Phép biến đổi laplace và ứng dụng trong phương trình vi phân

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

HOÀNG THỊ DƢ

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG
TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI – 2014


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận được hoàn thành tại khoa Toán, Trường Đại Học Sư
Phạm Hà Nội 2. Nhân dịp này, cho phép em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
TS. Nguyễn Văn Hùng - người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em
trong quá trình nghiên cứu và hình thành khóa luận này. Cuối cùng, em
xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo
trong khoa, đặc biệt là trong tổ Giải tích và các bạn sinh viên khoa Toán
trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong
quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Lần đầu được thực hiện công
tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa luận không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu xót. Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến
đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Tháng 05 năm 2014

Sinh viên
Hoàng Thị Dƣ


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong
phƣơng trình vi phân” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.
Nguyễn Văn Hùng. Em xin cam đoan khóa luận không trùng với bất kỳ
khóa luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, em đã tham khảo một số tài liệu
của một số tác giả đã nêu trong mục tài liệu tham khảo và kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, Tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Hoàng Thị Dƣ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU. ..................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu. ............................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ............................................. Error! Bookmark not defined.
4. Phương pháp nghiên cứu. ......................................................................................... 1
5. Cấu trúc khóa luận. ...................................................................................................1
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................................2
1.1. Số Phức .................................................................................................................. 2
1.2. Một số khái niệm cơ bản của phương trình vi phân. ............................................. 3
1.2.1. Định nghĩa...........................................................................................................3

1.2.2. Bài toán Cauchy. .................................................................................................4
1.2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân. ..................................5
CHƢƠNG 2. BIẾN ĐỔI LAPLACE ........................................................................6
2.1. Một số khái niệm mở đầu. ..................................................................................... 6
2.1.1. Định nghĩa...........................................................................................................6
2.1.2. Các ví dụ ............................................................................................................. 6
2.2. Đòi hỏi tính liên tục. .............................................................................................. 8
2.2.1. Định nghĩa...........................................................................................................8
2.2.2. Các ví dụ. ............................................................................................................8
2.2.3. Định nghĩa...........................................................................................................9
2.3. Sự hội tụ. ................................................................................................................ 9
2.3.1. Định nghĩa...........................................................................................................9
2.3.2. Định nghĩa...........................................................................................................9
2.3.3. Định nghĩa.........................................................................................................10
2.4. Lớp L .................................................................................................................. 10
2.4.1. Định nghĩa.........................................................................................................10
2.4.2. Một số ví dụ. .....................................................................................................10
2.4.3. Định lý. ............................................................................................................. 11


2.5. Một số tính chất cơ bản của biến đổi Laplace. .................................................... 12
2.5.1. Tính chất tuyến tính. ......................................................................................... 12
2.5.2. Tính chất đồng dạng. ........................................................................................ 12
2.5.3. Tính chất dời theo s........................................................................................... 12
2.5.4. Tính chất dời theo t. .......................................................................................... 13
2.5.5. Các ví dụ. ..........................................................................................................13
2.6. Biến đổi Laplace ngược. ...................................................................................... 15
2.6.1. Một số khái niệm. ............................................................................................. 15
2.6.2. Định lý (Lerch). ................................................................................................ 16
2.6.3. Một số phương pháp tìm hàm gốc ....................................................................17

2.7. Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace. ....................................................... 22
2.7.1. Đạo hàm của biến đổi Laplace. .........................................................................22
2.7.2. Tích phân của biến đổi Laplace. .......................................................................23
2.7.3. Một số ví dụ. .....................................................................................................23
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG
PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ................................................................................... 25
3.1. Biến đổi Laplace của đạo hàm. ............................................................................ 25
3.1.1. Định lý. ............................................................................................................. 25
3.1.2. Các ví dụ. ..........................................................................................................26
3.1.3. Định lý. ............................................................................................................. 27
3.2. Phương trình vi phân với hệ số hằng số. .............................................................. 28
3.2.1. Phương trình vi phân với điều kiện đầu. ........................................................... 28
3.2.2. Các ví dụ. ..........................................................................................................28
3.2.3. Nghiệm tổng quát.............................................................................................. 33
3.2.4. Phương trình vi phân với điều kiện biên. .......................................................... 38
3.3. Phương trình vi phân với hệ số đa thức ............................................................... 39
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 50


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một trong những nội dung nghiên cứu của bộ
môn Toán giải tích, đặc biệt trong các phương trình Toán - Lý.
Khi giải các phương trình vi phân, người ta thường sử dụng các phép
biến đổi Fourier, Laplace… Do trong chương trình học, phép biến đổi
này chưa có điều kiện nghiên cứu, các sách tham khảo giành cho sinh
viên nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Laplace vào phương trình vi phân
chưa có nhiều. Bởi vậy việc nghiên cứu phép biến đổi này là rất cần thiết
đối với mỗi sinh viên.

Do vậy mà em chọn đề tài: “Phép biến đổi Laplace và ứng dụng
trong phƣơng trình vi phân” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp đại học.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học đồng thời
muốn đi sâu, tìm tòi, nghiên cứu phép biến đổi Laplace và ứng dụng của
nó trong việc giải phương trình vi phân.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một
vài ứng dụng của nó trên cơ sở thao tác đối với hàm một biến để tìm biến
đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của một số hàm số. Vận dụng phép
biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân thường.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung khóa
luận gồm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Biến đổi Laplace.
Chương 3. Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong phương trình vi
phân.

1


CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Số Phức
Định nghĩa. Số phức là số có dạng z  x  iy ; với x, y

và i là

đơn vị ảo mà i 2  1 . Dạng trên được gọi là dạng đại số của số phức z,
các số thực x, y lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của z. Kí hiệu
x  Re z, y  Im z

Tập hợp các số phức được kí hiệu là
Với mỗi điểm M ( x, y) 
nhất nó với z  x  iy 

2

.

có thể được coi là một số phức nếu đồng

qua phép tương ứng 1 – 1:


2

z  x  iy  ( x, y)
Mặt phẳng

2

cùng với một tương ứng như vậy được gọi là mặt

phẳng phức.
Người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông

thường như các phép toán trên tập hợp các số thực với i 2  1 . Tức là
với 2 số phức bất kỳ z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2 

thì

z1  z2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
z1z2 

 x1 

iy1  x2  iy2   x1x2  ix1 y2  iy1x2  i 2 y1 y2

 ( x1x2 – y1 y2 )  i( x1 y2  x2 y1 ).

Cho z  x  iy  , khi đó z  x  iy 

được gọi là số phức liên hợp

của số phức z và z  x 2 +y2  zz được gọi là môđun của số phức z .

2


Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được
Re z 

z  z
2

Im z 

z - z
2i

và
z  z  z.z ;

1 z
với z  0.

z z2

Bây giờ ta chuyển sang định nghĩa argument của một số phức z  0 .
Mọi số thực  mà

z  z (cos  isin )
được gọi là argument của z . Kí hiệu là arg z (argument của số phức z
được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π ).
Khi đó mọi số phức z  0 đều có thể viết dưới dạng

z  pei
và được gọi là dạng mũ của z với
ei  cos  isin và p  z

 được xác định là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa đường
thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z .
Nếu z  rei và   pei thì z.  r. p.e 

i   

1.2. Một số khái niệm cơ bản của phƣơng trình vi phân
1.2.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm cần tìm và các
đạo hàm của nó.
Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc một biến độc lập thì phương trình đó
được gọi là phương trình vi phân thường. Nếu hàm cần tìm phụ thuộc từ
hai biến độc lập trở lên thì phương trình đó được gọi là phương trình đạo
hàm riêng.

3


Trong khóa luận này, chúng tôi chỉ xét phương trình vi phân thường.
Vậy phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát

F ( x, y, y' ,..., y(n) )  0 ,
ở đó hàm F xác định trong một miền G nào đấy của không gian

(1.1)
n+2

.

Trong phương trình (1.1) có thể vắng mặt một trong các biến

x, y, y' ,..., y(n1) nhưng y (n) nhất thiết phải có mặt.
Nếu từ (1.1) có thể giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương
trình (1.1) có dạng
y ( n)  f ( x, y, y ' , ..., y ( n-1) ) .

(1.2)

thì ta được phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp
cao nhất.
Nghiệm của phương trình (1.1) hay phương trình (1.2) là hàm
y   ( x) khả vi n lần trên khoảng (a, b) sao cho

i) ( x, ( x), ' ( x),..., ( n) ( x)) G, x  (a, b)
ii) Nó nghiệm đúng phương trình (1.1) trên (a, b) .
Đồ thị của hàm  ( x) cho ta một đường cong trong G và được gọi là
đường cong tích phân của phương trình đã cho.
1.2.2. Bài toán Cauchy
Trong thực tế người ta thường quan tâm đến nghiệm của phương
trình vi phân thỏa mãn những điều kiện nào đấy. Chẳng hạn tìm nghiệm
y( x) của phương trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn điều kiện
yo  y( xo ) , y 'o  y ' ( xo ) , …, yo( n-1)  y ( n-1) ( xo ) ,

(1.3)

trong đó xo , yo , yo ' , ..., yo ( n1) là các số cho trước.
Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện ban đầu. Bài toán tìm nghiệm
của phương trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.3) được
gọi là bài toán Cauchy.

4


1.2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
Ở đây, chúng tôi chỉ giới thiệu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
phương trình vi phân. Việc chứng minh định lý này, chúng ta có thể

tham khảo trong tài liệu trích dẫn [3].
Định lý 1.1. (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm)
Cho phương trình
y ( n)  f ( x, y, y ' , ..., y ( n-1) )

Giả sử hàm f cùng với các đạo hàm riêng
tục trong miền G nào đó của

n+1

f f
f
,
,..., ( n ) liên
y y '
y

. Khi đó với bất kì điểm trong

( xo , yo , yo ' ,..., yo ( n1) )  G, tồn tại duy nhất nghiệm y  y( x) của phương

trình (1.2) và thỏa mãn điều kiện đầu (1.3).

5


CHƢƠNG 2
BIẾN ĐỔI LAPLACE
2.1. Một số khái niệm mở đầu
2.1.1. Định nghĩa

Giả sử f là một hàm của biến số thực t (t  0) sao cho tích phân
  st

e

f (t )dt

0

hội tụ ít nhất đối với một số phức s , thì khi đó ảnh của hàm f qua biến
đổi Laplace là hàm F được định nghĩa bởi tích phân sau




0

0

F ( s)  L  ƒ(t ), s    e- st . f (t )dt  lim  e- st . f (t )dt .
 

(2.1)

Nếu tích phân trên phân kỳ thì ta nói không tồn tại biến đổi Laplace
xác định đối với hàm f .
Kí hiệu L[f ] là biến đổi Laplace của hàm f , và tích phân trên là tích
phân Riemann thông thường với cận vô tận. Hàm F (s) được gọi là hàm
ảnh của biến đổi Laplace, tham số s là một số thực hoặc số phức, hàm
f (t ) được gọi là hàm gốc. Phép biến đổi Laplace được gọi là thực hay

phức nếu biến số s của hàm ảnh F (s) là thực hay phức.
2.1.2. Các ví dụ
Ví dụ 2.1. Tìm biến đổi Laplace của f (t )  c, c  .
Giải. Với c  0 , ta có




L  f (t )  L c    ce st dt  c.lim  e  st dt
T 

0

 e st
 c. lim  
 
 s

6

0

  c
e s .
 t  0   s 1  lim









Đặt s  a  ib , ta có lim e s  lim e a (cosb  isinb ) .
 
 
Do cosb  isinb là hàm số bị chặn của biến  nên giới hạn nói trên
bằng 0 khi a  0 và không tồn tại khi a  0 .
Nếu c = 0 thì ta có ngay L[c]  L 0  F (s)  0.
c
với Re s  0 .
s

Vậy L  c   F ( s ) 

Ví dụ 2.2. Tìm biến đổi Laplace của các hàm
f (t )  sinbt, g (t )  cosbt, b  0.

Giải. Ta có:


L[ sinbt ]   e- st sinbtdt
0



 lim
e- st sinbt dt

 
0

 e- st

 lim - 2
b
.
cosbt

s
.
sinbt


0
  s  b 2


 e- st
b 
 lim
b
.
cosb


s
.
sinb





  s 2  b 2
s 2  b 2 




b
s  b2
2

với Re s  0

Tương tự ta cũng có được L[cosbt ] 

s
s  b2
2

với Re s  0 .

Ví dụ 2.3. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau

f (t )  eat , s  a .
Theo định nghĩa ta có
 - st at



0

0

L[e ]   e .e dt  lim  e
 
at

( a-s )t

 e( a- s ) t  
1
dt  lim 

với Re s  a .

  a - s 0
s
a



Ví dụ 2.4. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau

f (t )  t n , n  1 .

7



Giải. Xét hàm (t ) xác định bởi công thức (n)   u n1e u du .
0

Trước hết ta chứng minh (n  1)  n! (n  ) .


Thật vậy, do (n  1)   u ne-u du nên đặt
0

dx  nu n-1du
 x  un



1 -u
-u
dy  e du
 y- e
u





0

u0

thì (n  1)   u ne-u du  -u ne-u



  nu

n -1 -u

e du  n.(n), (n  ) .

0

Lặp lại quá trình trên ta có (n  1)  n(n -1)(n -1)...1(0) .
Mặt khác (0)  1 nên (n  1)  n! . Từ đó suy ra




n
-u u du
L t   F ( s )   e t dt   e
sn s
0
0
1 
(n  1)
n!
 n1  e-uu n du  n1  n1 .
s

s
s
0
n

- st n

2.2. Đòi hỏi tính liên tục
2.2.1. Định nghĩa
Một hàm f được gọi là gián đoạn nhảy (gián đoạn loại một) tại điểm
xo nếu tồn tại đồng thời hai giới hạn hữu hạn

lim f (t )  f (to- ) và lim f (t )  f (to )
t to

t to

nhưng f (to )  f (to ) .
2.2.2. Các ví dụ
Ví dụ 2.5. Hàm f (t ) 



(t 1)2 khi t 0
t 2 2 khi t  0

là gián đoạn nhảy tại điểm t  0 .

8

Ví dụ 2.6. Hàm f (t ) 

1
gián đoạn tại t  1 và t  2 nhưng
(t 1)(t  2)

không là gián đoạn nhảy tại đó vì
1
1
 -, lim
  .
t 1 (t -1)(t - 2)
t 2 (t -1)(t - 2)

lim

2.2.3. Định nghĩa
Một hàm f được gọi là liên tục từng khúc trên đoạn [0, ) nếu thỏa
mãn các điều kiện sau đây
a) Tồn tại giới hạn lim f (t )  f (to ) ,
t to

b) f liên tục trên mọi khoảng (0, b) trừ ra tại một số điểm hữu hạn

t1, t2 , , tn trong (0, b) mà chúng là các điểm gián đoạn nhảy.
2.3. Sự hội tụ
Để có thể nghiên cứu sâu hơn về biến đổi Laplace, chúng ta cần biết
đến các dạng hội tụ của tích phân Laplace.
2.3.1. Định nghĩa

Tích phân (2.1) được gọi là hội tụ nếu giới hạn sau tồn tại và hữu hạn




0

0

 st
 st
 f (t )e dt   f (t )e dt .
lim
 

Nếu giới hạn này tồn tại và vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân
(2.1) phân kì.
2.3.2. Định nghĩa
Tích phân (2.1) được goi là hội tụ tuyệt đối nếu tồn tại giới hạn


lim  e- st f (t ) dt .

 

0

Nếu L[ f (t )] hội tụ tuyệt đối, thì

'

e



- st

'

f (t )dt  lim
e- st f (t ) dt  0, khi    , với mọi  '   .
 



Từ đó suy ra rằng L[ f (t )] cũng hội tụ theo nghĩa thông thường.

9


2.3.3. Định nghĩa.
Tích phân (2.1) được gọi là hội tụ đều đối với s trong một miền Ω
nào đó của mặt phẳng phức nếu với mỗi   0 tồn tại số  o sao cho với
mọi    o ta có
 - st

e



f (t )dt   , với mọi s  Ω .

2.4. Lớp L
Tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân (2.1) hội tụ
đối với một số phức s gọi là lớp các hàm gốc và kí hiệu là L
2.4.1. Định nghĩa
Hàm số f (t ) được gọi là hàm gốc nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
i) f (t )  0 t  0 ,
ii) Khi t  0 hàm f (t ) liên tục cùng với các đạo hàm đến cấp đủ lớn
trên toàn trục t trừ ra một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một,
iii) Khi t   , hàm f (t ) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số

  0 và M  0 sao cho
f (t )  M .et với mọi t  0 .

Kí hiệu λo = inf λ với tất cả λ thỏa mãn iii) được gọi là bậc mũ ( hay chỉ
số tăng) của hàm f (t ) .
2.4.2. Một số ví dụ
Ví dụ 2.7. Hàm mũ f (t )  eat có bậc mũ   a , hàm sint, cost có bậc
2

mũ 0. Tuy nhiên hàm f (t )  et không có bậc mũ.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra một lớp lớn các hàm có biến đổi Laplace.

10


2.4.3. Định lý
Nếu f liên tục từng khúc trên đoạn [0, ) và có bậc mũ λ, thì biến
đổi Laplace tồn tại và hội tụ tuyệt đối với Re s   .

Chứng minh
Theo giả thiết hàm f có bậc mũ λ, nên tồn tại số dương M 1 và một
số to  0 sao cho
f (t )  M1et

; với mọi t  to .

Hơn nữa, hàm f liên tục từng khúc trên đoạn [0, to ] , nên bị chặn trên
đoạn đó, tức là tồn tại số dương M 2 sao cho
f (t )  M 2 ; với mọi t [0, to ] .

Bởi vì, hàm et có một cực tiểu dương trên đoạn [0, to ] , nên ta có thể
chọn được một hằng số dương M đủ lớn sao cho
f (t )  Met ; với mọi t  0 .

Do đó






0

0

0

 ( x iy ) t
 st

f (t ) dt   e  xt . e iyt . f (t ) dt
 e f (t ) dt   e



M e

 ( x  ) t

0

e  ( x  ) t 
dt  M
( x ) 0
 ( x )

M
Me


x
x

.

Cho    và lưu ý rằng Re s  x   ta suy ra


 st
 e f (t ) dt 

0

M
.
x

Do đó, tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối với Re s   .

11


2.5. Một số tính chất cơ bản của biến đổi Laplace
2.5.1. Tính chất tuyến tính
Cho các hàm f k có chỉ số mũ và biến đổi Laplace tương ứng là k và
n

Fk , k  1, 2, ..., n. Khi đó biến đổi tuyến tính của hàm f (t )   ck f k (t ) với
k 1

ck là các hằng số được xác định bởi
n

F ( s)   ck Fk ( s) với miền hội tụ Re(s)  max ck .
k 1

1 k  n

Chứng minh
Theo định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân ta có

F ( s)  L  f (t ) 





0



n



e- st  ck f k (t ) dt 
k 1

 n

 k1ck e

0

- st

f k (t )dt

n



n

k 1

0

k 1

  ck  e- st f k (t )dt   ck Fk ( s )

với Re s  Maxk .
2.5.2. Tính chất đồng dạng
Cho hàm f có chỉ số mũ λ, L[f ]  F và hằng số c  0 . Khi đó
1 s
L  f (ct )  F   , Re s   .
c c

Chứng minh. Ta có


L  f (ct )   e- st f (ct )dt .
0

Đặt u  ct thì
us

1 1 
L  f (ct )   e c f (u )du  L  f
c0

c 

 u  1  s 
    F   , Re s   .
 c  c  c 

2.5.3. Tính chất dời theo s
Cho F (s)  L  f (t ) với Re s  0 . Khi đó ta có
F (s - a)  L[eat f (t )] , với số thực a và Re s  a .

12


Chứng minh
Với Re s  a ta có
 -( s-a)t

F ( s - a)   e
0



f (t )dt   e-st (eat f (t ))dt  L[eat f (t )] .
0

2.5.4. Tính chất dời theo t
Cho L  f (t )  F (s), Re s  0 . Với a  0 ta có
L  f (t - a)ua (t )  e-as F (s)



trong đó ua (t )  u (t - a)  1, t  a
0, t  a
cũng có thể viết dưới dạng ngược
L1[e-as F (s)]  ua (t ).g (t - a) .

(2.2)

Chứng minh




0

a

Ta có L  f (t - a)ua (t )   e-st f (t - a)ua (t )dt   e-st f (t - a)dt
Đặt v  t  a thì t  v  a
 - s (va )
f (v)dv
-a

L  f (t - a)   e

Do f là hàm gốc nên f (v)  0 khi v  0 . Vì vậy
 - s (va )
f (v)dv
-
  -vs

 -as

L  f (t - a)    e

  e
0

f (v)dv  e


 e-as F ( s ).

Trong thực tế ta thường gặp dạng sau đây
L  g (t )ua (t )  e-as L  g (t  a) .

2.5.5. Các ví dụ
Ví dụ 2.8. Tìm biến đổi Laplace của các hàm Hyperbolic
f (t )  shat 

eat - e-at
eat  e-at
, g (t )  chat 
.
2
2

13


Giải. Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ta có

 eat - e-at
L[ f (t )]  L 
2


 1
1 1
1 
at
- at
  2  L[e ] - L[e ]  2  s - a - s  a 




 eat  e-at
L[ g (t )]  L 
2


 1
1 1
1 
at
- at
  2  L[e ]  L[e ]  2  s - a  s  a  .




Ví dụ 2.9. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau
f (t )  sinbt, b  0 .

Giải. Theo tính chất đồng dạng của biến đổi Laplace ta có
1
s
L[ sinbt ]  F   .
b b

Do f (t )  sint mà theo ví dụ 2.4 ta có
F ( s)  L  f (t ) 

1
.
1  s2

Từ đó ta suy ra
1 s 1
L[ sinbt ]  F    .
b b b

Tương tự ta có L[cosbt ] 

1
s
1  
b

2



b
.
s  b2
2

b
.
s 2  b2

Ví dụ 2.10. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau

f (t )  eat , s  a .
Giải. Theo tính chất dời theo s của biến đổi Laplace ta có

L[eat ]  F ( s - a) .
Do F (s)  L  f (t )  mà f (t )  1 nên suy ra F (s) 
Từ đó ta có L[eat ] 

1
.
s-a

14

1
s

Ví dụ 2.11. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau
g (t ) 



khi 0  t 1
.
khi t 1

0
(t - 1)2

Giải. Ta có f (t )  t 2 , a  1 nên áp dụng tính chất dời theo t của biến
đổi Laplace ta có
L  g (t )  L  f (t -1)u(t -1)  e- s F (s) .

Tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có
F ( s)  L  f (t ) 

2
s

n1

.

Từ đó ta suy ra
e- s
L  g (t )  3 .
s

Ví dụ 2.12. Tìm biến đổi Laplace của hàm
f (t )  cost.u(t -  ) .

Ta có

g (t )  cost, a   , g (t  a)  cos(t   )  -cost . Áp dụng tính

chất dời theo t của biến đổi Laplace ta có
L  f (t )  e

- s

se- s
.
L[-cost ]  - 2
s  b2

2.6. Biến đổi Laplace ngƣợc
2.6.1. Một số khái niệm
Để có thể áp dụng biến đổi Laplace vào trong Vật lý, trong việc giải
phương trình vi phân ta cần đến khái niệm biến đổi Laplace ngược.
Định nghĩa. Nếu L[ f (t )]  F (s) thì biến đổi Laplace ngược được xác
định bởi
L1[ F (s)]  f (t ), t  0 .

Nó ánh xạ biến đổi Laplace F ( s) của một hàm trở lại hàm ban đầu,
hàm ban đầu f (t ) được gọi là hàm gốc.

15

Ví dụ 2.13. Cho hàm
f (t ) 

Ta có L[ f (t )] 

1cosbt

khi t  0
khi t  0

s
s 
1 

L
 s 2  b2   f (t ).
s 2  b2

Một vấn đề đặt ra ở đây là có thể có hàm g (t )  f (t ) mà vẫn có
L1[F (s)]  g (t ) hay không?

Bởi vì sự thay đổi của một hàm tại một hay một số hữu hạn điểm
không làm thay đổi giá trị của tích phân (Riemann).
Ví dụ trên cho ta thấy rằng L1[ f ( s )] có thể có nhiều hơn một hàm,
thậm chí là vô hạn.
* Tính chất của biến đổi Laplace ngược (tính chất tuyến tính).
Cho các hàm f k và các hàm ảnh tương ứng Fk ( s) , ck là các hằng số,
k  1,2,..., n. Khi đó

n
n
L1  F ( s)   L-1   ck Fk (s)  =  ck f k (t ) .
 k 1
 k 1

Tính chất này được suy ra từ tính chất tuyến tính của L và đẳng thức
được xác định trong miền xác đinh chung của các Fk .
Bây giờ ta sẽ chỉ ra những điều kiện để tồn tại hàm gốc và chứng
minh rằng nếu hàm gốc tồn tại là duy nhất.
2.6.2. Định lý (Lerch)
Các hàm xác định liên tục trên [0, ) có biến đổi Laplace ngược
hoàn toàn xác định.
Kết quả này có nghĩa là nếu chúng ta hạn chế việc đề cập tới các hàm
liên tục trên [0, ] thì biến đổi ngược L1[F (s)]  f (t ) là xác định duy
nhất.

16


2.6.3. Một số phương pháp tìm hàm gốc
a) Áp dụng một số tính chất của phép biến đổi Laplace
- Theo tính chất tuyến tính
Muốn tìm hàm gốc của biểu thức có dạng c1F1(s)  ...  ck Fk (s) ta
chỉ việc tìm hàm gốc của các Fk ( s)  L  f k (t )  . Khi đó sẽ có
c1F1(s)  ...  ck Fk (s) = L  c1 f1(t )  ...  ck f k (t )  ,

tức hàm gốc cần tìm là c1 f1(t )  ...  ck f k (t ) .
Chẳng hạn muốn tìm hàm gốc của hàm
1

4
F ( s)   2
s s 4

Ta tìm hàm gốc của các hàm

4
1
và hàm 2
. Khi đó ta sẽ có hàm gốc
s
s 4

1
 4 
cần tìm là f (t )  L1 F ( s)  L-1    L-1  2
  1  2sint .
s
 s 4

- Theo tính chất đồng dạng
s
Muốn tìm hàm gốc của hàm có dạng F   (hoặc F (cs) ), ta chỉ cần
c

tìm hàm gốc của hàm F (s) là hàm f (t ) . Khi đó
1


L-1  F  s    cf (ct ) hoặc L-1  F  cs   

  c 
c

t
f  .
c

Chẳng hạn muốn tìm hàm gốc của
G(s) 

s
s
1 s2
1
F
(
s
)



F
s
2
với
,


2
s2  4 2  s 2  1 2

s2  1

ta chỉ cần tìm hàm gốc của hàm F (s) . Đó là hàm f (t )  cost . Khi đó
 s 
hàm gốc cần tìm là L-1  2
  2 f (2t )  cos 2t .
 s 4

17


- Theo tính chất chuyển dời theo s của biến đổi Laplace
Muốn tìm hàm gốc của hàm có dạng F (s - a) ta chỉ việc tìm hàm gốc
của hàm F (s) là hàm f (t ) . Khi đó ta sẽ có L-1  F ( s - a)   eat f (t ) .
Chẳng hạn muốn tìm hàm gốc của hàm G(s)=
thấy G(s) 

1
s-7

 F ( s - 7) với
s - 7 ( s - 7)2  4

1
s-7
. Ta

s - 7 ( s - 7)2  4

1

s
F ( s)   2
, a  7.
s s 4

s 
1
Bây giờ ta chỉ cần tìm hàm f (t )  L-1   2
  1  cos 2t . Khi đó ta
 s s 4

có hàm gốc cần tìm là e7t (1  cos 2t ) .
- Theo tính chất chuyển dời theo t của biến đổi Laplace
Muốn tìm hàm gốc của hàm có dạng e-as F (s) ta chỉ việc tìm hàm gốc
của F (s) là f (t ) . Khi đó ta sẽ có hàm gốc cần tìm là f (t - a)ua (t ) .
e3 s
Chẳng hạn hãy tìm hàm gốc của hàm G ( s)  2 . Ta có
s -9
F ( s) 

1
1
, a  3 , hàm gốc của F (s) là sh3t . Khi đó ta sẽ có hàm gốc
s -9
3
2

cần tìm là

1

sh3(t - 3)u3 (t ) .
3

b) Sử dụng kết quả của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi ngược
Ví dụ 2.14. Hàm bước nhảy đơn vị



ua (t )  1
0

khi t  a
khi t  a

Giải. Với mọi a  0 , ta tìm biến đổi Laplace của nó như sau
 - st

L[ua (t )]   e
0

 - st
 e- st   e-as
,
.ua (t )dt   e dt  lim 

  -s a 
a
s



18

 Re s  0


Từ đó ta suy ra
1  e


L 
  ua (t ) .
 -s 
- as

Ví dụ 2.15. Tìm hàm gốc của hàm F ( s) 

1
1

.
2( s  a) 2( s  a)

Ta có
 eat  e-at
L[chat ]  L 
2


 1

1 1
1 
at
- at


L
[
e
]

L
[
e
]



 2
 2 s -a s  a 




Từ đó suy ra
1 

1
1  eat  e-at
L 


 chat; t  0 .

2
 2( s - a) 2( s  a) 

c) Khai triển chuỗi lũy thừa đối với hàm ảnh
Giả sử hàm ảnh của biến đổi Laplace có thể khai triển chuỗi lũy
thừa theo s
F ( s)  ao 

a1
s



a2
s

2

 ... 

an
 ...
sn

Khi đó hàm gốc của biến đổi Laplace được xác định bởi
a1t a2t 2
ant n

f (t )  L  F ( s)  ao 

 ... 
 ...
1!
2!
n!
-1

1
Ví dụ 2.16. Tìm hàm gốc của F ( s)  s.sin .
s

Giải.
Trước tiên ta sẽ chứng minh bằng quy nạp


L t n    e- st .t n dt 
0

Thật vậy
Với n  1 thì

19

n!
s n1

(2.3)


 - st  t n   
L[t ]   e- st .tdt  lim
-e   2  0 
 
s s  
0

 - s   n  n  n
 lim
-e   2   2   2 .
 
s s  s  s



Giả sử L t n-1    e- st .t n-1dt 
0

(n -1)!
, ta phải chứng minh
sn



L[t n ]   e- st .t n dt 
0

n!

.
s n1

Ta có

 te- st
L[t n ]   e- st .t n dt  lim   
0
 s

 n  - st n -1
n (n -1)! n!
  s  e t dt  s . s n  s n1 .
0


Áp dụng khai triển Taylor của hàm sinx ta có
F ( s)  s.sin

1 1

1
1
1
1
n-1
 s. - 3  5 
...

(-1)


...

s
5!s 7!s 7
(2n -1)!s 2 n-1
 s 3!s

1
1
1
1
n-1
 1- 2 
 ...
4 6  ...  (-1)
3!s
5!s 7!s
(2n -1)!s 2 n

Khi đó hàm gốc cần tìm là
f (t )  1-

t2
t4
t6
t 2n

 ...  (-1) n-1
 ...

2!3! 4!5! 6!7!
(2n)!(2n -1)!

d) Phân tích phân thức hữu tỷ thực sự thành tổng của các phân thức
đơn giản
Giả sử F (s) 

P( s )
là một hàm phân thức hữu tỷ thực sự ( tức là bậc
Q( s )

của P( s) nhỏ hơn bậc của Q( s) và  P(s), Q(s)   1) .
Nếu Q(s)  (s - a)m.( s 2  ps  q)n với p 2  4q  0 thì tồn tại các số
A1 , , Am , B1 , C1 , , Bn , Cn sao cho

20