Bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp 2m trên nửa trục

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I
II KHOA TOÁN

Tran Th% Khuyên

BÀI TOÁN BIÊN ĐOI VéI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP 2m TRÊN NUA TRUC

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Ngành: Toán - Giái tích

Ngưèi hưéng dan: TS. Tran Văn Bang

Hà N®i - 2011


LèI CÃM ƠN
Trong quá trình thnc hi¾n khóa lu¾n, tôi đã nh¾n đưoc sn
hưóng dan nhi¾t tình và chu đáo cúa thay giáo TS. Tran Văn Bang
- Giáng viên to Giái tích cùng toàn the các thay cô giáo trong
khoa Toán, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
Tác giá khóa lu¾n xin đưoc bày tó lòng biet ơn sâu sac và gúi
lòi cám ơn trân trong nhat tói các thay cô, đ¾c bi¾t là TS. Tran
Văn Bang, ngưòi đã giúp tôi hoàn thành khóa lu¾n này
Hà N®i, tháng 05 năm
2011
Tác giá

Tran Th% Khuyên

2

LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan :
Khóa lu¾n ” Bài toán biên đoi vói phương trình vi phân cap
2m trên núa trnc ” là ket quá nghiên cúu cúa riêng tôi, có tham
kháo ý kien cúa nhung ngưòi đi trưóc, tham kháo tài li¾u có liên
quan, dưói sn hưóng dan khoa hoc cúa TS. Tran Văn Bang.
Khóa lu¾n không sao chép tù m®t tài li¾u, m®t công trình nào
san
có.
Ket quá khóa lu¾n ít nhieu có đóng góp vào vi¾c tìm hieu,
nghiên
cúu ve bài toán biên.
Hà N®i, tháng 05 năm
2011
Tác giá

Tran Th% Khuyên


Mnc lnc
Chương 1. Bài toán biên đoi véi PTVP thưèng trên nNa trnc

6

1.1. Bài toán biên và liên hep hình thNc cúa nó...........................6
1.1.1. Thiet l¾p bài toán....................................................................................... 7
1.1.2. Công thúc Green và bài toán liên hop hình thúc.........................................8
1.1.3. Nhung toán tú biên có cap cao hơn..........................................................11

1.2. Tính giái đưec cúa bài toán biên trên nNa trnc . . . . . .

12

1.2.1. Không gian Sobolev trên núa trnc............................................................13
1.2.2. Tính chính quy cúa bài toán biên trên núa trnc.......................................14
1.2.3. Các đ%nh nghĩa tương đương cúa tính chính quy................................... 15
1.2.4. Tính giái đưoc cúa BT biên chính quy trên núa trnc KG gian Sobolev . . 18
1.2.5. Tính giái đưoc cúa bài toán liên hop hình thúc........................................21

Chương 2. BT chính quy trên nNa trnc trong KG Sobolev véi
cap âm....................................................................24
2.1. BT chính quy trên nNa trnc trong KG Sobolev véi cap
âm 24
2.1.1. Không gian Sobolev vói cap âm................................................................25
2.1.2. Thác trien cúa toán tú A cúa bài BT biên lên các KG Sobolev cap tuỳ ý 27
2.1.3. Tính song ánh cúa toán tú A cúa bài toán biên.......................................30
∗

2.2. Tính chat cúa toán tN liên hep A .................................. 34
2.2.1. Moi quan h¾ giua toán tú liên hop và toán tú liên hop hình thúc............35
2.2.2. Tính song ánh cúa toán tú liên hop..........................................................36
2.2.3. Tính chính quy cúa nghi¾m cúa bài toán liên hop...................................39

Tài li¾u tham kháo................................................... 42


Me ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Phương trình đao hàm riêng là m®t b® môn toán hoc cơ bán
vùa mang tính chat lý thuyet cao vùa mang tính úng dnng r®ng.
Rat nhieu ngành khoa hoc (ke cá xã h®i), công ngh¾ đeu phái sú
dnng nó. Nó có m¾t và góp phan nâng cao tính hap dan lý thú,
tính đay đú sâu sac, tính hi¾u quá giá tr% cúa nhieu ngành như
toi ưu, đieu khien toi ưu, trò chơi vi phân, giái tích so, tính toán
khoa hoc,... ke cá các lý thuyet như lý thuyet kỳ d%, tai bien, re
nhánh, hon loan ...Lí thuyet phương trình vi phân và lí thuyet
phương trình đao hàm riêng có úng dnng rat quan trong và trong
nhieu nghành nên đưoc rat nhieu nhà Toán hoc quan tâm nghiên
cúu.
Giái bài toán biên có nhieu phương pháp, trong thnc tien
thưòng dan đen bài toán biên, bài toán ban đau. Dưói góc đ®
m®t sinh viên ngành Toán và trong khuôn kho m®t bài khóa lu¾n
tot nghi¾p, đòng thòi đưoc sn hưóng dan nhi¾t tình cúa thay giáo
TS. Tran Văn Bang tôi đã chon đe tài ” Bài toán biên đoi vói
phương trình vi phân cap 2m trên núa trnc”. Trong lu¾n
văn này xét m®t lóp bài toán biên đ¾c bi¾t. Đe nghiên cúu bài
toán biên này nghi¾m cúa nó đưoc nghiên cúu trong không gian
Sobolev.

2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
- Nghiên cúu bài toán biên đoi vói phương trình vi phân cap 2m
trên núa trnc giúp hieu rõ hơn ve tính chính quy và tính giái đươc
cúa bài toán biên trong không gian Sobolev cap nguyên tùy ý.


3. Đoi tưeng và pham vi nghiên cNu
- Nghiên cúu tính chính quy và tính duy nhat nghi¾m cúa bài toán

biên trong không gian Sobolev cap nguyên tùy ý.
- Nghiên cúu các moi liên h¾ giua bài toán biên liên hop hình thúc
và bài toán liên hop(theo nghĩa giái tích hàm)

4. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo.
Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat.
Hói ý kien chuyên gia.


Chương 1

Bài toán biên đoi véi phương
trình vi phân thưèng trên nNa
trnc
Chương này đe c¾p đen các bài toán biên cho phương trình vi
phân thưòng tuyen tính cap 2m vói h¾ so hang trên khoáng (0,
+∞). Chúng tôi đưa ra các khái ni¾m ve tính chính quy và chúng
minh rang nó là can và đú đe bài toán biên có duy nhat nghi¾m
trong không gian Sobolev cap nguyên tuỳ ý. Hơn nua, chúng tôi
nghiên cúu các moi liên h¾ giua bài toán biên liên hop hình thúc
và bài toán liên hop(theo nghĩa cúa giái tích hàm).

1.1. Bài toán biên và liên hep hình thNc cúa nó
Trong phan đau cúa mnc này chúng tôi mô tá lóp các bài toán
biên trên R+ = (0, +∞). Theo nghĩa co đien trong bài toán biên
ta chí phái
tìm m®t an hàm trên núa trnc,
còn ó đây ngoài an hàm u ta phái
tìm thêm m®t vectơ u ∈ CJ . Chúng tôi trình bày m®t công thúc

Green cho
nhung bài toán này. Công thúc đó cho phép giói thi¾u bài toán
liên hop hình thúc có cùng dang vói bài toán xuat phát.


1.1.1. Thiet l¾p bài toán.
Cho

n

L(Dt ) =

∑ ja

(1.1.1)

t

jD

j=0

là toán tú vi phân tuyen tính cap 2m vói h¾ so không đoi a j, trong
đó
a2m ƒ= 0
6 đây Dt là đao hàm: Dt = −i∂t = −i.d/dt . Hơn nua, cho
µk

Bk(Dt ) =

∑ bk, j Dt

j

j=0

(k=1, . . . , m+J) là các toán tú vi phân tuyen tính cap µk, và :
C = (ck, j)1™k™m+J,1™ j™J
là m®t ma tr¾n hang cap (m + J) × J. Trong đó µk là nhung so
nguyên. Chúng tôi cho phép µk âm.Trong trưòng hop này toán tú
Bk đưoc giá thiet là đong nhat bang 0. Chúng ta xét bài toán
L(Dt )u(t) = f (t), t > 0

(1.1.2)

B(Dt )u(t)|t=0 + Cu = g

(1.1.3)

Trong đó B(Dt ) là vectơ các toán tú B1(Dt ), . . . , Bm+J (Dt ), f là
m®t hàm đã cho trên R+, và g là m®t vectơ thu®c Cm+J . Chúng
ta tìm m®t hàm u trên R+ và m®t vectơ u = (u 1 ,..., uJ ) sao cho u
là m®t nghi¾m cúa phương trình vi phân (1.1.2), và c¾p (u, u)
thoá mãn đieu ki¾n biên (1.1.3), túc là
J

Bk(Dt )u(t)|t=0 +
.

∑ ck, ju j = gk

j=1

, k = 1, . . . , m + J


Chú ý 1.1.1. O đây và sau này, chúng tôi không chí rõ vectơ c®t và
hàng, chang han trong (1.1.3) u và g coi như là nhung vectơ c®t.


1.1.2. Công thNc Green và bài toán liên hep hình thNc.
Đe xác đ%nh bài toán liên hop hình thúc cúa bài toán (1.1.2),
(1.1.3), chúng tôi sú dnng m®t dang đieu chính cúa công thúc
Green co đien. Đau tiên, chúng ta xét trưòng hop µk < 2m.
Goi
L+(Dt ) =

2m

∑ a j Dt

j

j=0

là toán tú liên hop hình thúc cúa L. Hơn nua, goi D là vectơ
D = (1, Dt , . . . , D2m−1)

(1.1.4)

t

Khi đó, toán tú B(Dt ) có the đưoc viet dưói dang
(1.1.5)

B(Dt ) = Q.D

(vói D đưoc xem như m®t vectơ c®t), trong đó các phan tú cúa
ma tr¾n cap (m + J) × 2m
Q = (qk, j)1≤k≤m+J,1≤ j≤2m
đưoc xác đ%nh bói các h¾ so cúa các toán tú Bk như sau:
qk, j =

. bk, j+1

0

vói j = 1, . . . , µk + 1,
vói j > µk.

Đ%nh lý 1.1.1. Công thúc Green sau đây đưoc thoá mãn vói moi
hàm
khá vi vô han u, v trên R+ có giá compact và vói vectơ u ∈
CJ, v ∈ Cm+J:
¸
(1.1.6)
.
.
∞
Lu.vdt + B(Dt )u|t=0 + Cu, vm+

C
J

0

¸∞

=

∗
.
. +(u,C v)CJ .
∗
u.L+vdt + (Du)(0), P(Dt )v|t=0 +Q v2
C
m

0


O đây P(Dt ) là vectơ vói các thành phan
:
2m− j

∑

Pj(Dt ) =
−i

a j+sDts,

j = 1, . . . , 2m,

(1.1.7)

s=
0

và Q∗,C∗ tương úng là các ma tr¾n liên hop cúa Q và C.
Chúng minh. Goi L j là các toán tú vi phân sau đây:
j−1

∑

Lj
=

t

vói

j = 1, . . . , 2m,
(1.1.8)

a sDs

L0 = 0

s=0

Ta chúng minh bang quy nap rang:
¸∞ uL+vdt

¸∞

=

j

(L
− j u.v − iD u.P v)dt

(Ds−1 u)(0).(Ps v)(0)

∑

j

t

j

(1.1.9)

t
0

s=1

0

vói moi hàm trơn u, v có giá compact. Rõ ràng, (1.1.9) thoá mãn
vói j = 0. Giá sú (1.1.9) là đúng vói m®t so nguyên không âm j =
j0 < 2m. Sú dnng các phương trình:
j

L j u = −a j D u +
t
L

j+1u

Pjv = −a j v + Dt Pj+1v
Và lay tích phân tùng phan ta đưoc:
¸∞

j

(1.1.10)

(L j u.v − iD u.P v)dt
t

0

=

∞

¸

(L j+1 u.v − iD

j

j+1
t

j

v)dt − (D u)(0).
(P

u.P
j+1

0

v)(0)


j+1

t

V¾y (1.1.9) thoá mãn vói j = j0 + 1 và do đó thoá mãn vói moi
so nguyên không âm j ≤ 2m. Đ¾c bi¾t, khi j = 2m ta có:
¸∞

¸∞

u.L+ vdt
=
0

2m

Lu.vdt −
0

∑ (Dt s−1u)(0).(Psv)(0)

s=1

(1.1.11)


.
.
.
.
Hơn nua, ta có:
∗
= Q.(Du)(0), vCm+ = (Du)(0), Q Cv
.
.
J
B(Dt )u|t=0, vCm+

2m

J

(1.1.12)
Và
(Cu, v)Cm+J = (u,C∗v)CJ

(1.1.13)

Tù (1.1.11) - (1.1.13) cho ta (1.1.6). □
Cho P(Dt ) là toán tú trong công thúc Green (1.1.6). Theo (1.1.7),
ta
có bieu dien
P = T.D
vói T là ma tr¾n tam giác:


T = −i

a1

 2

 a

a2m

···
a2m
··

·
..
.
···

−1

a2m

a2m




0 



(1.1.14)


0

0

M®t cách tn nhiên ta đ%nh nghĩa bài toán liên hop hình thúc cúa
bài toán (1.1.2)-(1.1.3) là bài toán vói các toán tú ó ve phái cúa
công thúc (1.1.6).
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Giá sú có công thúc Green (1.1.6). Khi đó bài
toán

:
L+(Dt )v(t) = f (t) vói t > 0
(1.1.15)
P(Dt )v(t)|t=0 + Q∗v = g ,C∗ v = h

(1.1.16)

đưoc goi là liên hop hình thúc cúa bài toán (1.1.2), (1.1.3).
10


Theo bieu dien cúa các phan tú qk, j cúa ma tr¾n Q, các đieu
ki¾n biên (1.1.6) cúa bài toán liên hop hình thúc có dang sau:
m+J

Pj(Dt )v(t)|t=0
+

∑

k=1
µk≤
j−1

bk, j−1vk = g j , j = 1, . . . , 2m

10


m+J

∑ ck, j vk = h j

, j = 1, . . . , J

k=1

V¾y bài toán liên hop hình thúc có cùng cau trúc như bài toán
bat đau.Tuy nhiên, nó có so các đieu ki¾n biên và so an lón hơn
trong (1.1.2), (1.1.3).
1.1.3. NhÑng toán tN biên có cap cao hơn
Bây giò chúng ta xét bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) không có sn
han che µk < 2m ve cap cúa các toán tú vi phân Bk. Goi γ là m®t
so nguyên sao cho
γ ≤ 2m ,
J,

γ > maxµk vói

γ = 1, . . . , m +

. Khi

và goi D(γ) là các vectơ c®t vói các thành phan 1, Dt , . . . ,t
D

γ−1

đó vectơ B(Dt ) có the viet dưói dang:
B(Dt ) = Q(γ).D (γ)

(1.1.17)
trong đó Q(γ) là m®t ma tr¾n cúa so phúc b¾c (m + J) × γ.
Hơn nua, theo (1.1.11), chúng ta có :
¸∞

∞

Lu.vdx
=
0

¸ u.L+vdx

(0)

.

+ (D

.

(γ)

u)(0), (P(γ)v)

(1.1.18)
C
γ

0

(γ)
trong
đó
P
là vectơ
thành
phan
. . .×, γP2m (Dt ),
1 (D
0, . . . , 0. Chúng
tôi đvói
ưa các
và ma
tr¾n
b¾cP(γ
−t ),2m)


a0 a1
···
a2m
0
0


0
a
·
·
·

a
a
0
0
2m−1
2m


R(γ) = 
..
..


.
.
15


0

0

···

a0 a1
· · · a2m
Rõ ràng, vectơ D(γ−2m)L(Dt ) có bieu dien :
D(γ−2m)L(Dt ) = R(γ).D(γ)

16

(1.1.19)


Do đó, chúng ta có công thúc Green vói moi hàm khá vi vô han u, v
trên R, u ∈ CJ, v ∈ Cm+J, ω ∈ Cγ−2m :
¸∞
0

. (γ−2m)
.
.
.
Lu.vdt + (D
Lu)(0), ω (γ−2m + (Bu)(0) + Cu, v
C
m+
)

¸∞

=
0

C
J

(1.1.20)
.
.

u.L+udt + (D(γ)u)(0), (P(γ))(0) + (R(γ))∗ω + (Q(γ))C∗v
γ

+(u,C∗v)CJ .
Bài toán biên :
L+(Dt )v(t) = f (t) vói t > 0
(1.1.21)
P(γ)(Dt )v(t)|t=0 + (R(γ))∗ω + (Q(γ))∗v = g , C∗v = h
(1.1.22) đưoc goi là liên hop hình thúc cúa bài toán (1.1.2),
(1.1.3) theo công thúc Green (1.1.20). Trong trưòng hop γ = 2m
bài toán này trùng vói
bài toán(1.1.15), (1.1.16).
Lưu ý rang các đieu ki¾n biên (1.1.22) cúa bài toán liên hop
hình thúc chí chúa các đao hàm đen cap 2m − 1.

1.2. Tính giái đưec cúa bài toán biên trên nNa trnc
Mnc đích cúa mnc này là chúng minh rang tính chính quy cúa
bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là can và đú đe nó có duy nhat
nghi¾m trong tích Descartes cúa không gian2Sobolev W l (R+) vói
t¾p hop CJ . Chúng tôi cung cap m®t so đ%nh nghĩa tương
đương cúa tính chính quy và chúng minh rang moi bài toán biên
và liên hop hình thúc cúa nó là đong thòi chính quy.


1.2.1. Không gian Sobolev trên nNa trnc
Cho C∞(R+),C∞(R+) là t¾p hop tat cá các hàm khá vi vô han
trên
0

0

R+ = [0, +∞) tương úng có giá compact trên R+ và R+. Chúng
tôi
o
đ%nh nghĩa các không gian Sobolev W l (R+) và W l (R+) cho các
so
2
2
nguyên không âm l, là bao đóng cúa C∞(R+),C∞(R+) theo chuan :
0

2 (R+)

"u"W l

. ¸∞
=
0

∑j

0

t
j

.
2

|D u(t)| dt

j=0

l
Theo bo đe cúa Sobolev, không gian W
(R+) đưoc nhúng liên tnc
2
vào
j
Cl−1(R+). Do đó, các đao hàm (Dt u)(0)( j = 0, 1, . . . , l − 1) tai
điem
o

t = 0 ton tai vói moi hàm thu®c W l (R+). Không gian con W l (R+)
có
2

l

2

the đưoc đong nhat vói t¾p hop tat cá các hàm u ∈ 2W (R+) sao
cho
j
(Dt u)(0) = 0 vói moi
( j = 0, . . . , l − 1).
l
l

Tương tn vói W2 (R+), ta có lđ%nh nghĩa cúa không gian W2

(R). Lưu ý rang moi
hàm u ∈ W (R+) đeu có the thác trien liên
tnc thành m®t .
hàm v ∈ W2 l (R). Chang
han hàm :
vói t > 0,
v =2 u(t)
j
1
j
(1.2.1)
χ(t)
(D u)(0)(it)
vói t ≤
l−1
0.
∑
j=0 j!

t

trong đó χ là m®t hàm trơn tuỳ ý có giá compact ,bang m®t
trong khoáng (−1, +1), là m®t thác trien cúa u. Thác trien này
thoá mãn
bat đang thúc
"v"W l
≤ c"u" l
2 (R)

W2 (R+)

Vói c là m®t hang so đ®c l¾p vói u. M®t chuan tương đương
trong
W2 (R) vói l là so nguyên tuỳ ý là :
l

"u"Ht (R)
=

.
→τ u)(τ)|

+∞

¸

(1 + τ2)l|
(Ft

−∞

2

dτ

.1/2


6 đây Ft→τ là bien đoi

Fourier

1/2

¸+∞
−itτ

(Ft→τ u)(τ) = (2π )−

u(t)dt

(1.2.2)

e
−∞

1.2.2. Tính chính quy cúa bài toán biên trên nNa trnc
Chúng tôi muon nghiên cúu tính giái đưoc cúa bài toán biên (1.1.2),
(1.1.3) trong không gian W l (R+) × CJ . 6 đây, khái ni¾m tính
chính
2
quy cúa bài toán biên đóng m®t vai trò quan trong. Đe đưa ra khái
ni¾m này, ta kí hi¾u M + là t¾p tat cá các nghi¾m on đ%nh cúa
phương
trình vi phân thuan nhat L(Dt )u(t) = 0 , tien đen không khi t →
+∞.
Rõ ràng M + là bao tuyen tính cúa các hàm
ts eiτjt

,

s = 0, . . . , r j − 1 ,

(1.2.3)

trong đó τ1, . . . , τµ là các không điem cúa đa thúc
L(τ) =

2m

∑ a jτ

j

j=0

trong núa m¾t phang trên Imτ > 0 và r j là b®i cúa τ j. Không
gian M + cũng có the đưoc mô tá là t¾p hop tat cá các nghi¾m
l
cúa phương trình L(Dt )u(t) = 0 thu®c không
gian
Sobolev
W
2
(R+).
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Bài toán giá tr% biên (1.1.2), (1.1.3) goi là
chính quy, neu:
(i) Các đa thúc L(r) không có các không điem thnc và và có đúng m
không điem ( tính so lan bang b®i ) cúa L(r) nam trong núa m¾t
phang trên Imτ > 0.

(ii)
H¾ thong các đieu ki¾n biên thuan nhat (1.1.3)
B(Dt )u(t)|t=0 + Cu = 0


chí có nghi¾m tam thưòng (u, u) = 0 trong M + × CJ .


Chú ý 1.2.1. Nói riêng, tù đieu ki¾n (ii) ta suy ra phương trình Cu =
0 chí có nghi¾m tam thưòng ho¾c tương đương, cap cúa ma tr¾n
C bang J.
1.2.3. Các đ%nh nghĩa tương đương cúa tính chính quy
Bo đe 1.2.1. Giá sú có đieu ki¾n (i). Kí hi¾u τ1, . . . , τµ là các
không điem cúa L(τ) nam trong núa m¾t phang trên Imτ > 0 và
r1, . . . , rµ tương úng là b®i cúa chúng. Khi đó các khang đ%nh
sau là tương đương:
1, Bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy.
2, Vói moi g ∈ Cm+J có đúng m®t hàm u ∈ M + và m®t
vectơ
u ∈ CJ thoá mãn đieu ki¾n biên (1.1.3).
.
.
3, Các đa thúc vectơ τ → Bk(τ), ck,1, . . . , ck,J , k = 1, . . . ,
. l¾p tuyen tính vói mođun là đa thúc vectơ τ → L+ (τ),
m + J là đ®c
0, . . . , 0 ,
trong đó
L+(τ) = (τ − τ1 )τ1 . . . (τ − τµ )τµ .
Đieu này có nghĩa là, neu
m+J

.

∑ βk Bk(τ), ck,1, . . . , ck,J

.

.
.
= P(τ) L+ (τ), 0, . . . , 0

k=1

Vói m®t đa thúc P nào đó thì β1 = . . . = βm+J = 0.
Chúng minh. Tù (i) ta suy ra τ1 + . . . + τµ = m . T¾p M + bao
gom tat cá các hàm có dang :
u(t) =

µ τ
j −1

∑∑

α j,s ∂ seitτ |τ=τ .
τ

j

j=1 s=0

The hàm này và m®t vectơ u tuỳ ý vào đieu ki¾n biên (1.1.3)
chúng ta nh¾n đưoc h¾ đai so:
µ τ j−1

∑ ∑ αs j,s∂

τ B(τ)|


τ=τ j
j=1 s=0

+ Cu = g

(1.2.4)


vói các an α j,s ( j = 1, . . . , µ, s = 0, . . . , r j − 1) và u. Trong
đó ta đã
sú dnng đang thúc B(Dt )∂ seitτ |t=0 = ∂ sB(τ). H¾ đai so (1.2.4)
có
τ

τ

nghi¾m duy nhat vói moi g khi và chí khi h¾ thuan nhat tương úng
µ τ j−1

∑∑

α j,s ∂ τ
B(τ)|
s

τ=τ j

+ Cu = 0.

j=1 s=0

chí có nghi¾m tam thưòng α j,s = 0( j = 1, . . . , µ, s = 0, . . . ,
r j − 1) và
u = 0.
Do đó 1) và 2) tương đương.
Hơn nua , h¾ đai so (1.2.4) có nghi¾m duy nhat khi và chí khi
h¾ đai so thuan nhat vói ma tr¾n các h¾ so ma tr¾n đã chuyen v%
m+J

∑ βk ∂τsB (τ)|

k= k
1
m+
J

τ=τj

βkck, j = 0

= 0, j = 1, . . . , µ; s = 0, − 1, (1.2.5)

...,rj
j = 1, . . . , J.

(1.2.6)

∑

k=1

Chí có nghi¾m tam thưòng β1 = . . . = βm+J = 0. 6 đây h¾
(1.2.5) đưoc thoá mãn khi và chí khi các so τ j, j = 1, . . . , µ, là
các không điem cúa
đa thúc ∑m+J βkBk(τ) vói các b®i r j, nói cách
k=
khác, neu:
m+J

∑ βkBk(τ) = P(τ)L+(τ).

k=1

Đieu này chúng tó sn tương đương cúa 2) và 3).


Lưu ý rang các h¾ so cúa đa thúc L+ phn thu®c m®t cách giái
tích và các h¾ so cúa L.
Chúng tôi đưa ra hai ví dn ve bài toán biên chính quy trên núa
trnc
Ví dn 1.2.1. Bài toán biên
−urr(t) + η2u(t) = f (t) vói t > 0

aur(0) + bu(0) + Cu = g