5 khoi da dien va the tich cua chung

B.

hình học

chơng 1

khối đa diện và thể tích của chúng

A. Kiến thức cần nhớ

I. Khái niệm khối đa diện
1. Khối đa diện. Khối chóp, khối lăng trụ

Định nghĩa
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình gồm một số
hữu hạn đa giác phẳng thoả mãn hai điều kiện:
a. Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có
một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
b. Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Định nghĩa
Hình đa diện và phần bên trong của nó gọi là khối đa diện.
Phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Kết quả
Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia đợc thành
các khối tứ diện (bằng nhiều cách khác nhau).

II. Thể tích của khối đa diện
2. Thể tích của khối hộp chữ nhật
Định lí 1: Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích số của ba
kích thớc.

Nh vậy:
Với khối hộp chữ nhật có ba kích thớc là a, b, c thì V =
abc.
Khối lập phơng có cạnh bằng a thì V = a3.
3. Thể tích của khối chóp

Định lí 2: Thể tích của khối chóp bằng

1
tích của diện tích đáy
3

và chiều cao.
Nh vậy, với khối chóp có diện tích đáy bằng b và chiều cao
bằng h ta có:
1
V = b.h.
3

47


4. Thể tích của khối lăng trụ
Định lí 2: Thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy
và chiều cao.

Nh vậy, với khối lăng trụ có diện tích đáy bằng b và chiều
cao bằng h ta có:
V = b.h.

B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan
Dạng toán 1:

Tính thể tích

Phơng pháp
Để tính thể tích của một khối chóp, khối lăng trụ (gọi chung là
(H)) ta thờng thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Xác định các yếu tố của giả thiết (nh khoảng cách, góc
giữa đờng thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt
phẳng ...) theo các phơng pháp đã biết.
Bớc 2: Thiết lập công thức tính thể tích V cho (H).
Bớc 3: Dựa vào công thức, ta phân tích V thành các biểu thức
chứa những đoạn thẳng phải tính.
Bớc 4: Tính độ dài những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng
các hệ thức lợng trong tam giác, tính chất đồng dạng ...
Bớc 5: Suy ra giá trị của V.


Chú ý: 1.

Với khối đa diện khác chúng ta sử dụng kiến thức về
việc phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
2. Do đặc thù của công thức tính thể tích một khối
hộp chữ nhật chúng ta giảm thiểu năm bớc trong
dạng toán 1 ở phần mở đầu thành các bớc:
Bớc 1: Thiết lập công thức tính thể tích V cho
(H).
(1)
Bớc 2: Dựa vào giả thiết tính những giá trị trong

V. (2)
Bớc 3: Thay (2) vào (1), ta đợc giá trị của V.

Thí dụ 1. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thớc
làm thành cấp số nhân với công bội là 2 và tổng của
chúng bằng 42.



Giải
Gọi a, b, c là ba kích thớc của hình hộp chữ nhật, ta có:
V = abc.

48

(3)


Từ giả thiết a, b, c theo thứ tự đó chúng lập thành một cấp số
nhân với công bội bằng 2 và tổng của chúng bằng 42, ta có:
a + b + c = 42
a + 2a+ 4a = 42
a = 6



b = 2a
b = 12 .
(4)
b = 2a

c = 4a
c = 4a
c = 24



Thay (4) vào (3) ta đợc V = 6.12.24 = 1728 (đvtt).



Nhận xét: a. Nh vậy, để tính thể tích của khối hộp chữ
nhật và khối lập phơng trên chúng ta đã thực
hiện đúng theo ba bớc đợc nêu trong phần phơng
pháp.
b. Do đặc thù của công thức tính thể tích một khối
chóp chúng ta cụ thể năm bớc trong dạng toán 1 ở
phần mở đầu thành các bớc:
Bớc 1: Xác định các yếu tố của giả thiết (nh
khoảng cách, góc giữa đờng thẳng với
mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng ...)
theo các phơng pháp đã biết.
Bớc 2: Thiết lập công thức tính cho thể tích V
thông qua biểu thức chứa những đoạn
thẳng phải tính. (1)
Bớc 3: Tính độ dài những đoạn thẳng ấy bằng
cách sử dụng các hệ thức lợng trong tam
giác, tính chất đồng dạng ...
(2)
Bớc 4: Thay (2) vào (1), ta đợc giá trị của V.

Thí dụ 2. Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD có:
a. Diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt
bên bằng 2 .
ã
b. AC = 2 và ASB
= 600.



Giải
a. Gọi O là tâm của đáy ABCD, ta có:
1
4
V = SABCD .SO = SO .
(1)
3
3
Gọi M là trung điểm AB, ta lần lợt có:
SABCD = AB2 = 4 AB = 2.
1
2SSAB
SSAB = SM.AB SM =
= 2
2
AB

S

C

D

B
O

A

M

49


2

AB
2
SO = SM OM = SM
ữ = 2 1 = 1.
2
S
4
Thay (2) vào (1) ta đợc V =
(đvdt).
3
b. Gọi O là tâm của đáy ABCD, ta có:
1
1
V = SABCD .SO = AB2.SO .
(3) C
3

3
O
Gọi M là trung điểm AB, ta lần lợt:
D
AC
2
=
= 2.
Trong ABC vuông cân tại B, ta có AB =
2
2
(4)
Trong SMA vuông tại M, ta có:
AB
ã
=
.cot300 = 6 .
SM = AM.cotASM
2
2
Trong SOM vuông tại O, ta có:
6 2
SO2 = SM2 OM2 = = 1 SO = 1.
4 4
(5)
2
Thay (4), (5) vào (3) ta đợc V =
(đvtt).
3
2

2

2

(2)

B
A

M


Nhận xét: Nh vậy, để tính thể tích của các khối chóp tứ
giác đều trên chúng ta đã thực hiện đúng theo
bốn bớc đợc nêu trong phần phơng pháp, với lu ý
dạng hình chóp này luôn nhận SO làm đờng cao.
Thí dụ 3. a. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
0
3 và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 .
Tính thể tích của hình chóp.
b. Cho hình chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6, 8,
10. Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy một
góc 600. Tính thể tích khối chóp.



Giải
a.
Xét khối chóp tam giác đều S.ABC thỏa mãn điểu

S kiện
đầu bài.
Gọi G là trọng tâm ABC, suy ra SG (ABC) nên:
1
1 AB2 3
60 A
B
V = SABC .SG = .
(1)
.SG .
3
3
4
G
E
Trong SGA vuông tại G, ta có:
C
ã
= g(SA, (ABC)) = 600;
SAG

(
0

50


2
2 3. 3
ã

ã
SG = AG.tan SAG
= AE.tanSAG
= .
.tan600 =
3
3 2
(2)
Thay (2) vào (1) ta đợc:

( )

3.

2

3
3 3
V = 1.
. 3 = 4 (đvdt).
3
4
b.
Xét khối chóp tam giác S.ABC thỏa mãn điểu kiện đầu bài với
AB = 6, AC = 8, BC = 10, SA = 4 và tạo với đáy một gócS600.
Gọi H là hình chiếp vuông góc của S xuống (ABC), ta có:
1
V = SABC .SH .
(3)
3

(60 A
B
0
Ta lần lợt:
H
Trong ABC, ta có:
C
AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100 = 102 = BC2
1
1
ABC vuông tại A SABC = AB.AC = .6.8 = 24 .
2
2
(4)
ã
Trong SHA vuông tại H, ta có SAH
= g(SA, (ABC)) = 600 nên:
ã
SH = SA.sinSAH
= 4.sin600 = 2 3 .
(5)
1
Thay (4), (5) vào (3) ta đợc V = .24.2 3 = 16 3 (đvtt).
3



Nhận xét: Nh vậy, để tính thể tích của các khối chóp trên
chúng ta đã thực hiện đúng theo bốn bớc đợc nêu
trong phần phơng pháp, tuy nhiên:

ở câu a) chúng ta dễ dàng xác định đợc đờng
cao (mọi hình chóp đa giác đều có đờng cao là
đoạn thẳng nối đỉnh với tâm của đáy) và công
thức tính diện tích đáy.
ở câu b) bằng việc gọi H là hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABC) chúng ta đã
thực hiện đợc hai mục đích là "Xác định đợc
góc giữa SA với (ABC) và đờng cao SH của hình
chóp". Ngoài ra, nếu các em học sinh không biết
đánh giá để nhận đợc ABC vuông tại A thì cũng
có thể tính đợc diện tích ABC bằng công thức
Hêrông.
Thí dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác
vuông cân AB = AC = a. Mặt bên (SBC) vuông góc với
51


mặt đáy (ABC), hai mặt bên còn lai đều tạo với đáy
môt góc 450.
a. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của S
xuống đáy (ABC) là trung điểm cạnh BC.
b. Tính thể tích hình chóp S.ABC.



S

Giải
a. Hạ SH vuông góc với BC thì cùng với các điều kiện:
(ABC) (SBC) = BC

H
B

SH (ABC).
(ABC)

(SBC)

M
N
Hạ HM, HN theo thứ tự vuông góc với AB và AC
A
(M, N theo thứ tự sẽ là trung điểm của AB, AC), ta
có:
ã
ã
SM AB SMH
SN AC SNH
= 450 ,
= 450 .
Từ đó, ta đợc:
SHM = SHN HM = HN BHM = CHN HB = HC.
Vậy, hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) là trung điểm
cạnh BC.
b. Trong SHM vuông tại H, ta có:
1
a
ã
SMH
= 450 SH = MH = AC = .

2
2
Từ đó, suy ra:
1
1 a a2
a3
V = SH.SABC = . .
=
(đvtt).
3
3 2 2
12



52

Nhận xét: a. Trong lời giải trên chúng ta đã sử dụng kết
quả:
"Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với
nhau thì bất cứ đờng thẳng a nào thuộc mặt
phẳng (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q)
sẽ vuông góc với mặt phẳng (Q)"
để xác định đờng cao của hình chóp. Các em
học sinh cần nhớ thêm kết quả:
"Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba"
b. Do đặc thù của công thức tính thể tích một khối
lăng trụ chúng ta cụ thể năm bớc trong dạng toán 1 ở

phần mở đầu thành các bớc:
Bớc 1: Xác định các yếu tố của giả thiết (nh
khoảng cách, góc giữa đờng thẳng với

C


Bớc 2:
Bớc 3:
Bớc 4:

mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng ...)
theo các phơng pháp đã biết.
Thiết lập công thức tính cho thể tích V
thông qua biểu thức chứa những đoạn
thẳng phải tính.
(1)
Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử
dụng các hệ thức lợng trong tam giác, tính
chất đồng dạng... (2)
Thay (2) vào (1), ta đợc giá trị của V.

Thí dụ 5. Đáy của một hình lăng trụ là một hình thoi cạnh
bằng a và góc nhọn bằng , cạnh bên có dài bằng b và
tạo với đáy một góc . Tính thể tích của lăng trụ.



A'
D'

Giải
Gọi h là độ dài đờng cao của hộp, ta có:
B'
V = B.h.
(1) C'
Ta lần lợt:
D
A
Diện tích đáy của nó hình hộp đợc cho bởi:
H
1
ã
B = 2SABD = 2. AB.AD.sinBAD
= a2.sin . (2) C
B
2
Gọi H là hình chiếp vuông góc của A' xuống (ABCD), ta có:
ã 'AH = b.sin .
ã 'AH = h = A 'H = A 'A.sinA
(3)
A
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc V = a2b.sin.sin (đvtt).



Nhận xét: Nh vậy, để tính đợc thể tích khối lăng trụ trên
chúng ta cần xác định đợc góc giữa cạnh bên và
đáy (góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng). Với
diện tích hình thoi chúng ta đã sử dụng định lí
hàm số sin.

Thí dụ 6. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC, mặt bên
ABBA có diện tích bằng S. Khoảng cách giữa cạnh CC
và mặt (ABBA) bằng d. Tính thể khối tích lăng trụ.D
A
'
'
Giải
B
C
Ta dựng khối hộp ABCD.ABCD, khi đó:
'
'
1
1
VABC.A 'B'C' = VABCD.A 'B'C'D' = SABB1A1 .h . (1)
D
2

trong đó:
SABB1A1 = S.

2

(2)

C

53

B

A


h = d((CDD1C1).(ABB1A1)) = d(CC1.(ABB1A1)) = d.
(3)
1
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc VABCD.A1B1C1D1 = Sd .
2

Dạng toán 2:

Dùng cách tính thể tích để giải toán

Phơng pháp
Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Dùng hai cách để tính thể tích của khối đa diện (H), cụ
thể:

Bớc 2:

V(H) = f và V(H) = g.
Từ đó, suy ra f = g.

Thí dụ 1. Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và
cách đều các mặt của tứ diện một khoảng là r. Gọi hA,
hB, hC, hD lần lợt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D
đến các mặt đối diện. Chứng minh rằng:
1 1

1
1
1
=
+
+
+
.
r hA hB hC hD



Giải
Ta lần lợt có:
VO.BCD d(O, (BCD)).SBCD
r
=
=
,
VA.BCD d(A, (BCD)).SBCD hA
VO.CDA
r VO.DAB
r VO.ABC
r
=
=
=
tơng tự, ta có
,
,

.
VB.CDA hB VC.DAB hC VD.ABC hD
Từ đó, suy ra:
VO.BCD + VO.CDA + VO.DAB + VO.ABC
r
r
r
r
+
+
+
= =
VABCD
hA hB hC hD
1
1 1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
1= r
, đpcm.

ữ =
r hA hB hC hD
hA hB hC hD

Dạng toán 3:

Tỉ số thể tích

Phơng pháp
Để tính tỉ số thể tích hai phần của một khối đa diện (H) đợc
phân chia bởi một mặt phẳng () ta lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Dựng thiết diện tạo bởi () và (H).

54


Bớc 2:

Dùng phơng pháp tính thể tích đã biết để tính
các thể tích V1 và V2 của 2 hình (H1) và (H2)
của (H) do () cắt ra.
V1
Bớc 3: Tính k =
.
V2
Cách 2: Sử dụng kết quả:
"Trên ba tia không đồng phẳng Sx, Sy, Sz lấy lần lợt các
cặp điểm A và A1, B và B1, C và C1 khi đó ta luôn có:
VSABC

SA SB SC
.
.
=
"
(*)
V SA1B1C1
SA1 SB1 SC1


Chú ý: Dựa vào kết quả (*) chúng ta nhận thêm đợc một cách
tính thể tích.
Thí dụ 1. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B' và D'
lần lợt là trung điểm của AB và AD. Mặt phẳng (CB'D')
chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích mỗi
A
phần đó.





Giải
Ta lần lợt có:
VA.B'CD' AB' AC AD'
1
V
=
.
.

VA.BCD
AB AC AD = 4 VAB'CD' = 4 .
V
3V
VCB'D'DB = VABCD VAB'CD' = V
=
.
4
4

D
'

B
B'

D

C

Nhận xét: Nh vậy, để tính thể tích của các khối đa diện
trên chúng ta đã sử dụng tỉ số thể tích. Các thí dụ
tiếp theo vẫn minh họa phơng pháp này nhng với
độ phức tạp cao hơn.

Thí dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đờng cao SA = a, đáy là
tam giác vuông cân AB = BC = a. Gọi B' là trung điểm
của SB, C' là chân đờng cao hạ từ A của SAC.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng

(AB'C').
c. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'.
S
Giải
a. Ta có:

C
B'
'

A
55

C
B


VS.ABC =

1
1 a2
a3
SA.SABC = .a.
=
.
3
3 2
6

b. Ta có:

BC AB
BC (SAB) BC AB'. (1)

BC SA
Ngoài ra, vì SAB cân tại A nên SB AB'.
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
AC' SC
AB' (SBC) AB' SC SC (AB'C'), đpcm.

c. Sử dụng tỉ số thể tích và hệ thức lợng trong tam giác vuông, ta
có:
VS.AB'C' SA SB' SC'
1 SC'.SC 1
SA 2
=
.
.
= 1. .
= . 2
2
VS.ABC SA SB SC
2 SC
2 SA + AC2



1
1
SA 2

1
a2
=
= . 2
=
.
2
2
2
2
2
6
2 SA + AB + BC
2 a +a +a
3
3
1
1a
a
VS.AB'C' = VS.ABC = . =
(đvtt).
6
6 6 36

Nhận xét: Nh vậy, để tính thể tích của các khối hộp chóp
S.ABC chúng ta sử dụng tỉ số thể tích, và trong
đó cần một thủ thuật nhỏ để tính tỉ số SC:SC.
Trong trờng hợp các em học sinh không biết tới cách
giải này thì cần sử dụng phơng pháp truyền
thống, cụ thể:

Sử dụng kết quả câu b) suy ra SC là đờng cao
của hình chóp S.ABC. Và sử dụng tính chất về
quan hệ vuông góc chứng tỏ ABC buông tại B.
Từ đó, suy ra:
VS.AB'C' =

1
1
SC'.SAB'C' = .SC'.AB'.B'C' .
3
6

(3)

Tính các độ dài SC, AB, BC dựa trên hệ thức lợng trong tam giác vuông và tam giác đồng dạng.
(4)
Thay (4) vào (3) ta nhận đợc thể tích hình chóp
S.ABC.


Thí dụ 3. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Hãy tính thể tích
của hình tứ diện có đỉnh là trọng tâm các mặt của
tứ diện đã cho.
56




Giải
Với tứ diện ABCD, gọi G1, G2, G3, G4, G theo thứ tự là trọng tâm

của ABC, ABD, ACD, BCD và tứ diện ABCD.
1
Khi đó, với phép vị tự tâm G tỉ số k = , ta có:
3


1

VG 3 (ABCD) = (G4G3G2G1) .
Từ đó, suy ra:
VG1G2G3G4 1 1 1 1
V
= . . =
VG1G2G3G4 =

.
VABCD
3 3 3 27
27



Nhận xét: Nh vậy, để tính thể tích của tứ diện G1G2G3G4
chúng ta sử dụng tỉ số thể tích, và trong đó các
tỉ số đợc tính bằng việc sử dụng tính chất của
phép vị tự.

C. Các bài toán chọn lọc
Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B 2004): Cho hình chóp tứ giác
đều SABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng (00 < < 900).
a. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(ABCD) theo .
b. Tính thể tích khối chóp SABCD theo a và .
S
Giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD và M là trung
điểm AB, ta có ngay:
C
B
= .
SO (ABCD) SAO
O
M
a. Ta có:
D
A
.
SM AB ((SAB), (ABCD)) = SMO
= a 2 tan.
Trong SAO, ta có SO = AO.tan SAO
2
SO

Trong SMO, ta có tan SMO
=
= 2 tan.
MO
b. Ta có:
1

a3 2
V = SO.SABCD =
.tan.
3
6

57


Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và
chiều cao bằng h. Tính thể tính hình lập phơng có
một mặt thuộc mặt đáy của hình chóp còn mặt đối
diện có các đỉnh nằm trên cạnh của hình chóp.



Giải
Với hình chóp S.ABCD (hình bên), ta có AB = a, SO = h.
Gọi x là độ dài cạnh của khối lập phơng nội
S
tiếp hình chóp, ta có:
M 'N' SM ' SB BM '
BM '
MM '
=
=
= 1
= 1
M
AB

SB
SB
SB
SO
x
x
ah
N
= 1 (a + h)x = ah x =
.
C
a
h
a+ h
M
O
Khi đó, thể tích của khối lập phơng đó là:
N
3
D
A
ah
3
V=x =
(đvtt).
ữ
a+ h

B

Ví dụ 3: Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. ABCD có
AB = a, AB hợp với mặt phẳng (ADCB) một góc và
ã
= .
BAC'



Giải
A
Ta có:
D
V = AB.BC.AA.
(1)
C
B
Ta lần lợt tính các độ dài AA, BC nh sau:
Vì AB hợp với mặt phẳng (ADCB) một
ã
góc nên ABA
D
' = , từ đó:
A
AA = AB.tan = a.tan.
(2)
B
C
Trong ABC1, ta có:
ã
BC = AB.tan BAC'

= a.tan.
Khi đó, trong BCC1, ta có:
BC2 = CB2 CC2 = CB2 AA2 = a2(tan2 tan2)

BC = a tan2 tan2 .
(3)
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:
V = a. a tan2 tan2 .a.tan = a3.tan tan2 tan2 (đvtt).
A
Ví dụ 4: Các cạnh bên của hình
chóp O.ABC đôi một
vuông góc với nhau và OA
O
R
= a, OB = b, OC = c. Tính
P
Q


58

P

B

R

O
Q

K

C


thể tích của khối lập phơng nằm trong hình chóp
này mà một đỉnh trùng với
O và ba cạnh cùng xuất
phát từ O của nó thuộc OA,
OB, OC, còn đỉnh đối
diện với O thuộc mặt
phẳng (ABC).



Giải
Giả sử hình lập phơng OPQR.OPQR có cạnh bằng x thỏa mãn
điều kiện đầu bài và Q thuộc mặt phẳng (ABC).
Ta có:
1
1
1
1
VO.ABC = VQ.OAB + VQ.OBC + VQ.OAC abc = xab + xbc + xac
6
6
6
6
abc
abc = x(ab + bc + ac) x =

Vlp = x3 =
ab + bc + ac
3
abc


ab + bc + ac ữ (đvtt).



Ví dụ 5: Thể tích của hình chóp đều S.ABC có SA = a và tạo
với mặt phẳng đáy một góc .



Giải
a. Gọi G là trọng tâm ABC, suy ra SG (ABC) nên:
1
1 AB2 3
S
V = SABC .SG = .
(1)
.SG .
3
3
4
Ta lần lợt:
ã
Trong SGA, ta có SAG
= nên:

B
ã
G
SG = SA.sinSAG
= a.sin.
(2)
E
ã
AG = SA.cosSAG
= a.cos.
C
Trong ABC đều, ta có:
2
2 AB 3
AG = AE a.cos = .
AB = a 3.cos .
3
3 2
(3)
Thay (2), (3) vào (1) ta đợc:
1 3a2 3cos2
3 3
V= .
.a.sin =
a .cos2 .sin (đvtt).
3
4
4

(

A

Ví dụ 6: Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD,
biết:
59


a. AB = a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
.
b. AB = a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng
.
c. Chiều cao bằng h và góc ở đáy của mặt bên bằng .



Giải
a. Gọi O là tâm của đáy ABCD, suy ra SO (ABCD) nên:
1
1
V = SABCD .SO = AB2.SO .
(1)
3
3
S
Ta lần lợt có:
ã
g(SB, (ABCD)) = SBO
= .
BD

a 2.tan
ã
SO = BO.tan SBO
=
.tan =
.
(2)
2
D
2
A
Thay (2) vào (1) ta đợc:
O
B
1 2 a 2.tan
C
a3 2.tan
V = .a .
=
(đvtt).
3
2
6
b. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO (ABCD) nên:
1
1
V = SABCD .SO = AB2.SO .
(3)
S
3

3
Ta lần lợt:
Gọi N là trung điểm AB, ta có:
ã
g((SABC), (ABCD)) = SNO
= .
C
B
Trong SON, ta có:
O
N
a.tan
D
A
ã
SO = ON.tanSNO =
.
(4)
2
Thay (4) vào (3) ta đợc:
1
a.tan
a3.tan
V = .a2.
=
(đvdt).
2
3
6
c. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO (ABCD) nên:

S
1
1 2
V = SABCD .SO = AB .h .
(5)
3
3
Gọi N là trung điểm của BC và a là độ dài cạnh đáy, ta có:
a.tan
A
B
ã
SN = BN.tanSBN
=
.
2
O
N
Trong SON vuông tại O, ta có:
D
C
2h
a2
a2.tan2
ON2 = SN2 SO2
=
h2 a =
. (6)
tan2 1
4

4
Thay (6) vào (5) ta đợc:

60


1
1
4h3
2
V = SH.SABCD = .h.a =
(đvtt).
3
3
3(tan2 1)

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân
AB = AC = a. Mặt (SBC) vuông góc với mặt (ABC) và SA
= SB = a.
a. Chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác vuông.
b. Cho SC = x, tính thể tích hình chóp S.ABC.



Giải
a. Hạ AH vuông góc với BC thì H là trung điểm của BC và:S
(ABC) (SBC) = BC
AH (SBC).

(ABC) (SBC)

H
Nhận xét rằng:
B
HAB = HAC = HAS HB = HC = HS
suy ra SBC vuông tại S do có trung thuyến thuộc
A
cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

C

b. Dựa trên các tam giác vuông, ta có:
2
1
BC
SB2 + SC2
2
2
2
2
AH = AB BH = AB
= AB2
= (3a2 x2 )
ữ
4
4
2
3a2 x2 .
2
Từ đó, suy ra:
2

2
2
2
1
1
1
1
V = AH.SSBC = AH. SB.SC = . 3a x .a.x = ax 3a x .
3
3
2
6
2
12

AH =

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC)
vuông góc với đáy. Đáy ABC là một tam giác cân đỉnh
A, trung tuyến AD bằng a. Cạnh SB tạo với đáy góc và
tạo với mặt phẳng (SAD) góc .
a. Xác định các góc và .
b. Tính thể tích hình chóp S.ABC.



Giải
S

a. Từ giả thiết:

(SAB) (ABC)
ã
SA (ABC) SBA

=.
(SAC) (ABC)
Ta có:





B

A

D

C

61


BD AD
ã
BD (SAD) BSD

=.
BD SA

b. Ta có:
1
1
1
1
SA.SABC = SA. AD.BC = SA.AD.BD.
3
3
2
3
Đặt SB = x, ta lần lợt:
Trong SAB vuông tại A, ta có:
ã
ã
SA = SB.sinSBA
= x.sin ;
AB = SB.cosSBA
= x.cos .
Trong SBD vuông tại D, ta có:
ã
ã
BD = SB.sinBSD
= x.sin ;
SD = SB.cosBSD
= x.cos .
Dựa trên các tam giác vuông, ta có:
SB2 = SD2 + BD2 = SA2 + AD2 + BD2 x2 = x2.sin2 + a2 +

V=

x2.sin2
a2
a2
=
.
1 sin2 sin2
cos2 sin2
Từ đó, suy ra:
a2
1
1
x.sin
V
=
. x.sin .a.
=
a.
.sin.sin
3
3 cos2 sin2
x2 =

=

a3.sin.sin
.
3(cos2 sin2 )

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
cân đỉnh B và SA (ABC), SB = a. Góc giữa hai mặt

phẳng (SBC) và (ABC) bằng .
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và .
b. Hãy tìm để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất.



Giải
a. Ta có:
1
11
1
VS.ABC = SABC .SA = . AB.BC.SA = AB2.SA .
(1)
3
32
6
Nhận xét rằng:
BC AB
ã
BC (SAB) BC SB g((SBC), (ABC)) = SBA
=.

BC SA
Trong SAB vuông tại A, ta có:
S
ã
(2)
AB = SB.cosSBA
= a.cos .
ã

(3)
SA = SB.sinSBA
= a.sin .

Thay (2), (3) vào (1) ta đợc:

62

A

C

(
B


1
a3
VS.ABC = a2.cos2 .a.sin = cos2 .sin (đvtt).
6
6

b. Xét hàm số y = cos2.sin trên khoảng 0; ữ , ta có:
2
2
y = 2cos.sin.sin + cos .cos = (3cos2 2)cos.

y = 0 (3cos 2)cos = 0
2

Bảng biến thiên:

0
x

y'
y

cos =

/2

2/3

+

0

Vậy, ta có ( VS.ABC ) Max =


0; ữ
2

0
CĐ
2/3 3

2.
3

+


0


2
a 3
đạt đợc khi cos =
với 0; ữ .
3
2
27
3

Ví dụ 10: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC, cạnh đáy
bằng a, BC hợp với mặt bên (ABBA) một góc . Tính hể
tích lăng trụ.



Giải

A

Ta có V = SABC.CC =

2

a 3
.CC' .
4

Ta lần lợt:
Gọi I là trung điểm của AB, ta có:
C'I ' A 'B'
ã
CI (ABBA) C'BI

'= .
C'I ' BB'
C'I '
a 3
Trong BCI, ta có BC =
=
.
ã
sinC'BI '
2sin


C

(1) I B
A

C
B

Trong BCC, ta có:

CC2 = CB2 BC2 =

3a2
a2 (3 4sin2 )
2

a
=
4sin2
4sin2

2
CC = a 3 4sin .
2sin
Thay (2) vào (1), ta đợc:
a3 3sin3
a2 3 a 3 4sin2
V=
.
=
(đvtt).
8 sin3
4
2sin

(2)

63

Ví dụ 11: Đáy của khối lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC là
tam giác đều. Mặt (ABC) tạo với đáy một góc và tam
giác ABC có diện tích bằng S. Tính thể tích khối lăng
B
trụ.
C






Giải
Ta có:
V = SABC.AA =

BC2 3
.A 'A .
4

(1)

B

A
E

C

Ta lần lợt:
Gọi E là trung điểm BC, ta có:
AE BC AE BC (định lí ba đờng vuông góc)
ãAEA ' = .
Khi đó:
BC 3
1
AE
1
BC
BC2 3
SA 'BC = BC.A 'E = BC.
2
ã
.
=
2
2
cosAEA
'=
ã
2 cosAEA
' 4cos
BC = 2

S.cos
3

.

BC 3
ã
ã
A 'A = AE.tanAEA
'=
.tanAEA
'=
3S.cos .tan .
2
Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:
3 4S.cos
V=
.
. 3S.cos .tan = S 3S.cos .sin (đvtt).
4
3

(2)
(3)

Ví dụ 12: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC, cạnh đáy
bằng a. Mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (BCCB)
một góc . Gọi I, J theo thứ tự là hình chiếu của A lên
BC và BC.
ả .
a. Tính số đo góc AJI
b.
Tính thể tích
hình lăng trụ.

Giải
a. Ta có:
AI BC
(ABC) (BCCB) = BC,
AI (BCCB).
AI BB'
Vì AJ vuông góc với BC thì IJ cũng sẽ vuông góc với BC (định lí
ã
ả =.
ba đờng vuông góc), do đó ((ABC'),
(BCC'B')) = AJI
b. Ta có:

64

A



V = SABC.CC =
Ta lần lợt:

a2 3
.CC' .
4

(1)

B

ả = a 3cot .
Trong AJI, ta có IJ = AI.cot AJI
2
B
Trong BCC1, ta có:
ã
CC1 = BC.tan CBC
1
a2 3cot
IJ
IJ
2
= BC. BJ =BC.
2
2
2 =
a 3a2 cot2 =
BI IJ

4
4
(2)
Thay (2) vào (1), ta đợc:
3a3
a 3
a2 3
V=
.

=
(đvtt).
4 tan2 3
4
tan2 3

C
A
J
I

C

A
a 3
tan2 3

.

Ví dụ 13: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD, đờng cao h.
Mặt phẳng (ABD) hợp với mặt bên (ABBA) một góc .
Tính thể tích lăng trụ.



Giải
Trớc tiên, ta đi xác định góc , ta có:
AD AB
(ABD) (ABBA) = AB,
AD (ABBA).

AD AA '
Hạ AH vuông góc với AB thì DH cũng sẽ vuông góc với AB (định
lí ba đờng vuông góc), do đó:
ã 'BD), (ABB'A ')) = AHD
ã
((A
=.
Gọi a là cạnh đáy của hình lăng trụ, suy ra:
A
Trong HAD, ta có AH = AD.cot = a.cot.
D
Trong BAA, ta có:
C
B
1
1
1
H
=
+
AH2 AB2 A 'A 2
D
A
1
1 1
2
= +
2
a = h tan 1 .
a .cot2 a2 h2

B
C
Từ đó, suy ra:
V = SABCD.AA = a2.h = h3(tan2 1) (đvtt).

Ví dụ 14: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.ABCD có AA = h,
ã
đáy là hình bình hành và BAD
= . Các đờng chéo AC
và DB lần lợt tạo với đáy những góc và . Tính thể
tích của khối lăng trụ.
65




Giải
Ta có:
ã
V = SABCD .AA ' = AB.AD.sinBAD.AA
' = h.sin.AB.AD .
Ta lần lợt:
ã
ã
Từ giả thiết ta suy ra C'AC
=.
= và B'DB
Trong ACC ta có:
ã
AC = CC'.cotC'AC

= h.cot .
ã
Trong DBB ta có BD = BB'.cotB'DB
= h.cot .

B
C

(1)
A
D

B

A

D
áp dụng định lý hàm số cosin, ta có:
C
BD2 = AB2 + AD2 2AB.AD.cos.
AC2 = DC2 + AD2 2DC.AD.cos( ) = AB2 + AD2 +
2AB.AD.cos.
Trừ theo vế hai đẳng thức trên, ta đợc:
4AB.AD.cos = AC2 BD2 = h2.cot2 h2.cot2
h2 (cot2 cot2 )
AB.AD =
.
(2)
4cos
Thay (2) vào (1), ta đợc:

h2 (cot2 cot2 )
h3
= = .(cot2 cot2 )tan (đvtt).
V = h.sin.
4cos
4
Ví dụ 15: Cho lăng trụ xiên ABC.ABC đáy ABC là tam giác
vuông cân đỉnh A. Mặt bên (ABBA) là hình thoi cạnh
a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
(ACCA) hợp với đáy một góc . Tính thể tích lăng trụ.




Giải
Hạ AH AB thì A1H (ABC) nên:
1
V = A 'H.SABC = a2.A 'H .
2
Ta lần lợt:
Ta có:
AC AB
AC (ABBA)

AC A 'H
ã 'AH = .
AC AA A

(1)
A

C

A

) H

ã 'AH = a.sin.
Trong AAH, ta có AH = AA.sin A
C
1 3
Thay (2) vào (1), ta đợc V = a .sin.
2


66

B

B


Ví dụ 16: Cho lăng trụ xiên ABC.ABC đáy là tam giác đều cạnh
a. Hình chiếu của A lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm
ã
đờng tròn ngoại tiếp ABC. Cho BAA
' = 450 . Tính thể tích
A
lăng trụ.

Giải

B

Gọi G là trọng tâm ABC thì AG (ABC) nên:
2
(1)
V = A 'G.SABC = A 'G. a 3 .
4
Ta lần lợt:
Gọi M là trung điểm của AB, ta có:

AAB vuông cân tại A AM =


Trong AMG, ta có:

A
M

C

G
N

B

1
a
AB = .
2
2

2

2

2
CM
a2
a a 3
AG = AM MG = AM
= ữ
=
ữ
ữ
6
3
2 6 ữ


2

2

2

2

AG = a 6 .
6
Thay (2) vào (1), ta đợc:
a 6 a2 3

a3 2
V=
.
=
(đvtt).
6
4
8

(2)

Ví dụ 17: Cho lăng trụ xiên ABC.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt bên ABBA là hình
thoi, mặt bên BCCB nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc .
a. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCCB).
b. Xác định góc .
c. Tính thể tích lăng trụ.



Giải
a. Hạ AM vuông góc với BC thì:
AM (BCCB) d(A, (BCCB)) = AM.
Trong ABC, ta có:
AC2 = BC2 AB2 = 4a2 a2 = 3a2 AC = a 3 .
B
(1)
1
1

1
1
1
4
=
+
= 2 + 2 = 2 AM = a 3 .
2
2
2
AM
AB AC
a 3a
3a
2
N
ã
b. Kẻ MN vuông góc với BB1 suy ra ANM = .
B

C
A

M
H

A

C

C
67


c. Hạ BH BC thì BH (ABC) nên:
1
V = BH.SABC = B'H.AB.AC .
(2)
2
Ta lần lợt:





ã
Trong AMN, ta có MN = AM. cotANM
= a 3.cot .
2
Trong ABC, ta có:
a
AB2
a2
AB2 = BM.BC BM =
=
= .
2
BC
2a

Từ hai tam giác vuông đồng dạng là BHB1 và BNM, ta có:

a 3.cot
.a
2
= a 3.cot . (3)
a
2
Thay (1), (3) cùng với AB = a vào (2), ta đợc:
1
3
V = a 3.cot .a. a 3 = a3.cot (đvtt).
2
2
B'H B'B
MN.B'B
=
BH =
=
MN MB
MB

Ví dụ 18: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ
nhật với AB = a, AD = b và cạnh bên có độ bằng c. Hai
mặt bên (ABB'A') và (ADD'A') lần lợt tạo với đáy những
góc và . Tnh thể tích khối hộp.



Giải

Dựng A'H (ABCD) (H (ABCD)), HK AB (K AB), HM AD (M
AD).
Theo định lý 3 đờng vuông góc, ta có:
ã 'MH = .
ã 'KH = ,
AB A'K A
AD A'M A
Ta có:
C'
B'
V = A 'H.SABCD = A 'H.AB.AD .
(1)
D'
Đặt A'H = x, ta lần lợt:
A'
x
A 'H
=
Trong HAM, ta có A 'M =
.
B
ã 'MH sin
sinA
C
K H
Trong MAA, ta có:
A M
D
x2
AM = AA '2 A 'M 2 = c2 2 .

sin
Trong HAK, ta có:
ã 'KH = x.cot
HK = A 'H.cotA


68

Từ nhận xét AMHK là hình chữ nhật, ta có:


AM = HK

c2

x2
x2
2
c

= x2.cot2
=
x.cot


sin2
sin2

c
1 2

2
2
x cot + 2 ữ = c x =
. (2)
sin
cot2 + cot2 + 1

Thay (2) cùng với AB = a, AD = b vào (1), ta đợc:
abc
V=
(đvtt).
2
cot + cot2 + 1
Ví dụ 19: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần
lợt là trung điểm của AB, AD và SC.
a. Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình
chóp.
b. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp đợc
phân chia bởi mặt phẳng (MNP).
S
Giải
P
a. Ta lần lợt có:
MN cắt BC, CD theo thứ tự tại E, F.
PE cắt SB tại I; PF cắt SD tại J.
C
I
K O
Nối IM và JN.
H

B
Ta nhận đợc thiết diện là MNJPI.
M
A
b. Đặt SO = h, AB = a và:
E
V1 = V S.ABCD , V2 = VSMANJPI ,
V3 = VBCDNMIPJ , V4 = VI.BME, V5 = VJ.DNF, V6 = VP.CEF.
Ta có ngay:
1
V1 = a2h.
3
1
1 1
1 a a h
a2h
V4 = V5 = SBME.IH = . BM.BE.IH = . . . =
.
3
3 2
6 2 2 4
96
2
1
1 1
1 3a 3a h
3a h
V6 = SCEF.PK = . CE.CF.PK = . . . =
.
3

3 2
6 2 2 2
16
2
2
2
3a h
ah
ah
V3 = V6 2V4 =
2.
=
.
16
96
6
1
a2h
a2h
V2 = V1 V3 = a2h
=
.
3
6
6
V2
V3 = 1.
Vậy, mặt phẳng (A1EF) chia hình lập phơng thành hai phần có
thể tích bằng nhau.

69

J

D
N

F