Một số dạng toán tổ hợp luận văn toán hockj

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*********

LÔ THỊ NGÂN

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN THỊ BÌNH

HÀ NỘI, 2014


LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo trong tổ Đại số khoa Toán đã tạo
điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo ThS. Nguyễn Thị Bình
đã nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhưng do sự hạn
chế về thời gian và trình độ kiến thức nên bản khóa luận không tránh
được những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô
để bài khóa luận của em được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Lô Thị Ngân


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của em hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô
giáo ThS. Nguyễn Thị Bình cùng với sự cố gắng của bản thân.
Em xin cam đoan bản khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản
thân không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Lô Thị Ngân


BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Các ký hiệu trong khóa luận là các ký hiệu thông dụng được dùng
trong sách giáo khoa:

Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử.

Pn là số các hoán vị của n phần tử.
CMR: Chứng minh rằng.
Đpcm: Điều phải chứng minh.
Trong khóa luận nếu không có điều kiện của n, m, p, k , x, y thì ta hiểu
chúng thuộc  .

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU .................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP .................................. 2
1.1. Tập hợp ....................................................................................... 2
1.1.1. Tập hợp con .......................................................................... 2
1.1.2. Tập hợp sắp thứ tự. ............................................................... 2
1.1.3. Số phần tử của một số tập hợp .............................................. 2
1.2. Quy tắc cộng và quy tắc nhân ...................................................... 3
1.2.1. Quy tắc cộng. ........................................................................ 3
1.2.2. Quy tắc nhân ......................................................................... 3
1.3. Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp ..................................................... 5
1.3.1. Hoán vị ................................................................................. 5
1.3.2. Chỉnh hợp ............................................................................. 5
1.3.3. Tổ hợp .................................................................................. 5
1.4. Nhị thức Newton ........................................................................ 6
1.4.1. Nhị thức Newton .................................................................. 6
1.4.2. Tam giác Pascal .................................................................... 6
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP .................................... 7
2.1. Rút gọn biểu thức tổ hợp. ............................................................ 7
2.2. Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức tổ hợp .............................. 9
2.3. Giải phương trình; bất phương trình tổ hợp. .............................. 14
2.3.1. Giải phương trình ............................................................... 14
2.3.2. Giải bất phương trình .......................................................... 18
2.3.3. Giải hệ phương trình ........................................................... 20
2.4. Các bài toán liên quan đến nhị thức ........................................... 24
2.4.1. Tính tổng tổ hợp ................................................................. 24
2.4.2. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp...................... 28

2.4.3. Tìm giá trị của hệ số trong khai triển nhị thức NewTon

(a  b)n ......................................................................................... 30
2.5. Các bài toán đếm số phương án. ................................................ 35
2.5.1. Bài toán lập số .................................................................... 36
2.5.2. Bài toán chọn vật, chọn người, cách sắp xếp. ...................... 41
2.5.3. Các bài toán khác................................................................ 45
KẾT LUẬN .......................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 51


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và
ngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ
toán học cũng như trong các ngành khoa học khác. Trong toán học
những kết quả của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác
suất, thống kê, hình học,…
Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quan
trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp người học sẽ có năng lực sáng tạo và tư
duy nhạy bén để học tốt môn học khác cũng như các lĩnh vực khác trong
cuộc sống. Các bài toán tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong
các đề thi đại học và cao đẳng, mặc dù mức độ không khó nhưng các thí
sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài toán này. Là người yêu thích
toán tổ hợp và nhờ sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Bình,
vì vậy em lựa chọn đề tài: “Một số dạng toán tổ hợp”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp từ đó xây dựng một cách có hệ thống,
có sáng tạo các bài toán tổ hợp.

3. Đối tượng nghiên cứu
Một số dạng toán tổ hợp trong chương trình toán phổ thông
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng kết và phân dạng các bài tập tổ hợp.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận này gồm có: Chương 1: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp
Chương 2: Một số dạng toán tổ hợp

1


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP
1.1. Tập hợp
1.1.1. Tập hợp con
Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B . Nếu mọi phần tử của tập hợp

B đều thuộc tập hợp A thì ta nói tập hợp B là một tập hợp con của tập
hợp A và ký hiệu B  A hoặc là A  B

B  A  x  B  x  A
Tính chất: - Mọi tập hợp A đều có 2 tập con là  và A .
- Tập A có n phần tử thì số tập con của A là 2 n .
1.1.2. Tập hợp sắp thứ tự.
Một tập hợp hữu hạn có m phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi
phần tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến m , sao
cho với những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau.
Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai
bộ sắp thứ tự  a1 , a2 ,..., am  và  b1 , b2 ,..., bm  bằng nhau khi mọi phần tử

tương ứng bằng nhau

 a , a ,..., a    b , b ,..., b   a
1

2

m

1

2

m

i

 bi

(i  1, m)

1.1.3. Số phần tử của một số tập hợp
Tập hợp A có hữu hạn phần tử thì số phần tử của A được kí hiệu là:

| A | hoặc n  a  .
A, B, C là 3 tập hợp hữu hạn, khi đó:
| A  B || A |  | B |  | A  B |

| A  B  C || A |  | B |  | C |  | A  B |  | B  C |  | A  C |  | A  B  C |

2


Tổng quát: Cho A1, A2 ,..., An là n tập hợp hữu hạn ( n  1) .
Khi đó:
n

| A1  ...  An |  | Ai | 
i 1

n




1 i  k  l  n

n


1 i  k  n

| A  Ak |
i

| Ai  Ak  Al | ...

 ( 1) n 1 | A1  A2  ...  An |
1.2. Quy tắc cộng và quy tắc nhân
1.2.1. Quy tắc cộng.

Giả sử có hai công việc:
Việc thứ nhất có thể làm bằng n cách,
Việc thứ hai có thể làm bằng m cách.
Và nếu hai việc này không thể làm đồng thời, khi đó sẽ có n  m
cách làm một trong hai việc trên.
Quy tắc cộng dạng tổng quát:
Giả sử các công việc T1 , T2 ,..., Tm có thể làm tương ứng bằng

n1, n2 ,..., nm cách và giả sử không có hai việc nào có thể làm đồng thời.
Khi đó số cách làm một trong việc đó là: n1  n2  ...  nm .
1.2.2. Quy tắc nhân
Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện hai công việc
nhỏ là H1 và H 2 , trong đó:
H1 có thể làm bằng n1 cách,
H 2 có thể làm bằng n2 cách, sau khi đã hoàn thành công việc H1 .

Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n1.n2 cách.

3


Quy tắc nhân dạng tổng quát:
Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện k công việc nhỏ
là H1 , H 2 ,…, H k trong đó:
H1 có thể làm bằng n1 cách,
H 2 có thể làm bằng n2 cách, sau khi đã hoàn thành công việc H1 ,

…
H k có thể làm bằng nk cách, sau khi đã hoàn thành công việc H k 1 .

Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n1.n2 ...nk cách.

4


1.3. Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp
1.3.1. Hoán vị
Định nghĩa: Cho tập hợp A , gồm n phần tử ( n  1) .Mỗi cách sắp thứ
tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.

Pn  n!  1.2 n  1 .n

(n  N ; n  1)

1.3.2. Chỉnh hợp
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1) . Kết quả của việc
lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng
theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
đã cho.
Kí hiệu: Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Công thức: Ank 

n!
 n. n  1 n  k  1 (1  k  n)
(n  k )!

Chú ý: Một chỉnh hợp n chập n được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Ann  Pn  n! .

1.3.3. Tổ hợp
Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử ( n  1 ). Mỗi tập con gồm k
phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu:

k
C n (0  k  n) là số các tổ hợp chập k của n phần tử.

Công thức:

n!

k

C n  k !(n  k )!

Chú ý: C 0n  0
k

n k

Cn  Cn

k
k 1
k 1
C n  C n  C n 1

5

1.4. Nhị thức Newton
1.4.1. Nhị thức Newton

 a  b

n

 Cn0 a n  Cn1a n 1b1  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnnb n
n

  Cnk a nk b k

 n   * 

k 0

được gọi là công thức nhị thức Newton.
n

Hệ quả: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  ( 1) n Cnn x n .
Chú ý:
n

- Số các số hạng của sự khai triển  a  1 là n  1.
- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng
số mũ n .
- Số hạng tổng quát Tk 1 của khai triển là Tk 1  Cnk a nk b k (k  0,1,..., n).
- Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau
do Cnk  Cnnk (0  k  n).

1.4.2. Tam giác Pascal
n

Các hệ số của khai triển Newton của nhị thức  a  b  có thể được sắp
xếp thành tam giác sau đây (gọilà tam giác Pascal).
1

n0
1

n 1
1

n2

1

n4
…
Như vậy

2

1

n3

1

3

4

1
3

6

1
4

1

…
k
k 1
k 1
C n  C n  C n 1 (0  k  n) được gọi là hệ thức Pascal.

6


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP
2.1. Rút gọn biểu thức tổ hợp.
Sử dụng các công thức sau để rút gọn biểu thức tổ hợp:
* Pn  n! (n  * )
n!
* Ank 
(1  k  n)
(n  k )!
n!

* Cnk 
(0  k  n)
k !(n  k )!
n k 1
Bài 1. Rút gọn biểu thức: Ank  
k 2 k !

Bài giải
Ta có nhận xét:

k 1
1
1


k !  k  1! k !

n k 1 1 1 1 1
1
1
1
Suy ra An  
     ... 
 1
n!
 n  1! n!
k 2 k ! 1! 2! 2! 3!
Bài 2. Rút gọn biểu thức: A 

An6  An5

An4

Bài giải
Ta có

A

n( n  1)...( n  5)  n( n  1)...( n  4)
n(n  1)...( n  3)

 n  4  (n  4)( n  5)  ( n  4) 2
Tổng quát: Ta có

1
A A
 n  k 1
nk
A

 ( n  k  1)( n  k ) 

k 1
1
An
 nk 
( n  k  1)( n  k )
k 1
n

k

n

1

2

  n  ( k  1) 

7


Cn2
Cnn
Bài 3. Rút gọn biểu thức: A  C  2 1  ...  n n1
Cn
Cn
1
n

Bài giải
Ta lần lượt có:

Cn1  n
n!
C
2!( n  2)!
2
2
 n 1
n!

C
1!( n  1)!
2
n
1
n

…
n

Cnn

Cnn 1

1
1
n!
1!( n  1)!

n(n  1)
2

Suy ra: A  n  n  1  ...  2  1 
Bài tập áp dụng

1
Cn 
Bài 1. Rút gọn biểu thức: Cn  
k 1 k ( k  1)
n

n
k 1

Bài 2. Rút gọn biểu thức: A 

5!
(m  1)!
.
m(m  1) 3!(m  1)!

Bài 3. Rút gọn biểu thức: B 

A4912  A4911 A1710  A179

A4910
A178

8

1

 k (k  1)


2.2. Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức tổ hợp
Sử dụng các công thức:
* Pn  n! (n  * )
* Ank 

n!
(1  k  n )
( n  k )!

* Cnk 

n!
(0  k  n )
k !( n  k )!

* C kn

k 1
k
C n 1  C n 1 (0  k  n)

Đưa đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp thành đẳng thức, bất đẳng thức
đại số thông thường.
Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường suy ra điều
phải chứng minh.
Bài 1. Chứng minh rằng: Với k , n  N ,3  k  n, ta có:
2 n
n 2
n 1
An  k + An  k =k An  k

Bài giải
Ta có
n 2

n 1

VT  An  k + An  k


( n  k )! (n  k )!

( k  2)! (k  1)!



( n  k )! 
1 
1 

( k  2)!  k  1 

k (n  k )!
k 2 (n  k )!


( k  1)(k  2)! k ( k  1).( k  2)!
k 2 (n  k )!

k!

=k 2 Ann k  VP

9

 n 1
Bài 2. Chứng minh rằng: n  (n !)  

 2 
n

2n

n

( n  , n  2) (1)

Bài giải
Biến đổi bất đẳng thức (1) về dạng:
n

n  1.2.3...n 

2

 n 1


 2 

2n

2n

 n 1
 n  1.n  .2. n  1 .3. n  2  ...k  n  k  1   
 (2)
 2 
2

n

a. Ta có đánh giá: k (n  k  1)  n (*) 1  k  n  do

*  n(k  1)  k (k  1)  0  (n  k )(k  1)  0 đúng với1  k  n .
Áp dụng bất đẳng thức (*) với k  2,..., n  1 ta được:

1.n  n

2.( n  1)  n 

...
 n bất đẳng thức
k ( n  k  1)  n 

...

n.1  n

Suy ra 1.n  .2. n  1 .3. n  2  ...k  n  k  1 ...(n  1).2.( n.1)   n n (3)

b. Sử dụng bất đẳng thức Côsi tacó :
2

 k  n  k 1  n 1
k ( n  k  1)  
 

2

  2 

2

**

(0  k  n)

Áp dụng bất đẳng thức (**) với k  1, 2,..., n ta được:

10


2




2

 n  1

2( n  1)  


 2 

...

2
 n  1 
k ( n  k  1)  
n
 2  

...

2

 n  1
( n  1)2  


 2 

2

 n  1
1.n  

 2 

 n  1
1.n  
 2 

Suy ra:

 n  1
1.n  .2. n  1 .3. n  2  ...k  n  k  1 ...( n  1).2.(n.1)   
 2 

2n

(4)

Từ (3) và (4) suy ra (2) được chứng minh, suy ra (1) được chứng minh.
Bài 3. Chứng minh rằng:
a. Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3  Cnk3
b. Cnk2  Cnk  2Cnk 1  Cnk 2  2  k  n 
c. 2Cnk  5Cnk 1  4Cnk 2  Cnk 3  Cnk33  Cnk22
Bài giải

11


a.Ta có

VT  (Cnk  Cnk 1 )  2(Cnk 1  Cnk 2 )  (Cnk 2  Cnk 3 )
 Cnk1  2Cnk11  Cnk12
 (Cnk1  Cnk11 )  (Cnk11  Cnk12 )
 Cnk2  Cnk21
 Cnk3
 VP
b. Ta có: Cnk 2  Cnk  2Cnk 1  Cnk 2 (2  k  n)

VP  (Cnk 1  Cnk )  (Cnk 1  Cnk 2 )
 (Cnk11  Cnk1 )
 Cnk 2
 VT
c. Ta có
VT  2(Cnk  Cnk 1 )  3(Cnk 1  Cnk 1 )  (Cnk  2  Cnk  3 )
 2Cnk11  3Cnk12  Cnk13
 2(Cnk11  Cnk12 )  (Cnk12  Cnk13 )
 2Cnk22  Cnk23
 Cnk22  (Cnk22  Cnk23 )
 (Cnk22  Cnk33 )
 VP

Bài 4.Chứng minh rằng: C2nn k .C2nn k   C2nn 
Bài giải

12

2

(0  k  n) (1)


Ta có

C2nn k .C2nn k   C2nn 

2

(0  k  n ) (1)

(2n  k )! (2n  k )!   2n ! 

.


(n  k )!.n! ( n  k )!.n!  n !.n! 

2

2

  n  k  1 ...( n  k  n)   ( n  k  1)...( n  k  n)    ( n  1)...(n  n) 

  n  k  1 ( n  k  2)...( n  k  n )   (n  k  1)( n  k  2)...(n  k  n ) 
  n  1 ...( n  n) 

2

2

  n  k  1 ( n  k  1)  ... ( n  k  n)...( n  k  n)    n  1 ...( n  n)  (*)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2

( n  k  i )(n  k  i )   n  i  (0  k  n, i  1, n)
Cho i  1, n ta được bất đẳng thức (*).
Vậy bất đẳng thức (*) đúng  (1) được chứng minh.
Bài tập áp dụng

Bài 1. CMR: nCmn  n  (m  1)Cmmn1 (m, n  *)
Bài 2. CMR: Cnr .Crk  Cnk .Cnrrk (r , k , n  , r  n, k  r )
Bài 3. CMR: n  , n  2 , ta có

 

Bài 4. CMR: C2nn k .C2nn k  C2nn

2

1
1
1 n 1


...


A22 A32
An2
n
(0  k  n)

k
k 1
1000
1001
Bài 5. CMR: C2001
 C2001
 C2001

 C2001
(0  k  2000)

n

 1
Bài 6. CMR: 2   1    3 ( n  2, n  )
 n

13


2.3. Giải phương trình; bất phương trình tổ hợp.
Định nghĩa: Phương trình, bất phương trình tổ hợp là phương trình,
bất phương trình có chứa ẩn dưới các kí hiệu: n!, Pn , Ank , Cnk .
* Cách giải:
 Bước 1: Đặt điều kiện của ẩn. Ta có:
- n! có nghĩa  n  
- Pn có nghĩa  n   *
- Ank có nghĩa  k , n  , 1  k  n
- Cnk có nghĩa  k , n  , 0  k  n
 Bước 2: Chuyển phương trình, bất phương trình tổ hợp sang phương
trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp:
- n!  1.2.3...n với mọi n   , n  1

(0! = 1)

- Pn  n! với mọi n   *
- Ank  n( n  1)( n  2)...( n  k  1) 
- Cnk 

k , n  
n!
với mọi 
(n  k )!
1  k  n

n!
với mọi k , n  ,0  k  n
k !( n  k )!

- Cnk11  Cnk1  Cnk (k , n  ,0  k  n)
- Cnk  Cnnk (k , n  ,0  k  n)
 Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình đại số thông thường để
tìm nghiệm.
 Bước 4: Đối chiếu với tập xác định, kết luận.
2.3.1. Giải phương trình
Bài 1. Giải phương trình: Cx2Cxx2  2Cx2Cx3  Cx3Cxx3  100 (1)
Bài giải

14


x  3
Điều kiện: 
x  

(1)  Cx2Cxx2  2C x2Cx3  Cx3C xx 3  100
 (Cx2 ) 2  2Cx2Cx3  (Cx3 ) 2  102 (1)
2

  Cx2  Cx3   102
 Cx2  Cx3  10
 Cx31  10


 x  1!

 10
3!( x  2)!
 ( x  1) x ( x  1)  60
 x 3  x  60  0

x  4
 2
 x  4 (thỏa mãn).
x

4
x

15

0


Vậy phương trình có nghiệm x  4 .

1
Bài 2. Giải phương trình: Px Cx31  30  3Cxx12  5Px (1) .

2
Bài giải
x  2
Điều kiện: 

x  

(1)  PxC x31  6Cxx12  60  10 Px  0
 PxC x31  6Cx31  10 Px  60  0
 Cx31  Px  6   10  Px  6   0
  Cx31  10   Px  6   0
 Px  6
 3
Cx 1  10
x  3

 x  1 x  x  1  60  0

15


x  3
(thỏa mãn).

x

4

Vậy phương trình có 2 nghiệm x  3 hoặc x  4 .
Bài 3. Giải phương trình: Cx25 (Cx1  2Cx2  2Cx3 )  

5 Px 5
2 Px  k Axk33

Bài giải
Điều kiện: x, k  , x  k  0, x  3.

(1) 



( x  5)!
5
( x  5)!
Cx1  2(C x2  Cx3 )   
2!( x  3)!
2 ( x  k )! ( x  3)!
( x  k )!
1 ( x  5)! 1
5 ( x  5)!
(Cx  2Cx31 )  
2 ( x  3)!
2 ( x  3)!

 C1x  2C x31  5  0
 ( x  3)( x 2  3 x  5)  0
x  3
 2
 x3
 x  3x  5  0

Vậy nghiệm ( k , x ) của phương trình là 1,3 ,(0,3),(2,3),(3,3).
Bài 4. Giải phương trình: 2n Cn0  2n 2 Cn2  2n 4 Cn4  ...  Cnn 2 k  122 (1)
(với k , n   và 2k  n  2k  2 ).
Bài giải

( x  1)n  n x n iC i
n

i 0
Có 
n
( x  1) n   xn iCni (1)i
i 0

Với x  2 :
3n  2n Cn0  2 n1 Cn1  ...  Cnn

n
0
n 1
1
n
n
1  2 Cn  2 Cn  ...  ( 1) Cn
3n  1

 2 n Cn0  2 n 2 Cn1  ...  Cnn 2 k (2k  n  2k  2)
2

16

Vậy

3n  1
(1) 
 122
2
 3n  243  35

 n  5 (thỏa mãn)
Vậy n  5 .
Bài 5. Giải phương trình sau:

Axy11.Px  y
 72
Px 1

Bài giải
+ Điều kiện: x, y  , x  2, y  x  1 (*)

( x  1)!
 ( x  y )!
( x  y )!
(1) 
 72
( x  1)!
 ( x  1) x  72
 x 2  x  72  0
 x 8


 x  9
Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là x  8 .

1 y  7 .
Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải phương trình: Px . Ax2  72  6( Ax2  2 Px )

Px Cxx12  60
Bài 2. Giải phương trình:
 3Cx31  5Px
2
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1. 3Cx0  Cxx 1  Cxx  2  79
2. Cx1  6Cx2  6Cx3  9 x 2  14 x
3. Cxx83  5 Ax36

17


2.3.2. Giải bất phương trình
Bài 1. Giải bất phương trình:

Pn5
 60 Ank32 .
( n  k )!

Bài giải
Điều kiện: n  k  0 và n, k   .

Pn 5
( n  5)!
(n  3)!
 60 Ank32 
 60
( n  k )!
( n  k )!
( n  k  1)!
( n  5)(n  4)(n  3)!
(n  3)!

 60
(n  k )!
( n  k  1)(n  k )!
 ( n  5)( n  4)( n  k  1)  60 (*)
Với n  4 thì bất phương trình (*)vô nghiệm.
Với n  3 thì (*)  8.7.(4  k )  60  k 

41
.
14

Do n  k nên ta chọn k  3 .
Tương tự với n  2 thì (*)  8.7.(4  k )  60  k 

41
.
14

 Chọn k  2 .

Với n  1 thì (*)  6.5.(2  k )  60  k  0.
k  0
 Chọn 
 k  1.

Với n  0 thì (*)  5.4.(1  k )  60  k  2. (*)
 Chọn k  0 .

Vậy

bất

phương

trình

đã

cho

có

5

(0,0),(1,0),(1,1),(2,2),(3,3).

Bài 2. Tìm các số hạng dương của dãy:

xn 

5 2
An 2  Cn41  Cn31 (n  4).
4

Bài giải

18

bộ

nghiệm ( n, k ) là


4  n  
Điều kiện: 
 xn  0
Ta có dãy đã cho:

5 2
An 2  Cn41  Cn31  0
4
5
 An2 2  Cn41  Cn31
4
5 ( n  2)! ( n  1)!
(n  1)!




4 ( n  4)! 4!(n  5)! 3!( n  4)!
5
(n  1)( n  2)(n  3)( n  4) (n  1)( n  2)( n  3)
 ( n  2)(n  3) 

4
4!
3!
 ( n  4)( n  1)  4( n  1)  30  0


 n 2  9n  22  0
 2  n  11
Vậy các số hạng dương là: x4 , x5 ,..., x10 .
Bài 3. Cho tập hợp A có 18 phân tử, tìm k (0  k  18) sao cho số tập
con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
Bài giải
Có số tập con của A có k phần tử là C18k (0  k  18) .
Xét: C18k  C18k 1 (với 0  k  17 ).

18!
18!

(18  k )!k ! (k  1)!(17  k )!
1
18!


 k  1  18  k ( do 0  k  17)
(18  k ) ( k  1)

 2k  17
 k  8.5.


Do k    k  0,1,2,...,8.
Xét C18k  C18k 1 (với 0  k  17 ).

 k  8,5.

19