OXY BA ĐƯỜNG CÔNIC (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§8. BA ĐƯỜNG CÔNIC
I. Đường chuẩn của elip và hypebol.
Không chỉ có parabol mới có đường chuẩn, elip và hypebol cũng có đường chuẩn
được định nghĩa tương tự như sau
1. Đường chuẩn của elip.
a. Định nghĩa: Cho (E):

x2 y2
a
+ 2 = 1. Khi đó đường thẳng D 1 : x + = 0 được gọi là
2
e
a
b

đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F1 ( - c;0) ; Đường thẳng D 2 : x -

a
=0
e

được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F2 ( c;0) .
b. Tính chất: Với mọi điểm M thuộc (E) ta có

MF1
MF2
=
= e( e < 1)
d( M ;D1 )
d ( M ;D 2 )

2. Đường chuẩn của hypebol.
a. Định nghĩa: Cho (H):

D2 : x -

x2 y2
a
- 2 = 1. các đường thẳng D 1 : x + = 0 và
2
e
a
b

a
= 0 gọi là các đường chuẩn của (H) lần lượt tương ứng với các tiêu điểm
e

F1 ( - c;0) và F2 ( c;0)
b. Tính chất: Với mọi điểm M thuộc (E) ta có

MF1
MF2
=
= e( e > 1)
d( M ;D1 )
d ( M ;D 2 )

II. Định nghĩa ba đường cônic
Cho điểm F cố định và đường thẳng D cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M

sao cho tỉ số

MF
bằng một số dương e cho trước được gọi là ba đường cônic
d( M ;D )

Điểm F gọi là tiêu điểm, D được gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai của đường
cônic.
Chú ý: Elip là đường cônic có tâm sai e < 1; parabol là đường cônic có tâm sai e = 1
; hypebol là đường cônic có tâm sai e > 1
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1. Nhận dạng cônic và xác định tiêu điểm, đường chuẩn của các
đường cônic.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1. Phương pháp giải.
• Để nhận dạng đường cônic ta dựa vào tâm sai: đường cônic có tâm sai e < 1 là
elip; đường cônic có tâm sai e = 1 là parabol; đường cônic có tâm sai e > 1 là
hypebol.
• Từ phương trình của đường cônic ta xác định được dạng của nó từ đó xác định
được tiêu điểm và đường chuẩn của nó.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1:

x2 y2
+
= 1.
5
4

a) Xác định tiêu điểm của
A. F1 ( - 1;0)

B. F2 ( 1;0)

C. F2 ( 1;0) , F1 ( - 1;0)

D. F2 ( 2;0) , F1 ( - 2;0)

Xác định đường chuẩn của

x2 y2
+
=1
5
4

A. x + 6 = 0 hoặc x - 5 = 0

B. x + 6 = 0 hoặc x - 6 = 0

C. x + 7 = 0 hoặc x - 7 = 0

D. x + 5 = 0 hoặc x - 5 = 0

x2 y2
= 1.
7 10

b) Xác định tiêu điểm của

(

A. F1 C. F2

(

)

17;0

)

B. F2

(

17;0 , F1 -

7
17

)

17;0

D. F2 ( 2;0) , F1 ( - 2;0)

17;0

Xác định đường chuẩn của

A. x +

)

(

x2 y2
=1
7 10

= 0 hoặc x -

7
17

C. x + 7 = 0 hoặc x - 7 = 0
c) Xác định tiêu điểm của y2 = 18x .

=0

B. x + 6 = 0 hoặc x - 6 = 0
D. x + 5 = 0 hoặc x - 5 = 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
æ9 ö
÷

A. F ç
ç- ;0÷
÷

æ ö
÷
ç
è2 ø

9
÷
B. F ç
ç ;0÷
÷

÷
ç
è 2 ø

C. F2

(

)

(

17;0 , F1 -

)

D. F2 ( 2;0) , F1 ( - 2;0)

17;0

Xác định đường chuẩn của y2 = 18x
A. x +

9
=0
2

B. x + 7 = 0

C. x - 7 = 0

D. x + 5 = 0

Lời giải:
a) Dễ thấy đây là phương trình chính tắc của đường elip

ïìï a = 5
Þ c2 = a2 - b2 = 5 - 4 = 1 do đó c = 1, tâm sai
í
ïï b = 2
î

ïìï a2 = 5
Þ
Ta có í 2

ïï b = 4
î
e=

c
1
=
a
5

Vậy ta có tiêu điểm là F1 ( - 1;0) tương ứng có đường chuẩn có phương trình là

x+

5
=0
hay x + 5 = 0 và tiêu điểm là F2 ( 1;0) tương ứng có đường chuẩn có
1
5

phương trình là

x-

5
=0
hay x - 5 = 0 .
1
5

b) Đây là phương trình chính tắc của đường hypebol

ìï a2 = 7
Þ
ïï b2 = 10
î

Ta có ïí

e=

c
=
a

17
7

ïì
ïí a = 7 Þ c2 = a2 + b2 = 17 do đó
c = 17 , tâm sai
ïï b = 10
ïî


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

(

)

Vậy ta có tiêu điểm là F1 -

x+

7
17
7

=0

hay x +

7
17

chuẩn có phương trình là

17;0 tương ứng có đường chuẩn có phương trình là

= 0 và tiêu điểm là F2

x-

7
17
7

=0

hay x -

(

7
17

)

17;0 tương ứng có đường

= 0.

c) Đây là phương trình chính tắc của parabol
Ta có 2p = 18 Þ p = 9

æ

ö

9 ÷
9
;0÷
Vậy tiêu điểm là F ç
, đường chuẩn có phương trình là x + = 0 .
ç
÷
ç
è2 ø

2

Ví dụ 2: Cho cônic có tiêu điểm F ( - 1;1) , đi qua điểm M ( 1;1) và đường chuẩn

D : 3x + 4y - 5 = 0. Cônic này là elip, hypebol hay là parabol?
A.elip

B.hypebol

C.parabol

D.Đường tròn

Lời giải:
Ta có MF = 2, d ( M ; D ) =

Suy ra

3+ 4- 5
32 + 42

=

2
5

MF
= 5 > 1 suy ra đây là elip
d( M ;D )

 DẠNG 2. Viết phương trình đường cônic.
1. Phương pháp giải.
• Dựa vào các dạng của đường cônic mà giả thiết đã cho để viết phương trình
• Dựa vào định nghĩa của ba đường cônic
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : x - y + 1 = 0 và điểm F ( 1;0) . Viết phương trình của
đường cônic nhận F làm tiêu điểm và D là đường chuẩn trong mỗi trường hợp sau
a) Tâm sai e =

3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. 2x2 + y2 - xy + 10x - 6y + 1 = 0

B. x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0

C. x2 + y2 - xy + 10x - 6y + 1 = 0

D. 2x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0

b) Tâm sai e =

1
2

A. 3x2 + 3y2 + 2xy - x + y + 3 = 0

B. 3x2 + y2 + xy - 10x + 2y + 3 = 0

C. x2 + y2 + xy - 10x + 2y + 3 = 0

D. 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0

c) Tâm sai e = 1
A. 2xy - 4x + 2y + 3 = 0

B. 2xy - 4x + 2y - 2 = 0

C. 2xy + x + 2y = 0

D. 2xy - 4x + 2y = 0
Lời giải:

Gọi M ( x;y ) là điểm thuộc đường cônic cần tìm. Khi đó theo định nghĩa ta có

MF
= e Û MF = ed
. ( M ; D ) (*).
d( M ;D )
Ta có MF =

( 1- x )

a) Tâm sai e =

2

+ y2 , d ( M ; D ) =

3 thì ( * ) Û

( 1- x )

2

x - y +1
2

+ y2 =

3.

x - y +1
2

Û 2( x2 - 2x + 1 + y2 ) = 3( x2 + y2 + 1 - 2xy + 2x - 2y )
Û 2x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 2x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0
b) Tâm sai e =

1
thì ( * ) Û
2

( 1- x )

2

1 x - y +1

+ y2 = .
2
2

Û 4( x2 - 2x + 1 + y2 ) = x2 + y2 + 1 - 2xy + 2x - 2y
Û 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0 .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

c) Tâm sai e = 1 thì ( * ) Û

( 1- x )

2

+ y2 =

x - y +1
2

Û x2 - 2x + 1 + y2 = x2 + y2 + 1 - 2xy + 2x - 2y
Û 2xy - 4x + 2y = 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 2xy - 4x + 2y = 0.

(

)

Ví dụ 2: Cho điểm A 0; 3 và hai đường thẳng D : x - 2 = 0, D ' : 3x - y = 0
a) Viết phương trình chính tắc đường elip có A là một đỉnh và một đường chuẩn là

D
A.

x2 y2
+
=1
7
3

B.

x2 y2
+
=1
8
3

C.

x2 y2
+
=1
9
3

D.

x2 y2
+
=1
6
3

b) Viết phương trình chính tắc đường hypebol có D là một đường chuẩn và D ' là
tiệm cận.
A.

x2 y2
=1
4 36

B.

x2
y2
=1
4 360

C.

x2 y2
=1
40 36

Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc elip là

(

x2 y2
+
= 1, a > b > 0
a2 b2

)

Vì A 0; 3 là một đỉnh của elip nên b =
elip có một đường chuẩn là D nên

3

a
a2
=2Û
= 2 Û a2 = 2c (*)
e
c

Ta lại có b2 = a2 - c Þ 3 = a2 - c Þ c = a2 - 3 thay vào (*) ta có

a2 = 2( a2 - 3) Û a2 = 6
Vậy phương trình chính tắc elip cần tìm là

b) Gọi phương trình chính tắc elip là

x2 y2
+

= 1.
6
3

x2 y2
= 1,a > 0,b > 0
a2 b2

D.

x2
y2
=1
40 360


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Hypebol có một đường chuẩn là D nên

a
a2
a2
(1)
=2Û
=2Û c =
e
c
2

Hypebol có một đường tiệm cận là D ' nên

b
= 3 Û b = 3a (2)
a

Mặt khác b2 = c2 - a2 (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta được

( 3a )

2

2

æ
a2 ö
a4
2
2
÷
=ç
a
Û
10
a
=
Û a2 ( 40 - a2 ) = 0 Û a2 = 40
÷
ç

÷
ç2ø
4
è

Suy ra b2 = 9a2 = 360
Vậy phương trình chính tắc hypebol cần tìm là

x2
y2
= 1.
40 360

 DẠNG 3. Sự tương giao gữa các đường cônic và với các đường khác.
1. Phương pháp giải.
Cho hai đường cong f ( x;y ) = a, g( x;y ) = b khi đó
• Số giao điểm của hai đường cong trên chính là số nghiệm của hệ phương trình

ïìï f ( x;y ) = a
í
ïï g( x;y ) = b
î

ìï f ( x;y ) = a
• Tọa độ giao điểm(nếu có) của hai đường cong là nghiệm của hệ ïí

ïï g( x;y ) = b
î

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : 2x - y + m = 0 , elip (E):

x2 y2
+
= 1 và hypebol (H):
6
3

x2 y2
=1
1
8
a) Với giá trị nào của m thì D cắt (E) tại hai điểm phân biệt ?
A. - 3 < m < 3

B. -

C. - 3 3 < m < 3 3

D. - 3 3 £ m £ 3 3

3
3

b) Chứng minh rằng với mọi m thì D cắt (H) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh
khác nhau của (H)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

c) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H).
A. x2 + y2 =

2
17

B. x2 + y2 =

62
7

C. x2 + y2 =

2
7

D. x2 + y2 =

62
17

Lời giải:

ìï 2x - y + m = 0
ï
Û
a) Xét hệ phương trình ïí x2 y2
ïï
+
=1

ïî 6
3

ìï
y = x +m
íï 2
ïï 9x + 8mx + 2m2 - 6 = 0
î

Do đó D cắt (E) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình

9x2 + 8mx + 2m2 - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt hay
D ' = 16m2 - 9( 2m2 - 6) > 0 Û - 3 3 < m < 3 3 .
ïìï 2x - y + m = 0
Û
b) Xét hệ phương trình ïí x2 y2
ïï
=1
îï 1
8

ìï
y = x +m
íï 2
ïï 7x - 2mx - m2 - 8 = 0( * )
î

2
Do ac = - 7.( m + 8) < 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu suy ra D cắt

(H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu nhau
Vậy D cắt (H) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (H)

ìï
ïï
ï
c) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ: í
ïï
ïï
î
ìï
ïï x = ±
ï
Giải hệ (I) ta được í
ïï
ïï y = ±2
ïî

x2 y2
+
=1
6
3
(I
x2 y2
=1
1
8

)

22
17
10
17

Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ (I) nên thỏa mãn phương trình

æx2 y2 ö
æx2 y2 ö
62
÷
÷
ç
27ç + ÷+ 4ç
÷= 31 hay x2 + y2 =
ç
ç
ç
÷
÷
3ø
8ø
è6
è1
17
Vậy tọa độ giao điểm của (E) và (H) là

æ 22
æ 22

æ 22
æ 22
10 ö
10 ö
10 ö
10 ö
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
M1ç
;2
,
M
;2
,
M
;
2
,
M
;
2

ç
ç
ç
ç
và phương
÷
÷
÷
÷
2ç
3ç
4ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
17
17
17
17
17
17
17
17
è

ø
è
ø
è
ø
è
ø
trình đường tròn đi qua các điểm đó phương trình là x2 + y2 =

62
17


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Nhận xét: Để viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (E)

x2 y2
+
= 1, (H)
a2 b2

x2
y2
=1
a '2 b'2
ta chọn a, b sao cho

a
b

a
b
+ 2 = 2 - 2 = k > 0, a + b > 0 khi đó phương trình
2
a
a'
b
b'

đường tròn cần tìm là x2 + y2 =
Ví dụ 2: Cho elip (E):

a +b
k

x2 y2
+
= 1 và điểm I(1; 2). Viết phương trình đường thẳng đi
16 9

qua I biết rằng đường thẳng đó cắt elip tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của
đoạn thẳng AB.
A. x + 32y - 73 = 0

B. 9x + 3y - 73 = 0

C. 9x + 32y - 3 = 0

D. 9x + 32y - 73 = 0
Lời giải:

r

Cách 1: Đường thẳng D đi qua I nhận u ( a;b) làm vectơ chỉ phương có dạng

ìï x = 1 + at
ïí
(với a2 + b2 ¹ 0)
ïï y = 2 + bt
î
A, B Î D suy ra tọa độ A, B có dạng A = (1 + at1;2 + bt1) , B = (1 + at2;2 + bt2) .
ìï 2xI = xA + xB
ïì a ( t1 + t2 ) = 0
Û ïí
Û t1 + t2 = 0
I là trung điểm của AB khi và chỉ khi ïí
ïï 2xI = xA + xB
î

ïï b( t1 + t2 ) = 0
î

(1)
(do a2 + b2 ¹ 0)

A, B Î

(E)

nên t1, t2 là nghiệm của phương trình

(1 + at)2 (2 + bt)2
+
= 1Û
16
9

( 9a2 + 16b2 ) t2 + 2( 9a + 32b) t -

Theo định lý Viet ta có t1 + t2 = 0 Û 9a + 32b = 0
Ta có thể chọn b = - 9 và a = 32.

139 = 0


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht

Vy ng thng d cú phng trỡnh

x- 1 y- 2
hay 9x + 32y - 73 = 0
=
32
- 9

Cỏch 2: Vỡ I thuc min trong ca elip (E ) nờn ly tựy ý im A(x;y) ẻ (E ) thỡ ng
thng IM luụn ct (E) ti im th hai l B ( x ';y ') .
I l trung im im AB khi v ch khi

ỡù 2xI = xA + xB

ỡù x ' = 2 - x
ùớ
ùớ
ị M '( 2 - x;4 - y )
ùù 2xI = xA + xB
ùù y ' = 4 - y
ợ
ợ
ỡù x2 y2
ùù
+
=1
ù
16
9
M , M ' ẻ (E ) ớ
ùù (2 - x)2 (4 - y)2
+
=1
ùù
ợ 16
9
Suy ra

4 - 4x 16 - 8y
+
= 0 hay 9x + 32y - 73 = 0 (*)
16
9

Ta im M, I tha món phng trỡnh (*) nờn ng thng cn tỡm l

9x + 32y - 73 = 0
Nhn xột: Bi toỏn tng quỏt " Cho elip (E ) :

I (x0;y0) vi

x2 y2
+
= 1( a > b > 0) v im
a2 b2

x02 y02
+
< 1 (ngha l im I thuc min trong ca elớp ) . Vit phng
a2 b2

trỡnh ng thng i qua I , bit rng ng thng ú ct elớp ti hai im M , M sao
cho I l trung im ca on thng MM ".
Lm tng t cỏch 2 ta cú phng trỡnh ng thng cn tỡm l

4x02 - 4x0x 4y02 - 4y0y
+
=0
a2
b2
x2 y2
= 1 v hai ng thng
4
9

D : x + my = 0, D ' : mx - y = 0

Vớ d 3: Cho hypebol (H):

a) Tỡm m D v D ' u ct (H) ti hai im phõn bit

ổ 1 2ử
ổ2 3ử
- ;- ữ
; ữ
ữẩ ỗ
ữ
A. m ẻ ỗ
ỗ
ữ ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ố 2

3ứ ố3 2ứ

ổ 3 2ử
ổ1 3ử
- ;- ữ
; ữ
ữẩ ỗ
ữ
B. m ẻ ỗ
ỗ

ữ ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ố 2

3ứ ố3 2ứ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
æ 3 1ö
æ2 3ö
- ;- ÷
; ÷
÷È ç
÷
C. m Î ç
ç
÷ ç
÷
ç
ç
è 2

æ 3 2ö
æ2 3ö
- ;- ÷
; ÷
÷È ç
÷

D. m Î ç
ç
÷ ç
÷
ç
ç

3ø è3 2ø

è 2

3ø è3 2ø

b) Xác định m diện tích tứ giác tạo bởi bốn giao điểm của D , D ' và (H) đạt giá trị
nhỏ nhất.
A. m = ±2

B. m = ±3

D. m = 0

C. m = ±1
Lời giải:

æm2

1ö

2
- ÷

÷
a) Từ phương trình D thế x = - my vào phương trình (H) ta được ç
ç
÷y = 1 (*)
ç4
9ø
è

Suy ra D cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm
phân biệt hay

m2 1
4
> 0 Û m2 > Û m Î
4
9
9

æ
2ö æ
2
ç
- ¥ ;- ÷
; +¥
÷È ç
ç
ç
÷
ç
ç

3ø è3
è

ö
÷
÷
÷
ø

Tương tự từ phương trình D thế y = mx vào phương trình (H) ta được

æ1 m2 ö
÷
ç
x2 = 1
÷
ç
÷
ç
9ø
è4
Suy ra D ' cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

1 m2
9
> 0 Û m2 < Û m Î
4
9
4

æ 3 3ö
ç
- ; ÷
÷
ç
÷
ç
è 2 2ø

Vậy D và D ' đều cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

æ 3 2ö
æ2 3ö
mÎ ç
- ;- ÷
Èç
; ÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è 2 3ø è3 2ø
æ 3 2ö
æ2 3ö
- ;- ÷
Èç

; ÷
÷
÷
b. Với m Î ç
ç
ç
÷
÷thì D và D ' cắt (H) tại bốn điểm phân biệt (**)
ç
ç
è 2

3ø è3 2ø

Dễ dàng tìm được giao điểm D và (H) là

æ - 6m
ö
æ 6m
ö
6
- 6
÷
÷
Aç
;
;
÷; C ç
÷và giao điểm D ' và (H) là
ç

ç
÷ è
÷
ç
ç 9m2 - 4 9m2 - 4 ø
è 9m2 - 4 9m2 - 4 ø
æ - 6
ö æ 6
ö
- 6m ÷
6m
÷
Bç
;
; Dç
;
÷
÷
ç
ç
÷
÷ A đối xứng với C và B đối xứng
ç 9 - 4m2 9 - 4m2 ø è
ç 9 - 4m2 9 - 4m2 ø
è
với D qua gốc toạ độ O. Mặt khác D ^ D ' do đó tứ giác ABCD là hình thoi.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1

Suy ra SABCD = AC .BD =
2

72( m2 + 1)

( 9m2 - 4) ( 9 -

4m2 )

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

SABCD =

72( m2 + 1)

( 9m2 - 4) ( 9 -

4m2 )

³

144.( m2 + 1)

( 9m

2

- 4) + ( 9 - 4m

2

)

=

144
5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 9m2 - 4 = 9 - 4m2 Û m = ±1(thỏa mãn (**))
Vậy m = ±1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y2 = 8x . Đường thẳng D không
trùng với trục Ox đi qua tiêu điểm F của (P) sao cho góc hợp bởi hai tia Fx và Ft là
0
tia của D nằm phía trên trục hoành một góc bằng a ( a ¹ 90 ) . Chứng minh rằng D

Cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N và tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi a
thay đổi.
Lời giải:

(

)

Theo giả thiết ta có F 2; 0 , đường thẳng D có hệ số góc k = tan a

ìï y =( x - 2) tan a
Suy ra D : y =( x - 2) .tan a . Xét hệ phương trình ïí 2
(*)
ïï y = 8x
î

2
Suy ra tan a.y - 8y - 16tan a = 0 (**)

D ' = 16 + 16tan2 a > 0 do đó phương trình (**) luôn có hai nghiệm phân biệt, hệ
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt điều này chứng tỏ rằng D Cắt (P) tại hai
điểm phân biệt.
Gọi tọa độ hai giao điểm đó là M ( xM ;yM ) , N ( xN ;yN ) ; I ( xI ;yI
MN
Theo định lý Viét ta có:

)

là trung điểm của


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

yM + yN =

y + yN
8
4
.
> 0 Þ yI = M
=
tan a
2
tan a

Mặt khác từ (*) ta có yM + yN = ( xM + xN - 4) tan a Þ xI =

xM + xN
4
=
+2
2
tan2 a

2

æyI ö
Suy ra xI = 4.ç
÷
+ 2 hay yI2 = 4xI + 8
ç ÷
÷
÷
ç4ø
è
Vậy tập hợp điểm I là đường cong có phương trình : y2 = px +

p2
.(Cũng gọi là
2

Parapol)

 Dạng 4. Các bài toán định tính về ba đường cônic.
1. Phương pháp giải.

Dựa vào phương trình chính tắc của ba đường cônic và giả thiết để thiết lập và
chứng minh một số các tính chất của ba đường cônic.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho (E):

x2 y2
+
= 1 và hai điểm M, N thuộc (E) sao
a2 b2

cho OM vuông góc với ON. Chứng minh rằng
a)

1
1
1
1
+
= 2+ 2
2
2
OM
ON
a
b

b) Đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Lời giải:
a) + Dễ thấy một trong hai điểm trùng với bốn đỉnh của (E) thì đẳng thức hiển
nhiên đúng

+ Nếu cả hai điểm không trùng với các đỉnh của (E):


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Gọi M ( xM ;yM ) , N ( xN ;yN ) , k ( k ¹ 0) là hệ số góc của đường thẳng OM thì hệ số góc

của ON là -

Do M , N Î

1
(vì OM vuông góc với ON ).
k

(E)

nên

xM2
yM2
x2
y2
(1), N + N = 1 (2)
+
=
1
a2
b2
a2
b2

Đường thẳng OM có phương trình là y = kx suy ra yM = kxM
Đường thẳng ON có phương trình là y = -

1
1
x suy ra yN = - xN
k
k

(3)

(4)

Thay (3) vào (1) suy ra

æ
xM2
k2xM2
k2 ö
a2b2
2 ç1
2
÷
+
=
1
Û
x
+

=
1
Û
x
=
÷
M ç
M
÷
ç
a2
b2
a2k2 + b2
èa2 b2 ø
Þ yM2 = k2xM2 =

k2a2b2
a2k2 + b2

Do đó OM 2 = xM2 + yM2 =

a2b2 ( k2 + 1)
a2k2 + b2

Tương tự thay (4) vào (2) suy ra

1 2
x
æ1
2 N

x
1 ö
a2k2b2
2
k
÷
+ 2 = 1 Û xN2 ç
+
=
1
Û
x
=
÷
ç
N
÷
ç
a
b
èa2 k2b2 ø
a2 + k2b2
2
N
2

Þ yN2 =

1 2
a2b2

x
=
N
k2
a2 + k2b2

Do đó ON = x + y =
2

2
N

2
N

a2b2 ( k2 + 1)
a2 + k2b2

( a2 + b2 ) ( k2 + 1) 1 1
1
1
b2 + k2a2
a2 + k2b2
+
= 22 2
+
=
= 2 + 2.
Suy ra
OM 2 ON 2

a
b
a b ( k + 1) a2b2 ( k2 + 1)
a2b2 ( k2 + 1)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Vậy

1
1
1
1
+
= 2+ 2
2
2
OM
ON
a
b

b) Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng MN khi đó OH là đường cao của tam
giác vuông MON. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

1
1
1
1

1
=
+
= 2 + 2 Û OH =
2
2
2
OH
OM
ON
a
b

ab
a2 + b2

Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O bán kính

Ví dụ 2. Cho hypebol (H):

ab
a2 + b2

.

x2 y2
= 1 có các tiêu điểm F1, F2 . Lấy M là điểm bất kì
a2 b2

trên (H). Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là hằng

số.
Lời giải:
Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là:

D1 : y =

b
x hay bx - ay = 0
a

D2 : y = -

b
x hay bx + ay = 0
a

Giả sử M ( xM ;yM

)

khi đó theo công thức khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

ta có

d( M ;D1 ) =

bxM - ayM
a2 + b2

; d( M ;D 2 ) =

Suy ra d ( M ; D 1 ) d ( M ; D 2 ) =

bxM - ayM
a2 + b2

bxM + ayM
a2 + b2
.

bxM + ayM
a2 + b2

=

b2xM2 - a2yM2
a2 + b2

Mặt khác M thuộc (H) nên :

xM 2 yM 2
- 2 = 1 hay b2xM2 - a2yM2 = a2b2
a2
b

Do đó d ( M ; D 1 ) d ( M ; D 2 ) =

a2.b2
là hằng số
a2 + b2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ví dụ 3. Cho parabol (P): y2 = 2ax . Đường thẳng D bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ
số góc k ( k ¹ 0) cắt (P) tại M và N. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M và N
đến trục Ox là hằng số.
Lời giải:
Tiêu điểm F ( a;0) . Vì đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ¹ 0 nên có phương trình:

æ aö
D : y = kç
x- ÷
÷
ç
÷
ç
2ø
è
Hoành độ giao điểm của D và (P) là nghiệm của phương trình:
2

æ aö
k2 ç
x- ÷
= 2ax Û 4k2x2 - 4( 2a + k2a ) x + k2a2 = 0 (*)
÷
ç
÷
ç
2ø

è
2

D ' = 4( 2a + k2a ) - 4k4a2 = 16a2 ( 1 + k2 ) > 0
Theo định lý Viet có xM .xN =

a2
4

Mặt khác ta có d ( M ;Ox ) = yM ; d ( N ;Ox ) = yN
Suy ra d ( M ;Ox ) .d ( N ;Ox ) = yM .yN =

4a2 xM .xN = a2