Lý thuyết bậc brouwer luận văn toán học

p
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------- 
 
 
 
 
ĐÀO THỊ TĨNH

 
LÝ THUYẾT BẬC BROUWER
 
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
 

Người hướng dẫn khoa học
TS BÙI KIÊN CƯỜNG

HÀ NỘI - 2014


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
 

Trước  khi  trình  bày  nội  dung  chính  của  khóa  luận,  em  xin  bày  tỏ 
lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người đã tận tình hướng 
dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này. 
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô 
giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em 
tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. 
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia 
đình,  bạn bè đã  luôn  bên em,  cổ  vũ,  động  viên,  giúp đỡ  em  trong  suốt 
quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. 

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Đào Thị Tĩnh

GV: TS Bùi Kiên Cường 

 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự 
hỗ trợ từ Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Các nội dung trong đề tài này không 

trùng với đề tài nào trước đây. 
Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào, tôi xin hoàn toàn chịu trách 
nhiệm trước Hội đồng cũng như kết quả khóa luận của mình.
 
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Đào Thị Tĩnh
 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

MỤC LỤC
 
MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................... 2 
1.1. Hàm số liên tục và khả vi nhiều biến số ....................................... 2 
1.2. Tích phân Cauchy ........................................................................ 5 
1.3.  Hàm có dao động trung bình triệt tiêu VMO ............................... 8 
1.4.  Không gian Sobolev W m, p     ................................................. 8 
Chương 2. LÝ THUYẾT BẬC BROUWER ........................................ 10 

2.1.  Đặt vấn đề ................................................................................. 10 
2.2.  Sự xây dựng bậc Brouwer ......................................................... 12 
2.3.  Định lý bậc với hàm trong VMO ............................................... 29 
2.4.  Ứng dụng vào phương trình vi phân thường (ODE) .................. 35 
KẾT LUẬN .......................................................................................... 40 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 41 
 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bậc Brouwer là một khái niệm mới đề cập đến bậc của ánh xạ trong 
không  gian  hữu  hạn  chiều  cùng  định  lý  Brouwer  về  điểm  bất  động  và 
định lý Borsuk. Khái niệm bậc Brouwer cùng các kết quả kèm theo dùng 
để nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương trình phi tuyến. 
Với  mong  muốn tìm hiểu sâu về  bậc  Brouwer  cùng  các  ứng  dụng 
của nó và được sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn 
đề tài “Lý thuyết bậc Brouwer” để làm khóa luận tốt nghiệp. 
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bậc của các hàm nhiều biến, định lý điểm bất động, bậc 

của ánh xạ, bậc của các hàm VMO. 
Nghiên cứu một vài ứng dụng của bậc Brouwer. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên  cứu  bậc  của  hàm  nhiều  biến,  bậc  của  ánh  xạ,  bậc  của các 
hàm BMO,VMO và ứng dụng của nó. 
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu vào các hàm xác định trên tập 
   n . 

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết. 
Phân tích, đánh giá, tổng hợp kết quả. 
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo đề tài gồm 2 chương: 
Chương 1:  Một số kiến thức chuẩn bị. 
Chương 2:  Lý thuyết bậc Brouwer. 
7. Dự kiến đóng góp mới
Khóa luận là bài viết tổng quan về lĩnh vực lý thuyết bậc Brouwer. 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

1 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm số liên tục và khả vi nhiều biến số
Chúng  ta  bắt  đầu  với  định  lý  giá trị trung  gian  phụ của  Bolzano 
sau đây: 
Định lý 1.1.1. Cho f :  a, b   là một hàm liên tục, khi đó với m nằm
giữa f  a  và f  b  , tồn tại x0   a, b  để f  x0   m . 
f :  a, b    là hàm liên tục thỏa mãn

Hệ quả 1.1.2.  Cho

f  a  . f  b      0 . Khi đó, tồn tại x0   a, b  để f  x0   0 .
Hệ quả 1.1.3.  Cho f :  a, b    a, b  là hàm liên tục. Khi đó, tồn tại

x0   a, b  để f  x0   x0 .
Cho     n  là  một  tập  con  mở.  Chúng  ta  nhớ  lại  rằng  một  hàm 
f :    n  là khả vi tại  x0    nếu có một ma trận  f   x0   để: 
f  x0  h      f  x0      f   x0  .h     o  h  , 

trong đó  x0  h    và 

o h
h

 tiến đến  0  khi  h  0 . 

Chúng  ta  kí  hiệu  C k     là không gian  các  hàm  liên  tục khả  vi  k  
lần.  Nếu  f  khả  vi  tại  x0  thì  ta  gọi  J f  x0   det f   x0   là  định  thức 
Jacôbi  của  f  tại  x0 .  Nếu  J f  x0   0  thì  x0  được  gọi  là  điểm  tới  hạn 
của  f  và kí hiệu  S f        { x   :  J f  x      0}  là tập những điểm tới 

hạn của  f  trong   .  Nếu  f 1  y      S f         thì  y  được gọi là giá 
trị chính quy của  f . Trái lại,  y  được gọi là giá trị kỳ dị của  f . 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

2 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Bổ đề 1.1.4. (Bổ đề Sard’s). Cho    n là tập mở và f  C1    . Khi

 



đó, n f S f     0 , trong đó n là độ đo Lebesgue. 


Chứng minh:   Do    mở  nên     Qi ,  trong  đó  Qi  là  các  hình 
i 1

lập  phương  với  i     1, 2,  Chúng  ta  chỉ  cần  chỉ  ra  rằng 





n f  S f      0  với một hình lập phương  Q   . 
Thật vậy, gọi  l  là diện tích xung quanh của  Q . Do  f   liên tục đều 
trên  Q  nên  với    0  bất  kì  cho  trước,  tồn  tại  số  nguyên  m  0  để 
f   x    –  f   y     với  x, y  Q với  x  y  n

l
. Do đó, chúng ta có: 
m

1

f  x   f  y   f   y  . x  y    f   y  t  x  y    f  y  x  y dt   x  y  
0

với  x, y  Q ,  x  y 
phương,  Qi ,  cạnh 

n
l .  Chúng  ta  phân  tích  Q  thành  r  hình  lập 
m

n
l
l ,  i     1,2,, r .  Do   là  diện  tích  xung  quanh 
m
m

của  Qi  nên  chúng  ta  có  r     mn .  Bây  giờ,  giả  sử  rằng 

Qi  S f        . Chọn  y  Qi  S f    , chúng ta có: 
f  x  y   f  y   f   y  .x  R ( y , x )  

với mọi  x  Qi –  y , trong đó  R  y, x  y   

n
l . 
m

Do đó, chúng ta có: 

 









f Qi     f  y      f   y  . Qi –  y     R y, Qi .  

GV: TS Bùi Kiên Cường 

3 

Đào Thị Tĩnh – K36C 

Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2





Mặt  khác,  f   y      0  nên  f   y  Qi –  y  được  chứa  trong  một 





không gian con   n    1  chiều của   n . Do đó,  n f   y  . Qi –  y

  

n f Q

Vì vậy, chúng ta có:  





i

n n

n 
2  
l
 m 

   0 . 

n
. 

r

Hiển nhiên,  f S f  Q    f (Qi )  vì vậy, ta có: 
i 1



 n f  S f Q 



n

n n

n 
 r.2  
l   2 n n
 m 

 nl 

n

 

Bằng cách cho       0 , ta thu được  n f S f  Q      0 . Do đó, 

 







n f  S f         0 . Ta có điều phải chứng minh. 
Mệnh đề 1.1.5.  Cho K   n là một tập con đóng bị chặn và
f   :  K      n liên tục. Khi đó, tồn tại một hàm liên tục
f :   n  convf ( K ) để f  x      f  x  với mọi x  K , trong đó
convf  K  là bao lồi của f  K  . 

Chứng minh: Vì  K  là tập con đóng bị chặn nên tồn tại đếm được 
các giá trị  ki :  i     1,2,  K  để  ki : i  1,2,...  K . 
x  ki


,0   với  x  K  
Đặt  d  x, K   inf x  y , i  x   max 2 
yK

d  x, K  


bất kì và: 
f ( x), x  K


 2i. i  x  . f  ki 
 
f  x    i
1
,
x

K
.

2i. i  x 
 i
1

Khi đó  f  là hàm cần tìm. 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

4 

Đào Thị Tĩnh – K36C 

Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Mệnh đề 1.1.6.  Cho K   n là một tập con đóng bị chặn và

 

f   :  K      n là liên tục. Khi đó, tồn tại hàm g  C   n

để

f  x  g  x   .
Chứng minh:  Theo  Mệnh  đề  1.1.5,  tồn  tại  hàm  số  f  liên  tục mở 
rộng của  f  tới   n . Định nghĩa hàm số sau đây: 
1

 1 x
  x   c.e
, x  1 
 0, x  1


(1.1.1) 

x
trong đó,  c  thỏa  mãn     x dx  1 .  Đặt     x     n .    với  mọi 
 
n

x   n  và  f   x    f  y .   y  x  dx  với mọi  x   n ,    0 . 
n





Hiển  nhiên,  sup f   x   n : f   x   0   x : x     với    0 . 
Do  đó,  ta  có  f   C   và  f   x   hội  tụ  đều  đến  f  x   trên  K  khi 

  0 .  Lấy  g  và  f   khi    đủ  nhỏ  thì  g  là  hàm  cần  tìm.  Mệnh  đề 
được chứng minh. 
1.2. Tích phân Cauchy
Định lí 1.2.1.  Giả sử f là hàm chỉnh hình trên  và z0   . Khi đó
với mọi chu tuyến γ  Ω γ  Ω ta có công thức tích phân Cauchy: 
f  z0  

f  
1
d   

2 i    z0

(1.2.1) 

Tích phân bên vế phải được gọi là tích phân Cauchy của hàm  f . 
Ý nghĩa: Công thức này cho phép ta tính được giá trị của hàm  f  trong 
miền    khi biết giá trị của nó trên biên. 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

5 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Nếu  thêm  f  liên  tục  trên    và  Ω  là  một  chu  tuyến,  thì  với  mọi 
z    ta có: 

f  
1
d   

2 i    z

f z 

(1.2.2) 

Giả  sử    là  đường  cong  Jordan  trơn  từng  khúc,  f    là  hàm  liên 
tục trên   . Với mọi  z   \  , hàm: 
f  
 
z

   

liên tục trên   . Do đó, nếu đặt: 
F z 

f  
1
d   
2 i    z

 (1.2.3) 



Ta nhận được hàm  F  xác định trên   \  . 
Hàm  F  z  được gọi là tích phân loại Cauchy. 
Định lí 1.2.2. Giả sử f   là hàm liên tục trên đường cong Jordan trơn
từng khúc  . Khi đó, tích phân (1.2.3) là một hàm chỉnh hình trên

 \  . Hơn nữa, trên  \  hàm F  z  có đạo hàm mọi cấp, chúng được
cho bởi công thức: 
f  
n!
n
F  z 
d , n  0,1,... ,  
2 i    z n 1

(1.2.4) 



Ở đây định nghĩa bằng quy nạp
n
n 1 
F   z  F   z  





0
Với F    z   F  z  . 

Định lí sau đây là  hệ  quả trực tiếp của Định lí  1.2.2  và công thức 
tích phân Cauchy. 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

6 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Định lí 1.2.3.  Giả sử f là hàm chỉnh trên miền  . Khi đó, f có đạo
hàm mọi cấp trên  và các đạo hàm này cũng có hàm chỉnh trên  .
Ngoài ra, các đạo hàm của f tại z   cho bởi công thức: 

f  
n!
n
f    z 
d , n  0,1,2...  

2 i   z n 1

           (1.2.5) 



trong đó,  là chu tuyến tùy ý vây quanh z sao cho    .
Định lý sau đây có thể coi như định lí đảo của định lí Cauchy. 
Định lý 1.2.4.  Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên  sao cho
tích phân của nó theo mọi chu tuyến trong  đều bằng 0. Khi đó, f
chỉnh hình trên  .
Chứng minh: Ta có: 
z

F z 

 f   d , z   
z0

ở đây  z0 là  điểm  cố  định bất kì thuộc   ,  là hàm  chỉnh hình  trên    và 
F   z   f  z  . 

Theo Định lí 1.2.3,  F   z   và vậy thì  f  z   là hàm chỉnh hình trên   . 
Định lý 1.2.5. (Bất đẳng thức Cauchy) Nếu f là hàm chỉnh hình trên  ,

điểm a   , 0  r  d  a,   và:
M  a, r   sup

f  z  , 

z a r

thì ta có bất đẳng thức sau đây:
n !M  a , r 
n
. 
f   a 
rn

GV: TS Bùi Kiên Cường 

7 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Chứng minh:  Theo công thức (1.2.9) với    S  a, r   ta có: 
f  
n ! M  a, r 
n!
n! M  a, r 

n
f   a 
d




, n  0,1,2...  
n
2 i    a n 1
2 r n 1
r


1.3. Hàm có dao động trung bình triệt tiêu VMO
Sau đây, cho    là một miền trơn mở, bị chặn trong   n  hoặc là một 
đa tạp Riemann trơn, compact. 
Cho  f  L1     và  Br    là hình cầu bán kính  r  0 . Khi đó, nếu: 

1
1
sup

 f  x   f  y  dxdy    
r  0 m  Br  Br m  Br  Br
thì  f  được gọi  là  hàm  dao  động  trung  bình  bị  chặn.  Kí  hiệu  tập  tất  cả 
các hàm dao động trung bình bị chặn là BMO. 
Nếu: 
1
1

lim

 f  x   f  y  dxdy  0  
r 0 m  Br  Br m  Br  Br

thì  f  được gọi là hàm dao động trung bình triệt tiêu. Kí hiệu tập tất cả 
các hàm dao động trung bình triệt tiêu là VMO. 
Ví dụ 1.3.1. Nếu  f  L1     thì   f   BMO. 
Ví dụ 1.3.2.   f  x   log x  BMO. 
1.4. Không gian Sobolev W m, p   
Định nghĩa 1.4.1. Cho     n ,  số  nguyên  m  0  và 1  p   .  Không 
gian W m, p     được định nghĩa: 





W m, p     u  x   Lp    / D u  x   Lp    ,   m .

GV: TS Bùi Kiên Cường 

8 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

W m, p    là  không  gian  bao  gồm  tất  cả  các  hàm  u  x   Lp    , 
sao  cho  tồn  tại  các  đạo  hàm  suy  rộng  đến  tận  cấp  m  Lp     và  được 
trang bị chuẩn: 

u

1
p

W m, p   


p
    D u  x  dx     
  m 




  (1.4.1) 

Không khó khăn, ta kiểm tra được W m, p    là không gian Banach 
với 1  p    và là không gian Hilbert với  p  2 . Không gian W m, p   
với chuẩn (1.4.1)  được gọi là không gian Sobolev. 
 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

9 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Chương 2

LÝ THUYẾT BẬC BROUWER
2.1. Đặt vấn đề
Cho    là tập hợp các số thực,  
n


n  {x     (x1, x2 ,, xn )  :  xi  , i  1,2,...}  với  x   
 i 1

1
2
xi2   



và  cho     n ,  f   :     n  là  một  hàm  liên  tục.  Một  vấn  đề  được 
quan  tâm  là:  phương  trình  f  x      0  có  nghiệm  trên    hay  không? 
Một vấn đề nữa cũng được quan tâm là những nghiệm đó phân bố như 
nào  trên   . Trong  chương này  sẽ trình bày  một số gọi là bậc tôpô của 

f  đối  với    và 0, rất hữu ích cho việc trả lời những câu hỏi trên. Để 

thúc đẩy quá trình này, đầu tiên chúng ta hãy nhắc lại số lần biến thiên 
(winding number) của những đường phẳng qua một điểm, tức là một số 
nguyên biểu diễn số lần quay của một đường cong kín định hướng qua 
điểm đó. 

 
Đường này có 2 lần quay quanh điểm  p.   
 Cho    là  tập  các  số  phức,  Г    là  đường  cong  đóng  C1  được  định 
hướng và  a  \ Г . 
Khi đó, số nguyên: 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

10 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

 ( , a ) 

1
1
dz    

2 i z  a

(2.1.1) 



được gọi là số lần biến thiên của  Г  đối với  a  \ Г . 
Bây  giờ  cho  G    là  một  miền  đơn  liên  và  f   :  G    là  hàm 
giải tích và    G   là một đường cong  C1  đóng để  f  z     0 trên  Г . 
Khi đó, chúng ta có: 

  f    ,0  

1
2 i



f 

1
1 f  z 
dz 
dz     , zi  i ,  
z
2 i  f  z 
i

(2.1.2) 



Trong đó,  zi  là các không điểm của  f  trên miền giới hạn bởi  Г  và 

 i  là  những bội  số  tương  ứng.  Nếu  chúng ta  có  thêm  giả  thiết  rằng  Г  
định  hướng  dương  và  không  tự  cắt  thì  ta  có  định  lí  Jordan,  định  lí  sẽ 
được  chứng  minh  trong  chương  này,  đó  là    , zi   1  với  mọi  zi .  Do 
đó, (2.1.2) trở thành: 

  f    ,0    i      

(2.1.3) 

Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng có ít nhất một không điểm    f    ,0   
trong G. Số biến thiên là một khái niệm đã có từ rất lâu, từ thời Cauchy 
và Gauss. Kronecker, Hadamard, Poincare và những công thức được mở 
rộng  từ  (2.1.1).  Năm  1912,  Brouwer  đã  giới  thiệu  bậc  Brouwer  trong 
 n . Chương này sẽ trình bày về lý thuyết bậc Brouwer và sự mở rộng 

của nó đối với các hàm thuộc VMO. Chương này được sắp xếp như sau: 
 

Mục 2.1 giới thiệu một số vấn đề trình bày trong chương. 

 

Mục  2.2  bắt  đầu  định  nghĩa  bậc  của  hàm  C1  sử  dụng  định  thức 

Jacôbi. Ở đây trình bày một biểu diễn tích phân dùng để định nghĩa bậc 
của  một  hàm  liên  tục.  Cũng  trong  phần  này  trình  bày  một  số  tính  chất 
của bậc của một hàm liên tục và một số hệ quả hay sử dụng. Đó là định lí 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

11 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

điểm bất động của Brouwer và Borsuk, định lí tách Jordan và định lý ánh 
xạ  mở.  Cuối  cùng  là bàn  luận về  mối  liên  hệ  giữa số lần biến  thiên  và 
bậc. 
 

Mục 2.3 trình bày  một vài tính chất của hàm giá trị trung bình và 

giới thiệu về bậc của hàm VMO. 
 

Mục 2.4  trình bày  ứng dụng lý thuyết bậc Brouwer đối với những 

phương  trình  vi  phân  tuần  hoàn  và  không  tuần  hoàn  bậc  nhất  thông 
thường. 
2.2 Sự xây dựng bậc Brouwer
Bây giờ, chúng ta đi xây dựng bậc Brouwer trong mục này như sau: 

 

Định nghĩa 2.2.1. Cho     n  là tập mở và bị chặn và  f  C1  . Nếu 

p  f     và  J f  p      0 . Khi đó, ta định nghĩa: 
deg  f , , p  


x f 1  p 

sgn J f  x  , 

trong đó,  deg  f , , p      0  nếu  f 1  p       . 
Ta có kết quả sau đây tương đương với Định nghĩa 2.2.1. 
Mệnh đề 2.2.2. Cho  , f và p như trong Định nghĩa 2.2.1 và cho:
1

2

1  1. x
   x   c.  n .e
, x 1

0, x  1


trong đó, c là một hằng số để

   x dx  1 . Khi đó, tồn tại
n

 0   0  p, f  để:

deg  f , , p      f  x   p .J f  x  dx với mọi    0,  0  .


Chứng minh: Trường hợp  f 1  p     là hiển nhiên. 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

12 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Giả  sử  rằng    f 1  p    x1, x2 ,..., xn  .  Chúng  ta  có  thể  tìm  những 
hình  cầu  rời  nhau  Br  xi   và  những  lân  cận  Vi  của  p  để  hàm 
f :  Br  xi    V
  i  là  một  phép  đồng  phôi và  sgn  J f  x       sgn  J f  xi   
n

trong  Br  xi  .  Chúng  ta  có  thể  lấy  r0  0  để  Br ( p)   Vi  và  đặt 
0
i 1

U i  Br  xi   f

1



n



Br  p  . Khi đó,  f  x   p     trên    \  U i   với 
0
i 1

  0  vì vậy với      bất kì, chúng ta có: 
n

  ( f ( x)  p) J f ( x)dx   sgn J f ( xi )   ( f ( x)  p). J f ( x) dx.  
i 1



Ui

Nhưng ta lại có: 
J f  x      J f  p  x  ,  

  ( f ( x)  p). J f ( x) dx  
Ui

 ( x)dx  1,

Br0

. 

      min  {r0 , d }
Đến đây việc chứng minh đã hoàn thành. 

 

Định nghĩa 2.2.3.  Cho     N là  tập  mở  và  bị  chặn  và  f  C 2  . 
Nếu  p  f     thì chúng ta định nghĩa: 

deg  f ,  ,  p       deg  f ,  ,  p  ,  
trong đó  p  là giá trị chính quy bất kì của  f  mà   p  p  d ( p, f (   .  
Nhận xét:  Việc  định  nghĩa  như  trên  là  đúng.  Thật  vậy,  chúng  ta  cần 
kiểm  tra  hai  giá  trị  chính  quy  bất  kì  p1  và  p2  của  f , 
deg  f , , p1       deg  f , , p2  . 

Với    d  p, f      max  p  pi : i  1,2  bất kì, ta có: 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

13 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

deg  f , , pi      f  x   pi .J f  x  dx, i  1, 2.  



Chú ý rằng: 

  x  p2     x  p1   div  x  , 
trong đó: 
1

  x    p1  p2     x  p1  t  p1  p2   dt . 
0

 

Chúng ta chỉ ra sự tồn tại của một hàm  v  C1  n  để  sup p  v     
và 
   f  x   p2     f  x   p1   J f  x   divv  x   với mọi  x   . 

Bổ để dưới đây cho chúng ta yêu cầu này và do đó nhận xét được 
chứng minh. 

 

Bổ đề 2.2.4. Cho    N là tập mở, f  C 2  và cho dij là phần bù
đại số của

f j
xi

trong J f  x  và:
 n

   j  f  x   dij  x  , x 
.
vi  x    j 1

0, x  


Khi đó,  v1  x  , v2  x  ,..., vN  x   thỏa mãn:
divv  x   div  f  x   J f  x  .

Chứng minh:  Do  sup p    B  p, r   nên với: 

r  max  p  pi : i  1,2    d  p,    
chúng ta có: 

sup p  v    , 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

14 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

N

N

j , k 1

j 1

 i vi  x    d jk  k w j  f  x    i f k  x    w j  f  x   i dij  x  , 

trong đó,   k 


. Bây giờ, chúng ta nhận xét rằng: 
xk
N

  i dij  x   0, j  1,2,.N  

i 1

Với  j  cho trước bất kì, kí hiệu  fxk  là cột: 

  k f1,...,  k f j 1,  k f j 1,...,  k fn   
 
Khi đó, ta có: 
i j

dij  x    1

det  f1,..., fi 1, fi 1,..., f N   

Do đó, ta có: 
i j N

 i dij  x    1

 det  fx1, fx2 ,..., fxi 1, fxi 1,...,  i fxk ,..., fxN   

k 1

Đặt:   aki  det   i fxk , fx1,..., fxi 1, fxi 1,..., fxk 1, fxk 1,..., fxN   
Khi đó, ta có:  aki  aik và 

 1i  j i dij  x  

N

  1
i , k 1

N

 

k 1

   1
k 1

aki    1
k 1

k 2

aki  

k 1

 ki aki ,  

trong đó,   ki  1  với  k  i ,  ii  0  và   ki   ik  với  i, k  1,2,3, N  
Do đó, chúng ta có: 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

15 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

N

 1 j   i dij  x 
i 1

N

   1

k 1 i

 ki aki

i 1 k

 ik aik

i , k 1
N

   1
i , k 1
N

    1

k 1 i

i , k 1

 

 ki aki  0

Bây giờ, chúng ta có: 
N

N

j , k 1

j 1

 i vi  x    dij  k  j  f  x    i f k  x     j  f  x   i dij  x   
N

Mặt khác:   dij  i f k  x   jk J f  x   với   jk  là chỉ số Kronecker 
i 1

Do đó, ta có điều sau đây: 
N

divv  x  



 k  j  f  x    jk J f  x   div  f  x   J f  x   

k , j 1

Đến đây ta đã hoàn thành việc chứng minh. 
Cuối cùng, chúng ta định nghĩa bậc của hàm liên tục như sau: 
Định nghĩa 2.2.5.  Cho    N là tập mở và bị chặn, f  C    và

p  f    . Khi đó, chúng ta định nghĩa:
deg  f , , p   deg  g , , p  ,

trong đó g  C 2    và g  f  d  p, f     . 
Định lí 2.2.6. Cho    N  là một tập con mở, bị chặn và f :    N
là một ánh xạ liên tục. Nếu p  f    thì tồn tại deg  f , , p  nguyên
thỏa mãn các tính chất sau:
(1) (Tính chuẩn hóa)  deg  I , , p   1 khi và chỉ khi p   , trong đó
I là ánh xạ đồng nhất; 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

16 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

(2) (Tính giải được) Nếu deg  f , , p   0 thì f  x   p có nghiệm
trong  ; 
(3)  (Tính  đồng  luân)  Nếu f t  x  :  0,1     N là liên tục và
p



ft    thì deg  ft , , p  không phụ thuộc vào t   0,1 ; 

t 0,1

(4) (Tính cộng tính) Giả sử 1,  2 là tập con mở không giao nhau

của  và p  f    1   2  . Khi đó:
deg  f , , p   deg  f , 1, p   deg  f ,  2 , p  ; 

(5) deg  f , , p  là một hằng số trên mỗi thành phần liên thông của
 N \ f    . 

Như là hệ quả của Định lí 2.2.6, chúng ta có các kết quả sau đây: 
Định lí 2.2.7.  Cho f : B  0, R    n  B  0, R  là một ánh xạ liên tục.
Nếu f  x   R với mọi x  B  0, R  thì f có một điểm cố định trong
B  0, R  .

Chứng minh:  Chúng  ta  có  thể  giả  sử  rằng  x  f  x   với 
x  B  0, R  .  Đặt  H  t , x   x  t. f  x   với  mọi   t , x    0,1  B  0, R  . 

Khi đó,  0  H  t , x   với mọi   0,1  B  0, R  . Do đó, chúng ta có: 
deg  I  f , B  0, R  ,0   deg  I , B  0, R  ,0   1  

Do đó,  f  có một điểm cố định trong  B  0, R  . 
Định lí đã được chứng minh. 
Từ    Định  lí 2.2.7,  chúng  ta  có định lí  điểm  bất động  Brouwer  nổi 
tiếng: 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

17 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Định lí 2.2.8. Cho C   n là một tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và
f : C  C là 1 ánh xạ liên tục. Khi đó, f có điểm bất động trên C. 

Chứng minh:  Lấy  B  0, R   để  C  B  0, R   và  cho  r : B (0, R)  C  
là  một  phép  co.  Do  đó,  theo  Định  lý  2.2.7,  tồn  tại  x0  B(0, R)    để 
fr ( x0 )  x0 .  Vì  vậy  x0  C  và  do  đó  chúng  ta  có  rx0  x0 .  Định  lí  đã 

được chứng minh. 
Định lí 2.2.9.  Cho f :  n   n là một ánh xạ liên tục và 0    n
với Ω một tập con mở, bị chặn. Nếu  f  x  , x   0 với tất cả x  thì
deg  f , ,0   1 . 

Chứng minh: Đặt    H  t, x  tx  1 t  f  x  với  mọi   t, x  0,1   . 
Khi đó,  0  H  0,1    , vì vậy chúng ta có: 

deg  f , ,0   deg  I , ,0   1. 
Định lí đã được chứng minh. 
Hệ quả 2.2.10. Cho f :  n   n là một ánh xạ liên tục. Nếu
lim
x 

 f  x  , x   
x

 

thì f  n   n .

Chứng minh:  Với  p   n  bất  kỳ,  dễ  thấy  tồn  tại  R  0  để 

 f  x   p, x   0  với  x  B  0, R  , trong đó  B  0, R   là hình cầu mở tâm 
tại gốc tọa độ và bán kính R. Theo Định lí 2.2.9, ta có: 
deg  f  g , B  0, R  ,0   1  

Vì  vậy  f  x   p  0  có  một  nghiệm  trong  B  0, R  .  Việc  chứng 
minh đã hoàn thành. 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

18 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Định lí 2.2.11. (Định lí Borsuk). Cho    n là tập mở, bị chặn và đối
xứng với 0 . Nếu f  C    là hàm lẻ và 0  f    thì

deg  f , ,0  là lẻ.
Chứng minh:  Không giảm  tổng quát, chúng  ta  có thể giả  sử rằng 
f  C1     với  J f  0   0 .  Tiếp  theo,  chúng  ta  định  nghĩa  một  ánh  xạ 

g  C1     đóng tới  f  bằng  một phép qui nạp sau: 

Cho    C1     là  ánh  xạ  lẻ  với     0   0  và   (t )  0  nếu  và  chỉ 

nếu  t  0 .  Đặt   k   x   : xk  0}  và  h  x  

f  x
 với  mọi  x  1 .       
  x1 

Chọn  y1  đủ  nhỏ  để  y1  là  một  giá  trị  chính  quy  của  h  trên  Ω1 .  Đặt 

g1  x   f  x     x1  . y1 , khi đó 0 là một giá trị chính quy của  g1  trên  1 . 
Giả sử rằng, chúng ta đã có một hàm lẻ  g k  C1     gần tới  f  để 0 
là  một  giá  trị  chính  quy  của  g k  trên   k .  Khi  đó,  ta  định  nghĩa 

g k 1  x   g k  x     xk 1  . yk 1  với  yk 1  đủ bé để 0 là một giá trị chính 
quy của  g k 1  trên   k 1 . 
Nếu  x   k 1 và  xk 1  0  thì: 
x   k , g k  1  x   g k  x  , g k  1  x   g k

 x  

Và  do  đó  J gk 1  x   0 .  Bằng  phép  qui  nạp,  chúng  ta  cũng  có: 
g n  0   g1  0   f   0   và  vì  0  là  một  giá  trị  chính  quy  của  g n .  Theo 

Định nghĩa 2.2.5 và Định nghĩa 2.2.1, ta biết rằng: 
deg  f , ,0   deg  g n , ,0   sgn Jg n  0  


xg 1 0 , x  0

sgn Jg n  x   

Và vì vậy  deg  f , ,0   là lẻ. Định lí đã được chứng minh. 

GV: TS Bùi Kiên Cường 

19 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Định  lí  sau  đây  thể  hiện  mối  liên  hệ  giữa  bậc  Brouwer  trong  các 
không gian có số chiều khác nhau. 
Định lí 2.2.12.  Cho f :    n là một tập con mở, bị chặn, 1  m  n ,
cho f :    m là một hàm liên tục và cho g  I  f . Nếu
y   I  f    thì :





deg  g , , y   deg g m ,   R m , y ,
trong đó g m là hạn chế của g trên    m .
Chứng minh: Chúng ta có thể giả sử  f  C 2    và  y  là một giá 
trị chính quy của  g  trên   . Thực hiện một phép tính trực tiếp thu được 
J g  x   J gm  x   và  kết  hợp  với  Định  nghĩa  2.2.1.  Định  lí  đã  được 

chứng minh. 

Cho     n  là tập mở và bị chặn và cho  f  C    . Bằng tính bất 
biến đối với phép đồng luân của  deg  f , , y  , ta biết rằng  deg  f , , y   
là số nguyên khi  y  chạy trên thành phần liên thông  U  của   n \ f    . 
Do đó, rất hợp lý để kí hiệu số nguyên này bởi  deg  f , ,U  . Một thành 
phần liên thông không bị chặn được kí hiệu bởi  U  . Bây giờ ta có công 
thức: 
Định lí 2.2.13.  Cho    n là một tập con mở, bị chặn,

 

f  C    , g  C  n và cho U i là các thành phần liên thông, bị chặn

của  n \ f    . Khi đó, nếu p   gf    thì :
deg  gf , , p    deg  f , ,U i  deg  g ,U i , p  ,

(2.2.1)

i

trong đó các số hạng là hữu hạn và khác 0.

GV: TS Bùi Kiên Cường 

20 

Đào Thị Tĩnh – K36C 


Lý thuyết bậc Brouwer

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Chứng minh: Chúng ta chứng minh (2.2.1) chỉ  có hữu hạn giá trị 
khác  0.  Lấy  r  0  để  f     Br  0  .  Khi  đó,  M  Br  0   g 1  p   là 
tập  compact,  M   n \ f      U i  và  tồn  tại  hữu  hạn  giá  trị  i,  gọi 
i 1

t 1

i  1,2,3,, t  để   U i  M  trong đó   U t 1  U   Br 1 . Ta có: 
i 1

deg  f , ,U t 1   0 ,  deg  g ,U i , p   0 . 
Với  i  t  2  do  U j  Br  0   và  g 1  y   U j    với  j  t  2 . 
Do đó, vế phải của (2.2.1) chỉ có hữu hạn số khác 0. 

 

Đầu  tiên,  ta  giả  sử  f  C1     ,  g  C1  n  và  p  là  giá  trị  chính 
quy của  gf , vì vậy ta có: 
deg  gf , , p  



sgnJ gf  x 



sgn J g  f  x   sgnJ f  x 

x gf 1 p 



x gf 1 p 

 

Và chú ý: 


x f 1 z , zg 1 p 

sgnJ g  z  sgnJ g  x  


 


sgnJ g  z 

 sgnJ g  x  
 x f 1 z 

zg 1 p , z f   







z f   , g  z   p

sgn J g  z  deg  f , , z 

 

t

   sgnJ g  z  deg  f , , z 
i 1 zUi

  deg  f , ,U i  deg  g ,U i , p   
i

GV: TS Bùi Kiên Cường 

21 

Đào Thị Tĩnh – K36C