TONG HOP CHUYEN DE NGUYEN HAM TICH PHAN UNG DUNG DAP AN HOAN CHINH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.3 MB, 121 trang )
Nhóm Đề file word
Chuyên đề
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
3
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Vấn đề 1. NGUYÊN HÀM
1. Tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm cơ bản và gần cơ bản
Câu 1.
Giả sử hàm số
định nào sau đây đúng.
F x
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên K . Khẳng
y F(x) C là một nguyên hàm
A. Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số
f trên K .
của hàm
f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho
B. Với mỗi nguyên hàm G của
G(x) F(x) C với x thuộc K .
y F(x) là nguyên hàm của f trên K .
C. Chỉ có duy nhất hàm số
f trên K thì G(x) F(x) C với mọi x thuộc K và C
D. Với mỗi nguyên hàm G của
bất kỳ.
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Trắc nghiệm:
Phương án A. Sai. Vì C là bất kỳ.
Đáp án B. vì theo định lý.
y F(x) C cũng là nguyên hàm với C là hằng số bất kỳ.
Phương án C. Sai. Vì
Phương án D. Sai. Vì hai hàm G(x) và F(x) chỉ sai khác một hằng số tức C là duy
nhất.
f (x) trên K . Các mệnh
Câu 2.
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số
đề sau, mệnh đề nào sai.
�
f (x)dx f (x).
f (x)dx F(x) C.
�
�
B.
A.
�
�
f (x)dx f �
(x).
f (x)dx F�
(x).
�
�
C.
D.
Hướng dẫn giải: Chọn C.
f (x)dx F(x) C � F ' x f x
Ta có �
nên phương án A, B,D đúng
Câu 3.
Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
kf (x)dx k�
f (x)dx,(k�R)
f x .g x dx �
f x dx. �
g x dx .
A. �
.
B. �
�
�
dx �
f x dx �
g x dx .
f x dx �
g x dx .
�f x g x �
�
�f x g x �
�dx �
C. �
D. �
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Trắc nghiệm:
Các khẳng định ở A, C, D đúng theo tính chất nguyên hàm.
Không có tính chất: Nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm.
f (x), g(x) là hàm số liên tục, có F(x),G(x) lần lượt là nguyên
Câu 4.
Cho hai hàm số
f (x), g(x) . Xét các mệnh đề sau:
hàm của
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 1
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
f (x) g(x).
(I). F(x) G(x) là một nguyên hàm của
kf (x) với k�R..
(II). k.F(x) là một nguyên hàm của
f (x).g(x).
(III). F(x).G(x) là một nguyên hàm của
Các mệnh đúng là
A. (I).
B. (I) và (II).
C. Cả 3 mệnh đề.
D. (II).
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Trắc nghiệm:
Mệnh đề (III) sai vì không có tính chất: Nguyên hàm của một tích bằng tích các
nguyên hàm.
Câu 5.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.
f (x)dx �
g(x)dx
f (x) g(x) dx �
A. �
.
f (x) thì F(x) G(x) C là hằng
B. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số
số.
C. F(x) x là một nguyên hàm của f (x) 2 x.
f (x) 2x.
D. F(x) x là một nguyên hàm của
Hướng dẫn giải: Chọn C.
2
f (x) thì
Trắc nghiệm: Khẳng định C sai vì: nếu F(x) là một nguyên hàm của
F(x) �
Câu 6.
� 1
x
�2 x f (x).
2
x
. Mà :
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.
F(x) � f (x)
2
2
��
�
1�
1� �
2x 1 �dx �
2x 1 �
dx �.
�
�
�
�
x�
x� �
�
�
�
A.
2
�
1�
�
1�
2x 1 �dx 2�
2x 1 �
dx .
�
�
�
x�
x�
�
B. �
2
�
1�
�
1� �
1�
dx.�
dx .
�2x 1 x �dx �
�2x 1 x �
�2x 1 x �
�
�
�
�
�
�
�
C.
2
�
1�
1
2
2x 1 �dx 4�
x2dx �
dx �2 dx 4�
xdx �dx 4�
dx.
�
�
x�
x
x
D. �
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Trắc nghiệm:
f (x)dx
f (x) dx �
Phương án A: Sai. Vì không có tính chất �
.
f (x)dx
f (x) dx n�
Phương án B: Sai. Vì không có tính chất: �
n
n
n
Phương án C: Sai. Sai lầm như phương án A.
f (x)
�
n
dx
�f (x)dx
n
.
2
�
1�
1
2
2x 1 � 4x2 1 2 4x 4
�
x�
x
x
Phương án D.Đúng. Vì �
và sử dụng tính chất
f (x)dx �
g(x)dx; �
f (x)dx �
g(x)dx
f (x) g(x) dx �
f (x) g(x)dx �
�
.
f (x)dx F(x) C
f (ax bdx
)
Câu 7.
Cho �
. Khi đó với a�0, ta có �
bằng:
2 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1
F(ax b) C
A. 2a
.
B. F(ax b) C.
1
F(ax b) C.
. (ax b) C.
C. a
D. aF
Hướng dẫn giải: Chọn C.
f (x)dx F(x) C
F '(x) f (x) .
Tự luận: vì �
nên ta có
� 1
�1
�
1
1
F
(
ax
b
)
C
�2a
� 2a.F '(ax b) 2a. f (ax b).(ax b)' 2 f (ax b).
�
Phương án A: sai. Vì: �
F(ax b) C � F '(ax b) . f (ax b).(ax b)' f (ax b).a.
Phương án B: sai. Vì:
�1
�1
�
1
F
(
ax
b
)
C
�a
� a.F '(ax b) a. f (ax b).(ax b)' f (ax b).
�
Phương án C: đúng. Vì: �
aF(ax b) C � aF '(ax b) af (ax b).(ax b)' a2. f (ax b).
Phương án D: sai. Vì:
Câu 8.
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai.
2
f (x) sin2x .
A. F(x) 2017 cos x là một nguyên hàm của hàm số
f (x) thì
B. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số
�
F(x) g(x)�
dx
�
�
�
có dạng
h(x) Cx D với C , D là các hằng số, C �0.
u'(x)
C.
dx
�
2 u(x)
u(x) C.
f (t)dt F(t) C
f [u(x)]dx F[u(x)] C
D. Nếu �
thì �
.
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Trắc nghiệm:
�
F(x) � 2017 cos2 x 2.cos x.( sin x) sin 2x f (x)
Phương án A: đúng. Vì:
.
f (x) thì
Phương án B: đúng.Vì: nếu F(x),G(x) cùng là nguyên hàm của hàm số
Cdx Cx D
F(x) G(x) C , và �
.
� u'(x)
u(x) C
2 u(x)
Phương án C: đúng. Vì:
f [u(x)]u'(x)dx F[u(x)] C
Phương án D: sai. Vì �
.
GV: Liên Lê
Câu 9.
(Đại Học Vinh lần 3) Khẳng định nào sau đây là đúng.
x
x
sin dx 2 cos C.
tan
xdx
ln
cos
x
C
.
�
2
2
A. �
B.
cot xdx ln sin x C.
�
x
x
cos dx 2sin C.
�
2
2
D.
C.
Hướng dẫn giải: Chọn A
cos x ' sin x
tan x.
ln cos x C ' cos x cos
x
+/ Xét
Suy ra khẳng định A đúng.
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 3
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1
Câu 10.
(Chuyên Hưng Yên lần 3) Nếu
1
f x x .
2x
A.
1
f x 2 ln 2 x .
x
C.
f x dx ln 2 x C
�
x
B.
D.
f x
1 1
.
x2 x
f x
1
1
.
2
2x
x
thì hàm số
f x
là
Hướng dẫn giải: Chọn B
1
1 1
�1
�
f x dx ln 2 x C � f ( x) � ln 2 x C �
' 2 .
�
x
x Vậy đáp án B.
x
�x
�
Có
Câu 11.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.
1
x e 1
e
cos 2 xdx sin 2 x C
x
dx
C
�
�
e 1
2
A.
.
B.
.
e x dx
�
e x 1
C
x 1
.
1
�dx ln x C .
D. x
C.
Hướng dẫn giải: Chọn C
e dx e
�
x
Dễ thấy khẳng định C sai vì
Vậy đáp án C.
Câu 12.
(TPHCM
x
C.
cụm 1)Biết một nguyên hàm của hàm số
y f x
là
F x x2 4x 1
y f x
. Khi đó, giá trị của hàm số
tại x 3 là
f 3 6
f 3 10
f 3 22
f 3 30
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải: Chọn B
y f x F '( x) 2 x 4.
+ Ta có:
+ f (3) 2.3 4 10. Vậy đáp án B.
Câu 13.
số
A.
(Quảng Xương- Thanh Hóa lần 1)Tìm một nguyên hàm
f x ax
F x
F x
của hàm
b
x �0
F 1 1, F 1 4, f 1 0
x2
, biết rằng
3x 2 3 7
.
4
2x 4
B.
2
F x
3x 2 3 7
.
4 2x 4
3x 2 3 1
F x
.
2 2x 2
D.
3x
3 7
F x
.
2
4x 4
C.
Hướng dẫn giải: Chọn A
b
a
b
F ( x) �
f x dx �
ax 2 dx x 2 C.
2
x
x
+/
4 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Nhóm Đề file word
�a
� 3
a
�2 b C 1
�
2
�
F 1 1
�
�
�
3
�a
�
F 1 4 � � b C 4 � �
b
�
2
�
�2
�
f
1
0
�
ab0
�
� 7
3x 2
3 7
c
F x
�
�
� 4
�
�
4
2x 4 Đáp án A.
Ta có:
. Vậy
Câu 14.
Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:
tan x dx ln cos x C
�
.
(I)
1
sin x dx e3 cos x C
3
.
e
�
3 cos x
(II)
cos x sin x
�sin x cos x dx 2
sin x cos x C
(III)
.
Số mệnh đề đúng là:
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải: Chọn D
cos x ' sin x
tan x.
ln cos x C ' cos x cos
x
+/Xét (I): Ta có
. Do đó (I) đúng.
� 1 3 cos x
� 1
e
C�
' . 3cos x ' e3 cos x e3 cos x sin x.
�
� 3
+/Xét (II): � 3
. Do đó (II) đúng.
2
sin x cos x C '
2 sin x cos x '
cos x sin x
.
2 sin x cos x
sin x cos x Do đó (III) đúng.
+Xét (III): Đặt
Vậy đáp án D.
Câu 15.
Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của
hàm số còn lại?
1
g x
f x sin 2 x
g x cos 2 x
f x tan 2 x
cos 2 x 2 .
A.
và
.
B.
và
f x ex
g x e x
C.
và
.
Hướng dẫn giải: Chọn D
sin x
Vì
2
/
2sin x cos x sin 2 x
Câu 16.
?
A.
F x
D.
f x sin 2 x
và
g x sin 2 x
.
.Chọn D.
Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số
x 3
F x
5
x
5
x 3
.
B.
5
2017
5
C.
.
Hướng dẫn giải: Chọn A
D.
F x
F x
x 3
5
5
x 3
5
f x x 3
.
5
1
.
F ' x x 3 1 �f x
Vì
. Chọn A.
2. Nguyên hàm của các hàm số thường gặp
GV: Lý Duy Hiển
4
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 5
4
Nhóm Đề file word
Câu 17.
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
(THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Tìm nguyên hàm của hàm
số f (x) (x 1)
2
A. F(x) x 3x 3x C.
3
F(x)
2
B.
F(x)
x3
x 2 x C.
3
3
x
x 2 x C.
3
3
2
D. F(x) x x x C.
C.
Hướng dẫn giải: Chọn B
x3
(x 1) dx �
(x 2x 1)dx
x2 x C
�
3
Cách 1 : Tìm trực tiếp:
Cách 2 : Ta đi tính đạo hàm 4 đáp án A, B, C, D để tìm xem đâu là kết quả của đề
bài
2
2
2
2
Bước 1: Khai triển (x 1) x 2x 1
Bước 2: Lần lượt đạo hàm các đáp án A, B, C, D
F’ x 3x2 6x 3 �
A.
loại A
2
F’ x x 2x 1�
B.
Vậy B là đáp án
2
F’ x x 2x 1�
C.
Loại C
2
F’ x 3x 2x 1�
D.
Loại D
(Ta chỉ cần kiểm tra đến phương án B là biết kết quả nên các phương án còn lại
sẽ không phải kiểm tra )
Cách 3 : Sử dụng Casio
x
Câu 18.
(Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm nguyên hàm của hàm số y 2 ?
A.
2 x dx
�
2x
C.
ln 2
2 dx ln 2.2 C.
C. �
Hướng dẫn giải: Chọn A
x
2 dx 2
�
x
B.
x
D.
a x dx
�
2 x dx
�
x
C.
2x
C.
x 1
ax
C �
ln a
Chon A
Cách 1: Nhớ công thức
Cách 2: Ta đi tính đạo hàm 4 đáp án A, B, C, D để tìm xem đâu là kết quả của đề
bài
F x ,
F x
Câu 19.
(Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm hàm số
biết
là một nguyên hàm
F 1 1.
f x x
của hàm số
và
2
1
F x x x .
3
3
A.
F x x x.
C.
Hướng dẫn giải: Chọn A
6 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
B.
D.
F x
1
1
.
2 x 2
F x
3
1
x x .
2
2
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Cách 1: Tìm nguyên hàm
1
2
3
2x 2 2
xdx
x
dx
x x C
�
�
3
3
2
2 1
F (1) 1 � C 1 � C 1
3
3 3
2
1
F (x) x x
3
3
Thay trở lại ta được
1
f x dx ln 2x C
�
x
Câu 20.
(Chuyên Hưng yên lần 3) Nếu
1
1 1
f x x .
f x 2 .
2x
x
x
A.
B.
1
f x 2 ln 2x .
x
C.
D.
thì hàm số f(x) là:
f x
1
1
.
2
x
2x
Hướng dẫn giải: Chọn B
1
F(x) ln 2x C
x
Cách 1:
là nguyên hàm của f(x) nên F’(x) = f(x)
1 1
C �
x2 x
chọn B
Cách 2: Tìm nguyên hàm của f(x) trong các phương án A, B, C, D
Câu 21.
(THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Cho hàm số
F '(x)
f (x)
4m
sin 2 x
. Giá trị của tham số để nguyên hàm Fx của hàm số fx thỏa mãn
� �
F � �
điều kiện F(0) 1 và �4 � 8 là
4
3
m .
m .
3
4
A.
B.
3
m .
4
C.
4
m .
3
D.
Hướng dẫn giải: Chọn C
4m
4m
4m
1
1
(
sin 2 x)dx � dx �
sin 2 xdx
x x sin 2x C
�
2
4
F(0) 1
C 1
C 1
�
�
�
�
�
�
� �4m 1 1
��
�
3
F( )
. . sin
m
�
�
�
8
2 8
� 4 2 4 4
�
4
Giải hệ � 4
(Sở Bình Thuận) Cho hàm số f ( x) cos x. Tìm nguyên hàm của hàm số
Câu 22.
y f�
( x) .
2
x
A.
1
x
ydx sin 2 x C.
�
2 4
B.
D.
ydx x sin 2 x C.
�
2
1
ydx x sin 2 x C.
�
2
1
C.
Hướng dẫn giải: Chọn A
f '( x ) (cos x)' sin x ;
1
ydx sin 2 x C.
�
2 4
y ( f '( x)) 2 ( sin x) 2 sin 2 x
1 cos 2 x
2
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 7
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1 cos 2 x
x 1
dx sin 2 x C
2
2 4
ydx �
�
sin 4 x
dx
�
sin x cos x
Câu 23.
(KHTN lần 5) Nguyên hàm
bằng
2
2
� 3 �
� �
� 3 �
� �
cos �
3x
sin �
3x
� 2 cos �x � C
� 2 sin �x � C
�
4 �
� 4 � . B. 3
�
4 �
� 4� .
A. 3
2
2
� 3 �
� �
� 3 �
� �
sin �
3x
sin �
3x
2 cos �x � C
� 2 sin �x � C
�
�
4 �
� 4 � . D. 3
�
4 �
� 4� .
C. 3
Hướng dẫn giải: Chọn B
Cách 1:
sin 4x
2sin 2x cos 2x
4sin x cos x(cosx sinx) 4sinxcos 2 x 4 cos x sin 2 x
sin x cos x
sin x cos x
sin 4x
4
dx 4 �
sin x cos 2 xdx 4 �
cos x sin 2 xdx (cos 3 x sin 3x) C
�
sin x cos x
3
1
2
3
(c os3x-sin3x) (cosx sin x) C
sin(3 x ) 2 sin(x ) C
3
3
4
4
� �
t sin x cos x 2 sin �x � 2
2
� 4�
Cách 2:Đặt
t 1 sin 2 x sin 2 x t 1
Suy ra t.dt cos 2 xdx
2 3
2 t 2 1 .tdt
2
t 2t C
I �
2
t
1
d
t
t
Ta có
= �
=3
=
3
2
�
� �
2 sin 3 �
�x � 2 2 sin �x � C
3
� 4�
� 4�
1
sin 3 a 3sin a sin 3a
4
Áp dụng công thức nhân ba sin 3a 4sin a 3sin a
3
* Vậy
I
4 2 1� � �
� 3
. �
3sin �x � sin �
3x
3 4� � 4�
�
4
� � 2
� 3
2 sin �x �
sin �
3x
� 4� 3
�
4
=
2
� 3
sin �
3x
3
�
4
�
�
� �
2 2 sin �x � C
�
�
�
� 4�
�
�
� �
� 2 2 sin �x � C
�
� 4�
�
� �
� 2 sin �x � C
�
� 4�
=
Cách 3: Lấy đạo hàm các phương án A, B, C, D xem đâu là kết quả đúng
dx
�
Câu 24.
Nguyên hàm 2 tan x 1 bằng?
x 2
ln 2sin cos x C.
A. 5 5
2x 1
ln 2sin x cos x C.
B. 5 5
x 1
ln 2sin x cos x C.
C. 5 5
x 1
ln 2sin x cos x C.
D. 5 5
Hướng dẫn giải: Chọn A
8 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
dx
cos x
1 2 cos x sin x sin x
I �
�
dx �
dx
2 tan x 1
2sin x cos x
2
2sin x cos x
Cách 1 :Biến đổi
1 2 cos x sin x
1
sin x
1
1
dx �
dx ln 2sin x cos x J
�
2 2sin x cos x
2 12sin
2
4 44x2 cos
4 4x43 2
J
1
J x I C
2
* Ta tính
, suy ra
1
1
I ln 2sin x cos x x I C
2
4
* Thế kết quả trên trở lại đề:
4�
1
1 �
2
1
I � ln 2sin x cos x x � C � I ln 2sin x cos x x C �
5�
2
4 �
5
5
2J I �
1.dx x C
Cách 2:Lấy đạo hàm các phương án A, B, C, D xem đâu là kết quả đúng
3. Nguyên hàm của các hàm số phân thức mà mẩu là nhị thức hoặc tam thức
bậc hai có hai nghiệm.
GV: Lê Thanh LVH
Câu 25.
(Thi thử chuyên KHTN –HN lần 4 năm 2017)
1
dx
�
1
2
x
Tìm nguyên hàm
.
1
A.
1
1
dx ln
C.
�
1 2x
2 1 2x
1
dx ln 1 2x C.
�
C. 1 2x
Hướng dẫn giải: Chọn A
Cách 1 : Tự luận
1
1 d(1 2x)
dx �
�
1 2x
2 1 2x
1
B.
1
D.
1
dx ln 1 2x C.
�
1 2x
2
1
dx ln
C.
�
1 2x
1 2x
1
1
1
1
ln| 1 2x| C ln| 1 2x|1 C ln|
| C.
2
2
2
1 2x
Chọn A.
Cách 2 : CASIO
Câu 26.
(Thi thử chuyên LÊ KHIẾT –QUẢNG NGÃI năm 2017)
�2 3
�
dx
�x x 2 x �
�
�
�
Tính
ta được kết quả là
x3
4 3
3ln x
x C.
3
A. 3
x3
4 3
3ln x
x C.
3
C. 3
x3
4 3
3ln x
x C.
3
B. 3
x3
4 3
3ln x
x C.
3
D. 3
Hướng dẫn giải: Chọn B
Cách 1 : Tự luận
1
�2 3
�
1
x3
4 32
x3
4 3
2
2
x
2
x
dx
x
dx
3
dx
2
x
dx
3ln
x
x
C
3ln x
x C.
� x
�
�
�
�
�
x
3
3
3
3
�
�
Chọn B.
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 9
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Câu 27.
(Đề thử nghiệm BGD và ĐT cho 50 trường)
1
f
x
F x
x 1 và F 2 1 . Tính F 3 .
Biết là một nguyên hàm của
1
7
F 3
F 3
F 3 ln 2 1
F 3 ln 2 1.
2.
4.
A.
.
B.
.
C.
D.
Hướng dẫn giải: Chọn B
Cách 1 : Tự luận
1
F(x) �
f (x)dx � dx ln x 1 C
x 1
. F(2) 1 � ln1 C 1 � C 1 .
Vậy
F(x) ln x 1 1
. Suy ra F(3) ln 2 1 . Chọn B
Cách 2 : CASIO
Câu 28.
HẠ LONG)
(THI HỌC KỲ I LỚP 12 CHUYÊN
Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
f (x)dx
�
f (x)
x3
.
x4 1
3x 4
C.
2x 4 6
B.
f (x)dx ln(x
�
D.
f (x)dx ln(x
�
4
4
1) C.
1
f (x)dx x 3 ln(x 4 1) C.
�
C.
Hướng dẫn giải: Chọn D
Cách 1 : Tự luận
u x 4 1 � du d(x 4 1) 4x 3dx � dx
4
1) C.
du
4x 3
Đặt
x3
1 x 3du 1 du 1
1
1
dx
� ln | u | C ln | x 4 1| C ln(x 4 1) C.
4
3
�
�
x 1
4 u.x
4 u 4
4
4
Chọn D.
Cách 2 : CASIO
Câu 29.
(PT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH BÌNH ĐỊNH)
dx
�
Kết quả của 2 3 x bằng:
1
C.
3
1
ln 2 3x C .
C. 3
C
1
ln 3x 2 C.
D. 3
2 3x
2 3x
A.
B.
.
Hướng dẫn giải: Chọn D
Cách 1 : Tự luận
dx
1 d(2 3x)
1
1
�
ln | 2 3x | C ln 3x 2 C.
�
2 3x
3 2 3x
3
3
Chọn D.
Cách 2 : CASIO
2
Câu 30.
Nguyên hàm của hàm số
10 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
2
y
x3 x 1
x
là:
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
3
x
x3 x 2
x ln x C.
ln x C
A. 3
B. 3 2
.
Hướng dẫn giải: Chọn D
Cách 1 : Tự luận
3
C. x x ln x C .
x3
x ln x C.
D. 3
3
x3 x 1
1
x
x 2 dx �
dx �dx
x ln | x | C.
� x dx �
x
3
Chọn D.
Cách 2 : CASIO
Câu 31.
Một nguyên hàm của
f x
2
x
x2
3x 6ln x 1.
3x+6ln x 1
A. 2
B. 2
.
Hướng dẫn giải: Chọn D
Cách 1 : Tự luận
x2 2x 3
x1
là :
x2
x2
3x-6ln x 1.
3x+6ln x 1.
C. 2
D. 2
x2 2x 3
6
1
x2
dx
(x
3
)dx
(x
3)dx
6
dx
3x+6ln x 1 C.
� x1
� x1
�
�
x1
2
Chọn D.
Cách 2 : CASIO
f (x)
Câu 32.
Một nguyên hàm của
1
1
F(x) e 2x e x x.
F(x) e 2x e x .
2
2
A.
B.
Hướng dẫn giải: Chọn A
Cách 1 : Tự luận
du
u e x � du udx � dx
.
u
Đặt
e3x 1
e x 1 là:
1
1
F(x) e 2x e x .
F(x) e2x e x 1.
2
2
C.
D.
e3x 1
u3 1
(u 1)(u 2 u 1)
1
u2
dx
du
du
(u
1
)du
u ln | u | C
�
�
� u(u 1)
� u
ex 1
(u 1)u
2
Khi đó
1
1
e 2x e x ln e x C e 2x e x x C.
2
2
Chọn A.
Cách 2 : CASIO
GV: Trần Minh Thảo
Câu 33.
f (x)
A.
(Sở GD và ĐT Quảng Ninh năm 2017) Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số
x3 1
x2 , biết F (1) 0 .
F (x)
x2 1 1
x2 1 3
x2 1 1
.
F (x)
.
F (x)
.
2 x 2 B.
2 x 2 . C.
2 x 2
D.
F (x)
x2 1 3
.
2 x 2
Hướng dẫn giải: Chọn D
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 11
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Tự luận:
1
x2 1
�
F
x
C
2 x
x2
3
F (1) 0 � C
2
2
x 1 3
F (x) .
2 x 2
Ta có
f (x) x
f x
Câu 34.
( Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3) Nguyên hàm của
3
1
1
C
C
C
A. 1 3x
.
B. 3x 1
.
C. 9x 3
.
Hướng dẫn giải: Chọn A
Sử dụng máy tính Casio lệnh SHIFT
f 1
1
3 1
3x 1
2
là:
1
C
D. 9x 3
.
�
1
4
2
1
Thử với các đáp án:
d � 3 �
�
� 2,25
dx �1 3x �x1
d � 1 �
3
�
�
dx �
1 3x �x1 4
loại đáp án A.
loại đáp án B.
d � 1 �
1
�
�
dx �3 9x �x1
4
loái đáp án C
d � 1 �
1
�
�
dx �3 9x �x1 4
¨Tự luận:
Câu 35.
Đáp án D thỏa mãn
2
1
1
1
1
dx �
3x 1 d 3x 1
C
C
�
2
3
9x 3
3 3x 1
3x 1
(Thi thử chuyên KHTN –HN lần 4 năm 2017) Tìm nguyên hàm
x3
dx
�
x 3x 2 .
2
x3
dx 2ln x 2 ln x 1 C
�
A. x 3x 2
.
2
x3
B.
dx 2ln x 1 ln x 2 C
�
x 3x 2
.
2
x3
dx 2ln x 1 ln x 2 C
�
C. x 3x 2
.
2
12 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Nhóm Đề file word
x3
dx ln x 1 2ln x 2 C
�
x
3
x
2
D.
.
2
Hướng dẫn giải: Chọn B
Sử dụng máy tính Casio lệnh SHIFT
3
f 0
2
�
Thử với các đáp án:
d
2ln x 2 ln x 1
dx
d
2ln x 1 ln x 2
dx
0
loại đáp án A.
x 0
x 0
3
2
đáp án B.
Tự luận:
x3
1 �
�2
dx �
dx 2 ln x 1 ln x 2 C
�
�
2
�
x 3x 2
�x 1 x 2 �
Đáp án B thảo mãn
Câu 36.
(Chuyên Biên Hòa- Hà Nam lần 2) Hàm số nào dưới đây không là 1
f x
nguyên hàm của hàm số
.
x x2
x 1
2
x2 x 1
x2 x 1
.
.
x1
x1
A.
B.
Hướng dẫn giải: Chọn B
Sử dụng máy tính Casio lệnh SHIFT
x2
.
C. x 1
x2 x 1
.
x1
D.
�
f 0 0
Thử với các đáp án:
d �x2 x 1�
�
� 0
dx � x 1 �
loại đáp án A.
d �x2 x 1�
�
� 2
dx � x 1 �
đáp án B.
x 0
x 0
Tự luận:
x x 2
� x 1
2
�
1 �
1
dx �
1
dx x
C
�
�
2
� x 2 �
x
1
�
�
Đáp án A loại
x2 x 1
1
x
f x
x 1 không phải là nguyên hàm của
Đáp án B: x 1
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 13
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
f x
x2
.
x2 4x 5 Khẳng
Câu 37.
(Sở GD và ĐT Bình Thuận – HK2)Cho hàm số
định nào sau đây là sai?
�1
�
1
2
f x dx ln � x2 4x 5 � C .
f
x
dx
ln
x
4
x
5
C
.
�
�
�2
�
2
A.
B.
1
1
f x dx ln x2 4x 5 C .
f x dx ln x2 4x 5 C .
�
�
2
2
C.
D.
Hướng dẫn giải: Chọn B
Sử dụng máy tính Casio lệnh SHIFT
f 0
�
2
5
Thử với các đáp án:
�
d �1
2
2
� ln x 4x 5 �
dx �2
�x0 5
loại đáp án A.
�
�
d � �1 2
ln
x
4
x
5
�
�
�
�
� 0,8 �0,4
dx �
�
� �2
�
x 0
đáp án B.
Tự luận:
2
x2
1 � x 4 x 5 ' � 1
�
dx �� 2
dx ln x 2 4 x 5 C
�
x2 4 x 5
2 � x 4x 5 � 2
�
�
Đáp án A loại
�1
�
1
ln � x2 4x 5 � ln ln x2 4x 5 .
2
2
�
Đáp án B: �
không phải là nguyên hàm của
f x
Câu 38.
dx
?
�
x x2
(THPT Thanh Oai B- lần 1) Tìm F x =
1 x2
ln
C.
3 x1
1 x1
ln
C.
3 x2
A. F x =
C. F x =
2
B. F x =
1 x 1
ln
C.
3 x2
D. F x = ln
x2
C.
x1
Hướng dẫn giải: Chọn A
Sử dụng máy tính Casio lệnh SHIFT
f 0
�
1
2
Thử với các đáp án:
14 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Nhóm Đề file word
d �1 x 2 �
� ln
�
� 0,5
dx �
�3 x 1 �
x 0
đáp án A.
Tự luận:
dx
1
1
1
1 x2
�
dx ln
C
�
�
�
3 x1
x x 2 3 �x 2 x 1�
F x =
�
�
2
Đáp án A
Câu 39.
5x 7
(THPT Phả Lại – Hải Dương –lần 2)Kết quả
A.
2ln x 2 3ln x 1 C
.
B.
2ln x 1 3ln x 2 C
C.
.
Hướng dẫn giải: Chọn B
D.
Sử dụng máy tính Casio lệnh SHIFT
dx
�
x 3x 2
2
bằng:
3ln x 2 2ln x 1 C
3ln x 2 2ln x 1 C
.
.
�
f 0 3,5
Thử với các đáp án:
d
2ln x 2 3ln x 1
dx
d
3ln x 2 2ln x 1
dx
4
loại đáp án A.
x 0
x 0
7
2
đáp án B.
Tự luận:
5x 7
3 �
�2
dx �
dx 2 ln x 1 3ln x 2 C
�
�
2
�
x 3x 2
�x 1 x 2 �
Đáp án B
Câu 40.
(Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam) Biết
x1
dx a ln x 1 b ln x 2 C
�
x 1 2 x
. Tính giá trị biểu thức a b
C. a b 5.
D. a b 1.
A. a b 5.
B. a b 1.
Hướng dẫn giải: Chọn A
Tự luận:
�2
x1
3 �
dx 2ln x 1 3ln x 2 C
�
�
�x 1 2 x dx �
�x 1 2 x �
Vậy a 2;b 2 � a b 5 .Đáp án A
Vấn đề 2. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI
BIẾN SỐ
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 15
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Câu 41.
Hướngdẫngiải: ChọnB
2
2
2
Tựluận: u x 1 � u x 1 � 2udu 2 xdx � udu xdx
3
x2 1
u3
2
2
x x 1dx �
u du C
C
�
3
3
Khiđó:
Vậy KĐ1 sai, KĐ2 đúng,KĐ3 sai.
Trắcnghiệm:
+ KĐ1: du dx khivàchỉkhi u x C sai
+KĐ2: Thêmcậnvào 2 vếđểtínhtíchphânbằng MTCT 2 vếbằngnhauĐúng
2
+KĐ3: x x 1 CACL 3 9,48
� 2
� x 1
d / dx �
� 6
�
3
�
�
�
�
�
tại x=3 4,7 Sai
Câu 42.
Hướngdẫngiải: ChọnC
Tựluận:Dễthấybước 1,2đúng.
cos x
1
1
dx C
C
2
x
u
sin x
�
Bước 3 saivìđưavềbiếncũsai, đúngphảilà sin
Câu 43.
Hướngdẫngiải: ChọnB
Tựluận:Đặt
u x 2 1 � du 2 xdx �
du
dx
2
ln x 2 1
x
1 du ln u
dx �
C
C
�
x2 1
2 u
2
2
x
f x 2
x 1 CACL 3 0,3
Trắcnghiệm: +
d / dx ln x 2 1
+ Kiểmtracácđápán:
tại x=30,6A sai
�1
�
d / dx � ln x 2 1 �
�2
�tại x=30,3B đúng.
Câu 44.
Hướngdẫngiải: ChọnD
dx
u ln x 3 � u 2 ln x 3 � 2udu
x
Tựluận:Đặt
ln x 3
2u 3
2
2
dx
2
u
du
C
� x
�
3
3
Trắcnghiệm: +
f x
+ Kiểmtracácđápán:
ứng dụng
3
C
ln x 3
x
CACL 3 0,6748
d / dx
16 | Nhóm Đề file word–
ln x 3
ln x 3
tại x=30,08A sai
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Nhóm Đề file word
3 �
d / dx �
� ln x 3 �
�
�tại x=31,01B sai.
3 �
�1
d / dx � ln x 3 �
�3
�tại x=30,337C sai.
�2
d / dx �
�3
ln x 3
3
�
�
�
tại x=30,6748D đúng.
Câu 45.
Hướngdẫngiải: ChọnA
sin 2 x
2sin x.cos x
f x
1 cos x
1 cos x
Tựluận:
Đặt u 1 cos x � du sin xdx
2 u 1
2sin x.cos x
�2
�
dx
du 2 ln u 2u C 2ln 1 cos x 2 1 cos x C
� 2�
�1 cos x
� u du �
�u
�
� �
�
� �
�
F � � 0 � 2ln �
1 cos �
2�
1 cos � C 0 � C 2 � F x 2 ln 1 cos x 2 cos x
2� �
2�
�2 �
�
F 0 2ln 2 2
Vậy
Trắcnghiệm:
2
0
� �
sin 2 x
� �
� F 0 � F 0 F � � 0, 613 �0, 613
�1 cos x dx ; 0, 613 F �
�2 �
�2 �
+ Tínhtíchphân
+ Đổicácđápánrasốgầnđúngchọn A
Câu 46.
Hướngdẫngiải: ChọnA
1
cos x
1 �sin x cos x cos x sin x � 1 � cos x sin x �
f x
�
1
� �
�
1
tan
x
sin
x
cos
x
2
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
2
sin x cos x �
�
�
�
Tựluận:
1 � cos x sin x �
1
Suyra
Đặt
1 cos x sin x
x
dx �
1
dx
dx
�
�
�
1 tan x
2 � sin x cos x � 2 2 �
sin x cos x
u sin x cos x � du cos x sin x dx �
1
x
1 cos x sin x
1 du 1
1
dx � ln u C ln sin x cos x C
�
2 sin x cos x
2 u 2
2
1
dx ln sin x cos x C
�
2 2
Vậy 1 tan x
x 1
� C � F x ln sin x cos x
4
4
2 2
4
� �
F � �
Vậy �2 � 4 4 2
F 0
Trắcnghiệm:
khôngxácđịnh.
Ta thaycậntrên
+
x
2
0
1
dx
�
Tínhtíchphân 1 tan x
MTCT
báolỗi
do
tại
x
2 thì tan x
10
x
2 thànhmộtsốgầnđúnglà
21
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 17
Nhóm Đề file word
10
21
0
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
� �
1
� �
F � � 0, 7827 F 0
�2 �
7827
F
�� � F 0
� 1 tan x dx �0,�
�2 �
1,568
4
0, 7827
+ Đổicácđápánrasốgầnđúng ,chỉcóđápán A làgầnvới 1,568 nhất.
Câu 47.
Hướngdẫngiải: ChọnB
2
Tựluận:Đặt u 2 x 1 � u 2 x 1 � udu dx
dx
u
�
4 �
du �
1
du u 4 ln u 4 C
�
�
�2 x 1 4 �
u4
� u4�
Vậy a 1; b 4 � M 3
Câu 48.
Hướngdẫngiải: ChọnC
cos 2 x
Tựluận:
Đặt
sin x cos x 2
3
2 x 1 4 ln
2x 1 4 C
cos x sin x sin x cos x
3
sin x cos x 2
u sin x cos x 2 � du cos x sin x dx
cos 2 x
�
sin x cos x 2
3
u 2
1 1
u 1
sin x cos x 1
dx � 3 du 2 C 2 C
C
2
u
u u
u
sin x cos x 2
� m 1; n 2 � A 3
Câu 49.
Hướngdẫngiải: Chọn C
Câu 50.
Hướngdẫngiải: ChọnC
I �
2x x2 1dx
.
Đặt u x 1 � du 2xdx
2
I �udu
Vậy
Câu 51.
Hướngdẫngiải: ChọnA
Tựluận:
I �
x x2 7
15
dx
1
u x2 7 � du 2 xdx1 � xdx du
2
Đặt
16
1 15
1
1 2
I �
u du u16 C
x 7 C
2
32
32
Vậy
Trắcnghiệm:SửdụngmáytínhCaisiođểthửkếtquả
Nhấn shift
sauđónhậpvàohàmsố ở đápán
nhậptiếpbiểuthứcđềbài
18 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
sauđóấn Alpha
sau đó ấn bằng hai lần
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Nhóm Đề file word
và so sánh kết quả, nếu kết quả hai lần ra như nhau thì chọn còn không bằng nhau thì
tiếp tục thử kết quả khác.
Ta thấy kết quả hai lần như nhau vậy đáp án đúng là A
Câu 52.
Hướngdẫngiải: ChọnC
Tựluận:
cos x
�2 sin x 2 dx
Ta tính:
Đặt t 2 sin x � dt cos xdx
cos x
�2 sin x
2
dt
1
1
dx �2 C
t
t
2 sin x
Vậy:
Trắcnghiệm:SửdụngmáytínhCaisiođểthửkếtquả
Nhấn shift
sauđónhậpvàohàmsố ở đápán
sauđóấn Alpha
nhậptiếpbiểuthứcđềbài
sau đó ấn bằng hai lần
và so sánh kết quả, nếu kết quả hai lần ra như nhau thì chọn còn không bằng nhau thì
tiếp tục thử kết quả khác.
Ta thấy kết quả hai lần như nhau vậy đáp án đúng là C
Câu 53.
Hướngdẫngiải: ChọnB
Tựluận:
e2 x
e x .e x
dx
dx
�
�
x
x
e
1
e
1
Tính:
�
dt exdx
�
t e 1 � �x
e t 1
�
x
Đặt
e2 x
e x .e x
t 1
� 1�
dx
dx � dt �
1 �
dt t ln t C e x 1 ln e x 1 C
�
�
�
x
x
t
e 1
� t�
Ta được: e 1
Trắcnghiệm:
SửdụngmáytínhCaisiođểthửkếtquả
Nhấn
Alpha
shift
sauđónhậpvàohàmsố
nhậptiếpbiểuthứcđềbài
ở
đápán
sauđóấn
sau đó ấn bằng hai lần
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 19
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Nhóm Đề file word
và so sánh kết quả, nếu kết quả hai lần ra như nhau thì chọn còn không bằng nhau thì
tiếp tục thử kết quả khác.
Ta thấy kết quả hai lần như nhau vậy đáp án đúng là B
Câu 54.
Hướngdẫngiải: ChọnA
Tựluận:
1
t 2dx � dt 2dx � dx dt
f
2
x
dx
�
2
. Đặt
1
1
f 2 x dx �
f t dt �
f x dx
�
2
2
1
x 1
2
Ta được:
Trắcnghiệm:
C
Câu 55.
Hướngdẫngiải: ChọnB
Tựluận:
ln x
1
�x dx . Đặt t ln x � dt x dx
ln x
t2
ln2 x
dx
tdt
C
C
�x
� 2
2
Ta được:
ln2 e2
F e2 4 �
C 4�C 2
2
Mà:
ln2 x
5
2 � F e
2
2
Vậy:
Trắcnghiệm:
F x
Câu 56.
Hướngdẫngiải: ChọnB
Tựluận:
�
dt exdx
�
x
1
t e 1 � �x
dx
�
e t 1
�
ex 1 . Đặt
Ta được:
1
ex
dt
�1 1 �
t 1
ex
dx �x x
dx �
� �
dt ln t 1 ln t C ln
C ln x
C
�
t
t t 1 �
ex 1
e 1
e e 1
�t 1 t �
Mà:
Vậy:
F 0 ln 2 � ln
F x ln
Giảipt:
e0
C ln 2 � C 0
e0 1
ex
ex 1
F x ln ex 1 3 � ln
20 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
ex
ln ex 1 3 � ln ex 3 � x 3
ex 1
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Trắcnghiệm: Saukhitìmđượcnguyênhàm
F x ln ex 1 3
F x ln
ex
ex 1 . Ta cóthểgiảinhanhphươngtrình:
bằngcáchdùngmáytính Casio đểthửnghiệm
Nhậpvàomáytính
Sau đó bấm phím Calc để thử đáp án. Ta thử đáp án B. Nhấn Calc nhập X 3 ta được
Vậy x 3 là nghiệm của phương trình. Tương tự thử với các đáp án còn lại ta thấy chỉ
có đáp án B thỏa.
Câu 57.
Hướngdẫngiải: Chọn A
1
1
dx
f ax b dx= F (ax b) C
�
a
Tựluận:Đặtt=ax +b ta códt= a nên
Trắcnghiệm:
Câu 58.
Hướngdẫngiải: ChọnB
1
f ax b dx= F (ax b) C
�
a
Tựluận:ápdụng
Trắcnghiệm:
Câu 59.
Hướngdẫngiải. Chọn C
2
I =�
2x x2 - 1dx
1
2
đặt u = x - 1 � du = 2xdx
Đổicận x = 1 � u = 1; x = 2 � u = 3
3
I = � udu
0
Nên
Trắcnghiệm:
Câu 60.
Hướngdẫngiải: Chọn A
Tựluận:Xét
�
ecos x sin xdx
bằngcáchđặtt
=
cosx
ta
códt=
-sinxdxnên
�
ecos x sin xdx �
et dt et C e cos x C
Trắcnghiệm:
Câu 61.
Hướngdẫngiải: ChọnC
Tựluận:
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 21
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Nhóm Đề file word
x 2
12
�
x 1
10
Ta có:
10
�x 2 � 1
dx �
dx
�
�
2
�x 1 � x 1
x 2 dx 1 t10 dt 1 t11 C 1 �x 2 � C
3
x2
dt
dx
�
�
12
2
�
t
3�
3 11
33 �x 1 �
x
1
x 1
x 1 thì
Đặt
nên
10
11
Trắcnghiệm:
Câu 62.
Hướngdẫngiải: ChọnB
Tựluận:
Đặt
t e x 1 � dt e x dx
e2 x
t 1
dx � dt t ln t C e x 1 ln e x 1 C
�
x
t
e 1
tacó
Trắcnghiệm:
Câu 63.
Hướngdẫngiải: ChọnC
Tựluận:
x 2
12
�
x 1
10
10
�x 2 � 1
dx �
dx
�
�
2
�x 1 � x 1
x 2 dx 1 t10 dt 1 t11 C 1 �x 2 � C
3
x2
dt
dx
�
�
12
2
t
3�
3 11
33 �x 1 �
x 1
x 1 nên �
x 1 thì
Đặt
Trắcnghiệm:
Câu 64.
Hướngdẫngiải: ChọnA
Tựluận:
Đặt
1
t cos2 x � dt 2sin 2 xdx � sin 2 xdx dt ,
2
2
1
1
1
1
sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x sin 2 2 x 1 1 cos 2 2 x 1 1 t 2 t 2
2
2
2
2
10
11
sin 2 xdx
1
dt
dt
I � 4
�
� 2
4
1
2
cos x sin x
1 2t
t2
2
Vậy
Câu 65.
Hướng dẫn giải: Chọn C
e
�
1
dx eax b C
a
với a �0 ; thay a 2 và b 0 để có kết
ax b
Tự luận: Áp dụng công thức
quả
Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính casio: cú pháp
22 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
f A
d
F x
dx 1
xA
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Nhóm Đề file word
Biến A được nhập từ bàn phím để kiểm tra, A là hằng số thỏa mãn tập xác định và có
giá trị nhỏ.
Nếu kết quả cho ít nhất một giá trị khác 0 thì loại phương án đó.
Nếu kết quả luôn cho giá trị bằng 0 với một dãy giá trị của A thì chọn phương án đó.
Chú ý: để dễ đọc kết quả ta nên chọn máy tính ở chế độ fix - 9 (shift-mod-6-9).
Nhập vào biểu thức vào máy tính
d 2x
e
2A
dx
1 shift Sto A. e
7,389
loại
x A
d �e2x �
� � 0
dx
2A
�2 �xA
e
chọn
Câu 66.
Hướng dẫn giải: Chọn A
1
Tự luận: Áp dụng công thức
để có kết quả.
cos(ax b)dx sin(ax b) C
�
a
với a �0 ; thay a 2 và b 0
Trắc nghiệm: Nhập vào biểu thức vào máy tính
d �1
�
sin2x � 0
�
�xA
3 shift Sto A. cos2A dx �2
chọn
Câu 67.
Hướng dẫn giải: Chọn B
Tự luận:
(3 2x)5dx
�
1 (3 2x)51
1
C (3 2x)6 C
51
2
12
Trắc nghiệm: TXĐ của hàm số là R
Nhập vào biểu thức vào máy tính ( cho A tùy ý )
2 shift sto A.
Câu 68.
Tự
3 2A
luận:
5
6�
d � 1
3 2x � 0
�
dx � 12
�xA
chọn
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Ta
có:
f x dx �2x 1dx �
2x 1
�
1
2
dx
3
3
1 2x 1 2
1 2
1
.
C . . 2x 1 C . 2x 1 . 2x 1 C
3
2
2 3
3
2
.
�
1
�
D � ; ��
2
�
�
Trắc nghiệm: TXĐ
d �1
�
1 1
2x 1 2x 1� 0
�
�xA
2 , 2 shift sto A. 2A 1 dx �3
Cho
chọn B
Câu 69.
Hướng dẫn giải: Chọn A
1
t x2 1� dt 2xdx � xdx dt
2
Tự luận : Đặt
A
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 23
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
2
1
1 t
1
1 2
F x �
x.ex 1dx �etdt �
e dt et c ex 1 c
2
2
2
2
1
3
1 2
F(0) 2e. � e1 C e � C=e
F x ex 1 e
2
2
2
vậy
1 2
1
F 1 e1 1 e e2 e
2
2
2
1 2
1 2
F x �
x.ex 1dx �ex 1d x2 1 ex 1 c
2
2
Trắc nghiệm:
F(0) 2e. �
1 1
3
1 2
e C e � C=e
F x ex 1 e
2
2
2
vậy
1 2
1
F 1 e1 1 e e2 e
2
2
Câu 70.
Hướng dẫn giải: Chọn D
1
1
t 1 lnx � t2 1 lnx � 2tdt= dx � dx 2tdt
x
x
Tự luận Đặt
dx
2tdt
F x �
�
�
2dt 2t C 2 1 lnx C
t
x 1 lnx
F 1 0 � 2. 1 ln1 C 0 � C 2
Vậy
F x 2 1 lnx 2
F e 2 1 lne 2 2
dx
F x �
�
2d 1 lnx 2 1 lnx C
x 1 lnx
Trắc nghiệm:
F 1 0 � 2. 1 ln1 C 0 � C 2
Vậy
F x 2 1 lnx 2
F e 2 1 lne 2 2
Câu 71.
Hướng dẫn giải: Chọn C
5t2
s t �
v tdt �
5t 10 dt 2 10t C
Tự luận: Quãng đường vật di chuyển
s t 0
Tại thời điểm t 0 thì
, do đó C 0 và
Xe dừng hẳn khi được quãng đường
10 m
s t
2
5t2
5
10t
t 2 10 �10
2
2
kể từ lúc đạp phanh
v 0 � 5t 10 0 � t 2 s
Trắc nghiệm: Khi vật dừng lại thì
Quãng đường vật đi được trong thời gian này là :
2
2
2
� 2
�
s t �
v t dt �
10t � 10 m
5t 10dt �5t
�2
�0
0
0
Câu 72.
Hướng dẫn giải: Chọn A
24 | Nhóm Đề file word–
ứng dụng
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và
Nhóm Đề file word
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1
1
1
2
t2
4 3
s t �
v t dt �
2 t dt �
2t dt 2.
t C
1
3
1
2
Tự luận:
Trắc nghiệm:
Câu 73.
Hướngdẫngiải: Chọn A
1
Cách 1:
�
��
�1
�
�
f ( x)dx �
cos �
3x �
d�
3x � sin �
3x � C
�
3
� 6 �� 6 � 3 � 6 �
.
� �
f ( x) cos �
3x � x
� 6 �tại
3
Cách 2: sửdụngcasiobấm shift �nhập
Thay
x
3 vào 4 đápánrồi so sánhkếtquả, suyrađápán A
Câu 74.
Hướngdẫngiải:Chọn A
Cách 1: Đặt t
3
3
x 2dx x 2
x 2 � dx 3t dt . Khiđó �
4
3
2
3
x2 C
3
Cách 2: sửdụngcasiobấm shift �nhập f ( x) x 2 tại x = 10
Thay x = 10 vào 4 đápánđápánrồi so sánhkếtquả, suyrađápán A
Câu 75.
Hướngdẫngiải: Chọn A
2
Cách 1 :Đặt t 5 4 x � tdt 4 xdx
1 2
1
1
2 x 5 4 x 2 dx �
t dt t 3 C
�
2
6
6
Ta có
Cách 2: sửdụngcasiobấm shift
5 4x
2 3
2x
�nhập �
C
5 4 x 2 dx
tại x = 10
Thay x = 10 vào 4 đápán so sanhrồisuyrađápánlà A
Câu 76.
Hướngdẫngiải: Chọn A
cos x
1
1
f ( x )dx � 5 dx � 5 d (sin x)
C
�
sin x
sin x
4sin 4 x
Cách 1:
Cách 2:sửdụngmáytính.
Câu 77.
Hướngdẫngiải:Chọn A
1
dx ln x 1 C
�
F 2 1
F x ln x 1 1
x 1
, vì
nên C 1 .
, thay x 3 ta cóđápán.
Câu 78.
Hướngdẫngiải:Chọn A
Đặt
t ln 2 x 1 � tdt
F 2 e
ln x
dx
x
�ln
2
x 1.
3
ln x
t
dx �
t 2 dt
x
3
C
ln 2 x 1
3
3
C
. Vì
F 1
1
3 nên
8
9.
C 0 Vậy
Câu 79.
Hướngdẫngiải:Chọn A
Đặt t x 1 � 2tdt dx
Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụngNhóm Đề file word | 25
