bài toán khôi phục trong lý thuyết hàm giải tích- luận văn cao học - đề tài tham khảo - luận văn cao học - đề tài tham khảo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TRẦN NGỌC LIÊN

BÀI TỐN KHƠI PHỤC
TRONG LÝ THUYẾT HÀM GIẢI TÍCH

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số

: 62.46.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS. Đặng Đức Trọng

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các kết
quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng
trình nào khác.

Tác giả luận án

Trần Ngọc Liên

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các kết
quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng
trình nào khác.

Tác giả luận án


PHẦN MỞ ĐẦU
Việc khảo sát bài tốn khơi phục hàm giải tích bắt nguồn từ thực tế, trong các
lĩnh vực điều khiển học, vật lý, nhận dạng... Trong quá trình giải bài tốn khơi phục,
các kết quả thu được đã có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như Phương
trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống và gần đây là nhận dạng trong
tình huống xấu nhất...
Bài tốn khơi phục mà chúng tơi quan tâm được phát biểu như sau:
Cho U là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức, nghĩa là
U  z  C : | z |  1

(1)

K là một tập con của U . Cho  là một hàm số xác định trên K .
Hãy khôi phục hàm f giải tích trong U khi biết trước giá trị của f trên K
là  .
Trong luận án chúng tôi giới hạn ở trường hợp K  z n  là một dãy vô hạn đếm
được các điểm trong U . Khi hàm số f thuộc không gian Hardy H p ( U ) , khơng gian
các hàm giải tích trên U ( p  1 ) , hoặc đại số đĩa A( U ) (nghĩa là hàm f liên tục trên
đĩa đơn vị đóng U  z  C : | z |  1 và giải tích trên U ) thì bài tốn khơi phục chính
là bài tốn moment. Luận án của chúng tôi nghiêng về mặt ứng dụng nên các bài tốn
khơi phục hàm giải tích được rút ra từ các ứng dụng trong vật lý (chương 3: bài tốn

nhiệt ngược và chương 5: bài tốn Cauchy khơng gian cho phương trình Parabolic),
trong giải tích thực (chương 4: bài toán biến đổi Laplace ngược).
Đây là bài toán ngược và khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài tốn
có thể vơ nghiệm; bài tốn có nghiệm nhưng nghiệm khơng duy nhất; nghiệm của bài
tốn tồn tại nhưng khơng ổn định. Bài tốn nội suy hàm giải tích có một thư mục rất


lớn (xem [20, 63]). Tuy vậy, thật đáng ngạc nhiên là các bài báo lại khơng khảo sát tính
khơng chỉnh của bài tốn và tính ổn định của thuật tốn khi có sai số của dữ liệu.
Thực vậy, xét bài tốn: xác định một hàm giải tích f trong khơng gian
H 2 ( U ) sao cho
f ( zn )  n

n  1 ,2 ,3 ,...

(2)


với ( z n )n 1 là một dãy vô hạn các điểm trong U , (  n ) là dãy số phức bị chặn, tức là

( n )  l  .

Với ( z n ) và (  n ) bất kỳ thì bài tốn có thể vơ nghiệm. Chẳng hạn dãy ( z n ) xác
định bởi z 1  0 , z n 

1
1
n  1 và (  n )  ( ) . Khi đó f ( 0 )  f ( z 1 )   1  1 .
n
n

1
Mặt khác ta có f ( 0 )  lim f ( )  lim  n  0 (vơ lý). Vậy bài tốn vơ nghiệm.
n 
n 
n

Trong “ Lecture on Complex Approximation” , D.Gaier đã chứng minh rằng


tính duy nhất của bài tốn (2) chỉ có khi và chỉ khi

( 1  | zk | )  

(điều kiện

k 1

Blaschke).
Nếu điều kiện này không thoả, bài tốn có nghiệm tổng qt là f  Bg với f
là một nghiệm đặc biệt của (2), B là tích Blaschke với các không điểm ( z k ) và g là
một hàm tùy ý trong H 2 ( U ) . Vậy bài tốn có nghiệm khơng duy nhất.
1


Xét bài toán (2). Cho ( z n )n 1 tuỳ ý trên đường tròn  z  C : | z |   và dãy
4


    xác định bởi  

m
n

m
n

 ( 2 z n )m

m 

Khi đó ta có |  n

n  1 ,2 ,3 ,... với m là số tự nhiên .
m

1
|  | ( 2 z n ) |     0 khi m   .
2
m


Xét hàm
fm : U  C
z  ( 2 z )m .

Ta có f m  H 2 và f m ( z n )   nm  , || f m ||H 2  2 m . Vậy lim || f m ||H 2   .
x

Điều này chứng tỏ bài tốn (2) khơng ổn định: từ sự sai lệch nhỏ của dữ liệu có
thể dẫn đến kết quả cuối cùng có sai lệch lớn.

Gọi f 0 là nghiệm chính xác của bài tốn (2), ứng với giá trị chính xác

 

0
 0   n  l  , tức là
0
f0 ( zn )  n

n  1 ,2 ,3 ,...

và   (  n )  l  là một dữ liệu đo được thoả :
0
||    0 ||  sup   n   .
n

Tính khơng ổn định của nghiệm ở chỗ: tính tốn với nhiều dữ liệu hơn một
lượng cần thiết nào đó thì có thể làm cho sai số lớn hơn. Do đó cần xác định một số tự
nhiên n(  ) ( với mỗi   0 ), mà ta gọi là tham số chỉnh hóa để chỉ ra số lượng dữ liệu

 n cần thiết phải sử dụng và giới hạn việc tính tốn trên máy tính. Nói cách khác là
xác định tham số chỉnh hóa n(  ) sao cho từ n(  ) dữ liệu  1 ,  2 ,...,  n(  ) ta có thể xác
định một hàm f mà nó xấp xỉ ổn định nghiệm chính xác f 0 của bài toán.

Một số kết quả cụ thể:
Như chúng ta đã biết, trong bài tốn nội suy hàm giải tích trên đĩa đơn vị các
nhà toán học thường sử dụng đa thức (đặc biệt là đa thức Lagrange) hay hàm phân thức
để xây dựng các hàm xấp xỉ (xem [20, 63]) .Tính chất của dãy các điểm nội suy và tính
chất của hàm cần xấp xỉ có ảnh hưởng nhiều đến sự hội tụ của hàm số xấp xỉ. Phép nội
suy Lagrange rất thuận lợi cho việc sử dụng, nhưng nó khơng ổn định. Các hệ số bậc

cao của đa thức Lagrange tăng nhanh khi số điểm nội suy tăng và dãy các đa thức


Lagrange không hội tụ trong H 2 . Một trong những cách giải quyết vấn đề này là loại
bỏ hay chặt cụt các số hạng bậc cao của Đa thức Lagrange. Đó là một phương pháp
chỉnh hóa. Bài báo “Reconstruction of Analytic Functions on the Unit Disc from a
Sequence of Moments : Regularization and Error Estimates”, của nhóm nghiên cứu
của G.s T.s Đặng Đình Áng đã trình bày kết quả với một số đánh giá sai số. Trong
luận án này chúng tơi tiếp tục sử dụng ý tưởng đó để chỉnh hố các bài tốn nội suy
hàm giải tích.
Cách chỉnh hóa bằng hàm phân thức khơng địi hỏi các điều kiện chặt chẽ như
dùng đa thức Lagrange, chẳng hạn bao đóng của các dãy điểm nội suy khơng cần nằm
hẳn trong đĩa đơn vị. Trong “Recovery of H p -functions”, Totik dùng hàm phân thức
để xấp xỉ hàm cần tìm, nhưng không đưa ra công thức cụ thể. Và tác giả cũng khơng
trình bày cách đánh giá sai số trong phép xấp xỉ.
Vấn đề chúng tơi quan tâm là tính sai số của phép xấp xỉ và tính thứ nguyên
chỉnh hóa trong phương pháp chặt cụt các đa thức Lagrange. Một số kết quả bằng số
cũng được thực hiện để minh họa cho phương pháp.
Nội dung của luận án gồm có phần mở đầu, chương kiến thức chuẩn bị (chương
1), phần chính của luận án được trình bày trong bốn chương (chương 2-5) tương ứng
với bốn bài toán mà chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu dưới đây, phần kết luận, danh mục
các cơng trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo.
Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các bài tốn được trình bày trong luận án, các

kết quả trước đó và tóm tắt nội dung chính của các chương trong luận án.
Chương 1 giới thiệu và nhắc lại một số kiến thức, các ký hiệu, các không gian hàm

được sử dụng trong luận án.
Chương 2 (Bài tốn thứ nhất) giới thiệu bài tốn Khơi phục hàm giải tích bằng các đa

thức Lagrange bị chặt cụt. Kết quả của chương này lấy từ bài báo [60] của chúng tơi.
Nội dung của chương gồm hai phần chính: thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự hội
tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt và đưa ra kết quả của sự chỉnh hóa.


Cho U là một đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức. Chúng tôi sẽ khôi phục một
hàm f trong

không

gian

Hardy

H 2 (U )

từ

các

giá

 


trị f znm  ,

với

 z   ( m  N ; 1  n  m ) là một hệ thống điểm trong U . Như đã phân tích, đây là một

m
n

bài tốn khơng chỉnh. Hàm f được xấp xỉ bởi các đa thức Lagrange bị chặt cụt.

Cụ

thể, ta xét bài tốn khơi phục hàm f trong không gian H 2 (U ) sao cho



m
m
f ( zn  )   n 

với  n (m)

( m  N ;1  n  m ) ,

(2.1)

 là một tập các số phức bị chặn. Bài toán (2.1) đã được đề cập trong nhiều

cơng trình mà bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [20, 22, 39, 63]. Hàm f chưa
biết đã được xấp xỉ bởi các đa thức (đặc biệt là các đa thức Lagrange (xem [20, 63] ) và
bởi các hàm hữu tỉ (xem [39, 57, 63] ). Như đã phân tích, tính ổn định của các thuật
tốn xấp xỉ này đã khơng được đề cập trong các cơng trình ấy.
Một cách vắn tắt, chúng tơi sẽ trình bày một cách chỉnh hóa bài toán (2.1) dựa
trên việc xấp xỉ (trong H 2 (U ) ) hàm f bởi các đa thức
Lm ( v )( z ) 



0  k  ( m 1 )

lk ( m ) z k ( 0    1; v  ( 1( m ) ,  2( m ) ,..., m( m ) ))

(2.2)

với l k ( m ) là hệ số của z k trong khai triển của đa thức Lagrange Lm ( v ) có bậc  m  1 ,
thỏa: Lm ( v )( z k ( m ) )   k ( m ) ( 1  k  m ) .
Đa thức Lm  ( v ) được gọi là một đa thức Lagrange bị chặt cụt. Ta chú ý rằng
nếu   1 thì Lm  ( v ) chính là đa thức Lagrange.
Theo sự hiểu biết của chúng tơi thì cách tiếp cận trong chương này là mới.
Trong [8, 28], đa thức bị chặt cụt Lm 1 / 2 ( v ) được dùng để xấp xỉ hàm f . Ở đây, chúng
tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ của Lm  ( v ) với  nằm trong một khoảng mở. Cụ thể chúng


tơi sẽ chứng tỏ rằng có một  0 trong 0 ,1 sao cho Lm  ( v )  f trong H 2 ( U ) với
0    0 , và kết quả sẽ không đúng nếu 0    1 .

Chương 3 (Bài toán thứ hai) trình bày vấn đề chỉnh hóa một bài tốn nhiệt ngược rời

rạc bằng các hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt. Chương này là mở rộng của bài
báo [41].
Cho u  u  x ,t  biểu diễn sự phân phối nhiệt độ thỏa phương trình sau đây

x ,t   R  0 ,1 .

ut   u  0

(3.1)

Bài tốn nhiệt ngược là tìm nhiệt độ ban đầu u  x ,0  từ nhiệt độ cuối u  x ,T  . Để
cho đơn giản ta giả sử T  1 . Đây là bài tốn khơng chỉnh (xem [10]) và đã được
nghiên cứu từ lâu. Bài toán đã được xem xét bởi nhiều tác giả với nhiều cách tiếp cận
khác nhau. Bài toán đã được xem xét kỹ lưỡng bởi phương pháp nửa nhóm kết hợp với
phương pháp quasi – reversibility và phương pháp quasi – boundary value (xem [6, 3,
14, 16, 37, 52, 53, 31, 40, 35, 21, 66]). Dùng hàm Green ta chuyển phương trình nhiệt
tới phương trình sau
u  x ,t  

1
2 t



 u ,0 e



 x  2
4t

d

x  R , t > 0.



Do đó
1







u 2 ,0  e  x   d  u 2 x ,1 .
2



Với dạng này ta có thể xem xét bài tốn nhiệt ngược như bài tốn tích chập Gauss
ngược ( hoặc phép biến đổi Weierstrass) để tìm u 2 x ,0  từ ảnh u 2 x ,1 của nó. Nhiều
công thức biến đổi ngược của phép biến đổi Gauss đã được cho trong [36, 48, 49].
Trong [49] , dùng lý thuyết reproducing kernel các tác giả đã đưa ra các cơng thức giải
tích ngược tối ưu trong trường hợp cụ thể. Trong các tài liệu sau này thì các tác giả đã
nghiên cứu trường hợp dữ liệu trong L2 khơng chính xác và đưa ra một số ước lượng


sai số cụ thể. Gần đây nhất, trong [36] các tác giả đã sử dụng không gian Paley –
Wiener và xấp xỉ sinc để thiết lập một công thức giải tích ngược cho phép biến đổi
Gauss mà nó rất hiệu quả khi được thực hiện trên máy tính. Với [17,67] thì phép biến
đổi ngược Weierstrass cho các hàm tổng quát đã được nghiên cứu.
Trong thực hành, ta chỉ lấy nhiệt độ được đo tại một tập điểm rời rạc. Nghĩa là

 

u x j ,1   j .

(3.2)

Do đó bài tốn tìm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu từ những giá trị nhiệt độ cuối, rời rạc
là cần thiết. Bài tốn trong trường hợp này là khơng chỉnh. Vì vậy ta cần chỉnh hố bài
tốn. Theo hiểu biết của chúng tơi thì các tài liệu về hướng này là rất hiếm. Trong [41],
chúng tôi dùng đa thức Legendre được dịch chuyển (shifted Legendre) để chỉnh hoá
một dạng rời rạc của bài toán nhiệt ngược trên mặt phẳng. Tuy nhiên giả thiết rằng
nhiệt độ u  x , y  có bậc e





 x , y 
 x2  y 2

( lim   x , y    ) là quá nghiêm ngặt. Ở
x , y 

chương này, điều kiện trên được loại bỏ hoàn toàn.
Trong phần cuối chương, một số kết quả tính số cũng được trình bày.
Chương 4 (Bài tốn thứ ba) chúng tơi xét bài tốn khơi phục hàm f : 0 ,     R.

thỏa phương trình


L f  p j    e  p x f x  dx   j
j

0

với p j  0 ,  , j  1, 2 , 3 , ...
Bài toán này đã được trình bày trong bài báo [34].
Trong chương này chúng tơi sẽ chuyển bài tốn tới một bài tốn nội suy hàm
giải tích trong khơng gian Hardy của đĩa đơn vị và đưa ra một kết quả về tính duy nhất.
Sau đó dùng đa thức Laguerre và hệ số của đa thức Lagrange để xấp xỉ hàm f . Chúng


tơi sẽ đưa ra hai kết quả chỉnh hóa trong các trường hợp dữ liệu chính xác và dữ liệu bị
nhiễu.
Mặc dù phép biến đổi Laplace ngược đã được nghiên cứu trong nhiều tài liệu [4,
7, 8, 12, 52, 53, 65], nhưng các tài liệu tập trung vào bài toán với dữ liệu rời rạc là
hiếm thấy. Vì L f  p  là giải tích nên nếu L f  p  được biết trên một tập con đếm được
của   Re p    và tập con đó có một điểm tụ thì

L f  p  được xác định trên toàn

bộ tập Re p    . Một cách tổng quát thì một tập hợp dữ liệu rời rạc đếm được là đủ
cho việc xây dựng một hàm xấp xỉ của f . Đó là một bài toán moment. Trong [38], các
tác giả nêu một số định lý về tính ổn định của phép biến đổi Laplace ngược. Với việc

  là độc

xây dựng một nghiệm xấp xỉ của bài toán, ta lưu ý rằng dãy các hàm số e

 p jx

lập tuyến tính và hơn nữa không gian vector sinh ra từ dãy hàm đó là trù mật trong

L2 0 ,  . Phương pháp chặt cụt khai triển trong [8] (mục 2.1) đã sử dụng tổ hợp tuyến

tính của các hàm này và chúng tôi đề nghị độc giả tham khảo tài liệu này để biết thêm
chi tiết. Với [18, 29], nhóm chúng tơi chuyển bài tốn ban đầu thành một bài tốn
moment đi tìm hàm f trong L2 0 ,1 và sau đó dùng đa thức Muntz để xây dựng một
xấp xỉ cho f . Tuy nhiên trong thực tế, việc tính tốn các đa thức Muntz khơng dễ. Do
đó chúng tôi đã sử dụng một cách khai triển khác theo các đa thức Laguerre để chỉnh
hoá bài toán. Điều này làm dễ dàng cho việc tính tốn vì các đa thức Laguerre là các
hàm thông dụng mà các phần mềm tính tốn đều có.
Chương 5 (Bài tốn thứ tư) trình bày sự chỉnh hóa một bài tốn Cauchy theo biến

khơng gian cho phương trình Parabolic.
Một bài tốn Cauchy theo biến khơng gian cho phương trình parabolic là tìm
một hàm u thỏa
u t  Au  f


từ dữ liệu Cauchy của nó được cho trên một phần biên ngoài    , với  là một
miền của R n , A là một toán tử elliptic và u là một hàm được định nghĩa trên
Q    0 ,T  . Bài tốn cịn được gọi là bài tốn Cauchy non-analytic cho các phương

trình parabolic. Một phiên bản khác của bài tốn có tên là bài toán parabolic với dữ

liệu bên trong, hàm u được khôi phục từ nhiệt độ được cho trên một tập con các điểm
trong của  . Bài toán được mơ hình hố từ việc tìm sự phân bố nhiệt độ của vật thể

 có một phần (hay tồn bộ) biên ngồi  là khơng thể đo đạc được. Nếu nguồn
nhiệt f triệt tiêu thì ta nói bài tốn là thuần nhất.
Như ta đã biết bài tốn là khơng chỉnh. Trong [26], Holmgren đã nghiên cứu bài
toán thuần nhất  f  0  trong trường hợp   0 ,1 . Tác giả đã đưa ra điều kiện cần và

đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán. Với [31, ch.5], các tác giả đã dùng phương pháp
quasi-reversibility để chỉnh hoá một bài toán thuần nhất. Tuy nhiên họ không đưa ra sự
ước lượng sai số và việc chọn tường minh thứ nguyên chỉnh hóa. Trong [24], các tác
giả xem xét bài toán thuần nhất trong trường hợp   0 ,   với u  x ,0   0 . Họ dùng
phép biến đổi Fourier để đưa ra một công thức tường minh về nghiệm của bài tốn, từ
đó ta có thể dùng phương pháp mollification (xem [23]) để chỉnh hóa bài tốn. Gần đây
(xem [65]), các tác giả đã dùng phương pháp chỉnh hoá Fourier để chỉnh hóa bài tốn
trong một phần tư mặt phẳng.
Trong thực hành, dữ liệu được đo chỉ trên một tập điểm rời rạc của thời gian

t j . Do đó bài tốn khơi phục nhiệt độ ux ,t  từ dữ liệu rời rạc là có ý nghĩa. Trong
chương này chúng tơi sẽ xem xét bài tốn khơng thuần nhất về việc tìm nhiệt độ u  x ,t 
được định nghĩa trên   0 ,T   0 ,    0, 2  từ phân bố nhiệt u 0 ,t j  đã cho tại
x  0 và một tập đếm được các thời điểm t j khác nhau. Dữ liệu ban đầu u  x ,0  trong

bài tốn của chúng tơi là chưa biết, nên bài toán được xem như là sự kết hợp của bài
tốn Cauchy theo biến khơng gian và bài tốn nhiệt ngược. Vì nhiệt độ sẽ được xác


định nếu tìm được u  x ,0  nên chúng tơi tập trung vào bài tốn khơi phục dữ liệu ban
đầu   x   u  x ,0  .
Bài tốn là khơng chỉnh. Chúng tơi dùng phương pháp hàm Green để chuyển hệ
thống trên thành bài tốn moment dạng phương trình tích phân. Sau đó dùng đa thức
Laguerre, chúng tơi đưa bài tốn moment về bài tốn tìm một hàm giải tích được định
nghĩa trên đĩa đơn vị của mặt phẳng phức. Sau đó phương pháp dùng hệ số của đa thức
Lagrange bị chặt cụt sẽ được áp dụng.
Các kết quả trên của luận án đã được công bố trong [34, 41, 60, 61, 62].


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Bài tốn khơng chỉnh. Sự chỉnh hóa
Chúng ta xét phương trình
Ax  y

(1.0)

với A là một tốn tử liên tục (khơng nhất thiết là tuyến tính) từ một khơng gian Banach

X vào một khơng gian Banach Y và x  X được tìm từ y đã cho.
1.1.1. Bài tốn chỉnh và khơng chỉnh

Chúng ta nói phương trình (1.0) biểu diễn một bài tốn chỉnh theo nghĩa
Hadamard nếu tốn tử A có một tốn tử ngược liên tục từ Y vào X, với X và Y là các
khơng gian Banach. Nói cách khác chúng ta địi hỏi rằng
 với bất kỳ y  Y có nhiều nhất một x  X thỏa (1.0) (tính duy nhất

nghiệm).

(1.1.1.1)
 với bất kỳ y  Y tồn tại một nghiệm x  X thỏa (1.0) (sự tồn tại

nghiệm).

(1.1.1.2)


A 1 y  A 1 y *

X

 0 khi y  y*

Y

0

(tính ổn định nghiệm).
(1.1.1.3)

Nếu một trong các điều kiện (1.1.1.1) – (1.1.1.3) khơng thỏa thì bài tốn (1.0)
được gọi là khơng chỉnh (theo nghĩa Hadamard).
1.1.2. Sự chỉnh hóa

Ý tưởng cơ bản trong việc giải (1.0) là dùng sự chỉnh hóa, nghĩa là thay phương
trình này bởi một phương trình “gần” với nó bao gồm cả một tham số nhỏ  để ta có


thể giải phương trình đã thay đổi một cách ổn định và nghiệm của nó là gần với
nghiệm của phương trình (1.0) ban đầu khi  là nhỏ.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X và Y là các tập đã cho trong bài tốn (1.0). Một họ các

tốn tử tuyến tính, liên tục R từ Y vào X được gọi là một chỉnh hóa đối với phương
trình (1.0) nếu R thỏa điều kiện
lim R Av  v, v  X .

 0

Số dương  được gọi là tham số chỉnh hóa.
Nếu trong định nghĩa 1.1.2, R là một dãy đếm được các tốn tử thì ta có thể lấy

các số tự nhiên n làm tham số chỉnh hóa và điều kiện trên trở thành
lim Rn Av  v .
n

1.2. Đa thức Lagrange - Biểu diễn Hermite
1.2.1 Hàm giải tích
Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f là một hàm phức xác định tại z 0 và lân cận của nó.

Nếu giới hạn lim

z  z0

f  z   f  z0 
tồn tại, ký hiệu f '  z 0  thì giới hạn đó gọi là đạo hàm
z  zo

của f tại z0.
Định nghĩa 1.2.2. Nếu f '  z0  tồn tại với mọi z 0   thì ta nói f là giải tích trong  .

Lớp tất cả các hàm giải tích trong  được ký hiệu là H   .
Định lý 1.2.1. (Identity theorem)

Giả sử f là hàm giải tích trên miền  và z n  là một dãy các điểm đôi một
khác nhau, hội tụ đến điểm z 0   . Nếu f  z n   0 với mọi n  N thì f  0 trên  .
Định lý 1.2.2. (Maximum modulus theorem)

Giả sử  là một miền, f  H   và D a , r    . Khi đó





f a   max f a  re i .


(*)


Dấu bằng xảy ra trong (*) nếu và chỉ nếu f là hằng số trong  . f khơng có cực trị
địa phương tại điểm bất kỳ trong  , trừ khi f là một hằng số.
1.2.2. Đa thức Lagrange.

Ký hiệu K là tập các số thực R hay các số phức C và Pn R  (hay Pn ( C ) ) là tập
tất cả các đa thức bậc  n  1 . Cho n điểm phân biệt t i  K và n giá trị  i  K, 1  i  n
đã cho. Ta tìm một đa thức p n  Pn (K) thoả:
p n t i    i , 1  i  n .

(1.2.2.1)

Để làm điều đó, ta giới thiệu các đa thức li :

t  t j 
j 1 t i  t j 
n

l i t   l i t 1 ,.....,t n ; t   

; t  K , i =1, 2, …, n.

(1.2.2.2)

j i

Rõ ràng l i  Pn (K) , i = 1, 2, …, n và

1 nếu j  i ,
li t j   
0 nếu j  i .

(1.2.2.3)

Các đa thức l i i  1, 2 , ..., n  được gọi là các đa thức Lagrange cơ bản. Chúng có thể
được viết dưới dạng khác.
Ta giới thiệu đa thức

 t    t 1 , ... ,t n ; t  

n

 t  t j .
j 1

Khi đó
n

 t 

 t  t j   t  ti ,
j 1
j i

 t 

  ti  t j   tlim t  ti
t
j 1
j i

i

 '  ti  .

(1.2.2.4)


Điều đó cho phép ta viết

l i t  

 t i t  t i 

p n t  

Dễ thấy rằng đa thức

 t 

'

.

(1.2.2.5)

n

  i li t 

(1.2.2.6)

i 1

là đa thức duy nhất trong Pn (K) thoả (1.2.1.1). Dạng (1.2.2.6) của đa thức nội suy được
gọi là dạng Lagrange.
Bây giờ nếu f : K  K là một hàm bất kỳ và t i  K, i = 1, 2, …, n là các điểm
nút phân biệt, ký hiệu:
n

Ln  f ; t   Lt1 ,.....,tn  f ; t    f t i li t , t  K

(1.2.2.7)

i 1

là đa thức duy nhất trong Pn (K) mà nó đồng nhất với f tại các điểm nút t i i  1, 2 , ..., n  .
Hiển nhiên, nếu p  Pn (K) thì
Ln  p ; t   p t 

(1.2.2.8)

vì p được xác định duy nhất bởi các giá trị pt i , 1  i  n của nó.

Do đó, tốn tử tuyến tính Ln : K  Pn (K) là luỹ đẳng, nghĩa là L2  Ln . Vì vậy nó là
n
một phép chiếu, ta gọi là phép chiếu nội suy Lagrange.
1.2.3. Công thức nội suy Hermite [20, trang 62]
Đa thức nội suy.

Cho n+1 cặp số phức  z k , wk , k  0 ,1, 2 , ..., n với z k là phân biệt, khi đó tồn tại chính
xác một đa thức p có bậc nhiều nhất là n sao cho:
p z k   wk , k  0 ,1, 2 , ..., n .

(1.2.3.1)

Theo mục 1.2.2 thì đa thức này có được là qua công thức nội suy Lagrange. Ta đặt:
n

 z    z  z k    z  z 0  z  z 1 ..... z  z n 
k 0


và l k  z  

 z 

  z k  z  z k 
'

( k  0 ,1, ..., n ) (theo (1.2.2.5)).

Mỗi đa thức trong các đa thức cơ bản lk này có bậc n và ta có:

1 nếu
l k z j   
0 nếu

j  k,
j  k.

Do đó đa thức bậc n
n

L n  z    wk l k  z 
k 0

 w0 l0  z   w1l1  z   .....  wn l n  z 

(1.2.3.2)

thoả mãn yêu cầu nội suy.
Trường hợp wk  f  z k  , với f là một hàm giải tích trong miền G với các điểm
nội suy z k  G , là rất quan trọng cho mục đích của chúng ta. Ta cũng có thể biểu diễn
đa thức nội suy bởi một tích phân phức. Giả sử biên G của miền G bao gồm một số
các đường cong Jordan khả trường và xét hướng dương đối với G, và giả sử f là hàm
giải tích trên G, liên tục trên G . Bài toán nội suy là:
p z k   f  z k  , với z k  G , k  0 ,1, 2 , ..., n .

Bài toán được giải bởi công thức:
Ln  z  

1
 t     z  f t 

 t  z .  t  dt
2i G

(1.2.3.3)

và ta có:
f  z   Ln  z  

  z  f t 
1
  t  . t  z dt
2i G

z  G  .

Từ (1.2.3.4) suy ra rằng
f  z   Ln  z     z .h z  , với h là hàm giải tích trên G,

với

(1.2.3.4)


h z  

1
f t 
 ( t  z ) t  dt .
2i G

Hệ thức (1.2.3.3) là biểu diễn Hermite của đa thức nội suy, và (1.2.3.4) là biểu diễn tích
phân của sai số nội suy.
Sự nội suy trong trường hợp các điểm nội suy được phân bố đều.

Chúng ta giả sử rằng K là một tập con compact của một miền G  C.

Giả sử rằng với mỗi n (n = 0,1,2,…), có n+1 điểm nội suy cho trước z kn   K

(k = 0,1,…..,n). Khi đó ta có các nút ma trận

z 00 

z 01


z 11

.........................

z 0n 



z 1n   z nn 

 ......................
của các điểm trong K, và ta viết

 n  z  : k 0 z  z kn   , ( n  0 ,1, 2 ,.......).
n

Nếu f là giải tích trên G, thì theo (1.2.3.4), sai số nội suy là:
f  x   Ln  x  

n  x  f  t 
.
dt
2 i  n  t  t  x
G
1

zK.

Điều này được dùng để có được một phát biểu về sự hội tụ.
Nếu
diam K  D1  D2  dist  K,G 

thì
n
n
 n  z   D1 1  z  K  và  n t   D2 1 ( t  G ).

Do đó trong trường hợp này ta có:
Ln  z   f  z  n   , z  K 

(1.2.3.5)



và sự hội tụ này không phụ thuộc vào việc chọn các nút z kn   K .

Bây giờ ta trở lại với mối liên hệ giữa sự phân phối đều của các nút và sự hội tụ
của quá trình nội suy tương ứng (xem [20], tr. 65-67).
Định lý 1.2.3. (Kalmar 1926, Walsh 1933)

Sự hội tụ Ln z   f  z  , ( n   , z  K ) xảy ra với mỗi hàm f giải tích trên K

nếu và chỉ nếu các nút nội suy z kn  được phân bố đều trên K.

Ta sẽ không nêu định nghĩa tổng quát của sự phân phối đều. Nếu K là đĩa đơn

 


vị, ta có các nút z nm  gọi là phân phối đều trên K nếu nó thỏa (2.1.3).

1.3. Phép biến đổi Laplace và Laplace ngược
Cho f(t) là hàm thực hay hàm phức với biến t thực, không âm. Đặt s    iw là
một biến phức. Khi đó phép biến đổi Laplace của f(t), ký hiệu F(s), được định nghĩa
như sau:
F s  



 f t e

 st

dt .

(1.3.1)

0

Ta định nghĩa tích phân trong (1.3.1) như sau:
F s 



 f t  e

 st

0



dt  lim
 0

 st
 f  t  e dt .



Phép tốn trên f(t) được mơ tả bởi phương trình (1.3.1) cũng được viết:

F(s) = Lf(t).
Hàm của t mà phép biến đổi Laplace của nó là F(s) được viết:
L1 F(s).

Vậy f(t) = L-1F(s). Ta gọi L1 là phép biến đổi ngược của L. L và L-1 đều thoả tính chất
tuyến tính. Vậy
LC 1 f 1 t   C 2 f 2 t   C 1 Lf 1 t   C 2 Lf 2 t   C1 F1 s   C 2 F2 s  (1.3.2)

với C1, C2 là hằng số và


L1 C 1 F1 s   C 2 F2 s   C 1 f 1 t   C 2 f 2 t  .

Nếu hàm f(t) liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn trên đường thẳng
t  0 và nếu tồn tại các hằng số thực k, p và T sao cho:
f t   ke pt với t  T

(1.3.3)

thì f(t) sẽ có biến đổi Laplace F(s) với mọi s thoả Re s > p. Biến đổi này không chỉ tồn
tại trên nửa mặt phẳng Re s > p mà còn là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng. Các
hàm thoả mãn (1.3.3) với cách chọn k, p và T nào đó được gọi là có bậc ept.
Định lý 1.3. (cơng thức Laplace ngược)

Cho F(s) là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng Re s  a của mặt phẳng phức
s. Giả sử tồn tại các hằng số dương m, R0 và k sao cho F s  

m
s

k

khi s  R0 trong

nửa mặt phẳng này. Khi đó có một hàm f(t) mà phép biến đổi Laplace của nó là F(s),
và nó được xác định bởi:
a i

1
st
f t   L F  s  
 F  s  e dt .
2 i a i
1

Đẳng thức trên cũng được gọi là cơng thức tích phân Bromwich.
(xem Complex Variables with Applications, A. David Wunsch, tr. 423)

1.4. Đa thức Laguerre (G. Sansone, Orthogonal Functions, tr. 259)
Hàm Gamma:    là hàm Gamma được định nghĩa với   0 bởi:

   



x

 1  x

e dx .

0

Điều này suy ra

 1  1
và


   1 



x



 x

e dx  




x e  x 0

0



   x  1 e  x dx     .
0

Tổng quát hơn ta có:

   n  1    n    n     n   n  1   n  1
   n .....  n  m  1   n  m  1.
Đặc biệt, đối với những giá trị ngun khơng âm của n, ta có:  n  1  n! .
Định lý 1.4. (Công thức Stirling) Với mỗi n N, tồn tại   0 ,1 sao cho


n

n
n!  2 n   e 12 n
e
(xem Advanced Calculus p.458 của Wilson).
Để thuận lợi cho việc sử dụng, cơng thức trên cịn được phát biểu dưới dạng sau
n
n!  2 n  
e

Xem xét hàm 1  z 

  1

e



n



 
1 
 , với 0    1 .
2 n 




xz
1 z

và sự khai triển của nó thành chuỗi luỹ thừa

theo z với z  1 .Ta có
e



xz
1 z

 xz k    1k

k
k 0
k 0 1  z  .k !




xk
zk
.
k ! 1  z k

Khi đó

1  z 

 1

e



xz
1 z



   1k
k 0

k

 
xk
zk
 1k x    1m


k ! 1  z   k 1 k 0
k ! m 0

  z
  k 1
m

m k





Vì cả hai chuỗi đều hội tụ tuyệt đối, ta có thể chọn những số hạng có zn, ta được

1  z 

  1

e



xz
1 z




 1   z n Ln   x  ;

n 1

(1.4.1)


với


Ln   x  

n
  1nm n  m !  1m   m  m 1 x nm
n

1

m 0

hay

 1n Ln  x   x

n

n!



n

  1m

m 1

  n   n  1.....  n  m  1x nm ,
n  m! m!

(1.4.2)

n
   n  1
 1n Ln  x     1m
x n m (n  1,2,3,...) .(1.4.31)
m! n  m !    n  m  1
m 1

Để thuận lợi về ký hiệu, ta định nghĩa:
L   x   1 .
0

(1.4.32)

Với x = 0 ta có

Ln  0  

  n   n  1  n  2 .....  1 .
n!

Với   0 , các đa thức Ln0   x  sẽ được định nghĩa lại là Ln(x). Các đa thức này rõ ràng

được xác định bởi:
Ln  x  

n

  1nm

m 0
n

   1
k 0

k

n!

m! n  m !

1
k!

2

 x
n
k

k

x nm ,

(n  1,2,3,...)

(1.4.4)


Các đa thức Ln   x  được gọi là các đa thức Laguerre.

Ta có
  

Ln





x  e x d n n   x
x 
x e , n  1,2,3,...
n! dx n

n  1Ln  x   2n    1  xLn  x   n   Ln1 x   0

với qui ước L1  x   0 .

(1.4.5)
(1.4.6)
(1.4.7)

1.5. Đa thức Hermite (G. Sansone, Orthogonal Functions, tr. 303)
1.5.1. Nếu ta khai triển e  z
e

Do đó:

e

2

 2 xz

 z 2  2 xz

 z 2  2 xz

thành một chuỗi lũy thừa theo z thì ta có
x 2  z  x 2

e e

e

x2





e

d nex

2

dx n

n 0

x2

 d n e  z  x 2

n
n 0 
 dz





zn
 . .
n!

 z 0

zn

. .
n!

Đa thức Hn(x) được định nghĩa bởi
H n x   e

x2

d nex

2

dx n

; n  1,2,3,... ; H 0  x   1

(1.5.1.1)

thì

 x , z   e

 z 2  2 xz






n 0

H n x  n
z
n!

(1.5.1.2)

và chuỗi hội tụ với mọi giá trị của x và z.
Từ (1.5.1.1) dẫn đến

H n  x    1n H n  x  .

(1.5.1.3)

Vậy các đa thức Hn(x) là các hàm chẵn hay lẻ tùy theo chỉ số n là chẵn hay lẻ.
Các đa thức (1.5.1.1) được gọi là các đa thức Hermite. Các đa thức này có vai trị trong
việc nghiên cứu khai triển của một hàm theo các đa thức trực giao trong khoảng

 ,  .
1.5.2. a) Lấy đạo hàm (1.5.1.2) theo biến x ta suy ra được:
H ' n 1  x   2n  1H n  x  .

(1.5.2.1)

b) Lấy đạo hàm của (1.5.1.2) theo biến z, ta suy ra được:
H n 1  x   2 xH n  x   2 nH n 1  x   0 .

c) Lấy đạo hàm 2 vế của (1.5.2.2) và dùng (1.5.2.1) ta có:

(1.5.2.2)

'
'
'
H n 1  2 H n  2 xH n  2 nH n 1  0
'
'
'
 2n  1H n  2 H n  2 xH n  H n'  0

H

''
n



'
 2 nH n 1  x  .

và cuối cùng ta có phương trình vi phân của đa thức Hn
'
'
H n'  x   2 xH n  x   2 nH n  x   0 .

(1.5.2.3)

1.5.3. Các hệ thức về tính trực giao có được theo cách thơng thường.
2

a) Nhân (1.5.2.3) với e  x , ta được
2
d   x2 ' 
e H n  x   2ne  x H n  x   0 .



dx 

Nhân phương trình đầu với Hm và tích phân từ  đến  ta có:


2n  m  e  x H n  x H m  x dx  0 .



2




Khi n  m ,



e  x H n  x H m  x dx  0 .
2



b) Ta có


e

 x2

2
H n  x dx  2 n n!  , n  1, 2 ,3 ,....



c) Từ 1.5.3(a), 1.5.3(b) suy ra rằng hệ thống
  x2

 e 2 H n x 


2
 n
 là trực chuẩn trong L   ,  .
 2 n!  





1.6. Hàm nguyên với bậc hữu hạn
Một hàm f(z) giải tích trên tồn bộ mặt phẳng phức, nghĩa là nó được biểu diễn

bởi một chuỗi lũy thừa có dạng: