SKKN toán 9: Một số bài toán Quỹ tích cơ bản .

Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản
A. đặt vấn đề
I/. Cơ sở lí luận
Bớc vào thế kỷ 21, nớc ta đang trong công cuộc đổi mới giáo dục - đào tạo nhằm đáp
ứng yêu cầu cao của xã hội. Vấn đề nâng cao chất lợng dạy học ở các cấp học, bậc học đợc
đặt ra hết sức cấp bách. Chính vì vậy trong mấy năm gần đây ngành giáo dục - đào tạo rất coi
trọng việc đổi mới phơng pháp dạy học với định hớng "Tổ chức cho học sinh học tập trong
hoạt động và bằng hoạt động tích cực để sáng tạo.
Để làm đợc điều đó thì Toán học đóng một vai trò hết sức quan trong, nó là chìa khoá
mở cữa cho các ngành khoa học khác. Chính vì vậy, hơn ai hết giáo viên dạy toán là ngời
phải suy nghĩ: Làm thế nào để "Tích cực hoá hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát triển
khả năng tự học" nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề , rèn luyện kĩ năng vận dụng vào thực tiển, tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh.
II/. Cơ sở thực tiễn
Qua thực tiễn dạy môn tự chọn toán 9 - chủ đề nâng cao và bồi dỡng học sinh giỏi tôi
nhận thấy học sinh rất có ý thức học tập đặc biệt là các học sinh khá giỏi, rất hay tìm tòi học
hỏi những kiến thức không có trong chơng trình học. Trong những kiến thức đó tôi nhận thấy
phơng pháp giải bài toán quỹ tích đợc áp dụng rất nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cũng
nh thi vào các trờng chuyên chọn. Trong khi đó thì đa số học sinh ở đây khi giải một bài toán
Quỹ tích thì thờng gặp khó khăn, một số em làm đợc thì thiếu bớc giải hoặc không giới hạn
đợc quỹ tích cần tìm. Do đó tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài Một số bài toán quỹ tích cơ
bản
B. Giải quyết vấn đề
Với định hớng giúp học sinh hoạt động tích cực, độc lập, sánh tạo và khơi dậy trong
học sinh khả năng tự học. Tôi đã trăn trở suy nghĩ làm thế nào để học sinh biết cách giải các
dạng bài toán cơ bản và một trong những dạng toán đó là bài toán Quỹ tích Cho nên tôi đã
hớng dẫn cho học sinh cách giải. Sau đây là cách làm của tôi.
I/. Đôi nét về bài toán tập hợp điểm.
1. Định nghĩa tập hợp điểm .
Một hình H đợc gọi là tập hợp điểm (Quỹ tích) của những điểm M thoả mãn tính

chất T khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất T.
2. Phơng pháp giải toán tập hợp điểm .
Để tìm tập hợp điểm các điểm M có tính chất T ta làm theo các bớc sau:
B ớc 1 . Tìm cách giải.
- Xác định các yếu tố cố định và không đổi.
- Xác định các điều kiện của điểm M
1
M
H
K
O
y
z
x
O
t'
t
z'
z
y'
y
x'
x
Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản
- Dự đoán tập hợp điểm (vẽ một số trờng hợp để biết quỹ tích đó là đờng
thẳng, đoạn thẳng, đờng tròn hay cung tròn)
B ớc 2 . Trình bày cách giải.
- Phần thuận. Chứng minh các điểm M có tính chất T đều thuộc hình H.
- Giới hạn. Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ M chỉ thuộc
một phần B của hình H (nếu đợc).

- Phần đảo. Chứng minh mọi điểm M bất kỳ thuộc hình B đều có tính chất T
II/. Các tập hợp điểm cơ bản.
1. Tập hợp điểm là trung trực.
Định lí:
Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt
A và B cố định là đờng trung trực của đoạn thẳng AB.
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là đ ờng trung trực .

2. Tập hợp điểm là tia phân giác.
Định lí:
Tập hợp các điểm M nằm trong góc xoy khác
góc bẹt và cách đều hai cạnh của góc là tia phân
giác của góc xoy.
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là tia phân giác .
Hệ quả:
Tập hợp các điểm M cách đều hai đờng thẳng
xx và yoy là bốn tia phân giác của bốn góc tạo
thành. Bốn tia này tạo thành hai đờng thẳng vuông
góc với nhau.
3. Tập hợp điểm là hai đờng thẳng song song.
Định lí:
Tập hợp các điểm M cách đờng thẳng d
một khoảng cho trớc một khoảng bằng a (a > 0)
cho trớc là hai đờng thẳng song song với
đờng thẳng đã cho và cách đờng thẳng đó
một khoảng bằng a
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là hai đờng thẳng song song .

2
M

A B
d
x
y
a
a
M


O'
O
M'
M
B
A
B
M
1
z
M
A
O
x
y
Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản
4. Tập hợp điểm là một đờng thẳng song song.
Định lí:
Tập hợp các điểm M cách đều hai đờng
thẳng song song cho trớc là một đờng thẳng
song song và nằm cách đều hai đờng thẳng đó.

Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là một đờng thẳng song song .
5. Tập hợp điểm là đờng tròn.
Định lí:
Tập hợp các điểm M cách điểm O cho
trớc một khoảng cách không đổi (R > 0) là
đờng tròn tâm O bán kính R.
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là đờng tròn .
6. Tập hợp điểm là cung chứa góc.
Định lí:
Tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng AB
cho trớc một góc AMB có số đo không đổi

(0 <

< 180
0
) là hai cung chứa góc

dựng
trên đoạn AB
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là cung chứa góc .
Hệ quả:
Tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng AB
cho trớcdới một góc 90
0
là đờng tròn đờng kính AB.
III/. Một số bài toán quỹ tích cơ bản.
1. Các bài toán quỹ tích là đoạn thẳng, tia, đờng thẳng.
Ví dụ 1. Cho góc vuông xOy cố định. A là điểm cố định trên tia Ox, B là điểm chuyển động
trên Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB.

Giải
a) Phần thuận.
Góc xOy là góc vuông nên

ABO vuông tại O
M là trung điểm của AB nên OM là trung tuyến
Do đó OM = MA= MB
Suy ra MO = MA
Mà O và A cố định nên M thuộc đờng trung trực
của đoạn thẳng OA
3
O M
R
a
d
d
M
2
h
2
h
h
x
y
z
K
C
1
C
B

A
H
O
Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản
b) Giới hạn.
Khi B

O thì M

M
1
( M
1
là trung điểm của đoạn OA)
Khi B chạy xa vô tận trên Oy thì M chạy xa vô tận trên tia M
1
z thuộc đờng trung trực
của đoạn thẳng OA.
Vậy điểm M chuyển động trên tia M
1
z của đờng trung trực của đoạn thẳng OA và
nằm trong góc xOy.
c) Phần đảo.
Giả sử M là một điểm bất kì thuộc tia M
1
z. Đờng thẳng AM cắt tia Oy tại B
Vì M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng OA nên MO = MA


MAO = MOA (1)

Mặt khác

OAB vuông tại O nên OBM + OAM = 90
o
(2)
và BOM + MOA =90
o
(3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra OBM = BOM


MB = MO
MO = MA và MB = MO

MB = MA
Do đó M là trung điểm của AB
d) Kết luận
Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB là tia M
1
z thuộc đờng trung trực của
đoạn thẳng OA và thuộc miền trong của góc xOy.
Ví dụ 2. Cho góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển động trên tia
Oy. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C
Giải
a) Phần thuận.
Vẽ CH

Ox ( H

Ox)

CK

Oy ( K

Oy)
Xét hai tam giác vuông

HAC và

KBC có:
CA = CB (ABC vuông cân tại C)
ACH = BCK ( hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Do đó

HAC =

KBC ( cạnh huyền , góc nhọn)


CH = CK
Mà góc xOy cố định nên C thuộc đờng phân giác của góc xOy
b) Giới hạn.
Khi B

O thì C

C
1
(C
1

thuộc OZ và

OA C
1
vuông cân tại C
1
)
Khi B chạy xa vô tận trên Oy thì C chạy xa vô tận trên tia C
1
z thuộc phân giác của
góc vuông xOy
Vậy điểm C chuyển động trên tia C
1
z thuộc phân giác của góc vuông xOy.
c) Phần đảo.
4
Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản
Giả sử C bất kì thuộc tia C
1
z. Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với CA và cắt tia Oy tại
B.
Gọi H và K lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ C xuống tia Ox và Oy .
Ta có CH = CK và HCK = 90
o
Xét hai tam giác vuông

HAC và

KBC có:
CH = CK

ACH = BCK ( hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Do đó

HAC =

KBC ( cạnh góc vuông , góc nhọn)


CA = CB
Do đó tam giác ABC vuông cân tại C.
d) Kết luận
Vậy tập hợp các điểm C là tia C
1
z thuộc phân giác của góc vuông xOy.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 3 cm, BC = 5 cm. Tìm tập hợp các M
sao cho diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC.
Giải
a) Phần thuận. Tam giác ABC có:
AB
2
+ AC
2
= 3
2
+ 4
2
= 25 = BC
2
nên

ABC vuông tại A
Do đó S
ABC

=
2
1
AB.AC =
2
1
3.4 = 6 cm
2
Gọi MH là đờng cao của

MBC
Vì S
MBC

= 6 cm
2
Nên MH =
BC
S
ABC

ì
2
=
5
62

ì
=
5
12
cm.
Do đó M thuộc đờng thẳng a và a' song song với BC và cách BC một khoảng
5
12
cm.
b) Giới hạn.
M là điểm tuỳ ý trên hai đờng thẳng a và a'
c) Phần đảo.
Lấy điểm M bất kì trên đờng thẳng a hoặc a'.
Vẽ MH

BC

MH =
5
12
cm
S
MBC

=
2
1
BC
ì
MH =

2
1
.4.3 = 6 cm
2
Do đó S
MBC

= S
ABC

d) Kết luận
5
cm
5
12
C
M
H
B
A
a'
a
cm
5
12
5 cm
3 cm
4 cm