VECTO TÍCH của một VECTƠ với một số (lý thuyết, các dạng bài tập có lời giải) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
r
r
1. Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k�0 là một vectơ, kí hiệu là ka
r
r
, cùng hướng với cùng hướng với a nếu k> 0 , ngược hướng với a nếu k< 0
r
và có độ dài bằng k a
r r
r r
Quy ước: 0a= 0 và k0 = 0
2. Tính chất :
r
r
r
i) (k + m)a= ka+ ma
r
r
iii) k(ma) = (km)a
r r
r
r
v) 1a= a, (- 1)a=- a

r r
r
r
ii) k(a�b) = ka�kb

�
r r
k= 0
r
iv) ka= 0 � �
� r
a= 0
�
�

3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
r
r r r
r
r
 b cùng phương a ( a�0) khi và chỉ khi có số k thỏa b= ka
uuu
r
uuur
 Điều kiện cần và đủ để A , B,C thẳng hàng là có số k sao cho AB = kAC
4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
r
r
r
r
r
r
Cho a không cùng phương b . Với mọi vectơ x luôn được biểu diễn x = ma+ nb
với m, n là các số thực duy nhất.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một
số.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về
phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với
các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của
chúng.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a. điểm M là trung điểm BC . tính độ
dài của chúng.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

a)

1 uur uuur
CB + MA
2
A.a

B.2a

C.3a

D.4a

uuu
r 1 uuu
r

b) BA - BC
2
A.

c)

B.

a 3
2

C.

a 3
5

D.

a 3
6

B.

a 21
2

C.

a 21
4

D.

a 21
7

B.

a 127
8

C.

a 127
3

D.

a 127
2

r
uuur
1 uuu
AB + 2AC
2
A.

d)

a 3
4

a 21
3

uuur
3 uuur
MA - 2,5MB
4
A.

a 127
4

Lời giải:
(Hình 1.14)

1 uur uuur
CB = CM suy ra theo quy tắc
2
ba điểm ta có
a) Do

r
1 uur uuur uuur uuur uuu
CB + MA = CM + MA = CA
2
Vậy

1 uur uuur
CB + MA = CA = a
2

Hình 1.14

b) Vì

r uuur
uuu
r 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
1 uuu
BC = BM nên theo quy tắc trừ ta có BA - BC = BA - BM = MA
2
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Theo định lí Pitago ta có
2

��
a� a 3
MA = AB - BM = a - �
�=
�
��
2�

2
��
2

2

2

uuu
r 1 uuu
r
a 3
Vậy BA - BC = MA =
2
2
c) Gọi N là trung điểm AB, Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh
của hình bình hành AQPN .
r uuur uuur uuur
1 uuu
AB = AN , 2AC = AQ suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có
2
r
uuur uuur uuur uuu
r
1 uuu
AB + 2AC = AN + AQ = AP
2

Khi đó ta có

Gọi L là hình chiếu của A lên QN
� = MNB
� = CAB
� = 600
Vì MN / / AC � ANL
Xét tam giác vuông ANL ta có
� =
sin ANL

AL
� = a sin600 = a 3
� AL = AN .sin ANL
AN
2
4

� =
cos ANL

NL
� = a cos600 = a
� NL = AN .cos ANL
AN
2
4

a 9a
Ta lại có AQ = PN � PL = PN + NL = AQ + NL = 2a+ =
4 4
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có

AP 2 = AL2 + PL2 =

Vậy

3a2 81a2 21a2
a 21
+
=
� AP =
16
16
4
2

r
uuur
1 uuu
a 21
AB + 2AC = AP =
2
2

3
d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho MK = MA , H thuộc tia MB
4
sao cho MH = 2,5MB .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Khi đó

uuur uuuu
r
3 uuur uuur
MA = MK , 2,5MB = MH
4

Do đó

uuur uuur uuuu
r uuur
3 uuur
MA - 2,5MB = MK - MH = HK
4

a 5a
3
3 a 3 3 3a
Ta có MK = AM = .
, MH = 2,5MB = 2,5. =
=
2 4
4
4 2
8
Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có
KH = MH 2 + MK 2 =

Vậy

25a2 27a2 a 127
+
=
16
64
8

uuur
3 uuur
a 127
MA - 2,5MB = KH =
4
8

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a.
r
uuur
uuur uuur
uuuu
r
a) Chứng minh rằng u = 4MA - 3MB + MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí
điểm M.
r
b) Tính độ dài vectơ u
r
u
A. = a 5

r 1

B. u = a 5
2

r
u
C. = 3a 5

r
u
D. = 2a 5

Lời giải:
(Hình 1.15)

a) Gọi O là tâm hình vuông.
Theo quy tắc ba điểm ta có
r
uuuu
r uuur
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuur
u = 4 MO + OA - 3 MO + OB + MO + OC - 2 MO + OD
uuur
uuu

r uuu
r
uuur
= 4OA - 3OB + OC - 2OD

(

) (

) (

) (

uuur
uuu
r uuu
r
uuur
r
uuur uuu
r
Mà OD =- OB, OC =- OA nên u = 3OA - OB
r
Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M

)
Hình 1.15


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

b) Lấy điểm A ' trên tia OA sao cho OA ' = 3OA khi đó
uuuu
r
uuur
r uuuu
r uuu
r uuur
OA ' = 3OA do đó u = OA '- OB = BA '
Mặt khác BA ' = OB2 +OA '2 = OB2 + 9OA 2 = a 5
r
Suy ra u = a 5
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.26. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi điểm M , N lần lượt là trung
điểm BC , CA . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
uuur 1 uur
a) AN + CB
2
A.

b)

a
6

B.

a
5

C.

a
2

D.

a
3

B.

a 3
2

C.

5a 3
2

D.

3a 3
2

B.

a 28
2

C.

5a 28
2

D.

3a 28
2

B.

3a 7
8

C.

a 7
8

D.

a 7
2

r
uuuu
r
1 uuu
BC - 2MN

2
A.

7a 3
2

uuu
r
uuur
c) AB + 2AC
A.

7a 28
2

uuur 3 uuur
c) 0,25MA - MB
2
A.

5a 7
8


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:
Bài 1.26: a) Theo quy tắc ba điểm ta
có

uuur 1 uur uuur uuur uuuu

r
AN + CB = NC + CM = NM
2
uuur 1 uur
1
a
Suy ra AN + CB = MN = AB =
2
2
2

r
uuuu
r uuur uuu
r uuuu
r
1 uuu
b) Theo quy tắc trừ ta có BC - 2MN = BM - BA = AM
2
�

Hình

r
uuuu
r
1 uuu
a 3
BC - 2MN = AM =
2

2

c) Gọi F là điểm đối xứng của A qua C , điểm E là là đỉnh của hình bình
uuu
r
uuur uuu
r uuu
r uuu
r
hành ABEF , theo quy tắc hình bình hành ta có AB + 2AC = AB + AF = AE
Gọi I là hình chiếu của E lên AC .
� = CAB
� = 600
Vì AB / / EF � EIF
� =
sin IFE

IE
� = asin600 = a 3
� IE = EF.sin IFE
EF
2

� =
cos IFE

IF
� = acos600 = a
� IF = EF.cos IFE
EF

2

Áp dụng định lí Pitago ta có
2

2
�
�
a�
a 3�
a 28
�
�
2
2
�
�
�
�
AE = AI + IE = �
2a+ �
+
=
�
�
�
�
� 2� �
�
2

�
�2 �


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuu
r
uuur
a 28
Suy ra AB + 2AC = AE =
.
2
uuur uuuu
r 3 uuur uuur
d) Lấy các điểm H , K sao cho 0,25MA = MH ; MB = MK
2
uuur 3 uuur uuuu
r uuur uuur
Suy ra 0,25MA - MB = MH - MK = KH
2
uuur 3 uuur
Do đó 0,25MA - MB = KH =
2

2

2

�AM �
� �

�
3
�
MB�
�+�
�=
�
�
�
�
�
2
�4 �
� �
�

2
2
�
��
a 3�
a� a 7
�
�
�
�
�
+� �=
�
�

�
�
�
� ��
4�
8
�8 �

Bài 1.27: Cho hình vuông ABCD cạnh a.
r uuur
uuur
uuur
uuuu
r
a) Chứng minh rằng u = MA - 2MB + 3MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí
điểm M.
r
b) Tính độ dài vectơ u
r
A. u = 4a 2

r
B. u = a 2

r
C. u = 3a 2
Lời giải:

Bài 1.27: Gọi O là tâm hình vuông.
Theo quy tắc ba điểm ta có

r
uuuu
r uuur
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuur
u = MO + OA - 2 MO + OB + 3 MO + OC - 2 MO + OD
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
= OA - 2OB + 3OC - 2OD

(

) (

) (

) (

uuur
uuu

r uuu
r
uuur
r
uuur
Mà OD =- OB, OC =- OA nên u =- 2OA
r
Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M
r
uuur
b) u = - 2OA = 2OA = a 2
DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ.
1. Phương pháp giải.

)

r
D. u = 2a 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu
thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng
thức đúng:
 Các tính chất phép toán vectơ
 Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép
trừ
 Tính chất trung điểm:
uuur uuur r
M là trung điểm đoạn thẳng AB � MA + MB = 0

uuur uuu
r
uuur
M là trung điểm đoạn thẳng AB � OA + OB = 2OM (Với O là điểm tuỳ ý)
 Tính chất trọng tâm:
uuu
r uur uuu
r ur
G là trọng tâm của tam giác ABC � GA + GB + GC = O
uuur uuu
r uuu
r uuur
G là trọng tâm của tam giác ABC � OA + OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ ý)
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là
trung điểm của IJ .Khẳng định nào sau đây đúng?
a)
uuur uuu
r ur
A. AC + BD = IJ

uuur uuu
r 1 ur
B. AC + BD = IJ
2

uuur uuu
r
ur
C. AC + BD = 3IJ

uuur uuu
r
ur
D. AC + BD = 2IJ

uuur uuu
r uuu
r uuur ur
A. OA + OB + OC + OD = IJ

uuur uuu
r uuur uuur uuur
B. OA + OB + OC + OD = 2OI

uuur uuu
r uuu
r uuur r
C. OA + OB + OC + OD = 0

uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuur
D. OA + OB + OC + OD = 2OJ

b)

c) với M là điểm bất kì
uuur uuur uuur uuuu

r
uuuu
r
A. MA + MB + MC + MD = 3MO

uuur uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
B. MA + MB + MC + MD = 2MO

uuur uuur uuur uuuu
r uuuu
r
C. MA + MB + MC + MD = MO

uuur uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
D. MA + MB + MC + MD = 4MO


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:
(Hình 1.16)
a) Theo quy tắc ba điểm ta có
uuur uur ur uur ur uur
AC = AI + IJ = AI + IJ + JC
uuu

r uu
r ur uur
Tương tự BD = BI + IJ + JD

Hình 1.16
14

uur uu
r r uur uur r
Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AI + BI = 0, JC + JD = 0
uuur uuu
r
uur uu
r
uur uur
ur
ur
AC
+
BD
=
AI
+
BI
+
JC
+
JD
+
2

IJ
=
2
IJ
Vậy
đpcm

(

) (

)

uuur uuu
r
uur uuu
r uuur
uur
b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA +OB = 2OI , OC + OD = 2OJ
uur uur r
Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI + OJ = 0
uuur uuu
r uuu
r uuur
uur uur
r
OA
+
OB
+

OC
+
OD
=
2
OI
+
OJ
=
0
Suy ra
đpcm

(

)

uuur uuu
r uuu
r uuur r
c) Theo câu b ta có OA +OB +OC +OD = 0 do đó với mọi điểm M thì
uuur uuu
r uuu
r uuur r
OA +OB +OC +OD = 0
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
r

� OM + MA + OM + MA + OM + MA + OM + MA = 0

(

) (

) (

) (

)

uuur uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
� MA + MB + MC + MD = 4MO đpcm
Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G. Gọi
G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm tam giác BCA1 , ABC1 , ACB1 . Chứng minh rằng
uuuu
r uuuu
r uuuu
r r
GG1 + GG2 + GG3 = 0
Lời giải:
uuuu
r uur uuu
r uuur
Vì G1 là trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1 = GB + GC + GA1
Tương tự G2 , G3 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC1 , ACB1 suy ra

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuuu
r uuu
r uur uuur
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur
3GG2 = GA + GB +GC1 và 3GG3 = GA + GC +GB1
Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có
uuuu
r uuuu
r uuuu
r
uuu
r uur uuu
r
uuur uuur uuur
GG1 +GG2 +GG3 = 2 GA +GB + GC + GA1 + GB1 + GC1

(

) (

)

Mặt khác hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G nên
uuur uuur uuur

uuu
r uur uuu
r r
và
GA
+ GB1 + GC1
GA + GB + GC = 0
1
uuuu
r uuuu
r uuuu
r r
Suy ra GG1 + GG2 + GG3 = 0
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn
ngoại tiếp O. Chọn khẳng định đúng?
a)
uuur uuu
r uuur
uuur
A. HA + HB + HC = 4HO

uuur uuu
r uuur
uuur
B. HA + HB + HC = 2HO

uuur uuu
r uuur 2 uuur
C. HA + HB + HC = HO
3

uuur uuu
r uuur
uuur
D. HA + HB + HC = 3HO

uuur uuu
r uuu
r 1 uuur
A. OA +OB +OC = OH
2

uuuuur
uuur uuu
r uuur 1
B. OA + OB + OC = OH
3

uuur uuu
r uuur uuur
C. OA + OB + OC = OH

uuur uuu
r uuu
r uuuur
D. OA +OB +OC = 2OH

uuur
uuur uuur
A. GH + 2GO = OA

uuur
uuur r
B. GH + 2GO = 0

uuur
uuur uuu
r
C. GH + 2GO = AB

uuur
uuur uuur
D. GH + 2GO = AC

b)

c)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:
Hình 1.17)
uuur uuu
r uuur
uuur
a) Dễ thấy HA + HB + HC = 2HO nếu
tam giác ABC vuông
Nếu tam giác ABC không vuông gọi D
là điểm đối xứng của A qua O khi đó
BH / / DC (vì cùng vuông góc với AC)

Hình 1.17

BD / /CH (vì cùng vuông góc với AB)

Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì
uuu
r uuur uuur
HB + HC = HD (1)
uuur uuur
uuur
Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA + HD = 2HO (2)
uuur uuu
r uuur
uuur
Từ (1) và (2) suy ra HA + HB + HC = 2HO
b) Theo câu a) ta có
uuur uuu
r uuur
uuur
HA + HB + HC = 2HO
uuur uuur
uuur uuu
r
uuur uuu
r
uuur
� HO +OA + HO +OB + HO +OC = 2HO

(

) (

) (

)

uuur uuu
r uuu
r uuur
� OA + OB + OC = OH đpcm
uuur uuu
r uuu
r
uuur
c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA + OB + OC = 3OG
uuur uuu
r uuur uuur
Mặt khác theo câu b) ta có OA + OB + OC = OH
uuur
uuur
uuur uuur
uuur r
uuur
uuur r
Suy ra OH = 3OG � OG + GH - 3OG = 0 � GH + 2GO = 0

(

)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b và có trọng tâm G. Gọi
D , E, F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC ,CA , AB .
uuur
uur
uur r
Chứng minh rằng a2.GD + b2.GE + c2.GF = 0
Lời giải:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
(hình 1.18)
Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho
GN = a, GP = b, GQ = c và dựng hình bình hành
GPRN

uuur
uur
uur r
Ta có a2.GD + b2.GE + c2.GF = 0
uuur
uur
uuur r
� aGD
. .GN + bGE
. .GP + cGF
. .GQ = 0 (*)
.
= 2SDGBC , bGE
. = 2SD GCA , cGF

. = 2SD GAB , mặt
Ta có aGD
khác G là trọng tâm tam giác ABC nên
.
= bGE
. = cGF
.
SD GBC = SD GCA = SDGAB suy ra aGD
uuur uur uuu
r r
Vậy (*) � GN + GP + GQ = 0

Hình 1.18

� = GPR
�
Ta có AC = GP = b, PR = BC = a và ACB
(góc có cặp cạnh vuông góc với
nhau)
.)
Suy ra D ACB = D GPR( c.gc
� = BAC
�
� GR = AB = c và PGR
� + BAC
� = 1800 � QGP
� + GPR
� = 1800 � Q , G, R thẳng hàng do đó G là
Ta có QGP
trung điểm của QR

Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có
uuur uur uuur uuu
r uuur r
GN +GP +GQ = GR +GQ = 0
uuur
uur
uur r
Vậy a2.GD + b2.GE + c2.GF = 0 .
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b. Gọi I là tâm
uur
uu
r
uur r
đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng aIA + bIB + cIC = 0
Lời giải:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Cách 1: (Hình 1.19)Gọi D là chân
đường phân giác góc A
Do D là đường phân giác giác trong
góc A nên ta có
r c uuur
DB c uuu
= � BD = DC
DC b
b
uur uu
r c uur uur
� ID - IB = IC - ID

uur b uu
r
uur
� ( b+ c) ID = bIB + cIC (1)

(

)

Hình 1.19

Do I là chân đường phân giác nên ta có :
ID BD CD BD + CD
a
=
=
=
=
IA BA CA BA + CA b+ c
uur
uur
� ( b+ c) ID =- aIA (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’
uur uuu
r uur
Ta có IC = IA ' + IB' (*)
Theo định lý Talet và tính chất đường
phân giác trong ta có :
r

IB BA1 c uur
b uu
=
= � IB' =- IB (1)
IB' CA1 b
c
uuu
r
a uur
Tương tự : IA ' =- IA (2)
c

Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :
uur
r
uur
uu
r
uur r
a uur b uu
IC =- IA - IB � aIA + bIB + cIC = 0
c
c
3. Bài tập luyện tập.

Hình 1.20


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.28: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của

BC , CA , AB .Chọn khẳng định đúng
a)
uuuu
r uuur uur uuu
r
A. AM + BN + CP = AB

uuuu
r uuur uur uuur
B. AM + BN + CP = AC

uuuu
r uuur uur uuu
r
C. AM + BN + CP = BC

uuuu
r uuur uur r
D. AM + BN +CP = 0

b) với O là điểm bất kỳ.
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
A. OA + OB +OC = OM +ON

uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r

B. OA + OB + OC = ON + OP

uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r
C. OA + OB + OC = OM + ON + OP

uuur uuu
r uuur uuur uuu
r
D. OA + OB + OC = OM + OP

Lời giải:
Bài 1.28: (hình 1.49)
uuuu
r uuur uur
a) AM + BN + CP =
r uuur
r uuu
r
r uur
r
1 uuu
1 uuu
1 uuu
AB + AC + BC + BA + CA +CB = 0b)
2
2
2
uuur uuur uuu

r
OM + ON + OP =
=

(

) (

) (

)

Hình 1.49

r uuu
r
r uuur
r
uuur uuu
r uuu
r
1 uuu
1 uuu
1 uuur uuu
OB + OC + OC +OA + OA +OB = OA + OB + OC
2
2
2

(

) (

) (

)

Bài 1.29: Cho tam giác ABC .Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là
trọng tâm tam giác. Chọn khẳng định đúng?
a),
uuur 2 uuur 1 uuu
r
A. AH = AC - AB
3
3
C.Cả A, B đều đúng

uuur
r 1 uuur
1 uuu
B. CH =- AB- AC
3
3
D.Cả A, B đều sai

b) với M là trung điểm của BC
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
A. MH = AC - AB

6
6

uuuu
r 1 uuur 5 uuu
r
B. MH = AC - AB
6
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuuu
r 1 uuur 5 uuu
r
C. MH = AC - AB
3
6

uuuu
r 1 uuur 5 uuu
r
D. MH = AC - AB
6
6
Lời giải:

uuur
uuur uuu
r 2 uuur uuu

r uuu
r 2 uuur 1 uuu
r
Bài 1.29: a) Ta có AH = 2AG - AB = AC + AB - AB = AC - AB
3
3
3

(

)

uuur uuur uuur
r 1 uuur
1 uuu
CH = AH - AC =- AB- AC
3
3
uuuu
r 1 uuur uuu
r uuur
r
1 uuur 5 uuu
b) MH = AH - AB +CH = AC - AB
2
6
6

(

)

Bài 1.30: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC. Chọn khẳng định
đúng?
uuuu
r 2MC uuu
r MB uuur
AB +
AC
A. AM =
BC
BC

uuuu
r MC uuu
r 2MB uuur
AB +
AC
B. AM =
BC
BC

uuuu
r MC uuu
r MB uuur
ABAC
C. AM =
BC
BC

uuuu
r MC uuu
r MB uuur
AB +
AC
D. AM =
BC
BC
Lời giải:

Bài 1.30: Ta có

r MB uuur MC uuuu
r uuur
r uuur
MC uuu
MB uuuu
AB +
AC =
AM + MB +
AM + MC
BC
BC
BC
BC

(

)

(

)

uuuu
r MC uuur MB uuur uuuu
r
= AM +
MB +
MC = AM
BC
BC
Bài 1.31: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C ' D ' có chung đỉnh A. Chọn
khẳng định đúng?
uuur uuur uuuur uuur
A. B' B + CC ' + D ' D = AB'

uuur uuur uuuur uuuu
r
B. B' B + CC ' + D ' D = AC '

uuur uuur uuuur r
C. B' B + CC ' + D ' D = 0

uuur uuur uuuur uuuu
r
D. B' B + CC ' + D ' D = AD '
Lời giải:

Bài 1.31: Ta có:

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur uuur uuuur
B' B + CC ' + D ' D =
uuu
r uuur uuur
= AB + AD - AC -

(

(

)

uuu
r uuur
uuuu
r uuur
uuur uuuu
r
AB- AB' + AC '- AC + AD - AD '
uuur uuur
uuur r
AB' + AD ' + AC = 0

(

) (
)

) (

)

Bài 1.32: Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ
MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chọn khẳng định đúng?
uuuu
r uuur uuur 1 uuuu
r
A. MD + ME + MF = MO
2

uuuu
r uuur uuur
uuuu
r
B. MD + ME + MF = 2MO

uuuu
r uuur uuur 3 uuuu
r
C. MD + ME + MF = MO
2

uuuu
r uuur uuur
uuuu
r
D. MD + ME + MF = 3MO

Lời giải:

Bài 1.32: (hình 1.50) Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh 
ABC, các đường thẳng này lần lượt cắt tại các điểm
như hình vẽ. Dễ thấy ta có các tam giác đều
MD1D2 , ME2E2 , MF1F2 và các hình bình hành
MF1AE2 , ME1CD2 , MD1BF2 .
uuuu
r 1 uuuu
r
uuuu
r
uuur 1 uuur
uuur
Ta có: MD = (MD1 + MD 2) , ME = (ME1 + ME2 ) ,
2
2

Hình 1.50

uuur 1 uuur
uuur
MF = (MF 1 + MF 2 ) .
2
uuuu
r uuur uuur 3 uuuu
r
Cộng từng vế 3 đẳng thức và nhóm ta được: MD + ME + MF = MO
2
Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một đường thẳng D là đường

thẳng bất kỳ. Gọi G là trọng tâm D ABC và A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A, B, C, G lên đường thẳng V .Chọn khẳng định đúng?
uuuu
r uuur uuur uuur
A. AA ' + BB' +CC ' = GG '

uuuu
r uuur uuur
uuur
B. AA ' + BB' + CC ' = 2GG '

uuuu
r uuur uuur
uuur
C. AA ' + BB' + CC ' = 3GG '

uuuu
r uuur uuur 1 uuur
D. AA ' + BB' +CC ' = GG'
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.34: Cho n vectơ đôi một khác phương và tổng của n- 1 vectơ bất kì
trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại. Chứng minh rằng tổng n
vectơ cho ở trên bằng vectơ không.
Lời giải:
ur
r ur ur
ur

Bài 1.34: Giả sử n vectơ là ai , i = 1,2,...,n . Đặt u = a1 + a2 + ...+ an
Vì tổng của n- 1 vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn
ur ur
r
r r
lại do đó u cùng phương với hai vectơ a1 , a2 nên u= 0 .
Bài 1.35: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b. Gọi I là tâm
và D, E, F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp
tam giác ABC . M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh
rằng:
uur � C
uu
r � A
uur r
� B
C�
A�
B�
cot + cot �
IA +�
cot + cot �
IB +�
cot + cot �
IC = 0
�
�
�
a) �
�
�

�
�
� 2
� 2
2�
2�
2�
� 2
� �
� �
�
b) cot

r
r r
A uuu
B uur
C uu
IM + cot IN + cot IP = 0
2
2
2

uuu
r
uur
uu
r r
c) ( b+ c- a) IM +( a+ c- b) IN +( a+ b- c) IP = 0
uuur

uur
uur r
d) aAD + bBE + cCF = 0
Lời giải:
Bài 1.35: (hình 1.51)

a) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp D ABC ta có
� B
� C
� A
C�
A�
B�
a= r �
cot + cot �
; b= r �
cot + cot �
; c= r�
cot + cot �
�
�
�
�
�
�
�
� 2
� 2
�
�

2�
2�
2�
� 2
�
�
�
uur
uu
r
uur r
Theo ví dụ 5 ta có aIA + bIB + cIC = 0
Hình 1.51


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uur � C
uu
r � A
uur r
� B
C�
A�
B�
��
cot + cot �
IA +�
cot + cot �
IB +�
cot + cot �

IC = 0
�
�
�
�
�
�
�
� 2
� 2
� �
� �
�
2�
2�
2�
� 2
uuu
r 1 uu
r uur uur 1 uur uur uu
r 1 uur uur
b) Ta có IM = IB + IC ; IN = IC + IA ; IP = IA + IC
2
2
2

(

Theo câu a) ta có cot
Suy ra cot

)

(

)

(

)

r uur
r
r
A uu
B uur uur
C uur uu
IB + IC + cot IA + IC + cot IA + IB = 0
2
2
2

(

)

(

)

(

)

r
r r
A uuu
B uur
C uu
IM + cot IN + cot IP = 0
2
2
2

c) Ta có

uur uu
r uur uuu
r uu
r uuu
r uu
r uur uur uuu
r uur uu
r
IA = IP + IN - IM ; IB = IM + IP - IN ; IC = IM + IN - IP Kết hợp ví dụ 5 suy ra
uur
uu
r
uur r
aIA + bIB + cIC = 0

uuu
r
uur
uu
r r
� ( b+ c- a) IM +( a+ c- b) IN +( a+ b- c) IP = 0
uur DC uu
r DB uur ( p- c) uu
r ( p- b) uur
d) ID =
IB +
IC =
IB +
IC
BC
BC
a
a
uur
uu
r
uur
� aID = ( p- c) IB +( p- a) IC với p là nửa chu vi.
Tương tự ta có :
uu
r
uur
uur uu
r
uur

uu
r
bIE = ( p- a) IC +( p- c) IA ; cIF = ( p- b) IA +( p- a) IB
uur
uu
r
uu
r
uur
uu
r
uur
� aID + bIE + cIF = ( 2p- b- c) IA +( 2p- c- a) IB +( 2p- a- b) IC
uur
uu
r
uur
uuur
uur
uur r
= aIA + bIB + cIC � aAD + bBE + cCF = 0
Bài 1.36: Cho tam giác ABC . M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng
uuur
uuur
uuur r
minh rằng :
SMBC MA + SMCA .MB + SMAB MC =0
Lời giải:

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.36: (hình 1.52)Gọi A' là giao điểm AM với BC ta có
uuuur A 'C uuur A ' B uuur
MA ' =
MB +
MC (*)
BC
BC

Mặt khác

S
A 'C SMA 'C SMAC
A 'C
=
=
�
+ 1= MAC + 1
A ' B SMA 'B SMAB
A 'B
SMAB
�

Và

SMAB
A 'B
=
BC
SMAB + SMAC

Hình 1.52

SMAC
A 'C
=
(1)
BC
SMAB +SMAC

uuuur
uuur
SMBC
MA ' uuur
MA =MA (2)
Mặt khác MA ' =MA
SMAB +SMAC
Thay (1) và (2) vào (*) ta được điều phải chứng minh.

ur
Bài 1.37: Cho đa giác lồi A1A2...An ( n�3); ei ,1�i �n là vectơ đơn vị vuông
uuuuuur
góc với Ai Ai +1 (xem An+1 �A1 ) và hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh
rằng
ur
ur
ur r
A1A2 e1 + A2A3 e2 + ...+ An A1en = 0 (định lý con nhím)
Lời giải:
Bài 1.37: (hình 1.53)Ta chứng minh bằng quy

nạp
ur
ur
ur r
Với n= 3 đẳng thức trở thành ae
. 1 + be
. 2 + ce
. 3 =0
(đúng vì đẳng thức này tương đương với đẳng
thức ở bài 11)
Giả sử đúng với n = k- 1, k �4
r
Gọi e là vectơ đơn vị vuông góc với A1A k- 1 và
hướng ra ngoài tam giác A1A k- 1A k

ur
e1

ur
ek
uuu
r
ek- 1

r
e
uuu
r
ek- 2
Hình 1.53

ur
e2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Theo giả thiết quy nạp ta có
ur
ur
uuur
r
r
A1A2 e1 + A2 A3 e2 + ...+ A k- 2 A k- 1ek- 2 + A k- 1A1 - e = 0 (1)

( )

r
uuur
ur r
Mặt khác xét tam giác A1Ak- 1A k ta có A1A k- 1e+ A k- 1Ak ek- 1 + A k A1ek = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Bài 1.38: Cho đa giác lồi A1A2...An ( n�3) với I là tâm đường tròn tiếp xúc các
ur
uuu
r
cạnh của đa giác; gọi ei ,1�i �n là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ IAi .
Chứng minh rằng cos

A ur r
A1 ur

A ur
e1 + cos 2 e2 + ...+ cos n en = 0
2
2
2
Lời giải:

Bài 1.38: (hình 1.54)Gọi Bi , i = 1,2,...,n là các tiếp
điểm đường tròn nội tiếp với cạnh Ai Ai +1
�B I = A
�B I = 900 và
Xét tứ giác A1B1IBn có A
1 n
1 1
�A I = B
�A I
B
n 1
1 1
�IA = B
�IA . Mặt khác IB = IB dó đó
Suy ra B
1
n
n
1
1
1
IA1 ^ B1Bn

Hình 1.54

Tương tự ta có IAi ^ Bi- 1Bi ,i = 2,3,...,n
Xét đa giác lồi B1B2...Bn theo định lý con nhím ta có
ur
ur
ur r
BnB1.e1 + B1B2.e2 + ...+ Bn- 1Bn .en = 0
� IB1.cos

A ur r
A1 ur
A ur
e1 + IB2.cos 2 e2 +...+ IBn.cos n en = 0
2
2
2

Mà IB1 = IB2 = ... = IBn suy ra đpcm.
Bài 1.39: Cho tam giác ABC vuông tại A. I là trung điểm của đường cao AH.
uur
uu
r
uur r
Chứng minh rằng : a2 IA + b2 IB + c2 IC = 0 .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:
Bài 1.39: Ta có

uur
Suy ra IH =

HB HB.BC c2
=
= ,
HC HC.BC b2

r
b2 uu
c2 uur
IB + 2
IC
c2 + b2
c + b2

uur b2 uu
r c2 uur
uur
uur
Mà b2 + c2 = a2 và IH =- IA nên suy ra - IA = 2 IB + 2 IC
a
a
uur
uu
r
uur r
Hay a2 IA + b2 IB + c2 IC = 0 .

DẠNG 3: Xác định điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ cho

trước
1. Phương pháp giải.
uuuu
r r
r
 Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng AM = a trong đó điểm A và a đã
uuuu
r r
biết. Khi đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho AM = a , để dựng điểm M
r
ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ a suy ra điểm ngọn vectơ
này chính là điểm M.
 Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và
trọng tâm tam giác
2. Các ví dụ.
uuur
uuur r
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết 2MA - 3MB = 0
Lời giải:
(hình 1.21)
uuur
uuur r
Ta có 2MA - 3MB = 0
uuur
uuur uuu
r
r
� 2MA - 3 MA + AB = 0
uuuu
r

uuu
r
� AM = 3AB

(

)

Hình 1.21

M nằm trên tia AB và AM = 3AB
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M , N , P sao cho


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur uuur uuur r
a) 2MA + MB + MC = 0
A. M là trung điểm AE, với E là trung điểm AC
B. M là trung điểm AF, với F là trung điểm AB
C. M là trung điểm AG, với G là trọng tâm ABC
D. M là trung điểm AI, với I là trung điểm BC
uuur uuu
r uuur uuur r
b) NA + NB + NC + ND = 0
A. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD
B. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, BCD
C. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AD, BC
D. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD
uuu
r uur uuu

r uuu
r r
c) 3PA + PB + PC + PD = 0
A. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ACD
B. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BAD
C. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BCD
D. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ABC
Lời giải:
(hình 1.22)
a)
Gọi I là trung điểm BC suy ra
uuur uuur
uuu
r
MB + MC = 2MI
uuur uuur uuur r
Do đó 2MA + MB + MC = 0
uuur
uuu
r r
uuur uuu
r r
2MA + 2MI = 0 � MA + MI = 0
Suy ra M là trung điểm AI

Hình 1.22


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có
uuur uuu
r uuur uuur r
uuur
uuur r
NA + NB + NC + ND = 0 � 2NK + 2NH = 0
uuur uuur r
� NK + NH = 0 � N là trung điểm của KH
uur uuu
r uuu
r
uuu
r
c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có PB + PC + PD = 3PG
uuu
r uur uuu
r uuu
r r
uuu
r
uuu
r r
Suy ra 3PA + PB + PC + PD = 0 � 3PA + 3PG = 0
uuu
r uuu
r r
� PA + PG = 0 � P là trung điểm AG .
Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực a , b thoả mãn a + b �0.
uur
uu

r r
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn a IA + b IB = 0.
uuur
uuur
uuu
r
Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì a MA + b MB = (a + b)MI .
Lời giải:
uur
uu
r r
uur
uur uuu
r
r
Ta có: a IA + b IB = 0 � a IA + b(IA + AB) = 0
uur
uuu
r
uur
uur
uuu
r r
�
(
a
+
b
)
AI

=
b
AB
�
AI =
� (a + b)IA + b AB = 0.

Vì A, B cố định nên vectơ

r
b uuu
AB.
a +b

r
b uuu
AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I
a +b

thoả mãn điều kiện.
Từ đó suy ra
uuur
uuur
uuu
r uur
uuu
r uu
r
a MA + b MB = a (MI + IA ) + b(MI + IB)
uuu

r
uur
uu
r
uuu
r
= (a + b)MI +(a IA + b IB) = (a + b)MI đpcm.

3. Bài tập luyện tập.
uuur
uuur
uuur r
Bài 1.40: Xác định điểm M biết MA + 2MB + 3MC = 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.41: Xác định các điểm I, J, K, L biết
uur
uu
r r
a) IA - 2IB = 0
A. I là điểm đối xứng của A qua B. B.I là trung điểm AB
C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

uur uu
r
uur r
b) JA - JB- 2JC = 0

uu
r 1 uuu
r
A. CJ = AB
3

uu
r 1 uuu
r
B. CJ = AB
2

uu
r 3 uuu
r
C. CJ = AB
2

uu
r 1 uuu
r
D. CJ = AB
4

uuur uuu
r
B. AK = AB

uuur 2 uuu
r

C. AK = AB
3

uuur 4 uuu
r
D. AK = AB
3

uuu
r 5 uuu
r
C. AL = BC
2

uuu
r 1 uuu
r
D. AL = BC
2

uuu
r uur uuu
r uuu
r
c) KA + KB + KC = BC
uuur 1 uuu
r
A. AK = AB
3

uuu
r uur
uur uuu
r uuur
d) 2LA - LB + 3LC = AB + AC
uuu
r 1 uuu
r
A. AL = BC
3

uuu
r 3 uuu
r
B. AL = BC
2

Bài 1.42: Cho tứ giác ABCD . Tìm điểm cố định I và hằng số k để hệ thức sau
thỏa mãn với mọi M
uuur uuur
uuur
uuu
r
a) MA + MB + 2MC = kMI
A. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=1
B. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=4
C. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=2
D. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=3
uuur
uuur uuuu

r
uuu
r
b) 2MA + 3MB - MD = kMI
uur 1 uuu
r uuur
A. k = 2, AI = 3AB- AD
4

(

)

uur 1 uuu
r uuur
B. k = 3, AI = 3AB- AD
4

(

)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uur 1 uuu
r uuur
C. k = 1, AI = 3AB- AD
4

(

)

uur 1 uuu
r uuur
D. k = 4, AI = 3AB- AD
4

(

)

uuur
uuur
uuur
uuuu
r
uuu
r
c) MA + 2MB + 3MC - 4MD = kMI
uur
uuu
r
uuur
uuur
A. k = 3, IA = 2AB + 3AC - 4AD

uur
uuu
r

uuur
uuur
B. k = 2, IA = 2AB + 3AC - 4AD

uur
uuu
r
uuur
uuur
C. k = 1, IA = 2AB + 3AC - 4AD

uur
uuu
r
uuur
uuur
D. k = 4, IA = 2AB + 3AC - 4AD
Lời giải:

uur uu
r
uur r
ur uur r
Bài 1.42: a) Cho M �I � IA + IB + 2IC = 0 � IJ + IC = 0
Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC
uuur uuur
uuur
uuu
r
uuu

r
uuu
r
MA + MB + 2MC = kMI � 4MI = kMI � k = 4
uur 1 uuu
r uuur
b) k = 4, AI = 3AB- AD
4

(

)

uur
uuu
r
uuur
uuur
c) k = 2, IA = 2AB + 3AC - 4AD
Bài 1.43: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b. Tìm điểm M
uuur
uuur
uuur r
sao cho aMA + bMB + cMC = 0
A. M trung điểm AB
B. M trực tâm ABC
C. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác
D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Lời giải:
Bài 1.43: M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1.44: Cho tam giác ABC và ba số thức a , b , g không đồng thời bằng
không. Chứng minh rằng:
uuur
uuur
uuur r
a) Nếu a + b + g �0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho a MA + b MB + gMC = 0.
uuur
uuu
r
uuur r
b) Nếu a + b + g = 0 thì không tồn tại điểm N sao cho a NA + bNB + gNC = 0.