OXY ĐƯỜNG HYPEBOL (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§6. ĐƯỜNG HYPEBOL
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với
F1F2 = 2c( c> 0) và hằng số a< c .Hypebol là tập hợp các
điểm M thỏa mãn MF1 - MF2 = 2a . Kí hiệu (H)
Ta gọi :

F1 , F2 là tiêu điểm của (H). Khoảng cách F1F2 = 2c

là tiêu cự của (H).
2.Phương trình chính tắc của hypebol:

Hình 3.4

Với F1 ( - c;0) , F2 ( c;0)
M ( x; y) �( H ) �

x2 y2
= 1 với b2 = c2 - a2 (2)
a2 b2

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol
3.Hình dạng và tính chất của (H):
+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( - c;0) , tiêu điểm phải F2 ( c;0)
+ Các đỉnh : A1 ( - a;0) , A2 ( a;0)
+ Trục Ox gọi là trục thực, Trục Oy gọi là trục ảo của hypebol. Khoảng cách
2a giữa hai đỉnh gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.
+ Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của
hypebol
+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = �a, y = �b gọi là hình chữ nhật

cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là
b
hai đường tiệp cận của hypebol và có phương trình là y = � x
a
c
+ Tâm sai : e= > 1
a
+ M ( xM ; yM ) thuộc (H) thì:

c
c
MF1 = a+ exM = a+ xM , MF2 = a- exM = a- xM
a
a

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
 DẠNG 1. Xác định các yếu tố của hypebol khi biết phương trình
chính tắc của chúng.
1.Phương pháp giải.
Từ phương trình chính tắc của hypebol ta xác định các đại lượng a, b và
b2 = c2 - a2 ta tìm được c từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm.
2. Các ví dụ.
x2 y2
=1
6 8

Ví dụ 1.Cho hypebol

a) Xác định tọa độ các đỉnh

(

8;0 ; A2

)

(

8;0

)

B. A1 -

(

6;0 ; A2

)

(

6;0

)

D. A1 -

A. A1 C. A1 -

(

3;0 ; A2

)

(

3;0

)

(

7;0 ; A2

)

(

7;0

)

b) Xác định các tiêu điểm
A. F1 ( - 6;0) ; F2 ( 6;0) B. F1 ( - 10;0) ; F2 ( 10;0)
C. F1 ( - 8;0) ; F2 ( 8;0) D. F1 ( - 5;0) ; F2 ( 5;0)

c); tính tâm sai
A. e=

8

B. e=

6

4
6

C. e=

10

D. e=

6

d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo
A. Độ dài trục thực a= 2 6 , độ dài trục ảo b= 4 2
B. . Độ dài trục thực a= 6 , độ dài trục ảo b= 2 2
C. . Độ dài trục thực a= 6 6 , độ dài trục ảo b= 8 2
D. . Độ dài trục thực a= 3 6 , độ dài trục ảo b= 6 2
e) viết phương trình các đường tiệm cận của (H)
A. y = �
C. y = �

4

3
3
3

x

B. y = �

x

D. y = �

5
3
2
3

x
x

5
6


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
cho hypebol 5x2 - 4y2 = 20
a) Xác định tọa độ các đỉnh

(

8;0 ; A2

)

(

8;0

(

6;0 ; A2

)

(

6;0

A. A1 C. A1 -

)

B. A1 ( - 2;0) ; A2 ( 2;0)

)

D. A1 -

(

)

7;0 ; A2

(

)

7;0

b) Xác định các tiêu điểm
A. F1 ( - 3;0) ; F2 ( 3;0) B. F1 ( - 10;0) ; F2 ( 10;0)
C. F1 ( - 8;0) ; F2 ( 8;0) D. F1 ( - 5;0) ; F2 ( 5;0)
c); tính tâm sai
A. e=

3
2

B. e=

1
2

C. e=

10

D. e=

6

5
6

d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo
A. Độ dài trục thực 2a= 3, độ dài trục ảo 2b= 2 5
B. Độ dài trục thực a= 2 , độ dài trục ảo b= 5
C. Độ dài trục thực 2a= 8, độ dài trục ảo 2b= 7
D. Độ dài trục thực 2a= 12 , độ dài trục ảo 2b= 14
e) viết phương trình các đường tiệm cận của (H)
1
A. y = � x
3

B. y = �

7
x
2

C. y = �

2
x
2

Lời giải:
a) Ta có a2 = 6, b2 = 8 nên a= 6, b= 2 2, c = a2 + b2 = 10
Do đó ta có hypebol có:

(

Tọa độ các đỉnh là A1 -

)

6;0 ; A2

Tiêu điểm là F1 ( - 10;0) ; F2 ( 10;0)
c 10
Tâm sai của (H) là e= =
a
6

(

)

6;0

D. y = �

5
x
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Độ dài trục thực 2a= 2 6 , độ dài trục ảo 2b= 4 2

b
2
Đường tiệm cận có phương trình là y = � x = � x
a
3
b) Viết lại phương trình (H) là:

x2 y2
2
2
= 1, có a = 4, b = 5 nên
4 5

a= 2, b= 5, c = a2 + b2 = 3
Do đó ta có hypebol có:
Tọa độ các đỉnh là A1 ( - 2;0) ; A2 ( 2;0)
Tiêu điểm là F1 ( - 3;0) ; F2 ( 3;0)
c 3
Tâm sai của (H) là e= =
a 2
Độ dài trục thực 2a= 4 , độ dài trục ảo 2b= 2 5
Đường tiệm cận có phương trình là y = �

5
x
2

 DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của hypebol.

1. Phương pháp giải.

Để viết phương trình chính tắc của hypebol ta làm như sau:
x2 y2
+ Gọi phương trình chính tắc hypebol là 2 - 2 = 1( a,b> 0)
a b
+ Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ
giải thiết của bài toán để tìm các đại lượng a, b của hypebol từ đó viết được
phương trình chính tắc của nó.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp
sau:
a) (H) có một tiêu điểm tọa độ là ( - 4;0) và độ dài trục ảo bằng
A.

x2 y2
=1
8 7

B.

x2 y2
=1
9 8

C.

x2 y2
=1
9 4

D.

28
x2 y2
=1
9 7


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4
b) (H) có tiêu cự bằng 10 và đường tiệm cận là y = � x
3
A.

x2 y2
=1
12 16

c) (H) có tâm sai bằng

A.

x2 y2
=1
18 9

B.

C.

x2 y2

=1
25 16

D.

x2 y2
=1
9 16

13
và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 48
3
B.

d) (H) đi qua hai điểm M
x2 y2
A.
=1
5 2

x2 y2
=1
9 4

(

x2 y2
=1
12 8

C.

)

(

2;2 2 và N - 1;-

x2 y2
=1
B. 2 3
5

x2 y2
=1
10 8

D.

x2 y2
=1
18 8

)

3

x2 y2
=1
C. 2 4

5

x2 y2
=1
D. 2 2
5

e) (H) đi qua M ( - 2;1) và góc giữa hai đường tiệm cận bằng 600 .
x2 y2
=1
A. 11 11
.
3

x2 y2
=1
B. 1 1
.
3

x2 y2
x2 y2
=1
=1
C. 11 11
và 1 1
.
3
3

D.

x2 y2
=1
1 3

Lời giải:
: Gọi phương trình chính tắc của (H) là:

x2 y2
- 2 = 1 với b2 = c2 - a2
2
a b

a) (H) có một tiêu điểm tọa độ là ( - 4;0) suy ra c= 4 ; độ dài trục ảo bằng
suy ra 2b= 28 � b2 = 7, a2 = c2 - b2 = 9
x2 y2
Vậy phương trình (H) là
=1
9 7

28


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
b) (H) có tiêu cự bằng 10 suy ra 2c = 10 � a2 + b2 = 25 (1); đường tiệm cận là
4
b 4
16
y = � x suy ra = hay b2 = a2 (2)

3
a 3
9
Thế (2) vào (1) a2 +

16 2
a = 25 � a2 = 9 � b2 = 16
9

Vậy phương trình (H) là
c) Tâm sai bằng

x2 y2
=1
9 16

2
2
13
suy ra c = 13 � a + b = 13 hay 4a2 = 9b2 (3)
3
a
3
a
3

Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 24 suy ra 2a.2b= 48 � ab= 12 (4)
Từ (3) và (4) suy ra a2 = 18; b2 = 8
Vậy phương trình (H) là

x2 y2
=1
18 8

d) (H) đi qua hai điểm M
�2
�
�
�
a2
�
�
�
1
�
�
2
�
�a

(

)

(

2;2 2 và N - 1;-

)

3 nên ta có hệ

8
2
=1 �
�
a2 =
b2
�
��
5
�
3
2
�
= 1 �b = 2
b2

x2 y2
=1
Vậy phương trình (H) là 2 2
5
e) M ( - 2;1) �( H ) nên

4 1
= 1 (*)
a2 b2

Phương trình hai đường tiệm cận là:
b

b
D 1 : y = x hay bx- ay = 0 ; D 2 : y =- x hay bx + ay = 0
a
a
Vì góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60 nên cos60 =
0

b2 - a2
1
Hay =
� 2 b2 - a2 = a2 + b2
2
2
2 b +a

0

b2 - a2
b2 + a2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
�
�
2(b2 - a2 ) = b2 + a2
b2 = 3a2
�
��
�
�

2(b2 - a2 ) =- (b2 + a2) �
a2 = 3b2
�
�
+ Với b2 = 3a2 thay vào (*) được a2 =

11 2
, b = 11
3

x2 y2
=1
Suy ra phương trình hypebol là (H): 11 11
3
+ Với a2 = 3b2 thay vào (*) được a2 = 1, b2 =

1
3

x2 y2
=1
Suy ra phương trình hypebol là (H): 1 1
3
x2 y2
x2 y2
=1
=1
Vậy có có hai hypebol thỏa mãn có phương trình là 11 11
và 1 1
.

3
3
 DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên hypebol thỏa mãn điều kiện

cho trước.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm M thuộc hypebol có phương trình chính tắc là
x2 y2
( H ) : 2 - 2 = 1,a> 0,b> 0 ta làm như sau
a
b
 Giả sử M ( xM ; yM ) , điểm M �( H ) �
thứ nhất.

xM2 yM2
- 2 = 1 ta thu được phương trình
a2
b

 Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương
trình, hệ phương trình ẩn xM , yM ta tìm được tọa độ của điểm M
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hypebol (H):

x2 y2
= 1 có tiêu điểm F1 và F2 .
9 6

Tìm điểm M trên (H) trong trường hợp sau:
a) Điểm M có hoành độ là 4

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
�
�
4;A. M �
�
�
�

� 42 �
�
�
�
�
4;
B. M �
�
�
�
� 3 �
�

42�
�
�
�
�
3 �
�

� 42�
�
�
�
�
�
�
4;
;
M
4;C. M 1 �
�
2�
�
�
�
�
3
�
�
� �

42�
�
�
�
�
3 �
�

� 42�
�
�
�
�
�
�
5;
;
M
5;D. M 1 �
�
2�
�
�
�
�
3
�
�
� �

42�
�
�
�
�
3 �
�

b) Điểm M nhìn hai tiêu điểm của (H) dưới một góc vuông.
� 63 12 �
�
�
�
�
M
;
A.
�
�
�
�
5
5
�
�
�
� 63 12�
�
�
�
;
B. M �
�
�
�
�
5

5
�
�
�
� 63
� ;C. M �
�
�
�5

12�
�
�
�
�
5�
�

� 63 12 �
�
� 63 12�
�
� 63
� ;
�
�
�
�
�
� ;M

;
M
D. M 1 �
,
,
�
�
2�
3�
�
�
�
�
�
�
5
5
�
5
5
�
�
�
�
�
�5

� 63
12�
�

�
�
�
M
;và
�
4�
�
�
5�
�
� 5

c) Khoảng cách hai điểm M và F1 bằng 3
� 18
210�
�
�
�
;
A. M �
�
�
�
�
5
�
� 15
�
� 18

�
�
M
;B.
�
�
� 15

210�
�
�
�
�
5 �
�

� 18
�
� 18
210�
�
�
�
�
;
M
;C. M 1 �
và
�
2�

�
�
�
�
� 15 5 �
�
� 15

�
210 �
�
�
5 �
�
�

� 1
� 1
210�
�
�
�
�
�
M
;
M
;D. 1 �
và 2 �
�

�
�
� 15 5 �
� 15
�
�
�

�
210 �
�
�
5 �
�
�

d) Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng

24 2
5

12�
�
�
�
�
5�
�

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
�12 330�
� �12
�
� ;�
�
A. M � ;
,M�
�
�
�
�
�5 5 �
� �
�5
�12
� ;B. M �
�
�
�5

330�
�
�
�
�
5 �
�

� � 12 330�

330 �
�
�
�
�
M�
;
,
�
�
�
�
�
�
5 �
5
�
� � 5
�

� 12 330 �
� �12 330�
�
�
� ;
�
�
�
;
C. M �

,M�
�
�
�
�
�
�
�
5
�
5
�
5
5
�
�
� �
�12 330�
�12
�
� ;
�
�
� ;M
D. M 1 �
,
�
2�
�
�

�
�
5
�
�5
�
�5

� 12
�
� 12 330�
330 �
�
�
�
�
�
�
�
M
;
M
;,
và
�
�
3�
4�
�
�

�
�
5 �
5
�
� 5
�
� 5
�

�
330�
�
�
�
5 �
�

Lời giải:
Giả sử M ( xM ; yM ) �( H ) suy ra

xM 2 yM 2
= 1(*)
9
6

�
xM2
�
x

=
4
a) Ta có M
suy ra yM = � 6�
�
�
�9
� 42�
�
�
�
�
�
�
� M 1�
4;
;
M
4;�
2�
�
�
�
�
3
�
�
� �

�

42
�
1�
=�
�
�
3
�

42�
�
�
�
�
3 �
�

b) Từ phương trình (H) có a2 = 9, b2 = 6 nên a= 3, b= 6,c = a2 + b2 = 15
Suy ra F1(-

15;0); F2( 15;0)

uuuu
r
uuuu
r
Ta có: F1M = (xM + 15; yM ); F2M = (xM -

15; yM )

Điểm M nhìn hai tiêu điểm của (H) dưới một góc vuông nên
uuuu
r uuuu
r
F1M .F2M = 0 � (xM + 15)(xM - 15) + yM2 = 0 � yM2 = 15- xM2 thế vào (*) ta được
xM 2 15- xM 2
63
12
suy ra yM = �
= 1� xM = �
9
6
5
5
Vậy có bốn điểm thỏa mãn là


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
� 63 12�
� 63 12�
� 63
�
�
�
�
� ;�
�
�
�
M 1� ;

;
, M2�
, M 3�
�
�
�
�
�
�
�
�
5�
�
5�
�
�5
� 5
�5

�
� 63
12 �
�
�
;và M 4 �
�
�
�
�
5�

�
� 5

12�
�
�
�
�
5�
�

�
xM = 0(l)
�
c
15
x ��
c) Ta có MF1 = a+ xM nên 3 = 3+
- 18
210
�
a
3 M
xM =
� yM = �
�
5
15
�
� 18

� 18
210�
�
�
�
�
�
;
;Vậy có 2 điểm: M 1 �
và M 2 �
�
�
�
�
�
�
� 15
� 15 5 �
d) Phương trình hai tiệm cận là : d1 : y =

�
210 �
�
�
5 �
�
�

6
6

x; d2 : y =x.
3
3

Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng
6
x - yM
3 M
1+
�

2
3

+

6
x + yM
3 M
1+

2
3

=

24 2
5

6xM - 3yM + 6xM + 3yM =

Mặt khác ( *) �
(**) �

(

6xM - 3yM

)(

24 30
( **)
5

)

6xM + 3yM = 54> 0 suy ra

6xM - 3yM + 6xM + 3yM =

24 30
12
330
� xM = �
� yM = �
5
5
5

�12 330�

�
�12
� ;
�
�
� ;M
Vậy có bốn điểm M 1 �
,
�
2�
�
�
�
�
�5 5 �
�
�5
� 12
�
M4�
;�
�
� 5

� 12 330�
330 �
�
�
�
�

�
M 3�
;
,
và
�
�
�
�
�
�
5 �
�
5
�
� 5
�

�
330�
�
thỏa mãn yêu cầu bài toán
�
5 �
�
�
§7. ĐƯỜNG PARABOL

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

24 2
suy ra
5


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1. Định nghĩa: Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định  không đi qua F.
Parabol(P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng .
Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol.
Đường thẳng  được gọi là đường chuẩn của parabol
p = d( F ;D ) được gọi là tham số tiêu của parabol.

( x; y )

2.Phương trình chính tắc của parabol:
�
p �
p
;0�
�
D : x =- ( p> 0)
Với F �
và
�
�
�
�
2 �
�
2

M ( x; y) �( P) � y2 = 2px (3)
(3) được gọi là phương trình chính tắc của parabol

Hình 3.5

3.Hình dạng và tính chất của parabol:
�
�
p �
;0�
+ Tiêu điểm F �
�
�
�
2 �
�
+ Phương trình đường chuẩn: D : x =-

p
2

+ Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của parabol
+ Ox được gọi là trục đối xứng
+ M ( xM ; yM ) thuộc (P) thì:

MF = d( M ;D ) = xM +

p
2

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1. Xác định các yếu tố của parabol khi biết phương trình
chính tắc.
1.Phương pháp giải.
Từ phương trình chính tắc của parabol ta xác định các đại lượng p từ đó
ta suy ra được các yếu tố cần tìm.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Cho parabol (P) có phương trình y2 = 4x
a) Tìm tiêu điểm
A. F ( 2;0)

B. F ( 3;0)

C. F ( 4;0)

D. F ( 1;0)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
b) Đường chuẩn của (P).
A. 2x+ 1= 0

B. 3x+ 1= 0

C. 4x+ 1= 0

D. x+ 1= 0

Lời giải:
Từ phương trình của (P) có 2p= 4 nên p= 2

Suy ra (P) có tiêu điểm là F ( 1;0) và đường chuẩn là x+ 1= 0.

 DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của (E), (H), (P).

1. Phương pháp giải.
Ta thiết lập phương trình từ giải thiết của bài toán để tìm p của parabol từ
đó viết được phương trình chính tắc của nó.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của parabol (P)
a) (P) có tiêu điểm là F ( 0;5)
A. y2 = 5x

B. y2 = 10x

C. y2 = 30x

D. y2 = 20x

b) Khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng D : x + y - 12 = 0 là 2 2
A. y2 = 32x

B. y2 = 64x

C. y2 = 32x hoặc y2 = 64x

D. y2 = 16x hoặc y2 = 64x
Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 2px
a) Do tọa độ tiêu điểm F ( 0;5) nên

p
= 5 � p = 10
2

Vậy phương trình của (P) : y2 = 20x
�
p �
;0�
�
b) Ta có tọa độ tiêu điểm F �
�
�
�
�
2 �
�
Khoảng cách từ F đến đường thẳng D bằng 2 2 nên:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

d( F ;D ) =

p
- 12
2
2

suy ra p= 16 hoặc p= 32.

=2 2

Vậy phương trình của (P): y2 = 32x hoặc y2 = 64x
 DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên parabol thỏa mãn điều kiện

cho trước.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm M thuộc parabol có phương trình chính tắc là
y2 = 2px ta làm như sau
2
 Giả sử M ( xM ; yM ) , điểm M �( P) � yM = 2pxM ta thu được phương trình thứ
nhất.

 Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương
trình, hệ phương trình ẩn xM , yM ta tìm được tọa độ của điểm M
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol (P): y2 = 8x có tiêu điểm F
a) Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 3

(

)

(

A. M 1;2 2

(

)

B. M 1;- 2 2

)

(

)

C. M 1 1;2 2 , M 2 1;- 2 2

(

)

(

)

D. M 1 2;2 2 , M 2 2;- 2 2

b) Tìm điểm M trên (P) sao cho SD OMF = 8
A. M ( 8;8)

B. M ( 3;8)

C. M ( 8;3)

D. M ( 3;3)

c) Tìm một điểm A nằm trên parabol và một điểm B nằm trên đường thẳng
D : 4x- 3y + 5 = 0 sao cho đoạn AB ngắn nhất
�
209 153�
�
;
�
A. A ( 1;3) , B�
�
�
�
200 50 �
�

�
9 153�
�
;
�
B. A ( 2;3) , B�
�
�
�
8 50 �
�


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
�

� �
9 �
209 153�
�
;3�
, B�
;
�
C. A �
�
�
�
�
�
8 �
200 50 �
�
� �

�
�
209 �
;3�
D. A ( 4;3) , B�
�
�
200 �
�
�
Lời giải:

a) Giả sử M ( xM ; yM ) �( P) suy ra yM2 = 8xM (*)
Từ phương trình (P) có p= 4 nên F ( 2;0)
p
Ta có FM = + xM suy ra xM = 1 kết hợp (*) ta có yM = �2 2
2

(

)

(

)

Vậy có hai điểm thỏa mãn là M 1 1;2 2 , M 2 1;- 2 2
�
a2 �
�
�
M
�
P
�
M
; a�
�
( )
b) Ta có
với a�0

�
�
�
�
�8 �
1
SD OMF = 8 � OF.d( M ;OF) = 8 � a= 8
2
Vậy điểm M cần tìm là M ( 8;8)

c) Với mọi điểm A �( P) , B �D ta luôn có AB �d( A ;D )
a2
2
�
�
a
4.
- 3.a+ 5
2
�
A �( P) � A �
; a�
�
với a�0, khi đó
a- 3) + 1 1
8
(
�
�
�

�
�8 �
d( A ;D ) =
=
�
5
10
10
�
9 �
;3�
�và B là hình chiếu của A lên D
Suy ra AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A �
�
�
�
8 �
�
r
Đường thẳng đi qua A vuông góc với D nhận u( 3;4) làm vectơ pháp tuyến
� 9�
�
x- �
+ 4( y - 3) = 0 . hay 24x + 32y - 123 = 0
nên có phương trình là 3�
�
�
�
� 8�
� 209

�
x=
�
� 4x- 3y + 5 = 0
� 200
�
��
Do đó tọa độ điểm B là nghiệm của hệ �
�
24x + 32y - 123 = 0 �
153
�
�
y=
�
�
50
�
�
� �
�
9 �
209 153�
;3�
, B�
;
�thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy A �
�
�

�
�
8 �
200 50 �
�
� �
�


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất