Đề thi HSG lớp 10, hà nam, năm học 2013 – 2014

(Đề thi HSG lớp 10, Hà Nam, năm học 2013 – 2014)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (5 điểm)
Cho Parabol (P) có phương trình y = 4 x 2 + 1 , đường thẳng d có phương trình y = x + 3
1. Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d sao cho ∆ cắt (P) tại hai điểm
phân biệt A, B và AB = 1.
2. Gọi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt thuộc (P) và không trùng với I sao cho IA vuông
góc với IB. Tìm quỹ tích trung điểm N của đoạn AB khi A, B thay đổi.
Câu 2 (5 điểm)
1. Giải phương trình:

x −1 + x2 −1 = x x

 x 2 + 21 = y − 1 + y 2

2. Giải hệ phương trình: 
 y 2 + 21 = x − 1 + x 2
Câu 3 (5 điểm)
1. Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Đường phân gisc trong của góc C cắt DE tại P. Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với
AB, BC lần lượt tại N, M.
uuuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuur
a) Tính BM , BN , BP theo hai vecto BA, BC và theo a, b, c
b) Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng
2. Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c là độ dài ba cạnh của tam giác; ma , mb , mc là độ dài
ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A, B, C. Gọi R, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp, diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu

1
1
1
3
+
+
=
thì tam giác
abmc bcma camb 2 RS

ABC đều.
Câu 4. (3 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có phương trình
x + 2y – 17 = 0, đường cao CK có phương trình 4x + 3y – 28 = 0, đường cao BH qua điểm M(1;6). Tìm
tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC.
Câu 5. (2 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 12 . Chứng minh rằng:
1
1
1
8
8
8
+
+
≥ 2
+ 2
+ 2
a + b b + c c + a a + 28 b + 28 c + 28

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


Đáp Án
Câu 1. a) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d sao cho ∆ cắt (P) tại 2 điểm phân
biệt A, B và AB = 1.
Đường thẳng ∆ song song với d có dạng y = x + m (m ≠ 3)
(1)
Phương trình hoành độ giao điểm 4 x 2 − x + 1 − m = 0
15
Để ∆ cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, điều kiện là ∆ > 0 ⇔ m >
16
x
,
x
Gọi 1 2 là hai nghiệm phân biệt của (1). Theo định lý Viet ta có
1
1− m
x1 + x2 = ; x1 x2 =
4
4
A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m )
2
2
AB = 1 ⇔ 2 ( x2 − x1 ) = 1 ⇔ 2 ( x2 + x1 ) − 4 x1 x2  = 1



1− m 
23
1
⇔ 2  − 4.
÷= 1 ⇔ m =
4 
16
 16
23
Kết hợp điều kiện ta được m =
16
b) Goi I là đỉnh của (P); A, B là hai điểm phân biệt, không trùng với đỉnh và nằm trên (P) sao cho IA
vuông góc với IB. Tìm quỹ tích điểm N của AB khi A, B thay đổi.
2
Gọi A ( a; 4a + 1) nằm trên (P), đỉnh I ( 0;1) .
uu
r
2
Đường thẳng IB qua I (0;1), nhận IA ( a; 4a ) là vecto pháp tuyên. Phương trình của đường thẳng IB là
x + 4ay − 4a = 0
 y = 4 x 2 + 1
 −1 1

⇔ B
;
+ 1÷
Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trìn: 
2
 16a 64a


 x + 4ay − 4a = 0
1
1
a

; 2a 2 +
+ 1÷
N là trung điểm của AB, suy ra N  −
2
128a
 2 32a

5
5
2
2
Nhận xét y N = 8 xN + . vậy quỹ tích của điểm N là Parabol y = 8 x +
4
4
2
Câu 2. 1. Ta có x − 1 + x − 1 = x x
Điều kiện x ≥ 1
 x x − x − 1 ≥ 0
pt ⇔ x 2 − 1 = x x − x − 1 ⇔ 
 x 2 − 1 = x 3 + x − 1 − 2 x x 2 − x
 x ≥ 1
⇔
 x ( x − 1) − 2 x ( x − 1) + 1 = 0
 x ( x − 1) = 1

1+ 5
⇔
⇔x=
2
 x ≥ 1
Vậy phương trình có nghiệm x =

1+ 5
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


 x 2 + 21 = y − 1 + y 2 (1)

2. Ta có: 
 y 2 + 21 = x − 1 + x 2 (2)
Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ 1
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có
x 2 + 21 − y 2 + 21 =
⇔

x2 − y2
x 2 + 21 + y 2 + 21

y −1 − x −1 + y2 − x2
=

y−x
+ ( y − x) ( y + x)
y −1 + x −1



x− y
1
⇔ ( x − y) 
+
+ x + y ÷= 0
 x 2 + 21 + y 2 + 21
÷
y −1 + x −1


x− y
1
+
+ x + y > 0 ∀x ≥ 1; y ≥ 1
⇔ x = y vì
y −1 + x −1
x 2 + 21 + y 2 + 21
Thay x = y vào (1) ta có
x 2 + 21 = x + 1 + x 2 ⇔ x 2 + 21 − 5 = x − 1 − 1 + x 2 − 4
⇔

x2 − 4
x 2 + 21 + 5

=

x−2
+ ( x − 2) ( x + 2)
x −1 +1



x+2
1
⇔ ( x − 2) 
− x−2−
÷= 0
2
x −1 +1 
 x + 21 + 5


 − x 2 + 21 − 4 
1
÷= 0
⇔ ( x − 2)  ( x + 2) 
÷−
 x 2 + 21 + 5 ÷

÷
x
−
1
+

1




2
 − x + 21 − 4 
1
<0
÷−
⇔ x = 2 vì ( x + 2 ) 
 x 2 + 21 + 5 ÷
x −1 +1


Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;2)
Câu 3.

1. Gọi Q là giao điểm của AP và BC, suy ra P là trung điểm của AQ, tam giác ACQ cân tại C.
CQ = CA = b suy ra BQ = BC – CQ = a – b.
uuur a + c − b uuu
r uuuu
r a + c − b uuur uuu
r 1  uuu
r a − b uuur 
BN =
.BA, BM =
BC ; BP =  BA +
BC ÷
2c

2c
2
a

uuuu
r uuur uuuu
r a + c − b uuu
r a + c − b uuur
.BA −
.BC
b) MN = BN − BM =
2c
2c

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


uuuu
r uuuu
r uuu
r
r c uuur
1 uuu
PM = BM − BP = − BA +
BC
2
2a
uuuu

r
r
uuuu
r
uuuu
r
−c uuuu
PM =
.MN suy ra PM cùng phương với MN do ddos P, M, N thẳng hàng.
a +c−b
2. Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c là độ dài ba cạnh của tam giác; ma , mb , mc là độ dài
ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A, B, C. Gọi R, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp, diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu

1
1
1
3
+
+
=
thì tam giác
abmc bcma camb 2 RS

ABC đều.
1
1
1
3
1

1
1
2 3
+
+
=
⇔
+
+
=
abmc bcma camb 2 RS
abmc bcma camb abc
⇔

c
a
b
+
+
=2
3mc
3ma
3mb

a
=
3ma

a2

=

2a 2

2b 2 + 2c 2 − a 2
3a 2b 2 + 2c 2 − a 2
4
3a 2 + 2b 2 − 2c 2 − a 2
2
2
2
Vì 3a 2b + 2c − a ≤
= a 2 + b2 + c2
2
2
a
2a
≥ 2
Nên
2
2
3ma a + b + c
Chứng minh tương tự ta có
a
b
c
b
2b 2
c
2c 2

+
+
≥2
≥ 2
,
≥ 2
2
2
2
2 Vậy
3ma
3mb
3mc
3mb a + b + c
3mc a + b + c
3a

3a 2 = 2b 2 + 2c 2 − a 2
 2
2
2
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3a = 2b + 2c − a ⇔ a = b = c
 2
2
2
2
3a = 2b + 2c − a
Hay tam giác ABC đều
Câu 4.Vì tam giác ABC cân tại A nên hóc CBH bằng góc BCK

Suy ra cos(BC, BH) = cos(BC, CK)
r
Đường thẳng BC có vecto pháp tuyến n BC = ( 1; 2 )
r
Đường thẳng CK có vecto pháp tuyến nCK = ( 4;3)
r
2
2
Gọi vecto pháp tuyến của đường thẳng BH là n BH = ( a; b ) ( a + b > 0 )
cos(BC, BH) = cos(BC, CK)
r r
r r
n BC .n BH
n BC .nCK
a + 2b
10
⇔ r r = r r ⇔
=
5.5
n BC n BC
n BC nCK
5. a 2 + b 2
⇔ ( a + 2b ) = 4 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 3a 2 − 4ab = 0
2

+) Nếu b = 0 thì a = 0 (loại).
+) Nếu b ≠ 0, chọn b = 3 suy ra a = 0 hoặc a = 4
r
r
r

+) Nếu a = 4; b= 3 thì n BH = (4;3) suy ra n BH = nCK (loại)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


+) Nếu b = 3, a = 0 suy ra phương trình BH là y – 6 = 0
 x + 2 y − 17 = 0
⇒ C ( 1;8 )
Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình 
 4 x + 3 y − 28 = 0
Phương trình của AC: x =1
B là giao điểm của BH và BC suy ra B(5;6)
Phương trình của BA: 3x – 4y + 9 = 0
A là giao điểm của AB và AC suy ra A(1;3)
Diện tích tam giác ABC:
BC = 20
d ( A, BC ) =
SVABC =

1 + 6 − 17
5

=2 5

1
BC.d ( A, BC ) = 10
2

1
1
4
+
≥
.
a + b b + c a + 2b + c
1
1
4
1
1
4
+
≥
+
≥
Chứng minh tương tự ta có
,
b + c a + c a + 2c + b a + b a + c b + 2a + c
1
1
1
1
1
1


+
+

≥ 2
+
+
Suy ra
÷
a+b b+c a+c
 b + 2a + c a + 2b + c b + 2c + a 
1
4
≥ 2
Ta chứng minh
b + 2a + c a + 28
1
4
≥ 2
b + 2a + c a + 28
⇔ a 2 + 28 ≥ 4b + 8a + 4c ⇔ 2a 2 + b 2 + c 2 + 16 − 4b − 8a − 4c ≥ 0
Câu 5. Ta có:

⇔ 2 ( a − 2 ) + ( b − 2 ) + ( c − 2 ) ≥ 0 (điều này luôn đúng)
2

2

2

1
1
1
4

4
4
+
+
≥ 2
+ 2
+ 2
b + 2a + c a + 2b + c b + 2c + a a + 28 b + 28 c + 28
1
1
1
8
8
8
+
+
≥ 2
+ 2
+ 2
Suy ra
a + b b + c c + a a + 28 b + 28 c + 28
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.
Vậy

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5