LƯỢNG GIÁC góc và cung lượng giác (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

0


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
CHƯƠNG VI
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.......................................................2
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT....................................................................2
1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn..................................2
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số
đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là
góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian............................................2
b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:..............................2
2. Góc và cung lượng giác........................................................................2
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng...................2
c) Hệ thức Sa-lơ......................................................................................2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.....................................3
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC
LƯỢNG GIÁC.................................................................................................3
1. Phương pháp giải...................................................................................3
2. Các ví dụ minh họa................................................................................3
3. Bài tập luyện tập....................................................................................7

1


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

CHƯƠNG VI
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1
rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có
số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian
1 rađian còn viết tắt là 1 rad.
Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay
rad sau số đo của cung và góc.
b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:
0
Cung tròn bán kính R có số đo a ( 0 �a �2p) , có số đo a ( 0 �a�360) và có độ
dài là l thì:
pa
a
a
l = Ra =
.R do đó =
180
p 180
0
�
180�
p
�
Đặc biệt: 1rad = �
, 10 =
rad .
�
�

�
�p �
180
�
2. Góc và cung lượng giác.
a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên
đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi
là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ
gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của
chúng.
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou,Ov lần
lượt cắt đường tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn
tại M , tia Om chuyển động theo một chiều(âm hoặc
dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng chuyển động
theo một chiều trên đường tròn.
 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến
trùng với tia Ov thì ta nói tia Om đã quét được một
góc lượng giác tia đầu là Ou, tia cuối là Ov . Kí
hiệu ( Ou,Ov)
 Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta
2


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm đầu U , điểm cuối
�

V . Kí hiệu là UV
 Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay

góc 3600 (hay ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay
4p ), quay theo chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay góc - 900
p
25
(hay - ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy(
vòng) thì nói
2
7
25
50p
.3600 (hay nó quay góc )…
7
7
�
 Ta coi số đo của góc lượng giác ( Ou,Ov) là số đo của cung lượng giác UV
c) Hệ thức Sa-lơ.
 Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có:
Sđ ( Ou,Ov) + Sđ ( Ov,Ow) = Sđ ( Ou,Ow) + k2p ( k �Z)
Sđ ( Ou,Ov) - Sđ ( Ou,Ow) = Sđ ( Ow,Ov) + k2p ( k �Z)
 Với ba điểm tùy ý U , V ,W trên đường tròn định hướng ta có :
�

�

�

�

�

�

Sđ UV + Sđ VW = Sđ UW + k2p ( k �Z)
Sđ UV- Sđ UW = Sđ WV + k2p ( k �Z)
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC
LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ
dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức
salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau:
Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo a0 (hay a rad ) thì mọi góc(cung)
lượng giác cùng tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng
dạng a0 + k3600 (hay a + k2p rad, k �Z ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của
k. Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một
bội của 2p
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc 720 ra rađian:.
3


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A.

2p
5

B.

3p
5

C.

2p
3

D.

4p
5

C.

10p
7

D.

14p
3

b) Đổi số đo của các góc 6000 ra rađian:.
A.

10p
3

B.

11p
3

c) Đổi số đo của các góc - 37045'30'' ra rađian:.
A.0,6587

B. 0,6567

d) Đổi số đo của góc

D. 0,4587

C. 550

D. 700

C. 1080

D. 700

C. - 226048'

D. - 260048'

5p
sau ra độ:.
18

A. 500

B. 200

e) Đổi số đo của góc

C. 0,6687

3p
sau ra độ:.
5

A. 1500

B. 1200

f) Đổi số đo của góc - 4 sau ra độ:.
A. - 2260048'

B. - 220048'

Lời giải:
a) Vì 10 =

p
p
2p
p
10p
rad nên 720 = 72.
=

,6000 = 600.
=
,
180
180 5
180
3
0

�
�
45�
- 37 45'30'' =- 37 - �
��
�
60�
�
�
0

0

0

0

0

� 30 �
�

� 4531 p
4531�
�
�
�
=
=
.
�0,6587
�
�
�
�
� �
�
�120 �
60.60�
�
� 120 180
0

0

�
�
�
180�
5p �
5p 180�
3p �

3p 180�
�
b) Vì 1rad = �
nên
=�
.
= 50o , = �
.
= 108o ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
p
18
18
p
5
5
p
� �
�

�
�
�
0

� 180�
�
- 4 =- �
4.
�
�
�=� p �
�

0

�
720�
0
�
�
�
�
��- 2260 48' .
�p �
�
4


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính 36m. Tìm độ dài của cung trên đường
tròn đó có số đo là
a)

3p
4
A.84,8m

B. 84,2m

C. 84,7m

D. 84,4m

A.32,04m

B. 32,4m

C. 32,7m

D. 32,09m

A.12

B.14

C.14,5

D.11

b) 510

c)

1
3

Lời giải:
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có l = Ra =
a) Ta có l = Ra = 36.
b) Ta có l =

pa
.R nên
180

3p
= 27p �84,8m
4

pa
p51
51p
.R =
.36 =
�32,04m
180
180
5

1
c) Ta có l = Ra = 36. = 12m
3
Ví dụ 3: Cho hình vuông A0A1A 2A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được
sắp xếp theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các
�

�

cung lượng giác A A , Ai A j ( i , j = 0,1,2,3,4,i � j ).
0 i
Lời giải:
�OA = 0 nên sđ �
Ta có A
A0A0 = k2p , k �Z
0
0

5


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
�
�OA = p nên sđ A A = p + k2p , k �Z
A
0
1
0 1
2
2

�OA = p nên sđ �
A
A0A1 = p + k2p , k �Z
0
2
�
�OA = p nên sđ A A = 2p - p + k2p = 3p + k2p , k �Z
A
0
3
0 3
2
2
2
�

Như vậy sđ A0Ai =

ip
+ k2p , i = 0,1,2,3, k �Z
2

�
�
�
p
Theo hệ thức salơ ta có sđ A A =sđ A A - sđ A A + k2p = ( j - i) . + k2p , k �Z .
i j
0 j

0 i
2

Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác ( Ou,Ov) với 0 �a �2p , biết một góc
lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a)

33p
4
A.

b) -

p
4

B.

3p
4

C.

11p
4

D.

7p
4

B.

p
5

C.

p
7

D.

p
6

291983p
3
A.

p
3

c) 30
A.4,867

B. 4,67

C. 4,87

D. 4,86

Lời giải:
a) Mọi góc lượng giác ( Ou,Ov) có số đo là

33p
+ k2p, k �Z
4

33p
+��
k2p 2p, k Z
Vì 0 �a �2p nên 0 �+���
4

0

33
4

k2 2, k Z
6


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

�-

33
25

�k �, k �Z � k =- 4
8
8

Suy ra a =

33p
p
+( - 4) .2p =
4
4

b) Mọi góc lượng giác ( Ou,Ov) có số đo là 291983p
-+�� k2p
Vì 0 �a �2p nên 0 �-+���
3
291983
�ۣ���= k
6
Suy ra a =-

291989
,k Z
6

291983p
+ k2p, k �Z
3

2p, k Z

0

291983
3

k2 2, k Z

k

291983p
p
+ 48664.2p =
3
3

c) Mọi góc lượng giác ( Ou,Ov) có số đo là 30+ k2p, k �Z
30 �
k2p 2p, k Z
Vì 0 �a �2p nên 0 �+�+��
�-

15
k 1, k Z
p

0

15
p - 15

�k �
, k �Z � k =- 4
p
p

Suy ra a = 30+( - 4) .2p = 30- 8p �4,867 .
Vi dụ 5: Cho góc lượng giác

( Ou,Ov)

có số đo -

p
. Trong các số
7

29p
22 6p 41p
;;
;
, những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng
7
7 7
7
tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
-

A. -

29p 41p

;
7
7

B. -

29p
22
;7
7

C. -

22 41p
;
7
7

D.

6p 41p
;
7
7

Lời giải:
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p do đó

7

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Vì -

29p
7

� p�
22
�
- �
= ( - 2) .2p , �
�
�
�
7
� 7�

� p�
�
6p �
p�
41p �
p�
�
- �
=- 3p ,
- �
- �

= p và
- �
- �
= 3.2p
�
�
�
�
�
�
�
7 �
7 �
� 7�
�
� 7�
�
� 7�

29p 41p
;
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia
7
7
cuối với góc đã cho.
nên các số -

Ví dụ 6: Cho sđ ( Ou, Ov) = a và sđ ( Ou', Ov') = b . Chứng minh rằng hai góc
hình học uOv, u'Ov' bằng nhau khi và chỉ khi hoặc b - a = k2p hoặc
b + a = k2p với k �Z .

Lời giải:
Ta có sđ ( Ou, Ov) = a

và sđ ( Ou', Ov') = b

suy ra tồn tại

a0 , p < a0 �p ,

f 0 , p < b0 �p và số nguyên k0 , l0 sao cho a = a0 + k0 2p, b = b0 + l0 2p .
� và b0 là số đo của u
�
Khi đó a0 là số đo của uOv
'Ov' .
�a0 = b0
Hai góc hình học uOv, u'Ov' bằng nhau khi và chỉ khi a0 = b0 � �
�
a0 =- b0
�
� b - a = k2p hoặc b + a = k2p với k �Z .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 6.0: a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: 200 .( chính xác đến 0,001)
A.0,349

B. 0,391

C. 0,493

D. 0,342

a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: 40025' .( chính xác đến 0,001)
A.0,705

B. 0,732

C. 0,752

D. 0,051

a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: - 270 .( chính xác đến 0,001)
A. - 0,471

B. - 0,477

b) Đổi số đo của góc sau ra độ:
A. 10035'58''

C. - 0,432

D. - 0,472

C. 1006'58''

D. 10035'8''

p
.
17

B. 1003'58''

8


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

b) Đổi số đo của góc sau ra độ: A. - 51024'7''

2p
.
7

B. - 5024'9''

C. - 5104'9''

D. - 51024'9''

C. - 28028'44''

D. - 286028'44''

b) Đổi số đo của góc sau ra độ: - 5.
A. - 286028'4''

B. - 28602'44''

Lời giải:
Bài 6.0: a) 200 �0,349, 40025' �0,705, - 270 �- 0,471
b)

p
2p
= 10035'58'', =- 51024'9'',- 5 =- 286028'44''
17
7

Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo

39p
mp
và
( m là số nguyên ) có thể
7
9

cùng tia đầu, tia cuối được không?
A.Không

B.Có

C. Có thể có

D. A, B, C đều

sai
Lời giải:
Bài 6.1: Giả sử hai góc có cùng tia đầu, tia cuối khi đó
Hay 7m- 9.39. = 9.7.k2 � 7( m- 18k) = 351� m- 18k =

mp 39p
= k2p , k �Z
9
7

351
với k, m�Z .
7

Vì vế trái là một số nguyên, vế phải là số thập phân nên dẫn tới vô lí.
Vậy hai góc lương giác

39p
mp
và
( m là số nguyên ) không thể cùng tia đầu,
7
9

tia cuối.
Bài 6.2: Một đường tròn có bán kính 25m. Tìm độ dài của cung trên đường
tròn đó có số đo là
a)

3p
7
9


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A.33,66m

B. 33,6m

C. 34,66m

D. 35,66m

A.21,38m

B. 21,8m

C. 21,3m

D. 21,21m

A.33,333m

B. 33,673m

C. 33,443m

D. 33,356m

b) 490

c)

4
3

Lời giải:
Bài 6.2: a) Ta có l = Ra = 25.
b) Ta có l =

3p
�33,66m
7

pa
p49
.R =
.25 �21,38m
180
180

4
c) Ta có l = Ra = 25. �33,333m
3
Bài 6.3: Tìm số đo a0 của góc lượng giác ( Ou,Ov) với 0 �a�360 , biết một góc
lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a) 3950
A. 350

B. 950

C. 300

D. 460

B. 870

C. 220

D. 80

b) - 10520
A. 280
c) ( 20p)

0

A. ( 31p)

0

B. ( 25p)

0

C. ( 29p)

0

D. ( 20p)

0

Lời giải:

10


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 6.3: a) 350

b) 280

c) ( 20p)

0

11