XÂY DỰNG SONG ÁNH để GIẢI một số BÀI TOÁN tổ hợp

XÂY DỰNG SONG ÁNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP
I. Tóm tắt lí thuyết
1) Cho ánh xạ f : A  B .
a1, a�
A,fι(a1 ) f (a2 ) a1 a2
a1 , a2 A, a1
a) f là đơn ánh ��
2 �
b) f là toàn ánh � b �B, a �A : f (a )  b .
c) f là song ánh � f là đơn ánh và toàn ánh � b �B, !a �A : f (a )  b
2) Cho A, B là 2 tập hợp hữu hạn. Khi đó:
a) Nếu có một đơn ánh f : A  B thì | A | �| B | .
b) Nếu có một toàn ánh f : A  B thì | A | �| B | .
c) Nếu có một song ánh f : A  B thì | A |  | B | .
3*) Cho A, B là 2 tập hợp hữu hạn có lực lượng bằng nhau. Khi đó:
a) Nếu có một đơn ánh f : A  B thì f là song ánh.
b) Nếu có một toàn ánh f : A  B thì f là song ánh.
4) Công thức tính lực lượng của tập hợp :
n

n

U Ai  �Ai 
i 1

i 1

� A �A

1�i  j �n

i

j

�



1�i  j  k �n

a2

f (a1 )

f ( a2 ) .

Ai �A j �Ak  ...  (1) n A1 �A2 �... An

II. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Hãy tính trung bình cộng tất cả các số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N M99 và các chữ số của N thuộc
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Giải :
Gọi T là tập hợp tất cả các số N thỏa điều kiện đề bài. Ta xây dựng song ánh f : T  T như sau :
f :
T ��
�T
N  a1 a2 ...a2010

a

f ( N )  b1b2 ...b2010

trong đó bi  9  ai , i  1, 2010 .
 a) Chứng minh f là ánh xa :
Với mỗi N = a1 a2 ...a2010  T ta có :
Rõ ràng vì ai �{1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} nên bi  9  ai �{1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}, i  1, 2010 .
1 4 2 43 M99 nên f ( N ) M99 .
Vì N M99 và N  f ( N )  9999...999
2010 ch. sô ' 9

Do đó, f(N)  T . Vậy f là ánh xạ.
 b) Chứng minh f là đơn ánh:
Giả sử N1  x1 x2 ...x2010 , N 2  y1 y2 ... y2010 �T sao cho f ( N1 )  a1a2 ...a2010 , f ( N 2 )  b1b2 ...b2010 và f ( N1 )  f ( N 2 ) .
Khi đó, ai  bi , i  1, 2010 � 9  xi  9  yi � xi  yi , i  1, 2010 � N1  N 2 .
 c) Chứng minh f là toàn ánh: ( nếu áp dụng tính chất 3) thì không cần phải chứng minh )
Lấy số N  b1b2 ...b2010 �T tùy ý. Chọn số P  a1a2 ...a2010 với ai  9  bi .
Chứng minh tương tự phần a) ta có P  T . Và rõ ràng f(P) = N.
Vậy, f là song ánh.
�N  f ( N )  9999...999,
1 4 2 43 N �T
�
2010 ch. sô ' 9
N  � N  f ( N )   T .9999...999
1 4 2 43
Ta có : �
 2 N�
�T
N �T
2010 ch. sô ' 9
��N  � f  N  (vì f là song ánh )

N �T
�N�T


�N

9999...999
1 4 2 43

102010  1
.
T
2
2
Ví dụ 2: Cho tập A = {1, 2, 3, …, 2n}. Một tập con của A gọi là một tập cân nếu trong tập đó số các số chẵn và số
các số lẻ là bằng nhau. ( Tập � cũng là một tập cân vì nó có số các số lả và số các số chẵn là bằng 0). Gọi C là họ
tất cả các tập con cân của A và D là họ tất cả các tập con của A có đúng n phần tử.
a) Hãy xây dựng song ánh f : C  D.
n
b) Từ đó suy ra số tập con cân của A là C2 n .
Giải :
Gọi X và Y lần lượt là tập hợp các số chẵn và số lẻ của A. Chú ý : X  Y  n
Suy ra trung bình cộng các số N là :

N �T



2010 ch .sô ' 9



�D
Ta xây dựng song ánh f : C ��
như sau:
M
( X �M ) �(Y \ M )
 Chứng minh f là ánh xa :
 M  C ta có : Vì M là tập cân nên X �M  Y �M .

a

Do đó, ( X �M ) �(Y \ M )  X �M  Y \ M

( vì ( X �M ) �(Y \ M )  � )

= X �M  Y  Y �M  Y  n .
Như vậy, ( X �M ) �(Y \ M ) �D .
 Chứng minh f là đơn ánh:
Lấy M, N tùy ý thuộc C sao cho f ( M )  f ( N ). Tức là : ( X �M ) �(Y \ M )  ( X �N ) �(Y \ N ) (1) .
Vì X �M , X �N là tập hợp các số chẵn và Y \ M , Y \ N là tập hợp các số lẻ nên từ (1) suy ra :
�X �M  X �N
�X �M  X �N
��
� M   X �M  � Y �M    X �N  � Y �N   N .
�
Y \M Y \ N
Y �M  Y �N
�
�

 Chứng minh f là toàn ánh:
Với mỗi tập con N  D , ta chọn M   X �N  � Y \ N  .
Số các số chẵn của tập hợp M là : X �N .
Số các số lẻ của tập hợp M là : Y \ N  Y  Y �N  n  Y �N  N  Y �N  X �N .
Do đó, M  C và f ( M )  ( X �M ) �(Y \ M )   X �N  � Y �N   N .
n
Vậy f là song ánh và do đó C  D  C2 n .

III. Bài tập
1. Tính trung bình cộng các số N gồm 2n chữ số (n > 1) thỏa mãn các điều kiện:
i)
N gồm các chữ số {1, 2, 4, 5} và hiệu 2 chữ số liên tiếp luôn lớn hơn 1.
ii)
N chia hết cho 11.
2. (VMO – 2002) . Cho tập S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1; 2002]. Gọi T là tập hợp tất cả các tập
con không rỗng của S. Với mỗi X  T, kí hiệu m(X) là trung bình cộng các phần tử của X.
Tính m 

�m( X )

X �T

T

3. Có một nhóm người mà trong đó : mỗi cặp không quen nhau có đúng 2 người quen chung, còn mỗi cặp
quen nhau thì không có người quen chung. Chứng minh rằng số người quen của mỗi người là như nhau.
4. Cho trước số nguyên dương n và số nguyên dương r thỏa mãn điều kiện r < n – r + 1. Cho X là tập hợp n
số nguyên dương đầu tiên. Tính số các tập con của X có r phần tử mà không chứa 2 số nguyên liên tiếp.
r
ĐS: Cn  r 1

5. Một cửa hàng kem có bán m loại kem. Một nhóm có n người vào ăn kem và gọi n cốc kem. Hỏi:
a) Hỏi có tất cả bao nhiêu sự lựa chọn?
b) Hỏi có tất cả bao nhiêu sự lựa chọn, trong đó cả m loại kem đều có mặt ?
m 1
m 1
ĐS: a) Cn  m1
b) Cn 1