Bộ đề ôn thi hsg cụm 4 TPHCM k11

Bộ đề ôn thi hsg TP -Khối 11
Đề 1
Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:

π

cos4x + 2cos 2  x − ÷ = 1
4

a)
π
π


tan  x − ÷.tan  x + ÷.sin 3x = sin x + sin 2 x
6
3


b)
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Từ các chữ số 1; 2; 4; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số
trong đó chữ số 4 xuất hiện đúng 3 lần, chữ số 1 xuất hiện đúng 2 lần, các chữ
số còn lại xuất hiện đúng 1 lần.
S = 2Cn0 + 22 Cn1 + 23 Cn2 + 24 Cn3 + ... + 2n+1 Cnn
b) Tính tổng:
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh đi trực
đội Sao Đỏ. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có số nữ nhiều hơn
số nam.


1 
1 
1 
lim 1 − 2 ÷1 − 2 ÷...1 − 2 ÷
 2  3   n  
b) Tính:
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA , CD .
OMN ) / / ( SBC )
a) Chứng minh hai mặt phẳng sau song song với nhau: (
.
b) Giả sử hai tam giác SAD và ABC cùng là tam giác cân cân tại A . Gọi AE , AF
lần lượt là hai đường phân giác trong của hai tam giác ACD và SAB . Chứng

SAD )
minh: EF / / (
.
Câu 5 (6,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có tam giác DBC và tam giác ABC là các
tam giác đều cạnh a ,

AD =

a 6
2 . Gọi I là trung điểm BC . Chứng minh: AI ⊥ BD .
------Hết------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………; Số báo danh:……………

Đề 2
Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
2
2
a) cos 3x.cos 2 x − cos x = 0

π

2 2 cos3  x − ÷− 3cos x − sin x = 0
4

b)
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5. Hỏi có thể lập được bao nhiêu só tự nhiên chẵn có 3
chữa số khác nhau và chia hết cho 3.
1 + x 2 ( 1 − x ) 8 



8

b) ) Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của:
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau được tạo
thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X.
Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ..
lim n

(

9n 2 + 6n + 6 − 4n 2 + 4n + 3 − n

)

b) Tính:
Câu 4 (4,0 điểm). Cho tứ diện S.ABC có SA vng góc với (ABC). Gọi H,K lần
lượt là trực tâm các tam giác ABC; SBC. Chứng minh:
a) AH, SK, BC đồng quy.
HK ⊥ ( SBC )
b)
.
Câu 5 (4,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có : AB⊥ CD; AC⊥ BD. Chứng
minh rằng chân đường vuông góc vẽ từ A xuống mặt
phẳng ( BCD ) là trực tâm của tam giác BCD.
------Hết------

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………….; Số báo danh:………………….


Đề 3
Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
sin x
 3π

tan 
− x ÷+
=2
2
1

+
cos
x


a)

π
π


sin  3x − ÷ = sin 2 x.sin  x + ÷
4
4


b)
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4
chữ số khác nhau, luôn có mặt số 4 và chia hết cho 4.
10

1 2 
9
10
 + x ÷ = a0 + a1 x + ... + a9 x + a10 x .
3
3

b) Cho khai triển nhị thức 

Hãy tìm số hạng ak lớn nhất.
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Một hộp đựng 20 viên bi đỏ, 18 viên bi vàng và 16 viên bi xanh. Lấy ngẫu
nhiên 10 viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.
 23 − 1  33 − 1   n3 − 1  
lim  3
÷ 3
÷... 3
÷
2
+
1
3
+
1
n + 1 





b) Tính:
Câu 4 (4,0 điểm). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang. Biết AD =a,
BC = b. Gọi I, J là trọng tâm tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC
tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P, Q.
a) Chứng minh MN song song PQ.
b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh EF song song MN và
PQ. Tính EF theo a và b.
Câu 5 (4,0 điểm). Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một đường thẳng d cắt các

MA
uuuur
uuur
đường thẳng AA’,BC,C’D’ lần lượt tại M,N,P sao cho NM = 2 NP . Tính MA '
------Hết------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………; Số báo danh:………………….


Đề 4
Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
a) cos2x + 3 cos x + 5sin x = 3 sin 2 x + 3
sin 3 x
= sin x + cos x
( sin 2 x − cos 2 x ) tan x +
cos x
b)
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Từ các chữ số 1;2;3;4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số
khác nhau. Tính tổng tất cả các số tự nhiên đó.
b) Chứng minh rằng:
C20n + 32 C22n + 34 C24n + ... + 32 n C22nn = 2 2 n −1 ( 2 2n + 1)

Câu 3 (4,0 điểm).
a) Trong một chiếc hộp có chứa 10 quả cầu có kích thước như nhau, được đánh
số từ 1 đến 10. Lấy ngẫu nhiên ra 3 quả cầu trong hộp đó. Tính xác xuất để các số
ghi trên 3 quả cầu lấy được là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
1

1
1
un =
+
+ ... +
1 2 +2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + ( n + 1) n
b) Cho dãy số
.Tính
lim un

Câu 4 (2,0 điểm). Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm AC và BC. Trên BD
lấy K sao cho BK = 2KD
a) Tìm F là giao điểm của AD và (IJK). Chứng minh : FA =2FD
b) Chứng minh: FK song song IJ.
Câu 5 (4,0 điểm). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Lấy các điểm A1 , B1 , C1 sao cho

AA1 BB ' CC ' 3
=
=
=
AA ' BB1 CC1 4 . Trên các đoạn thẳng CA’ và A’B lần lượt lấy các điểm I,J sao
IJ
cho IJ//B’C1. Tính tỷ số B ' C1
------Hết------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………………………….; Số báo danh:………………….

Đề 5
Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
sin 2 x + cos x − 3 ( cos 2 x + sin x )
2sin 2 x − 3

=0

a)
b) cos3x − 2sin 2 x − cos x − sin x = 1
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Từ các chữ số 0;1;2;4;5;6. Hỏi có thể ập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ
số khác nhau và tính tổng của chúng.
n

1 

P ( x ) =  x3 + 2 ÷
3n
3 n −5
+ a2 x 3n −10 + ...
2 x  ta được P ( x ) = a0 x + a1 x

b) ) Khai triển
Biết rằng

ba hệ số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số cộng. Tính số hạng thứ x4
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O. Chọn ngẫu
nhiên 4 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất được chọn là 4 đỉnh
của một hình chữ nhật.

1 + a + a 2 + ... + a n
a < 1; b < 1 .Tính: lim 1 + b + b 2 + ... + b n
b) Cho các số thực a, b thỏa
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O .
Đường thẳng SA vuông góc với (ABCD), góc giữa SB và đáy là 60 0. Gọi N là trung
điểm cạnh BC. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.
a) Tính cos góc giữa hai đường thẳng SD và AN
b) Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD.
Câu 5 (6,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có tam giác DBC và tam giác ABC là các
tam giác đều cạnh a ,

AD =

a 6
2 . Gọi I là trung điểm BC . Chứng minh: AI ⊥ BD .
------Hết------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


Họ và tên thí sinh:
………………………………………………………………………….; Số
báo danh:………………….