Điện động lực học vi mô và bản chất điện từ của môi trường

Khoá luận tốt

Khoa Vật

A - Phần mở đầu
i. Lý DO CHọN Đề TàI.
Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực
nghiệm. Nhng muốn trình bày những định luật, định lợng của vật lý học một cách chính xác ta phải dùng phơng
pháp toán học. Phơng pháp toán học đã đợc áp dụng từ lâu
trong vật lý và hiệu lực nghiên cứu của nó đã làm phát
sinh ra một ngành mới về vật lý là Vật lý lý thuyết.
Vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phơng pháp toán
học. Nó tìm ra đợc những quy luật tổng quát nhất, phản
ánh đợc bản chất vật lý của nhiều loại hiện tợng xét một
cách tổng hợp. Một trong những bộ môn quan trọng của Vật
lý lý thuyết là Điện động lực học. Nó nghiên cứu những
quy luật tổng quát nhất của điện từ trờng và các hạt tích
điện.
Điện động lực học vi mô nghiên cứu về các hiện tợng
điện từ, có xét đến cấu trúc phân tử, nguyên tử của môi
trờng và tính gián đoạn của các điện tích. Điện động lực
học vi mô có thể giải thích đợc cơ cấu và hiểu
đợc bản chất của nhiều hiện tợng điện từ nh: thuận từ,
nghịch từ, siêu dẫn... mà điện động lực học vĩ mô cha
giải thích đợc hay chỉ có thể mô tả
đợc về mặt hình thức. Để có thể nghiên cứu đợc sâu
hơn về những lý thuyết đó tôi đã chọn đề tài: Điện
động lực học vi mô và bản chất điện từ của môi trờng

GVHD: TS. Lu Thị Kim

Thanh

SVTH: Đỗ Thị


Khoá luận tốt

Khoa Vật

để có thể giải thích đợc cơ cấu và hiểu đợc bản chất
của một số hiện tợng điện từ.
2.mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu về phơng pháp cho phép giải thích đợc cơ
cấu và hiểu
đợc bản chất của nhiều hiện tợng điện từ.

GVHD: TS. Lu Thị Kim

Thanh

SVTH: Đỗ Thị


3.đối tợng và phạm vi nghiên cứu.
Nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất của điện
từ trờng và các hạt tích điện trong phạm vi của điện động
lực học.
4.phơng pháp nghiên cứu.
- phơng pháp toán học.
- phơng pháp nghiên cứu tài liệu.

5.ý nghĩa khoa học của đề tài.
Đề tài: Điện động lực học vi mô và bản chất
điện từ của môi trờng có thể giải thích đợc cơ cấu và
hiểu đợc bản chất của nhiều hiện tợng điện từ mà Điện
động lực học vĩ mô cha giải thích đợc hay chỉ có thể
mô tả đợc về mặt hình thức.


B - phần nội dung
Chơng 1. TƯƠNG TáC GIữA CáC ĐIệN TíCH Và
ĐIệN Từ TRƯờNG
1.1 Các phơng trình cơ bản của điện động lực học
vi mô
Điện động lực học vi mô coi môi trờng vật chất là gồm
các hạt tích
điện đặt trong chân không. Điện từ trờng trong môi trờng vật chất cũng vẫn chỉ là điện từ trờng trong chân
không, nhng đã bị trờng của các hạt tích điện đó làm
biến đổi. Sự có mặt của môi trờng vật chất có thể coi nh
là sự đa thêm vào chân không một số điện tích bổ
sung và dòng điện bổ sung nào đó. Những điện tích
bổ sung và dòng điện bổ sung này xuất hiện
trong những điều kiện cụ thể nhất định. ảnh hởng của
môi trờng vật chất
đối với điện từ trờng chính là ảnh hởng của các điện tích
và dòng điện đó, và phụ thuộc sự phân bố cụ thể của các
điện tích và dòng điện đó.
Theo điện động lực học vi mô, mọi hiện tợng điện
từ trong môi trờng vật chất, cũng nh mọi tính chất điện từ
của môi trờng vật chất đều có thể đợc giải thích bằng tác
dụng của các điện tích và dòng điện bổ sung nói trên.

Nh vậy suy đến cùng, điện động lực học vi mô chỉ xét
đến điện từ


trờng trong chân không, và chỉ cần dùng đến hằng và độ
từ
số điện môi 0
thẩm 0 của chân không.
Do êlectrôn
trong các nguyên tử chuyển động rất
nhanh, mật độ
điện tích và mật độ dòng điện vi mô trong môi trờng vật
chất biến thiên rất nhanh theo thời gian và từ điểm này
sang điểm khác. Nên điện từ trờng trong điện động lực
học vi mô cũng là điện từ trờng biến thiên rất nhanh


theo toạ độ và thời gian. Ta ký hiệu các vectơ điện trờng
và từ trờng là:

E , D, H , B.
Giữa các vectơ đó có các
hệ thức:





D 0E và B 0 H

Nếu gọi mật độ điện tích là , vận tốc của nó là v ,
thì mật độ dòng

điện là: j v
Những phơng trình cơ bản của điện động lực học
vi mô đợc gọi là những phơng trình Macxuen Lorenxơ.

B

rot E
(1.1)
t



D
rot H v
(1.2)
t

(1.3)
divD

(1.4)
divB 0


Mật độ lực tác dụng lên
điện tích:

f {E [vB]}

Mật độ năng lợng của điện từ
trờng:
Mật độ dòng năng lợng của điện
từ trờng:

w

(1.5)

1
(ED H
2
B)

(1.6)


P [EH
]

(1.7)


Các phơng trình Macxuen Lorenxơ dùng cho chân
không và môi trờng vật chất đều đúng. Đối với môi trờng
vật chất phải xét thêm cả đến các điện tích và dòng
điện trong môi trờng ( kể cả điện tích và dòng điện

trong các nguyên tử), do đó trong các phơng trình trên
những lợng và



v sẽ có những giá trị và dạng biểu diễn cụ thể tuỳ theo
từng trờng hợp cụ
thể.
1.2 Chuyển động của điện tích tự do trong điện từ trờng

trong điện từ trXét điện tích e chuyển động
ờng,
với vận tốc v
lực Lorenxơ do điện từ trờng tác dụng lên nó có
giá trị bằng:


F e{E [vB]}

(2.1)

Do đó phơng trình chuyển động của điện tích là:
(2.2)


d
(m )v e {E [
]}
dt
vB

Chúng ta chỉ xét trờng hợp điện tích chuyển
động với vận tốc v<< c, do đó khối lợng của nó coi là không
đổi, và (2.2) viết đợc thành:

m





dv
e{E [vB]}
dt

(2.2a)

1.2.1.
Chuyển động của điện tích trong tĩnh
điện trờng.
Xét điện tích e chuyển động trong tĩnh điện trờng:


E grad const .
Phơng trình chuyển động của
điện tích là:


dv
m

eE e.grad
dt


(2.3)

Nh©n hai
vÕ víi







dr
v  dt ta ®-

îc:

d  mv 
d
hay

  e
2

dt  2 

dt

suy
ra

m





dv
dr
v  e.grad.
dt
dt
2

mv  e  const
2

(2.4)


Phơng trình trên diễn tả định luật bảo toàn năng
lợng đối với chuyển động của hạt. Số hạng thứ nhất là
động năng của hạt, số hạng thứ hai là thế năng tơng tác
giữa hạt và điện trờng.
Nếu hạt lúc ban đầu ở trạng thái đứng yên ( v0 0 ), và
sau đó đi qua
đợc thế

hiệu

mv

U , dựa vào (2.4) ta viết
đợc:
suy ra

v

2

2

2
eU
m

eU

(2.5)

Đối với êlectrôn, nếu U = 1 vôn, ta tính ra đợc v 600km / s
.

Xét một điện tích e chuyển động trong tĩnh điện
trờng đều E .

Chọn trục Oy theo phơng và giả sử tại thời điểm t=0, điện
tích nằm

của E

nằm trong mặt
tại gốc toạ độ O và có vận tốc
ban đầu v0
phẳng xOy (hình 1).
Chiếu phơng trình chuyển động (2.3) xuống các
trục x và
y:

mx
0
my
eE

(2.6)
(2.7)

Lấy tích phân hai lần đối với hàm thời
gian đợc:
x v0 x .t
eE 2
y
t vt

Hình 1


2m

oy

Khử t khỏi hai phơng trình trên ta rút ra phơng trình quỹ
đạo:
y

eE
2m(v0 cos )

x (tg )x
2

2



Với là góc giữa vận tốc ban và trục x.
đầu v0

(2.8)


Nh vậy, quỹ đạo của hạt là một đờng parabol. Nếu điện
tích là dơng


v cùng chiều với E , quỹ đạo là nhánh (p) của
vận tốc ban đầu là
parabol.
0

Nếu vận tốc ban đầu là ngợc chiều với E , quỹ đạo là nhánh
v0 (p). Nếu


v0 trùng phơng với E , hạt sẽ chuyển động thẳng nhanh
dần đều hoặc
chậm dần đều.

1.2.2.
Chuyển động của điện tích trong từ trờng không đổi.


Phơng trình chuyển động của
điện tích là:
Nhân hai vế với


v

m



dv

e[vB] dt

(2.9)

d v
m v e[vB]v
dt

đợc:

2


2

Hay:

d mv
(
)0
dt 2

mv const v2 const
2

(2.10)

Nh vậy, từ trờng không làm thay đổi động năng
của hạt và giá trị tuyệt đối của vận tốc của hạt. Nó không
sinh công vì từ lực luôn vuông góc với phơng chuyển động
của hạt.

Xét một điện tích e chuyển động trong từ trờng đều không
đổi B

và chọn trục 0z theo phơng của B .


ChiÕu ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (2.9) xuèng c¸c trôc to¹ ®é, ta
viÕt
eB
®îc:
x 
y
(2.11)
m
eB
y   x
(2.12)
m


z 0

(2.13)

Phơng trình (2.13) chứng tỏ từ trờng không làm ảnh
hởng gì đến chuyển động của hạt theo phơng 0z (phơng của trờng). Theo phơng này, hạt chuyển động theo
quán tính, nh khi không có trờng. Lấy tích
phân (2.13) hai lần theo thời
gian ta có:

(2.13a)

z z0 v z t

Trong đó là vận tốc của hạt theo phơng z, tức là thành
vz
phần vận
tốc theo phơng của trờng.
Đặt

eB

, nhân (2.12) với số ảo i và cộng từng vế với

(2.11) ta
0
m
đợc:

x iy i0 (x
iy )
Do đó:

Hay
:

x iy a.e

d

dt

(x iy ) i0 (x iy )



(2.14)

(2.15)

i0t

Trong đó a là một hằng số phức.
Đặt a
v0e

i

Ta có:

x iy 0v e

( là một hằng số thực).
v0
i (0t )

v0 {cos( 0t ) i sin( t0 )}

Tách phần thực và phần ảo:
cos(0t )

x v0

y v0 sin(0t )
Từ (2.16) và (2.17) ta
rút ra:

v0



(2.16)
(2.17)


x 2 y 2

vxy2 v 2

Vậy v0 mà ta đã chọn ở trên chính là vận tốc của hạt
trên mặt xoy,
tức là thành phần vận tốc vuông góc với phơng của trờng.
Lấy tích phân (2.16) và
(2.17) đợc:

x
x


0

v0



sin( t )
0
0

(2.18)


yy



v0

0

0

(2.19)

cos( t )
0

Nh vậy, chuyển động của hạt theo các phơng x và y
là chuyển
eB

động điều hoà với tần số góc
và pha ban đầu bằng .
bằng 0
Khử t
m
khỏi (2.18) và (2.19) ta rút ra phơng trình quỹ đạo của hạt
trên mặt x0y:
2

(2.20)

(x x0) ( y y 0) v02 R 2
2

2

0

Quỹ đạo đó là một đờng tròn. Tần
số góc

đợc gọi là tần
số

0

e

xyclôtrôn, nó chỉ phụ
thuộc tỷ số

kính quỹ đạo
bằng

R

v0



m
v0m

số

0

e

không phụ thuộc vận tốc của
hạt. Bán
và vận
tốc

, nó phụ thuộc tỷ

eB

v0 của

m

hạt
.
0
2

Từ công thức đó ta
rút ra:

mv eBv
0
R

(2.21)

Tức là bán kính R phải có độ lớn sao cho lực Lorenxơ
(vế phải) cân bằng với lực ly tâm (vế trái) tác dụng lên hạt.


Nh vậy, nếu vận tốc của hạt không có thành phần
song song với từ trờng (vz 0) , nó chỉ chuyển động vòng
tròn trên một
mặt phẳng vuông góc với trờng. Nếu vận
tốc có thành phần song song với trờng ( vz 0
), ngoài chuyển động tròn nói trên, hạt còn
tịnh tiến theo phơng của trờng với
vận tốc không vz const . Quỹ đạo của hạt là
đổi
một

Hình 2


đờng xoắn, xoắn trên một mặt
trụ bán kính

R
v0 m

và trục song song
với
eB

phơng của trờng nh hình 2.
1.3 Chuyển động của êlectrôn trong nguyên tử đặt vào
từ trờng ngoài
1.3.1

ảnh hởng của từ trờng ngoài lên dao

động và bức xạ của nguyên tử.
Xét một nguyên tử gồm hạt nhân và một êlectrôn
có khối lợng
bằng m (thí dụ nguyên tử hyđrô hoặc nguyên tử kiểu
hyđrô). Trong thuyết cổ điển, nguyên tử bức xạ đợc coi nh
một dao động tử điều hoà: điện tích
âm dao động xung quanh điện tích dơng đặt ở gốc toạ
độ, tơng tự nh dao động của một lò xo đàn hồi.

Gọi r là bán kính vectơ của êlectrôn, ta viết đợc phơng trình dao

động của
nó:



i t
r r0 cos 0t r 0e
0

(3.1)

Với 0 là tần số dao động của êlectrôn , và cũng là tần
số bức xạ.
Có thể coi nh êlectrôn dao động dới tác dụng của
một lực đàn




2
hồi Fd
F d mr m0 r
:


Do đó phơng trình chuyển động của mr m 02 r (3.2)
êlectrôn là:
(ở đây ta không cần xét đến lực hãm, vì nó không
làm ảnh hởng

đến tần số bức xạ).

Đặt nguyên tử vào từ trờng ngoài đều và không
đổi B , và chọn


còn có
trục 0z theo phơng của B . Bây giờ, ngoài
lực đàn hồi
F lực

Lorenxơ tác dụng lên
êlectrôn :
Fm
Trong
đó



Fm e0 [r B]

d

(3.3)

e0 là điện tích của êlectrôn , có giá trị âm ( e0
0 ).

Phơng trình chuyển động (3.2)
trở thành:



e
Hay:
r 2 r 0 [r B]




2
mr m0 r e 0[r B]

(3.4)

0
0

m
x 2 x
0

Chiếu (3.4) xuống các trục
toạ độ:

y 2 y

e0 B

m
e0 B

y 0
x 0

0

m
2
z 0 z 0
Đặt
B
L

e0

(3.5) ta
đợc:

2m
x 20 x 2L y 0

(3.6)

y 20 y 2L x 0

(3.7)

z 2 0 z 0

(3.8)

Nghiệm của

i0t

z z0e , giống nh phép chiếu của
(3.1)

(3.8) là xuống trục 0z.
Nh vậy, từ trờng ngoài không ảnh hởng gì đến dao
động của
êlectrôn theo phơng của trục 0z tức theo một phơng song
song với trờng
ngoài, nguyên tử vẫn bức xạ với
tần số 0

nh khi cha có trờng ngoài.

Chúng ta tìm nghiệm của (3.6) và (3.7) dới dạng:
it

x x 0e và

yye

it

0

ThÕ c¸c nghiÖm ®ã vµo (3.6)vµ (3.7), ta rót ra:

     x  2i  x  0
2

2

0

0

L

2i  y   2  2 
L

0

0

0

y0  0


Muốn cho cặp phơng

x0 0; y0 0 thì định thức

của nó

trình đó có phải bằng 0. Tức
là:

( ) (2 ) 0
2
2 2
2
0

L

Hay: 2 2 2
0
Tức là:

L

(3.9)

L

0L 2

(3.10)

Tần số của êlectrôn trong nguyên tử có độ lớn của tần
số ánh sáng,

1015 s1
0

. Đối với các từ trờng đạt đợc trong khoa học và kỹ
thuật, ta

luôn luôn có

L



e0 B

.

2m

0

Do đó (3.10) có thể
viết thành:


L

Vì tần số phải là số dơng,
ta chọn:

0

0

x x expi( 0 0)t
Do đó, nghiệm của (3.6) và (3.7) là:
y y0 expi(0 L )t
Lấy phần thực:

(3.11)

L

x x 0 cos( 0 L)t
y y0 cos(0 L )t

So sánh với (3.1), ta thấy rằng theo những phơng vuông góc
với từ trờng
ngoài, nguyên tử bức xạ theo
tần số:



(3.12)


1

0

  
2

0

Kho¶ng c¸ch gi÷a hai v¹ch bøc
x¹ b»ng:

(3.13)

L

  2

L

e0 B
.
 2m


Hiện tợng trên gọi là hiệu ứng Ziman
và tần số



e0 B

gọi là

L

m
tần số Lacmo. Khoảng cách giữa hai vạch bức xạ cho phép
xác định tỉ số
e0
m
1.3.2

của êlectrôn.
Chuyển động tiến động của êlectrôn
Xét chuyển động của êlectrôn trong nguyên tử. Để

đơn giản, ta cũng xét một nguyên tử gồm hạt nhân đặt
ở gốc tọa độ và một êlectrôn quay

quanh hạt nhân với vận tốc dài bằng v


Mômen xung của
L m[rv]
êlectrôn là:

(3.14)

Vì êlectrôn chuyển động theo quỹ đạo khép kín,
nên mômen từ của
I
1
nó

M [rdr] [rv] dV

bằng:
2
2


ở đây, ta có jdV vdV , và mật độ điện tích có
Id r
giá trị âm.
Trong nguyên tử chỉ có một êlectrôn, nên không có
dòng điện chạy
liên tục. Vì vậy, cờng độ dòng điện I là một lợng đã lấy
trung bình theo

cũng là những lợng đã trung bình
thời gian. Do đó,
hóa. Chúng
và [rv]
không phụ thuộc tọa độ, ta coi chúng nh những hằng số và
đa chúng ra



ngoài dấu tích phân:




M



1

[rv]
e0  dV 
 [rv] 2
So s¸nh (3.14) vµ (3.15)
ta rót ra:

(3.15)


M

e0

L
2m

(3.16)

VËy m«men tõ vµ m«men xung cña ªlectr«n lµ hai
vect¬ cïng gi¸ vµ ngîc chiÒu.