de thi vao chuyen thpt

Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Yên Định 1
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn
Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút
Đề thi bảng A
1. Chứng minh:
6;5;4

cba
và a
2
+ b
2
+ c
2
= 90 thì
16++ cba
. (2điểm)
2. Đơn giản biểu thức:
24)1(3
24)1(3
223
223
++
+
aaaa
aaaa
với
2

a

(1điểm)
3. Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0. Chứng minh điều kiện cần và đủ để phơng
trình có 2 nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia là:
)0(0)1(
22
=+
kackbk
(*)( với giả thiết là phơng trình có nghiệm). (2điểm)
4. Cho tam giác ABC (A = 90
0
) hai cạnh góc vuông là là b và c. Lấy điểm
][BCm

sao cho =
0
0(


và
)90
0


. Chứng minh:

sincos cb
bc
AM

+
=
(2điểm)
5. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a
2
và CD = 2a.
a) Chứng minh
CDAB

b)Tính thể tích tứ diện ABCD. (1điểm)
6. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= 271440 (2điểm)
Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Yên Định 1
Đáp án và biểu điểm
môn toán thi tuyển sinh vào lớp 19 chuyên lam sơn
Câu 1. Do
6;5;4

cba
ta đặt a = 4 + x ; b = 5 + y ; c = 6 + z ; (x, y, z 0)
a
2

+ b
2
+ c
2
= (4 + x)
2
+ (5 + y)
2
+ (6 + z)
2
= 90
907712108
222
=++++++
zyxzyx
1312108
222
=+++++
zyxzyx
(1 điểm)
13121212222
222
++++++++
zyxzxyzxyzyx
13)(12)(
2
+++++
zyxzyx
(1)
Nếu x + y + z < 1 thì bất đẳng thức (1) không xảy ra. (0,5 điểm)

Vậy x + y + z 1 từ đó suy ra a + b + c = 4 + 5 + 6 + x + y + z (0,5 điểm)
16
++
cba
(đpcm)
Câu 2. Để ý rằng a
3
- 3a - 2 = (a+1)
2
(a-2)
a
3
- 3a + 2 = (a -1)
2
(a + 2) (0,25 điểm)
Vì vậy:
Vế trái =
4)1()2()1(
4)1()2()1(
222
222
++
++
aaaa
aaaa
)2)(2()1)(1()2()1(
)2)(2()1)(1()2()1(
2
2
++++

++++
=
aaaaaa
aaaaaa
(0,25 điểm)
[ ]
[ ]
2)1(2)1(2)1(
2)1(2)1(2)1(
++++
++++
=
aaaaaa
aaaaaa
2)1(
2)1(
+
+
=
aa
aa
(0,5 điểm)
Câu 3.
1. Nếu c = 0, tức là phơng trình có 1 nghiệm x
1
=0
* Nếu x
2
= kx
1

thì x
2
= 0 b = 0 vậy hệ thức (*) thoả mãn (0,25 điểm)
* Ngợc lại nếu (*) thoả mãn thì b = 0 nên x
2
= 0 x
2
= kx
1
(vì k 0)
(0,25 điểm)
do đó ta chỉ cần xét c 0 tức là cả 2 nghiệm x
1
; x
2
0. Ta có:
1
2
2
1
2
21
2
21
2
2
1
)(
x
x

x
x
xx
xx
a
c
a
b
ac
b








+
=
+
=







=

(1) (0,5 điểm)
Nếu x
2
= kx
1
thì từ (1) ta có:
k
k
ca
b
2
2
)1(
+
=
(2)
(*)

ngợc lại, nếu ta có (2) thì theo (1) ta có:
)(
)1()1(
1
2
22
x
x
t
t
t
k

k
=
+
=
+
(0,5 điểm)
t
t
k
k
11
+=+
kt
tk
kt
tk

==
11
0)
1
)((
=
kt
ttk
tk
=
hoặc
t
kkt

1
1
==
trong cả 2 trờng hợp này đều suy ra nghiệm này bằng k
lần nghiệm kia. (0,5 điểm)
Bài 4:
1) Chứng minh diện tích
AbcBacCabABC sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
===
(0,5 điểm)
2) áp dụng:
)1(
2
1
MABdtCAMdtbcABCdt
+==
(0,5 điểm)

cos.
2
1
)90sin(.

2
1
0
bAMbAMCAMdt
==

sin..
2
1
cAMBAMdt
=
)2()sin.cos(
2
1

cbAMBAMdtCAMdt
+=+
thay (2) vào (1) ta có:
)sin.cos.(
2
1
2
1

cbAMbc
+=

sin.cos. cb
bc
AM

+
=
(1,0 điểm)
Bài 5:

a. Chứng minh AB CD:
Gọi E là trung điểm AB
CE AB ; DE AB AB (CED) AB CD (0,25 điểm)
b.
)1(.
3
1
.22 CEDdtBEVV
BCEDABCD
==
CDEFCEDdt
ì=
2
1
(F là trung điểm CD) (0,25 điểm)
2
2
22
a
CFCEEF
==
(0,25 điểm)
V
ABCD
=

32
2
.
2
2
.
3
1
.2
32
aaa
=
(0,25 điểm)
Bài 6: Phơng trình đã cho x
2
(x
2
+1)(x+1) = 2
4
.3
2
.5.13.29 (1) (0,5 điểm)
Từ (1) suy ra nghiệm x > 1 và x
2
là ớc chính phơng của 271.440.
Còn ớc chính phơng của 271.440 có thể là: 2
2
, 2
4
, 2

2
.3
2
, 2
4
.3
2
ớc chính phơng lớn
nhất là: 2
4
.3
2
= 12
2
(0,5 điểm)
Thay x
2
= 12
2
vào phơng trình ta đợc nghiệm đúng (0,5 điểm)
với x
2
= 2
2
.3
2
= 6
2
ta có:
6

2
(6
2
+1)(6+1) < 12
2
(12
2
+1)(12+1) = 271.440
các ớc còn lại cũng nh vậy.
Do đó x = 12 là nghiệm duy nhất (0,5 điểm)