Bài 13 (tr 187 200) nguyễn đình thức

MỘT SỐ ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG BÀI TOÁN DÃY SỐ
Nguyễn Đình Thức
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định

Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp , bài toán “Dãy số ” là dạng thường xuyên
xuất hiện . Các dạng chính của dãy số có thể liệt kê như : tìm số hạng tổng quát ;
xét các tính chất liên quan như tính chất số học; tính đơn điệu; bị chặn; giới hạn...
Giải các dạng trên có thể dùng phương pháp quy nạp; phản chứng; sai phân;xét
các hàm đặc trưng…

Trong số các bài toán cơ bản trên; việc sử dụng tính chất hàm số lượng giác để xử
lý làm cho cách giải được tối ưu. Bài viết đề cập 2 vấn đề :
Vấn đề 1: Xét tính chất lượng giác trong bài toán dãy số
Vấn đề 2: Lượng giác hoá các dãy số phi tuyến tính
I/ BIỄU DIỄN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT; TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ;…
NHỜ TÍNH CHẤT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi ta thường sử
dụng cách biến đổi dãy; sai phân;.. để đưa về cấp số cộng; cấp số nhân;cấp số
nhân cộng..
Việc biễu diễn các số hạng; hệ số các số hạng bởi công thức lượng giác; lượng
giác ngược; lượng giác hypebolic là một cách giải hay. Sử dụng tính chất các
hàm số trên thì khi biến đổi dãy sẽ đơn giản và cách giải sáng tỏ hơn.Ta xét
một số ví dụ minh hoạ
Bài toán 1: Cho dãy số (un) có u1=cosa; u2=cos2a; un+1=2cosa.un -un-1 khi n>1.
Tìm Sn =u1 +u2 +…+un
Lời giải:
Ta thấy số tổng quát của dãy có dạng un=k.cosna+l.sinna
k cos a  l sin a  cos a
k cos2a  l sin 2a  cos2a

Theo giả thiết suy ra 

 k=1; l=0 . Vậy: un=cosna

Sn =u1 +u2 +…+un =cosa+cos2a+…+cosna=

187

sin

na
n 1
cos
a
2
2
.
a
sin
2


Bài toán 2: Cho số thực t  0;1 và dãy số (wn) có w0=0 ; wn=

wn 1  2t.vn 1
2(1  t ).un 1  vn 1

Hãy xác định công thức số hạng tổng quát wn của dãy số trên
Lời giải : Ta biễu diễn dạng lượng giác cho số thực t :
Do t  0;1  t  sin 2 a; 1  t  cos 2 a và wn 
Đặt wn =

wn 1  2sin2 a

2 cos2 a.wn 1  1

un
với un= un-1 +2vn-1sin2a; vn= vn-1 +2un-1cos2a n  Z 
vn

ta có wn=

wn 1  2sin2 a
un 1  2vn 1 sin 2 a
=
.
2 cos 2 a.un 1  vn 1 2 cos2 a.wn 1  1

Theo đề cho w0=0 nên ta chọn u0=0; v0=cosa ,
Xét un +kvn=(1+2kcos2a )un-1 +(k+2sin2a)vn-1
Cho tỉ lệ 1:k=(1+2kcos2a ):(k+2sin2a) ta có k=tana hoặc k=-tana
Vậy : un +tana.vn=(1+2sina.cosa )un-1 +(tana+2sin2a)vn-1
un –tana.vn=(1-2sina.cosa )un-1 +(-tana -2sin2a)vn-1
Suy ra: un +tana.vn=(1+sin2a)(un-1 +tana.vn-1 )
un –tana.vn=(1-sin2a)(un-1 –tana.vn-1 )
Khi đó : un +tana.vn=(1+sin2a)n(u0 +tana.v0 )=(1+sin2a)n sina
un –tana.vn=(1-sin2a)n(u0 –tana.v0 ) =-(1-sin2a)n sina
Suy ra:

1
2

1
vn= cos a[(1  sin 2a)n  (1  sin 2a)n ]
2

un = sin a[(1  sin 2a)n  (1  sin 2a)n ]

Suy ra: wn=tana
Vậy wn 

(1  sin 2a)n  (1  sin 2a)n
(1  s in2a)n  (1  s in2a)n

t (1  2 t (1  t ) ) n  (1  2 t (1  t ) )n
; n  N
1  t (1  2 t (1  t ) ) n  (1  2 t (1  t ) )n

Bài toán 3: Cho dãy số (un) có un=

4 a
 khi n>1
n3 n

Tìm a để un  1 với mọi số nguyên dương n
Lời giải
Ta có un là đa thức xấp xỉ với đa thức Tsê-bư-sep bậc 3
Xét đa thưc P(x)= 4x3+mx có 2 tính chất :
a/Khi m=-3 thì P( x)  1 khi x  1
Thật vậy khi x  1 thì x  cos t; t  0; 

188

P(x)=cos3x  P( x)  1
b/Nếu P( x)  1 khi x  1 thì m=-3
Thật vậy P(x)=4x3+mx
m=-3 ; theo tính chất câu a P( x)  1 khi x  1
m>-3; P(1)=4+m>1(không thoả P( x)  1 )
1
2

1
2

m<-3; P( )= (1+m)<-1(không thoả P( x)  1 )
Vậy m= -3
Trở lại bài toán do

1
 1 và u n  1 nên sử dụng tính chất của đa thức xấp xỉ
n

Tsê -bư-sep suy ra a=-3
Bài toán 4 (Đề VMO- 1990)
Cho dãy số (xn) có x1  1 ; xn=

 x n  3  3 x n2 n
2

khi n>1

a/Cần thêm điều kiện gì để dãy số đã cho toàn số dương
b/Dãy số trên có tuần hoàn không ?tại sao ?
Lời giải
a/Cho x1  0; x2  0  3  3x12  x1  0  x1 
Ngược lại nếu 0  x1 
Khi đó x2  sin(


3

 a );

3
2

3

thì x1  sin a; a   0; 
2
 3



 
 a   0; 
3
 3

Suy ra x3  x1 ; x4  x2 ,….
Vậy ta cần điều kiện 0  x1 

3
2

b/ Xét hai trường hợp
TH 1: x1  0
Nếu x2  0 Suy ra x3  x1 ; x4  x2 ,….
Nếu x2  0 ta cũng chứng minh được x3  x1 ; x4  x2 ,….
Vậy x1  0 thì dãy số trên tuần hoàn chu kỳ 2
TH 2: x1  0 .Xét trong dãy số trên từ x2 trở lên ta có x5  x3 ; x4  x2 ,….
Vậy dãy số trên có tuần hoàn chu kỳ 2 kể từ số hạng thứ hai trở lên.

189


Bài toán 5: Cho số thực t và các dãy số (un) , (vn) với
u0  a; v0  b
un 

(t 2  1) 2 un 1  4t 2vn 1
(t 2  1) 2 vn 1  (t 2  1) 2 un 1
;
v

; n  Z 
n
2
2
2
2

(t  1)
(t  1)

Tìm số hạng tổng quát un; vn của các dãy số trên .
Lời giải
2t
1 t2
;
cos


1 t2
1 t2
Ta viết un  un 1  vn 1 sin 2  ; vn  vn 1  un 1 cos 2  ; n  Z 

Ta thấy tồn tại số thực   0;2  sao cho sin  

Nếu xét un  kvn  (1  k cos 2  )un 1  (k  sin 2  )vn 1; n  Z 
Chọn k lần lượt là tan  ;  tan  ta có:
1
1
un  tan  .vn  (1  sin 2 ) n u0  tan n  (1  sin 2 ) n v0 ; n  Z 
2
2
1
1
un  tan  .vn  (1  sin 2 ) n u0  tan n  (1  sin 2 ) n v0 ; n  Z 
2
2

suy ra :
u  tan  .vn un  tan  .vn 1
1
1
un  n

 [(1  sin 2 ) n  (1  sin 2 ) n ].[u0  v0 tan n  ]
2
2
2
2
2
u  tan  .vn un  tan  .vn
1
1
1
vn  n


[(1  sin 2 ) n  (1  sin 2 ) n ].[u0  v0 tan n  ]
2 tan 
2 tan 
2 tan 
2
2
2
4t (1  t )
2t
Mà sin 2  2 2 ; tan  
nên:

(t  1)
1 t2

1
2t (1  t 2 ) n
2t (1  t 2 ) n
2t n
un  [(1  2
)

(
1

) ].[ a  b(
) ]; n  Z 
2
2
2
2
2
(t  1)
(t  1)
1 t
vn 

1 t2
2t (1  t 2 ) n
2t (1  t 2 ) n
2t n
[(1  2

)

(
1

) ].[ a  b(
) ]; n  Z 
2
2
2
2
4t
(t  1)
(t  1)
1 t

Tìm giới hạn của dãy số ta sử dụng các phép toán giới hạn; giới hạn kẹp;..
Đặc biệt đối với dãy số cho bởi công thức truy hồi xn+1=f(xn) ta thường sử dụng
định lý Vâyestrat; trong đó ta cần xét sự biến thiên của hàm số y=f(x)-x để tìm
điểm hội tụ.
Tất nhiên nếu các dãy số chứa công thức lượng giác; ta phải vận dụng giới hạn
của hàm lượng giác liên quan .
Bài toán 6 (Đề đã gửi cho Ban tổ chức VMO- 2008)
n 1

Cho dãy số (vn) có vn =3-nun và u1= 1 ; un=  (n  k )uk ; với n nguyên và n>1
k 1

Tìm giới hạn của dãy số (

sin vn
) khi n  
vn

190


Lời giải
Ta có :un=un-1+2un-2+…(n-1) u1
Suy ra un-un-1=2un-2+…(n-1) u1
= [un-2+…(n-2) u1]+[un-2+…+ u1]
Vậy : un-2un-1= un-2+…+ u1(*)
Thay n bởi n-1 có : un-1-2un-2= un-3+…+ u1(**)
Từ (*) và (**) ta có : un-2un-1= un-2 + un-1-2un-2
Suy ra un-3un-1+ un-2 =0.
Phương trình đặc trưng: t2-3t+1=0 có nghiệm t1 
 un =A.(

3 5 n
3 5 n
) +B.(
)
2
2
2

Do u1=1; u2=1 suy ra A=1-

5

;B=1+

3 5
3 5
; t2 
2
2

2

5
3 5 n
3 5 n
2
2
Vậy un =(1- ).(
) +(1+ ).(
)
2
2
5
5
2
2
3 5 n
3 5 n
Suy ra : vn =(1- ).(
) +(1+ ).(
)
6

6
5
5
3 5
3 5
<1, 0<
<1 nên
6
6
sin vn
Vậy lim
=0
n vn

Do 0<

lim vn =0

n

2a 2 n
1  a2 2 n
) . sin b ]n
Bài toán 7: Cho dãy (un) có un=[ (
) . cos b + (
2
2
1 a
1 a
Tìm lim un

n

Lời giải

2a 2 n
1  a2 2 n
) . sin b ]
Nhận xét :ln un =n ln[ (
) . cos b + (
2
1  a2
1 a

2a 2 n
1  a2 2 n
) . sin b ta có ln un= n ln vn
) . cos b + (
1  a2
1  a2

Đặt :vn= (

2a 2
1  a2 2
)  1  lim (vn  1)  0
Xét lim vn = (
) +(
2
n 
n

1  a2
1 a
ln vn
ln[1  (vn  1)]
ln(1  x )
* Do lim
 lim
1
 1  lim
x
vn  1
x 0
n  vn  1 n 

 lim ln vn  lim (vn  1) (1)
n 

n 

191


2a 2 n
1  a2 2 n
) sin b -1]
) cos b + (
1  a2
1  a2

* lim n(vn  1)  lim n[ (

n

n 

= lim [ (
n

1  a2 2 n cos b  1
2a 2 n sin b  1
(
)
)
+
]
1
1
1  a2
1  a2
n
n

Mà :
lim

n cos b

1
n

n 

Vậy

1

 lim

1
ln cos b
en

n 

1

1
n

 ln cos b ; lim

n s inb

n 

1
n

1

 lim

1
ln sin b
en

1
n

n 

1  a2 2
2a 2
lim n(vn  1)  (
) ln cos b  (
) lnsin b
n 
1  a2
1  a2

1

 ln sin b

(2)

1  a2 2
2a 2
) ln cos b  (
) lnsin b
2

1 a
1  a2

Từ (1),(2) suy ra lim n ln vn  (
n 

 lim un=(cosb) (
n

2a 2
1  a2 2
)
) +(sinb) (
1  a2
1  a2

Bài toán 8:(VMO-2001)
Cho số thực a và dãy số (xn) có x0=a ;xn+1=xn+sinxn
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn khi n   và tìm giới hạn đó
Lời giải
1/Nếu a=k  thì xn=a và lim xn =a
n

2/Nếu a  k  xét hàm f(x)=x+sinx có f’(x)=1+cosx  0
TH: a  (2k ;   2k ) thì sina >0  x1  x0 mà f(x) không giảm  (xn) tăng
Mặt khác : xo  (2k ;   2k ) mà f(x) không giảm  x1= xo+sin xo  (2k ;   2k )
 ..... xn  (2k ;   2k )
Theo định lý Vây-es-trát thì dãy số có giới hạn và lim xn =   2k
n

TH: a  (  2k ;2k ) thì sina <0  x1  x0 mà f(x) không giảm  (xn) giảm
Mặt khác : xo  (  2k ;2k ) mà f(x) không giảm
 x1= xo+sin xo  (  2k ;2k )  ..... xn  (  2k ;2k ) .
Theo định lý Vây-es-trát thì dãy số có giới hạn và lim xn =-   2k
n

U 1  2;U 2  8
U n  2  4U n 1  U n

Bài toán 9: Cho dãy số (Un) : 
Tìm lim Sn .
n

192

n

và Sn =  arc cot u i2
i 1


Lời giải
u n 1
u
- arccot n
u n 1
un
n
u
 Sn =  arc cot u i2 = arccot n 1

un
i 1

Ta có arccot u 2n =arccot

t  2  3

Xét phương trình t 2  4t  1  0  





n




a.2  3 
a.2  3 

 u n  a. 2  3  b 2  3
u n 1
lim
= lim
n u n
n

Từ giả thiết  1  4

t  2  3

n

n 1
n

 
 b2  3 

b 2 3

n 1
n

giả sử có kết quả là x

u
u u
u n1 u n2
 1  4 n1  n2 n1

un
u n1 u n
un
un

u n 1
=x thì 1=4x-x2  x=2- 3 .
n u n

u
Vậy lim n 1 =2+ 3 .
n u n

Suy ra : lim Sn =arccot(2+ 3 )=
12
n

Nếu lim

II/ LƯỢNG GIÁC HOÁ VÀ LƯỢNG GIÁC HYPEBOLIC HOÁ CÁC DÃY
SỐ PHI TUYẾN TÍNH : dạng xn 1  f ( xn )
a/Một số lưu ý cho phương pháp lượng giác hoá dãy xn 1  f ( xn )
Ta để ý rằng a  1  ! t  0; / a  cos t ;
a  1  ! t  R / a  cht ;
   
a  R  ! t  
;  / a  tan t
 2 2

Giống như phương pháp giải phương trình; tính tích phân;.. khi xét một số bài
toán dãy số ta cũng lượng giác hoá hoặc lượng giác hypebolic hoá chúng.
Cách biễu diễn số hạng đầu cần tương thích với công thức truy hồi của dãy
Ta bắt đầu với ví dụ đơn giản sau
Bài toán 10: Cho dãy (un) với : un  2n. 2  2  2  ..... 2 (n+1 dấu căn ).
Tìm lim un
n

Lời giải
Đặt vn = 2  2  2  ........  2 (n dấu căn )  un  2n. 2  vn .

193


Do vn1  2  vn mà 2  2 cos a  2 cos

a
2



; bằng quy nạp suy ra vn =2cos n 1
2
2
2

Vậy
un  2n 1.sin
n2
2
sin x
1
Sừ dụng tính chất lim
x 0
x

 2n  2


.sin
Khi đó ta có : lim un = lim 2n 1.sin n  2 = lim .

=
n

2
2

n
n
n 2
2
2
U  2 ;V  1
0
 0
2U nV n

Bài toán 11: Cho dãy số (un) và (vn) : U n 1 
U n  Vn

V  U V
n 1 n
 n 1

Nên ta viết

v1 =2cos

Tìm số hạng tổng quát un và vn
Lời giải
Ta có nhận xét U n 1 

2U nV n
2
, Vn 1 
 U n 1 
1
1
U n  Vn

U n Vn

2
1
1

U n Vn

1
1 1
2
2
 ;
 1  U1 
; V1 
.1
1
1
U 0 2 V0
1
1

2
2
2
1
1
1
 U1 =
; V1 =

.1 




cos 2
cos
cos  1 cos 2
6
6
3
6
2
2
1


 U2 =
;
1 1



2 
2 

cos
 cos
cos cos
u1 v1
6
6
6
12

U0 =2 ;V0  1 

1

V2 = U 2 .V1 
cos 2


6

cos 2



1



cos



12
6
2
1

 U3 =
;
1
1




cos cos cos
u 2 v2
6
12
24
1

V3 = U 3 .V2 
cos 2


6

cos 2


12

cos 2


24

cos


12

1


cos


6

194

cos


12

cos


24

.Vn


2

Chứng minh quy nạp có : Un =
cos


3

Vn =
cos

cos


2.3


2.3

cos



2 2 .3

..... cos 2

2

cos




2 n.3



..... cos n
2 .3
2 2 .3

u1  1/ 2

Bài toán 12: Cho dãy số (un) có : 
1  1  un2
un 1 

2

 n  2 

Gọi Sn =u1 +u2 +…+un

CMR: Tồn tại lim Sn và lim Sn  1,03
n 

n 

Lời giải
Ta chứng minh được 0

 u2=sin
6.2
6



Sn =u1 +u2 +…+un = sin + sin +..+ sin n 1
6.2
6
6.2
sin x

 1 khi 0Sử dụng tính chất
x
2
1 
1 

Sn < + +..+ n 1 < +
2 6.2

2 3.2
6.2

a
2

Do u1=sin

Mà (Sn) tăng nên tồn tại lim Sn
1
2

Và lim Sn < +
n 


<1,03
3.2

n 

u1  3

Bài toán 13: Cho dãy số (un) có : 
2un
un 1 
1  3un2

Và Sn =2-nun . Tìm lim Sn

 n  2 

n 

Lời giải: Ta biễu diễn u n 

vn
3

, thay vào giả thiết có vn 1 

Ta chọn v1 =3=tan a
Giả sử vn=tan 2na  vn+1=tan2n+1a ,
195

2vn

1  vn2

.


Theo nguyên lý quy nạp có : Sn =2-nun =

1
3

2-n tan2 n a

Vậy lim Sn =0

n 

Bài toán 14 (Đề gửi cho Ban tổ chức kỳ thi Olympic 30/4 , Miền nam- 2005):
u  e 3
 1

Cho dãy số (un) có : u 2  e

3
n  2 
u n1.u n1  u n
1
a) Chứng minh rằng n  Z+, ta có  u n  e
e
n
b) Lập dãy số (vn) biết vn = u1 .u 2 ...u n
Tìm giới hạn của dãy số (vn) khi n  
Lời giải
a) Ta chứng minh un > 0 n Z+.
Thật vậy u1 > 0, u2 > 0.
3

u
Giả sử un > 0 n  k khi đó u k 1  k  0
u k 1
+
Vậy un > 0 n Z .
Ta lại có u1  e
Giả sử u n  e

3
2

cos

e

n
6
3

cos


6

, u2 

1
e2

e

cos

2
6

n  k
3 cos

n
6



n

2 cos cos
u
e
6
6

e
Suy ra u n1  n 
( n 1)
u n1
cos
6
e

Vậy u n  e
Do  1  cos

cos

n
6

 cos

( n 1)
6

e

cos

( n 1)
6

n  Z 

n
 1 và hàm y = ex đồng biến trên R.
6
n

1 cos
 e 6 e
e
b) Ta có : vn  n u1.u2 ...un  e

1 
2
n 
 cos cos ... cos 
n
6

6
6 

196

 
 ( 2 n1)
 sin 
 sin
12
12 

1

e


2 n sin 
12

1



e

n sin
12

cos

 n 1 sin n
12

12


1

Mặt khác

n. sin

Mà lim
n 

1
n.sin







cos

n  1 sin n
12

n. sin

12
 lim

n 

12
Vậy lim vn  e 0  1

1
n.sin





1

12 

12

n. sin


12

0

12

n

b/Phương pháp lượng giác hoá khi xác định số hạng tổng quát của dãy
xn1  f ( xn ) trong một số trường hợp của dạng
f ( x)  ax 2  bx  c ; f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d ; f ( x) 

P( x)
Q( x)

*Sử dụng công thức cos 2a  2 cos 2 a  1; ch2a  2ch 2 a  1 ta giải được bài toán tìm
số hạng tổng quát của dãy x n 1  2 x n2  1 tuỳ theo x1  1; x1  1; .
*Sử dụng công thức
cos 3a  4 cos3 a  3 cos a; sin 3a  3sin a  4 sin 3 a; ch3a  4ch3a  3cha; sh3a  4sh3a  3sha

ta giải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy
xn 1  4 xn3  3 xn ; xn 1  3 xn  4 xn3 ; xn 1  4 xn3  3xn ;với x1 tương thích
2 tan a
3 tan a  tan 3 a
;
tan
3
a

;
1  tan 2 a
1  3 tan 2 a
2x
3x  x3

ta tìm được số hạng tổng quát của dãy xn 1  n 2 ; xn 1  n 2n
1  xn
1  3xn

*Sử dụng công thức tan 2a 

Xét tương tự cho cot2a;cota3a; tansh2a;….
u1  3

Bài toán: Cho dãy số (un) có : 
3un2  1 . Tìm un
u

 n 1
6un

vn
vn 1 vn2  1

Lời giải: Ta biễu diễn u n 
, thay vào giả thiết có
3 2 3vn
3

.

Ta chọn v1 =3=cot a  v2=cot 2a
Bằng quy nạp ta suy ra vn=cot 2n-1a,
b/Phương pháp lượng giác hoá khi xác định số hạng tổng quát của dãy
xn  2  f ( xn 1; xn ) trong một vài trường hợp đặc biệt

*Sử dụng công thức cos( n  2)a  2 cos a cos( n  1)a  cos na ;
sin( n  2)a  2 cos a sin( n  1)a  sin na ta giải được bài toán tìm số hạng tổng quát
của dãy xn  2  kxn 1  xn với k  2;
*Sử dụng công thức sh( x  y)  shxchy  shychx; sh( x  y)  shxchy  shychx
197


 sh(n  2)a  2cha.sh(n  1)a  shna ta giải được bài toán tìm số hạng tổng quát

của dãy xn  2  kxn 1  xn với k  2;
Bài toán: Xác định số hạng tổng quát của dãy xn  biết xn  2  4 xn 1  xn ; x1  1; x2  2
Lời giải
ea  e a
 cha ; x1  sh(a  k ); x2  sh(a  2k )
a
 4 xn 1  xn  x3  2cha . sh (a  2k ) - sh ( a  k )  x3  sh(a+3k)

Biễu diễn 2 =

Từ xn  2
Bằng quy nạp ta có xn  sh(a+nk)
Bằng phương pháp đổi dãy đưa xn  2  axn 1  bxn về một trong 2 dạng
xn  2  kxn 1  xn khi k  2; k  2;
BÀI TẬP
Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau với
a/ xn+1 =
b/ U0 =

xn  3  3xn2

1
2

và x1= .

2
2
2

; Un+1 =

c/ V0 = 1 ; Vn+1 =

2
1  1  U n2
2

1  Vn2

1

Vn


3
U1 
3





d/ 
HD: tg
= 2- 3 Un = tg( +(n-1) )
12
12
6
U  U n  2  3
n

1 ( 3  2)U n
 x1  a a   1,1
e/ 
ĐS xn = cos2n 
2
 x n 1  2 x n  1
U1  2

f/ 
ĐS xn = tg(n  )
2 U n
U

n

1

1 2U n
u1  a


2
un
g/ u 
n  2  (a =b+1)

n

1

a  b  cun2

u1  a
h/ 
1
un 1  (n  n  2) un

 n  2 

198


Bài toán 2: (VMO- 1994)
Cho số thực a  (0;1) và dãy số (xn) có x0=a ;xn=

4



2

(arccos x n 1 


2

). arcsin x n 1

Chứng minh dãy số trên có giới hạn khi n   và tìm giới hạn đó
u1  a
Bài toán 3: Cho dãy số (un) có : 
2 1
un 1  4un  2  n  2 
Tìm giới hạn của dãy số trên khi n  
u  a, v  b
1
1
Bài toán 4: Cho dãy số (un)(v n ) có : 
un  vn
; vn 1  un 1vn  n  2 
un 1 
2

CMR các dãy số trên có chung giới hạn khi n   , và tìm giới hạn đó

Bài toán 5: (VMO-1993)
U  2 ;V  1
0
 0
2
U


nV n
Cho dãy số (un)(v n ) có : U n 1 
U n  Vn

V  U V
n 1 n
 n 1

CMR các dãy số trên có chung giới hạn khi n   , và tìm giới hạn đó
1

Bài toán 6:Cho In=  x n sin xdx
0

In  0
a/Chứng minh lim
n 
1

sin x
dx
x
0

b/ Đặt Sn=I0+I 1+…+In Chứng minh lim S n  
n 

KẾT LUẬN
Bài viết nhằm giới thiệu một số ứng dụng lượng giác trong dãy số mà tác giả

quan tâm. Hy vọng đọc giả đồng cảm với nội dung bài viết; đặc biệt là việc lượng
giác hoá các bài toán dãy số và khảo sát tính chất lượng giác có trong dãy số ;từ
đó có ý tưởng hay khi sáng tác bài tập mới

199


TAÌ LIỆU THAM KHẢO
[I] Gplolya–Gxegô :BT và các định lý giải tích; 1983; Nhà xuất bản ĐH - THCN.
[II] Nguyễn Văn Mậu : Phương trình và bất phương trình1996; NXBGD
[III] Phan Đức Chính :Bất đẳng thức ; 1993; Nhà xuất bản ĐH - THCN.
[IV]Cônhiagin-tônôian-Sagưrin Đề thi vô địch 19 nước , 1996,NXBGD
[V] Tập thể tác giả ; 2001, 200 bài thi vô địch toán ; NXBGD
[VI] Tạp chí toán học và tuổi trẻ;Hội toán học Việt Nam .

200