 3x - 2 = 3- 2x là:
phương trình

A. S = { - 1;1} .

B. S = { - 1} .

C. S = {1} .

D. S = { 0} .

Câu 77. Phương trình 2x - 4 - 2x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
2
x
1
=
x
3
Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình
là:
ìï 4ü
ì
ü
4
A. S = í ïý.
B. S = Æ.
C. S = ïí - 2; ïý.
D. S = { - 2} .
ïîï 3ïþ
ï
3ïþ
ï
ï

îï
2
Câu 79. Tổng các nghiệm của phương trình x + 5x + 4 = x + 4 bằng:

A. - 12.

B. - 6.
C. 6.
D. 12.
2
Câu 80. Gọi x1, x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình x - 4x - 5 = 4x - 17
. Tính giá trị biểu thức P = x12 + x2.
A. P = 16.
B. P = 58.
C. P = 28.
D. P = 22.
Câu 81. Tập nghiệm S của phương trình x - 2 = 3x - 5 là:
ïì 3 7ïü
ïì 3 7ïü
ïì 7 3ïü
ïì 7 3ïü
A. S = í ; ý.
B. S = í - ; ý.
C. S = í - ;- ý.
D. S = í - ; ý.
ïîï 2 4ïþ
ï
ï
ï
ï

ïîï 4 2ïþ
ï
ï
ï
ï
îï 2 4þ
îï 4 2þ
x
+
2
=
2
x
2
Câu 82. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
A.

1
.
2

B.

2
.
3

C. 6.

D.

20
.
3

2
Câu 83. Phương trình 2x +1 = x - 3x - 4 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
2
x
4
+
x
1
=
0
Câu 84. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
2
Câu 85. Tổng các nghiệm của phương trình 2x - 5 + 2x - 7x + 5 = 0 bằng:
7

3
D. .
.
2
2
2
Câu 86. Phương trình ( x +1) - 3 x +1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 6.

B.

5
.
2

C.

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình 4x( x - 1) = 2x - 1 +1 bằng:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. - 2.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Cõu 88. Vi giỏ tr no ca a thỡ phng trỡnh 3 x + 2ax = - 1 cú nghim duy
nht?
3
- 3
3
- 3
- 3
3
A. a> .
B. a <
C. a ạ a ạ
D. a <
.
.
a> .
2
2
2
2
2
2
2
Cõu 89. Tỡm giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh x +1= x + m cú
nghim duy nht.
A. m= 0.
B. m= 1.
C. m= - 1.
D. Khụng cú m.
m
Cõu 90. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s

thuc on [- 5;5]
phng trỡnh mx + 2x - 1 = x - 1 cú ỳng hai nghim phõn bit?
A. 8.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Cõu 91. Tp nghim S ca phng trỡnh 2x - 3 = x - 3 l:
A. S = { 6;2} .
B. S = { 2} .
C. S = { 6} .
D. S = ặ.
Cõu 92. Tp nghim S ca phng trỡnh
A. S = { 0;2} .

B. S = { 2} .

x2 - 4 = x - 2 l:
C. S = { 0} .
D. S = ặ.

Cõu 93. Tng cỏc nghim ca phng trỡnh ( x - 2) 2x + 7 = x2 - 4 bng:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
x2 - 4x - 2
= x - 2 cú tt c bao nhiờu nghim?
Cõu 94. Phng trỡnh
x- 2
A. 1.

B. 2.
C. 3.
D. 5.
4
= 2 cú tt c bao nhiờu nghim?
Cõu 95. Phng trỡnh 2- x +
2- x + 3
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Cõu 96. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s m phng trỡnh
2
ổx2 ử
2x2
ữ
ỗ
ữ+
+ m= 0 cú ỳng bn nghim?
ỗ
ữ
ỗ
ữ x- 1
ốx - 1ứ
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vụ s.
Cõu 97. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh
ổ2 1 ử

ổ 1ử
ỗ
x + 2ữ
- 2mỗ
x+ ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ+1= 0 cú nghim.
ỗ
ỗ
ố
ố
x ứ
xứ
ổ 3 3ử
ộ3
ử
.
.
ữ
ữ
A. mẻ ỗ
B. mẻ ờ ;+Ơ ữ
ỗ- ; ữ
ữ
ữ
ỗ

ờ
ố 4 4ứ
ứ
ở4
ổ
ổ
ử
3ự
3ự ộ3
ữ.
- Ơ ;- ỳ.
mẻ ỗ
- Ơ ;- ỳẩ ờ ;+Ơ ữ
C. mẻ ỗ
D.
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ố
ứ
4ỳ
4ỳ
ỷ
ỷ ờ
ở4
Cõu 98. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh
ổ 2ử

4
x2 + 2 - 4ỗ
x- ữ
ữ
ỗ
ữ+ m- 1= 0 cú ỳng hai nghim ln hn 1.
ỗ
ố xứ
x
A. m<- 8.
B. - 8 < m< 1.
C. 0 < m< 1.
D. mÊ - 8.
Cõu 99. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh

( x2 + 2x + 4)

2

2m( x2 + 2x + 4) + 4m 1= 0 cú ỳng hai nghim.

(

A. mẻ ( 3;4) .

B. mẻ - Ơ ;2-

{

}

C. mẻ ( 4;+Ơ ) ẩ 2+ 3 .

) (

)

3 ẩ 2+ 3;+Ơ .

D. mẻ Ă .

Cõu 100. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh
x2 + 2mx + 2m x + m + m2 + 3- 2m= 0 cú nghim.

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


é3
B. mÎ ( ¥ ;- 3] È ê ;+¥
ê
ë2
é3
ö
.
÷
D. mÎ ê ;+¥ ÷
÷
ê2
ø
ë

A. mÎ ( ¥ ;- 3] È [1;+¥ ) .
C. mÎ [1;+¥ ) .

ö
÷
.
÷
÷
ø

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 4) x = 3m+ 6 vô nghiệm.
A. m= 1.

B. m= 2.

C. m= ±2.
ìï m2 - 4 = 0
Û
Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi ïí
ïïî 3m+ 6 ¹ 0

D. m= - 2.
ïíïì m= ±2 Û m= 2 .
ïîï m¹ - 2

Chọn B.

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m= 0
vô nghiệm.
A. mÎ Æ.
B. m= { 0} .
C. mÎ ¡ +.
D. mÎ ¡ .
m
x
=
m
Lời giải. Phương trình viết lại
.
ïìï m= 0
Û mÎ Æ. Chọn A.
Phương trình đã cho vô nghiệm khi í
ïïî m¹ 0
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 5m+ 6) x = m2 - 2m vô nghiệm.
A. m= 1.

B. m= 2.

C. m= 3.

D. m= 6.
ïìï ém= 2
ê
ìï m2 - 5m+ 6 = 0 ïïï êm= 3
Û íë
Û m= 3 .

Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi ïí 2
ïï m - 2m¹ 0
ïï m¹ 0
î
ïï
ïïî m¹ 2
Chọn C.
2

Câu 4. Cho phương trình ( m+1) x +1= ( 7m- 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m để phương trình đã cho vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2; m= 3.
C. m= 2.
D. m= 3.
2
Lời giải. Phương trình viết lại ( m - 5m+ 6) x = m- 1 .

ìï ém= 2
ïê
m= 2
ïíï êm= 3 Û é
ê
.
êm= 3 Chọn B.
ïï ë
ë
ïïî m¹ 1
2
2

2
Câu 5. Cho hai hàm số y = ( m+1) x + 3m x + m và y = ( m+1) x +12x + 2 . Tìm
tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau.
A. m= 2.
B. m= - 2.
C. m= ±2.
D. m= 1.
Lời giải. Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình
( m+1) x2 + 3m2 x + m= ( m+1) x2 +12x + 2 vô nghiệm
ìï m2 - 5m+ 6 = 0
Û
Phương trình vô nghiệm khi ïí
ïîï m- 1¹ 0

Û 3( m2 - 4) x = 2- m vô nghiệm

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ïì m2 - 4 = 0 ïìï m= ±2
Û ïí
Ûí
Û m= - 2. Chọn A.
ïîï 2- m¹ 0 ïîï m¹ 2
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( 2m- 4) x = m- 2 có nghiệm duy nhất.
A. m= - 1.
B. m= 2.
C. m¹ - 1.
D. m¹ 2.

Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m- 4 ¹ 0 Û m¹ 2 .
Chọn D.
Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để
2
phương trình ( m - 9) x = 3m( m- 3) có nghiệm duy nhất ?

A. 2.
B. 19.
C. 20.
D. 21.
Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2 - 9 ¹ 0 Û m¹ ±3
mÎ - 10;10]
¾¾[m¾
¾® có 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
΢
Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

[- 5;10] để phương trình ( m+1) x = ( 3m2 - 1) x + m- 1 có nghiệm duy nhất. Tổng

các phần tử trong S bằng:
A. 15.
B. 16.

C. 39.
Lời giải. Phương trình viết lại ( 3m - m- 2) x = 1- m .

D. 40.

2

ïìï m¹ 1
2
ï
3
m
m
2
¹
0
Û
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi
í
ïï m¹ - 2
ïî
3
]
¾¾m[ ξ
¾
® mÎ { - 5;- 4;- 3;- 2;- 1;0;2;3;4;5;6;7;8;9;10} .
¢
Do đó, tổng các phần tử trong S bằng 39. Chọn C.
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 + m) x = m+1 có nghiệm duy nhất x = 1.
mÎ - 5;10

A. m= - 1.

B. m¹ 0.

D. m= 1.

ìï m¹ 0
2
Lời giải. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m + m¹ 0 Û ïí
.
ïïî m¹ - 1
Khi đó, nghiệm của phương trình là x =
Yêu cầu bài toán Û

C. m¹ - 1.

( *)

1
.
m

1
= 1 Û m= 1 (thỏa mãn ( *) ). Chọn D.
m

2
Câu 10. Cho hai hàm số y = ( m+1) x - 2 và y = ( 3m+ 7) x + m . Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.
A. m¹ - 2.
B. m¹ - 3.
C. m¹ - 2; m¹ 3.
D. m= - 2; m= 3.
Lời giải. Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình
2

( m+1) x - 2 = ( 3m+ 7) x + m có nghiệm duy nhất
Û ( m2 - m- 6) x = 2+ m có nghiệm duy nhất
ïì m¹ 3
Û m2 - m- 6 ¹ 0 Û ïí
. Chọn C.
ïïî m¹ - 2
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 1) x = m- 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ .
A. m= 1.

B. m= ±1.

C. m= - 1.

D. m= 0.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải. Phương trình đã cho nghiệm đúng với " x Î ¡ hay phương trình có vô
ìï m2 - 1= 0
Û m= 1. Chọn A.
số nghiệm khi ïí
ïïî m- 1= 0
Câu 12. Cho phương trình m2 x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 2.
B. m¹ - 2.
C. m¹ - 2 và m¹ 2.
D. mÎ ¡ .

2
Lời giải. Phương trình viết lại ( m - 4) x = 3m- 6 .
ïì m2 - 4 = 0 ïìï m= ±2
Û í
Û m= - 2 .
Phương trình đã cho vô nghiệm khi ïí
ïîï 3m- 6 ¹ 0 ïîï m¹ 2
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m¹ - 2 . Chọn B.
2
2
Câu 13. Cho phương trình ( m – 3m+ 2) x + m + 4m+ 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc
¡.
A. m= - 2.
B. m= - 5.
C. m= 1.
D. Không tồn tại.
Lời giải. Phương trình đã cho nghiệm đúng với " x Î ¡ hay phương trình có vô
ïìï ém= 1
ìï m2 - 3m+ 2 = 0
ïê
ï
ï
Û í êm= 2 Û mÎ Æ. Chọn D.
số nghiệm khi í
ïï - ( m2 + 4m+ 5) = 0 ïï ë
ïî
ïïî mÎ Æ
2
2

Câu 14. Cho phương trình ( m - 2m) x = m - 3m+ 2. Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 0.
B. m= 2.
C. m¹ 0; m¹ 2.
D. m¹ 0.
ïìï ém= 0
ïï ê
2
êm= 2
ïìï m - 2m= 0
ï
Û íë
Û m= 0 .
Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi í 2
ïï m - 3m+ 2 ¹ 0 ïï m¹ 2
î
ïï
ïïî m¹ 1
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m¹ 0 . Chọn D.
2
Câu 15. Cho hai hàm số y = ( m+1) x +1 và y = ( 3m - 1) x + m . Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau.
2
2
A. m= 1; m= - .
B. m¹ 1 và m¹ - .
3
3
2

C. m= 1.
D. m= - .
3
Lời giải. Đồ thị hai hàm số trùng nhau khi và chỉ khi phương trình
( m+1) x +1= ( 3m2 - 1) x + m có vô số nghiệm

Û ( 3m2 - m- 2) x = 1- m có vô số nghiệm
ìï 3m2 - m- 2 = 0
Û ïí
Û m= 1. Chọn C.
ïïî 1- m= 0
Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 16. Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ïì a ¹ 0
ïì a = 0
.
B. ïí
hoặc ïí
ïïî D = 0
ïïî b ¹ 0
ïì a ¹ 0
.
C. a = b = c = 0.
D. ïí
ïïî D = 0
Lời giải.  Với a= 0 . Phương trình trở thành bx = - c . Khi đó, phương trình có

nghiệm duy nhất khi b¹ 0 .
 Với a¹ 0 . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi D = 0 .
Chọn B.
Câu 17. Số - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
A. x2 + 4x + 2 = 0.
B. 2x2 - 5x - 7 = 0.
C. - 3x2 + 5x - 2 = 0.
D. x3 - 1= 0.
Lời giải. Xét các đáp án:
2
 Đáp án A. Ta có ( - 1) + 4.( - 1) + 2 = - 1¹ 0 .
A. a= 0.

2

 Đáp án B. Ta có 2.( - 1) - 5.( - 1) - 7 = 0 .
2

 Đáp án C. Ta có - 3.( - 1) + 5.( - 1) - 2 = - 10 ¹ 0 .
3

 Đáp án D. Ta có ( - 1) - 1= - 2 ¹ 0 .
Chọn B.
Câu 18. Nghiệm của phương trình x2 - 7x +12 = 0 có thể xem là hoành độ giao
điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây?
A. y = x2 và y = - 7x +12.
B. y = x2 và y = - 7x - 12.
C. y = x2 và y = 7x +12.
D. y = x2 và y = 7x - 12.
Lời giải. Ta có x2 - 7x +12 = 0 Û x2 = 7x - 12 . Do đó, nghiệm của phương trình

đã cho có thể xem là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = x2 và
y = 7x - 12 . Chọn D.
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 10;10]
để phương trình x2 - x + m= 0 vô nghiệm?
A. 9.
B. 10.
C. 20.
Lời giải. Ta có D = 1- 4m .
Phương trình vô nghiệm khi D < 0 Û 1- 4m< 0 Û m>

D. 21.
1
4

ïì mÎ ¢
¾¾
® mÎ {1;2;3;...;10} ¾¾
® Có 10 giá trị thỏa mãn. Chọn B.
Do ïí
ïï mÎ [- 10;10]
î
2
Câu 20. Phương trình ( m+1) x - 2mx + m- 2 = 0 vô nghiệm khi:
A. m£ - 2.
B. m<- 2.
C. m> 2.
D. m³ 2.
Lời giải.  Với m+1= 0 Û m= - 1.
3
Khi đó phương trình trở thành 2x - 3 = 0 Û x = .

2
2
 Với m+1¹ 0 Û m¹ - 1. Ta có D ¢= m - ( m- 2) ( m+1) = m+ 2 .
Phương trình vô nghiệm khi D ¢< 0 Û m+ 2 < 0 Û m<- 2. Chọn B.
2
Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình 2x( kx - 4) - x + 6 = 0
vô nghiệm là?
A. k = - 1.
B. k = 1.
C. k = 2.
D. k = 3.
2
Lời giải. Phương trình viết lại ( 2k - 1) x - 8x + 6 = 0 .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vi 2k - 1= 0 k =

1
.
2

Khi ú, phng trỡnh tr thnh - 8x + 6 = 0 x =
Vi 2k - 1ạ 0 k ạ

3
.
4

1
2
. Ta cú D Â= ( - 4) - ( 2k - 1) .6 = - 12k + 22 .
2

11
.
6
Do ú, s nguyờn k nh nht tha món yờu cu bi toỏn l k = 2 . Chn C.
2
Cõu 22. Phng trỡnh ( m 2) x + 2x 1= 0 cú nghim kộp khi:
A. m= 1; m= 2. B. m= 1.
C. m= 2.
D. m= - 1.
Li
gii.
Phng
trỡnh
ó
cho
cú
nghim
kộp
khi
ỡùù m- 2 ạ 0
ỡùù mạ 2
ớ
m= 1 .
ớ
ùợù D Â= m- 1= 0 ùợù m= 1

Khi ú, phng trỡnh ó cho vụ nghim khi D Â< 0 - 12k + 22 < 0 k >

Chn B.
Cõu 23. Phng trỡnh mx2 + 6 = 4x + 3m cú nghim duy nht khi:
A. mẻ ặ.
B. m= 0.
C. mẻ Ă .
D. mạ 0.
2
m
x
4
x
+
6
3
m
=
0
(
)
Li gii. Phng trỡnh vit li
.
Vi m= 0 . Khi ú, phng trỡnh tr thnh 4x - 6 = 0 x =

3
. Do ú, m= 0 l
2

mt giỏ tr cn tỡm.

2
2
Vi mạ 0 . Ta cú D Â= ( - 2) - m( 6- 3m) = 3m2 - 6m+ 4 = 3( m- 1) +1> 0

Khi ú, phng trỡnh ó cho luụn cú hai nghim phõn bit nờn mạ 0 khụng
tha.
Chn B.
2
Cõu 24. Phng trỡnh mx 2( m+1) x + m+1= 0 cú nghim duy nht khi:
A. m= 0.
B. m= - 1.
C. m= 0; m= - 1.
D. m= 1.
1
Li gii. Vi m= 0 . Khi ú, phng trỡnh tr thnh - 2x +1= 0 x = . Do ú,
2
m= 0 l mt giỏ tr cn tỡm.
2

ự
Vi mạ 0 . Ta cú D Â= ộ
ở- ( m+1) ỷ - m( m+1) = m+1.
Khi ú, phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht khi D Â= 0 m+1= 0 m= - 1
.
Chn C.
2
Cõu 25. Phng trỡnh ( m+1) x 6( m+1) x + 2m+ 3 = 0 cú nghim kộp khi:
6
6
6

C. m= - .
D. m= .
7
7
7
ỡù m+1ạ 0
Li gii. Phng trỡnh ó cho cú nghim kộp khi ùớ
ùùợ D Â= 0
A. m= - 1.

B. m= - 1; m= -

ỡù m+1ạ 0
ùớ

ùợù 7m2 +13m+ 6 = 0

ùỡù mạ - 1
ùù
ù ộm= - 1 m= - 6
. Chn C.
ớờ
ùù ờ
7
6
ùù ờm= ờ
ùợ ở
7

2

Cõu 26. Phng trỡnh 2( x - 1) = x( mx +1) cú nghim duy nht khi:

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


A. m=

17
.
8

C. m= 2; m=

B. m= 2.

17
.
8

D. m= - 1.

2
Li gii. Phng trỡnh vit li ( 2- m) x - x - 2 = 0 .
Vi 2- m= 0 m= 2 . Khi ú, phng trỡnh tr thnh - x - 2 = 0 x = - 2 . Do
ú, m= 2 l mt giỏ tr cn tỡm.
2

Vi 2- mạ 0 mạ 2 . Ta cú D = ( - 1) - 4( 2- m) .( - 2) = - 8m+17 .
Khi

ú,

phng

trỡnh
ó
cho
17
D = 0 - 8m+17 = 0 m=
.
8
Chn C.
Cõu 27. Gi S l tp hp tt c cỏc giỏ
2
trỡnh ( m- 2) x - 2x +1- 2m= 0 cú nghim
trong S bng:
5
A. .
B. 3.
C.
2

cú

nghim

duy

nht

khi

tr thc ca tham s m phng
duy nht. Tng ca cỏc phn t

9
.
2
3
Li gii. Vi m= 2 , phng trỡnh tr thnh - 2x - 3 = 0 x = - . Do ú m= 2
2
l mt giỏ tr cn tỡm.
Vi mạ 2 , phng trỡnh ó cho l phng trỡnh bc hai cú D Â= 2m2 - 5m+ 3 .
3
phng trỡnh cú nghim duy nht D Â= 0 m= hoc m= 1.
2
ỡ 3 ỹ
3
9
đ tng cỏc phn t trong S bng 1+ + 2 = . Chn D.
Vy S = ùớ 1; ; 2ùý ắắ
2
2
ùù
ợùù 2 ỵ
2
Cõu 28. Phng trỡnh ( m- 1) x + 6x - 1= 0 cú hai nghim phõn bit khi:
A. m>- 8.
Li gii.
ùỡù m- 1ạ 0

ớ
ùợù D Â> 0

5
.
4
trỡnh ó

D.

C. m>- 8; mạ 1.

B. m>-

Phng
ùớùỡ mạ 1
ùợù m+ 8 > 0

7
.
2

cho

cú

hai

5

; mạ 1.
4
phõn bit khi

D. m>-

nghim

ùỡ mạ 1
ùớ
. Chn C.
ùùợ m>- 8
Cõu 29. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s thc m thuc on [- 5;5]
2
phng trỡnh mx - 2( m+ 2) x + m- 1= 0 cú hai nghim phõn bit.
A. 5.
B. 6.
C. 9.
D. 10.
ỡùù mạ 0

Li gii. Phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit khi ớ
ùợù D Â> 0

ùớỡù mạ 0
ùợù 5m+ 4 > 0

ỡù mạ 0
ù
ùỡ mẻ Â

ùớ
ắắ
đ mẻ {1;2;3;4;5} ắắ
đ Cú 5 giỏ tr nguyờn ca m
. Do ùớ
4
ùù m>ùù mẻ [- 5;5]
ợ
ùợ
5
tha món yờu cu bi toỏn. Chn A.
2
2
Cõu 30. Phng trỡnh ( m + 2) x +( m- 2) x - 3 = 0 cú hai nghim phõn bit khi:
D. mÊ 2.
ỡù m2 + 2 ạ 0
Li gii. Phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit khi ùớ
ùùợ D > 0
A. 0 < m< 2.

B. m> 2.

C. mẻ Ă .

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


13m2 - 4m+ 28 > 0 mẻ Ă . Chn C.
Cõu 31. Tỡm giỏ tr thc ca tham s m ng thng d : y = 2x + m tip xỳc
2

vi parabol ( P ) : y = ( m 1) x + 2mx + 3m 1.
A. m= 1.
B. m= - 1.
C. m= 0.
D. m= 2.
2
Li gii. Phng trỡnh honh giao im ( m- 1) x + 2mx + 3m- 1= 2x + m

( m- 1) x2 + 2( m- 1) x + 2m- 1= 0.

( *)

d tip xỳc vi ( P ) khi v ch khi phng trỡnh ( *) cú nghim kộp
ùỡù mạ 1
ù
m= 0 m= 0. Chn C.
ớù ộ
ùù ờ
ờ
ùùợ ởm= 1
2
Cõu 32. Phng trỡnh x + m= 0 cú nghim khi:
A. m> 0.
B. m< 0.
C. mÊ 0.
D. m 0.
2
Li gii. Phng trỡnh tng ng vi x = - m .
Do v trỏi ca phng trỡnh khụng õm nờn phng trỡnh cú nghim khi v
ch khi - m 0 mÊ 0. Chn C.

Cõu 33. Gi S l tp hp tt c cỏc giỏ tr nguyờn ca tham s m thuc
[- 20;20] phng trỡnh x2 - 2mx +144 = 0 cú nghim. Tng ca cỏc phn t
trong S bng:
A. 21.
B. 18.
C. 1.
D. 0.
ộm 12
/
2
2
2
Li gii. Phng trỡnh cú nghim khi D = m - 144 0 m 12 ờ
ờmÊ - 12
ở
ỡù m- 1ạ 0
ùớ

ùù D ' = ( m 1) 2 ( m 1) ( 2m 1) = m( m 1) = 0
ợ

ắắ[mắ
ắ]đ S = { - 20;- 19;- 18;...;- 12;12;13;14;...;20} .
ẻÂ
Do ú tng cỏc phn t trong tp S bng 0. Chn D.
Cõu 34. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m hai th hm s
y = - x2 - 2x + 3 v y = x2 - m cú im chung.
mẻ - 20;20

7

7
7
7
B. m<- .
C. m>- .
D. m - .
.
2
2
2
2
Li gii. Phng trỡnh honh giao im - x2 - 2x + 3 = x2 - m
2x2 + 2x - m- 3 = 0 . ( *)
A. m= -

hai th hm s cú im chung khi v ch khi phng trỡnh ( *) cú nghim
7
. Chn D.
2
2
Cõu 35. Phng trỡnh ( m- 1) x + 3x - 1= 0 cú nghim khi:
D / = 1- 2( - m- 3) 0 m -

5
D. m= .
4
1
Li gii. ã Vi m= 1, phng trỡnh tr thnh 3x - 1= 0 x = .
3
Do ú m= 1 tha món.

ã Vi mạ 1, ta cú D = 9+ 4( m- 1) = 4m+ 5 .
A. m -

5
.
4

B. mÊ -

5
.
4

C. m= -

5
.
4

Phng trỡnh cú nghim khi D 0 4m+ 5 0 m Hp hai trng hp ta c m -

5 mạ - 1
5
ắắ ắ
đ- Ê mạ - 1.
4
4

5
l giỏ tr cn tỡm. Chn A.

4

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


Cõu 36. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s m thuc on [- 10;10]
phng trỡnh mx2 - mx +1= 0 cú nghim.
A. 17.
B. 18.
C. 20.
D. 21.
Li gii. Nu m= 0 thỡ phng trỡnh tr thnh 1= 0 : vụ nghim.
m=
/ 0,
Khi
phng trỡnh ó cho cú nghim khi v ch khi
ộmÊ 0
D = m2 - 4m 0 ờ
ờm 4
ở
ộm< 0
/ 0, ta c ờ
Kt hp iu kin m=
ờm 4
ở
mẻ Â , mẻ [- 10;10]
ắắ ắ ắ ắắ
đ mẻ { - 10;- 9;- 8;...;- 1} ẩ { 4;5;6;...;10} .
Vy cú tt c 17 giỏ tr nguyờn m tha món bi toỏn. Chn A.
Cõu 37. Bit rng phng trỡnh x2 - 4x + m+1= 0 cú mt nghim bng 3 .

Nghim cũn li ca phng trỡnh bng:
A. - 1.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Li gii. Vỡ phng trỡnh ó cho cú nghim bng 3 nờn thay x = 3 vo
phng trỡnh, ta c 9- 12+ m+1= 0 m= 2.
ộx = 3
2
.
Vi m= 2 phng trỡnh tr thnh x - 4x + 3 = 0 ờ
ờx = 1 Chn B.
ở
Cõu 38. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh
3x2 - ( m+ 2) x + m- 1= 0 cú mt nghim gp ụi nghim cũn li.
ỡ5 ỹ
ỡ
ỡ 2ỹ
ỡ 3 ỹ
1ỹ
A. mẻ ùớ ;7ùý.
B. mẻ ùớ - 2;- ùý.
C. mẻ ùớ 0; ùý.
D. mẻ ùớ - ;1ùý.
2ùùỵ
ùùợ 2 ùùỵ
ùùợ
ùùợ 5ùùỵ
ùùợ 4 ùùỵ
Li gii. Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit D > 0

2
m2 - 8m+16 > 0 ( m- 4) > 0 m=
/ 4. ( *)
m- 1
m+ 2
ùỡù
; x1 + x2 =
ù x1 ìx2 =
3
3
Theo inh lớ Viet, ta cú ớ
ùù
ùợ x1 = 2x2

ỡù
ùù x1 = 2( m+ 2) , x2 = 1( m+ 2)
ù
9
9
ớù
ùù
m- 1
ùù x1 ìx2 =
3
ùợ

ộ
5
ờm=
2

m- 1
2
2
ắắ
đ ( m+ 2) =
2m - 19m+ 35 = 0 ờ
2 (tha ( *) ). Chn A.
ờ
81
3
m
=
7
ờ
ở
Cõu 39. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh
3x2 - 2( m+1) x + 3m- 5 = 0 cú mt nghim gp ba nghim cũn li.
A. m= 7.
B. m= 3.
C. m= 3; m= 7.
D. mẻ ặ.
Li gii. Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit D ' > 0
2
ổ 7ử
15
ữ
m2 - 7m+16 > 0 ỗ
m
ữ
ỗ

ữ + 4 > 0, " mẻ Ă .
ỗ
ố
2ứ
ỡù
ỡù
ùù x1 = m+1, x2 = m+1
ùù x ìx = 3m- 5; x + x = 2( m+1)
ù
2
6
1
2
ùớ
Theo inh lớ Viet, ta cú ớ 1 2
3
3
ùù
ùù
3m- 5
ùùợ x1 = 3x2
ùù x1 ìx2 =
3
ợù
2
ộm= 3
( m+1)
3m- 5
ắắ
đ

=
m2 - 10m+ 21= 0 ờ
. Chn C.
ờm= 7
12
3
ở

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( x - 1) ( x2 - 4mx - 4) = 0 ba nghiệm phân biệt.
A. mÎ ¡ .

B. m¹ 0.

C. m¹

3
.
4

D. m¹ -

3
.
4

éx = 1

2
Lời giải. Ta có ( x - 1) ( x - 4mx - 4) = 0 Û ê
êg( x) = x2 - 4mx - 4 = 0 ( *) .
ê
ë
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( *) có hai nghiệm
ìï D ¢= 4m2 + 4 > 0
3
Û
Û m=
/ - . Chọn D.
phân biệt khác 1 ïí
ïï g( 1) = 1- 4m- 4 =
4
/
0
î
Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Câu 41. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
khi và chỉ khi:
ìï D ³ 0
ïì D > 0
ïì D > 0
ïì D > 0
.
.
.
.
A. ïí

B. ïí
C. ïí
D. ïí
ïïî P > 0
ïïî P > 0
ïïî S > 0
ïïî S < 0
Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 .
Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 cùng dấu
nên x1x2 > 0 hay P > 0 . Chọn A.
2
Câu 42. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm âm phân biệt khi và
chỉ khi:
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïì D > 0
ïï
ï
.
.
A. í
B. í P > 0.
C. ïí P > 0.
D. ïí
ïïî P > 0
ïï
ïï
ïïî S > 0
ïïî S > 0

ïïî S < 0

Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 .
Khi đó, gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 là hai nghiệm
ïì x1 + x2 < 0
ïì S < 0
âm nên ïí
hay ïí
. Chọn C.
ïïî x1x2 > 0
ïïî P > 0
2
Câu 43. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm dương phân biệt khi
và chỉ khi:
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïì D > 0
ïï
ï
.
.
A. í
B. í P > 0.
C. ïí P > 0.
D. ïí
ïïî P > 0
ïï
ïï
ïïî S > 0

ïîï S > 0
ïîï S < 0

Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 .
Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 là hai nghiệm
ïì x1 + x2 > 0
ïì S > 0
dương nên ïí
hay ïí
. Chọn B.
ïïî x1x2 > 0
ïïî P > 0
2
Câu 44. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ
khi:
ïì D > 0
ïì D > 0
.
.
A. ïí
B. ïí
C. P < 0.
D. P > 0.
ïïî S < 0
ïïî S > 0
Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Khi ú, gi hai nghim ca phng trỡnh l x1 v x2 . Do x1 v x2 l hai nghim
trỏi du nờn x1x2 < 0 hay P < 0 .
c
Mt khỏc, P < 0 < 0 ị ac < 0 ị D = b2 - 4ac > 0 . Do ú, phng trỡnh cú hai
a
nghim trỏi du khi v ch khi P < 0 . Chn C.
Cõu 45. Phng trỡnh x2 - mx +1= 0 cú hai nghim õm phõn bit khi:
A. m<- 2.
B. m> 2.
C. m - 2.
D. mạ 0.
2
ùỡù D > 0 ùỡù m - 4 > 0
ù
ù
Li gii. Phng trỡnh cú hai nghim õm phõn bit khi ùớ S < 0 ùớ m< 0
ùù
ù
ùùợ P > 0 ùùùợ 1> 0
ỡù ộm<- 2
ùù ờ
ùớ ờ
m> 2 m<- 2 . Chn A.
ùù ở
ùùợ m< 0
Cõu 46. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s m thuc [- 5;5] phng
trỡnh x2 + 4mx + m2 = 0 cú hai nghim õm phõn bit?
A. 5.
B. 6.
C. 10.

Li gii. Phng trỡnh ó cho cú hai nghim
ỡù D Â> 0 ỡù 3m2 > 0
ù
ùù
ùớ S < 0 ùớù - 4m< 0
ùù
ùù
ùùợ P > 0
ùùợ m2 > 0

D. 11.
õm phõn

bit

khi

ỡù mẻ Â
ùỡ mạ 0
ùớ
m> 0 . Do ùớ
ắắ
đ mẻ {1;2;3;4;5} ắắ
đ Cú 5 giỏ tr ca m
ùùợ m> 0
ùù mẻ [- 5;5]
ợ
tha món yờu cu bi toỏn. Chn A.
Cõu 47. Tp hp tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh
mx2 + x + m= 0 cú hai nghim õm phõn bit l:

ổ1 ử
ổ 1 1ử
ổ 1ử
- ;0ữ
. B. mẻ ỗ
- ; ữ
.
0; ữ
ữ
ữ
ữ
A. mẻ ỗ
C. mẻ ( 0;2) .
D. mẻ ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ỗ
ố 2 ứ
ố 2 2ứ
ố 2ứ
ỡù mạ 0
ùù
ùỡù a ạ 0
ùù 1- 4m2 > 0

ùù
D
>
0
ù
ù
ùớ 1
Li gii. Phng trỡnh cú hai nghim õm phõn bit khi ớ
ùù S < 0
ùù <0
ùù
ùù m
P
>
0
ùù
ùợù
ùợ 1> 0
ùỡù mạ 0
ùù
1
1
1
ùớ - < m< 0 < m< . Chn D.
ùù 2
2
2
ùù
ùợ m> 0
Cõu 48. Gi S l tp tt c cỏc giỏ tr nguyờn ca tham s m thuc on

[- 2;6] phng trỡnh x2 + 4mx + m2 = 0 cú hai nghim dng phõn bit. Tng
cỏc phn t trong S bng:
A. - 3.
B. 2.
C. 18.
D. 21.
ỡù D Â> 0 ỡù 3m2 > 0
ùù
ùù
Li gii. Phng trỡnh cú hai nghim dng phõn bit khi ùớ S > 0 ùớ - 4m> 0
ùù
ùù
ùùợ P > 0
ùùợ m2 > 0

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


ùỡ mạ 0
mẻ [- 2;6]
ùớ
m< 0 ắắ
ắắ
đ S = { - 2;- 1} . Do ú, tng cỏc phn t trong S bng
mẻ Â
ùùợ m< 0
- 3.
Chn A.
Cõu 49. Tp hp tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh
x2 - 2( m+1) x + m2 - 1= 0 cú hai nghim dng phõn bit l:

ổ1
ử
- ;+Ơ ữ
ữ
A. mẻ ( - 1;1) . B. mẻ ( 1; +Ơ ) .
C. mẻ ỗ
D. mẻ ( - Ơ ; - 1) .
ỗ
ữ.
ỗ
ố 2
ứ
ỡù D Â= 2m+ 2 > 0
ùù
Li gii. Phng trỡnh cú hai nghim dng phõn bit ùớ S = 2( m+1) > 0
ùù
ùù P = m2 - 1> 0
ợ
ỡù
ùù
ùù m>- 1
ùù
ớ m>- 1 m> 1 . Vy vi m> 1 thỡ tha bi toỏn. Chn B.
ùù
ùù ộm> 1
ùù ờ
ùùợ ờ
ởm<- 1
2
Cõu 50. Phng trỡnh ( m- 1) x + 3x - 1= 0 cú hai nghim trỏi du khi:

A. m> 1.
B. m< 1.
C. m 1.
D. mÊ 1.
ỡù m- 1ạ 0
ùỡù a ạ 0 ùù
ớ
Li gii. Phng trỡnh ó cho cú hai nghim trỏi du khi ớ
ùùợ P < 0 ùù - 1 < 0
ợù m- 1
m- 1> 0 m> 1 . Chn A.
Vn 4. BIU THC I XNG GIA CC NGHIM
CA PHNG TRèNH BC HAI
2
2
Cõu 51. Gi s phng trỡnh x - ( 2m+1) x + m + 2 = 0 ( m l tham s) cú hai

nghim l x1, x2 . Tớnh giỏ tr biu thc P = 3x1x2 - 5( x1 + x2 ) theo m.
A. P = 3m2 - 10m+ 6.
C. P = 3m2 - 10m+1.

B. P = 3m2 +10m- 5.
D. P = 3m2 +10m+1.
ỡù x1x2 = m2 + 2
Li gii. Theo nh lý Viet, ta cú ùớ
.
ùù x1 + x2 = 2m+1
ợ

2

2
Thay vo P , ta c P = 3( m + 2) - 5( 2m+1) = 3m - 10m+1. Chn C.
Cõu 52. Gi s phng trỡnh x2 - 3x - m= 0 ( m l tham s) cú hai nghim l
x1, x2 . Tớnh giỏ tr biu thc P = x12 ( 1- x2 ) + x22 ( 1- x1 ) theo m.

A. P = - m+ 9. B. P = 5m+ 9.
C. P = m+ 9.
D. P = - 5m+ 9.
2
2
2
2
2
2
P
=
x
1
x
+
x
1
x
=
x
x
.
x
+
x

x
.
x
(
)
(
)
Li gii. Ta cú
1
2
2
1
1
1
2
2
2 1
2

= x12 + x22 - x1.x2 (x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) - 2x1.x2 - x1.x2 ( x1 + x2 ) .
ùỡ x1 + x2 = 3
.
Theo nh lý Viet, ta cú ùớ
ùùợ x1.x2 = - m
2
Thay vo P , ta c P = 3 - 2(- m) - ( - m) .3 = 5m+ 9. Chn B.

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht

Cõu 53. Gi s phng trỡnh 2x2 - 4ax - 1= 0 cú hai nghim x1, x2. Tớnh giỏ tr
ca biu thc T = x1 - x2 .
2
2
4a2 + 2
. B. T = 4a2 + 2.
C. T = a + 8 .
D. T = a + 8 .
3
2
4
2
Li gii. Vỡ x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh 2x - 4ax - 1= 0.
ổ 4aử
1
ữ
( 1) .
ữ
Theo h thc Viet, ta cú x1 + x2 = - ỗ
ỗữ= 2a v x1x2 = - 2.
ỗ
ố 2ứ

A. T =

2

( 2) .

2

Ta cú T = x1 - x2 T 2 = ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4x1x2.

ổ 1ữ
ử
2
2
= 4a2 + 2 ị T = 4a2 + 2 > 0. Chn B.
T ( 1) v ( 2) suy ra T = ( 2a) - 4.ỗ
ỗ- ữ
ữ
ỗ
ố 2ứ
Cõu 54. Cho phng trỡnh x2 + px + q = 0 trong ú p > 0, q > 0. Nu hiu cỏc
nghim ca phng trỡnh bng 1. Khi ú p bng
A. 4q+1.
B. 4q- 1.
C. - 4q+1.
D. q+1.
Li gii. Gi s x1, x2 l hai nghim phõn bit ca phng trỡnh x2 + px + q = 0.
ỡù x1 + x2 = - p < 0
( 1)
Theo h thc Viet, ta cú ùớ
(vỡ p, q> 0 ).
ùùợ x1x2 = q > 0
2
2
T gi thit, ta cú x1 - x2 = 1 ( x1 - x2 ) = 1 ( x1 + x2 ) - 4x1x2 = 1. ( 2)
T ( 1) , ( 2) suy ra p2 - 4q = 1 p2 = 4q+1 p = 4q+1 > 0. Chn A.
2

2
Cõu 55. Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh x - ( 2m+1) x + m +1= 0 ( m

l tham s). Tỡm giỏ tr nguyờn ca m sao cho biu thc P =
nguyờn.
A. m= - 2.

B. m= - 1.
2

C. m= 1.

x1x2
cú giỏ tr
x1 + x2

D. m= 2.

Li gii. Ta cú D = ( 2m+1) - 4(m +1) = 4m- 3 .
2

phng trỡnh cú hai nghim D 0 m

3
.
4

ùỡ x1 + x2 = 2m+1
.
Theo nh lý Viet, ta cú ùớ

ùù x1x2 = m2 +1
ợ
x1x2
m2 +1 2m- 1
5
5
=
=
+
ắắ
đ 4P = 2m- 1+
.
Khi ú P =
x1 + x2 2m+1
4
4( 2m+1)
2m+1
3
5
nờn 2m+1 .
4
2
P ẻ Â thỡ ta phi cú ( 2m+1) l c ca 5 , suy ra 2m+1= 5 m= 2 .
Th li vi m= 2 , ta c P = 1: tha món. Chn D.
2
2
Cõu 56. Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh x - 2( m+1) x + m + 2 = 0 (
Do m

m l tham s). Tỡm m biu thc P = x1x2 - 2( x1 + x2 ) - 6 t giỏ tr nh nht.

1
A. m= .
2

B. m= 1.

C. m= 2.

D. m= - 12.

Li gii. Ta cú D ' = ( m+1) - ( m2 + 2) = 2m- 1.
2

phng trỡnh cú hai nghim D ' 0 m

1
.
2

( *)

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


ïì x1 + x2 = 2m+ 2
.
Theo định lý Viet, ta có ïí
ïï x1.x2 = m2 + 2
î
2

Khi đó P = x1x2 - 2( x1 + x2 ) - 6 = m2 + 2- 2( 2m+ 2) - 6 = ( m- 2) - 12 ³ - 12.
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m= 2 : thỏa ( *) . Chọn C.
Câu 57. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 ( m là
tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 .
1
A. Pmax = .
2

B. Pmax = 2.

C. Pmax =

2
2
2
Lời giải. Ta có D ' = m - 2( m - 2) = - m + 4 .

25
.
4

9
D. Pmax = .
4

Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi D ' = 4- m2 ³ 0 Û - 2 £ m£ 2.
ìï x1 + x2 = - m
ïï
2

.
Theo định lý Viet, ta có í
ïï x1x2 = m - 2
ïïî
2

( *)

2
Khi đó A = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 = m - m- 6 = ( m+ 2) ( m- 3) = - ( m+ 2) ( m- 3)
2

æ 1ö
÷ + 25 £ 25 (do - 2 £ m£ 2 ).
= - m2 + m+ 6 = - ç
m- ÷
ç
÷ 4
ç
è
2ø
4
1
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m= : thỏa ( *) . Chọn C.
2
x1, x2
Câu
58.
Gọi
là

hai
nghiệm
của
phương
trình
2
2
m
x - 2( m- 1) x + 2m - 3m+1= 0 (
là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của
biểu thức P = x1 + x2 + x1x2 .
1
A. Pmax = .
4

B. Pmax = 1.

9
C. Pmax = .
8

D. Pmax =

9
.
16

Lời giải. Ta có D ' = ( m- 1) - ( 2m2 - 3m+1) = - m2 + m= m( 1- m) .
2

Để phương trình có hai nghiệm Û D ' ³ 0 Û 0 £ m£ 1.
ìï x1 + x2 = 2( m- 1)
ï
.
Theo định lý Viet, ta có í
ïï x .x = 2m2 - 3m+1
î 1 2

( *)

2

2
2
Khi đó P = x1 + x2 + x1.x2 = 2( m- 1) + 2m - 3m+1 = 2 m 2

æ 1ö
m 1
÷- 9 .
=2ç
m- ÷
ç
÷ 16
ç
è
2 2
4ø
2

æ 1ö

æ 1ö
1
1 3
9
9
£ m- £ ¾¾
®ç
m- ÷
£
¾¾
®ç
m- ÷
£ 0.
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è
è
4
4 4
4ø 16
4ø 16
2
2
æ9 æ 1ö2 ö

æ 1ö
æ 1ö
9
9
9
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
ç
m- ÷
=
2
m
=
2
m
£ .
÷
÷
÷
Do đó P = 2 ç
÷
ç
ç
ç
ç

÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
è
ç16 è
è
÷ 8
4ø 16
4ø ø
4ø 8
è
Vì 0 £ m£ 1¾¾
®-

1
: thỏa mãn ( *) . Chọn C.
4
Câu 59. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - mx + m- 1= 0 ( m là
2x1x2 + 3
tham số). Tìm m để biểu thức P = 2
đạt giá trị lớn nhất.
x1 + x22 + 2( x1x2 +1)
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m=

1
A. m= .

2

B. m= 1.

C. m= 2.

5
D. m= .
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2
Lời giải. Ta có D = m2 - 4( m- 1) = ( m- 2)  ³ 0 , với mọi m .
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
ìï x1 + x2 = m
.
Theo hệ thức Viet, ta có ïí
ïïî x1x2 = m- 1
2

Suy ra x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - 2x1x2 = m2 - 2( m- 1) = m2 - 2m+ 2 .
Khi đó P =

2x1x2 + 3
2m+1
=
.
x12 + x22 + 2(x1x2 +1) m2 + 2

2

( m- 1)
2m+1
2m+1- m2 - 2
1
=
=£ 0, " mÎ ¡ .
2
2
m +2
m +2
m2 + 2
Suy ra P £ 1, " mÎ ¡ . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m= 1. Chọn B.
Câu 60. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - mx + m- 1= 0 ( m là
2x1x2 + 3
.
tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = 2
x1 + x22 + 2( x1x2 +1)
Suy ra P - 1=

A. Pmin = - 2.

B. Pmin = -

1
.
2

C. Pmin = 0.

D. Pmin = 1.

2
Lời giải. Ta có D = m2 - 4( m- 1) = ( m- 2)  ³ 0 , với mọi m .
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
ìï x1 + x2 = m
.
Theo hệ thức Viet, ta có ïí
ïïî x1x2 = m- 1
2

Suy ra x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - 2x1x2 = m2 - 2( m- 1) = m2 - 2m+ 2 .
Khi đó P =

2x1x2 + 3
2m+1
= 2
.
2
x + x2 + 2(x1x2 +1) m + 2
2
1

2

2
1 2m+1 1 2( 2m+1) + m + 2 ( m+ 2)
P
+

=
+
=
=
³ 0, " mÎ ¡ .
Suy ra
2 m2 + 2 2
2( m2 + 2)
2( m2 + 2)

Suy ra P ³ -

1
, " mÎ ¡ . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m= - 2. Chọn B.
2

Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 61. Nếu m¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0 thì
tổng m+ n bằng:
1
1
A. - .
B. - 1.
C. .
D. 1.
2
2
ïì m+ n = - m ïìï n = - 2m
ïì m= 1
Û í

( n ¹ 0) Û ïí
Lời giải. Theo hệ thức Viet, ta có ïí
ïîï mn
ïîï m= 1
ïîï n = - 2
. =n
¾¾
® m+ n = - 1. Chọn B.
Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0 là lập phương các

nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
æ
mö
p
÷
A. p+ q = m3. B. p = m3 + 3mn.
C. p = m3 - 3mn.
D. ç
= .
÷
ç
÷
ç
èn ø q
Lời giải. Giả sử phương trình x2 + px + q = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và
phương trình x2 + mx + n = 0 có hai nghiệm phân biệt x3, x4.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

ỡù x1 = x33
2
x1 + x2 = x33 + x43 = ( x3 + x4 ) ộ
. ( *)
( x + x4 ) - 3x3x4 ự
Theo bi ra, ta cú ùớ
ờ
ỳ
ở 3
ỷ
ùù x2 = x43
ợ
ùỡù x1 + x2 = - p
ù
2
Theo h thc Viet, ta cú ùớ x3 + x4 = - m, thay vo ( *) , ta c - p = - m( m - 3n) .
ùù
ùợù x3x4 = n
2
3
Vy p = m( m - 3n) = m - 3mn. Chn C.
Cõu 63. Cho hai phng trỡnh x2 - 2mx +1= 0 v x2 - 2x + m= 0. Cú hai giỏ tr
ca m phng trỡnh ny cú mt nghim l nghch o ca mt nghim ca
phng trỡnh kia. Tớnh tng S ca hai giỏ tr m ú.
5
1
1
A. S = - .
B. S = 1.

C. S = - .
D. S = .
4
4
4
2
x
Li gii. Gi 0 l nghim ca phng trỡnh x - 2mx +1= 0. iu kin: x0 ạ 0.
1
Suy ra
l nghim ca phng trỡnh x2 - 2x + m= 0.
x0
ỡù x02 - 2mx0 +1= 0
ùù
2

Khi ú, ta cú h ùớ ổ
1ử
2
ữ
ùù ỗ
ữ+
m
=
0
ỗ
ữ
ỗ ữ
ùù ỗ
ợ ốx0 ứ x0

ỡù 2
ùớ x0 - 2mx0 +1= 0.
ùù mx02 - 2x0 +1= 0.
ùợ

( 1)
( 2)

ộm= 1
2
2
.
Ly ( 1) - ( 2) , ta c x0 ( 1- m) - 2x0 ( m- 1) = 0 ( m- 1) ( x0 + 2x0 ) = 0 ờ
ờx0 = - 2
ở
5
2
Vi x0 = - 2 thay vo ( 1) , ta c ( - 2) - 2m.( - 2) +1= 0 m= - .
4
5
1
Vy tng tt c giỏ tr ca m cn tỡm l m1 + m2 = 1- = - . Chn C.
4
4
Cõu 64. Cho hai phng trỡnh x2 - mx + 2 = 0 v x2 + 2x - m= 0 . Cú bao nhiờu
giỏ tr ca m mt nghim ca phng trỡnh ny v mt nghim ca
phng trỡnh kia cú tng l 3 ?
A. 0.
B. 1.

C. 2.
D. 3.
Li gii. Gi x0 l mt nghim ca phng trỡnh x2 - mx + 2 = 0.
Suy ra 3- x0 l mt nghim ca phng trỡnh x2 + 2x - m= 0.
ùỡ x02 - mx0 + 2 = 0
ùỡ x02 - mx0 + 2 = 0.
( 1)
ù
ù

Khi ú, ta cú h ớ
ớ
2
2
ùù ( 3- x ) + 2( 3- x ) - m= 0 ùù m= x0 - 8x0 +15.
( 2)
0
0
ùợ
ùợ
ộx0 = 2
ờ
( 2)
2
2
ắắ
đ cho ta
Thay ( 2) vo ( 1) , ta c x0 - ( x0 - 8x0 +15) x0 + 2 = 0 ờ
ờx = 7 3 5
ờ0

2
ở
3 giỏ tr ca m cn tỡm. Chn D.
Cõu 65. Cho a, b, c, d l cỏc s thc khỏc 0 . Bit c v d l hai nghim ca
phng trỡnh x2 + ax + b = 0 v a, b l hai nghim ca phng trỡnh
x2 + cx + d = 0. Tớnh giỏ tr ca biu thc S = a+ b+ c + d.
- 1+ 5
D. S = 2.
.
2
Li gii. Vỡ c, d l hai nghim ca phng trỡnh x2 + ax + b = 0 suy ra
c + d = - a.
Vỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh x2 + cx + d = 0 suy ra a + b = - c.
A. S = - 2.

B. S = 0.

C. S =

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht