Nghiệm của một số hệ hyperbolic các định luật cân bằng dạng phi bảo toàn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO HUY CƯỜNG

NGHIỆM CỦA MỘT SỐ HỆ HYPERBOLIC CÁC
ĐỊNH LUẬT CÂN BẰNG DẠNG PHI BẢO TOÀN

Ngành
Mã số ngành

: Toán Giải tích
: 62460102

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP. Hồ Chí Minh - Năm 2018


Công trình được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Mai Đức Thành

Phản
Phản
Phản
Phản
Phản

biện

biện
biện
biện
biện

1:
2:
3:
độc lập 1:
độc lập 2:

PGS.TS. Lê Thị Phương Ngọc
TS. Đào Nguyên Anh
TS. Nguyễn Thành Nhân
PGS.TS. Lê Xuân Trường
TS. Nguyễn Anh Triết

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp cơ sở đào
tạo họp tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM.

vào hồi . . . giờ . . . ngày . . . tháng . . . năm . . .

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tổng hợp Quốc gia TP.HCM.
2. Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM.


Giới thiệu
Luận án trình bày những kết quả nghiên cứu của chúng tôi liên
quan đến một số hệ hyperbolic các định luật cân bằng dạng phi bảo

toàn.
Nội dung thứ nhất, được trình bày trong Chương 2, liên quan
đến hai mô hình dòng lưu chất chảy trong một ống dẫn có tiết diện
biến thiên. Mô hình thứ nhất (ứng với dòng lưu chất đẳng entropy) là
∂t (aρ) + ∂x (aρu) = 0,
∂t (aρu) + ∂x (a(ρu2 + p)) = p∂x a,

x ∈ R,

t > 0,

(0.1)

và mô hình thứ hai (ứng với dòng lưu chất tổng quát) là
∂t (aρ) + ∂x (aρu) = 0,
∂t (aρu) + ∂x a(ρu2 + p) = p∂x a,
∂t (aρe) + ∂x au(ρe + p) = 0,

(0.2)

x ∈ R,

t > 0,

trong đó ρ = ρ(x, t), ε = ε(x, t), và p = p(x, t) lần lượt ký hiệu cho
các đại lượng nhiệt động lực học: mật độ, nội năng, và áp suất của lưu
chất; u = u(x, t) là vận tốc phân tử, và e = e(x, t) = ε + u2 /2 là năng
lượng toàn phần. Hàm số a = a(x) > 0, x ∈ R, là tiết diện của ống dẫn.
Những kết quả chính trong chương này đã được công bố trong 3
bài báo khoa học (P1), (P4), (P6).

Nội dung thứ hai, được trình bày trong Chương 3, nghiên cứu về
hệ phương trình nước nông với đáy biến thiên (a = a(x))
∂t h + ∂x (hu) = 0,
∂t (hu) + ∂x h u2 +

gh
2

= −gh∂x a,
1

x ∈ R,

t > 0,

(0.3)


trong đó h(x, t) là chiều cao của dòng nước tính từ đáy đến mặt nước,
và u(x, t) là vận tốc của dòng nước; g là hằng số trọng trường.
Những kết quả chính trong chương này đã được công bố trong 2
bài báo khoa học (P3), (P7).
Nội dung thứ ba, được trình bày trong Chương 4, nghiện cứu về
mô hình dòng chảy hai pha đẳng entropy
∂t (αρ) + ∂x (αρu) = 0,
∂t (αρu) + ∂x (α(ρu2 + p)) = p∂x α,
∂t (βθ) + ∂x (βθv) = 0,
∂t (βθv) + ∂x (β(θv 2 + q)) = −p∂x α,
∂t θ + ∂x (θv) = 0, x ∈ R, t > 0,

(0.4)

trong đó, α(x, t), ρ(x, t), u(x, t), p(x, t) tương ứng là tỉ số thể tích, mật
độ, vận tốc, và áp suất của pha I; β(x, t), θ(x, t), v(x, t), q(x, t) tương
ứng là tỉ số thể tích, mật độ, vận tốc, và áp suất của pha II.
Những kết quả chính trong chương này đã được công bố trong 2
bài báo khoa học (P2), (P5).
Ngoài phần giới thiệu và ba chương chứa nội dung chính như đã
nói trên, luận án còn bao gồm các phần sau:
• Kiến thức chuẩn bị: phần này trình bày một số kiến thức cơ sở
và các ký hiệu có liên quan đến nội dung chính của luận án.
• Kết luận: phần này tóm tắt các nội dung chính của luận án, đồng
thời cũng nêu ra một số vấn đề tồn tại và đề xuất một số hướng
nghiên cứu tiếp theo.

2


Chương 2

Mô hình dòng lưu chất
chảy trong ống với tiết
diện biến thiên
Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của chúng tôi về hai
mô hình dòng lưu chất chảy trong ống có tiết diện biến thiên:
• Mô hình dòng lưu chất đẳng entropy:
∂t (aρ) + ∂x (aρu) = 0,
∂t (aρu) + ∂x (a(ρu2 + p)) = p∂x a,

x ∈ R,

t > 0.

(2.1)

• Mô hình dòng lưu chất tổng quát:
∂t (aρ) + ∂x (aρu) = 0,
∂t (aρu) + ∂x a(ρu2 + p) = p∂x a,
∂t (aρe) + ∂x au(ρe + p) = 0,

x ∈ R,

(2.2)
t > 0.

Trong đó ρ = ρ(x, t), ε = ε(x, t), và p = p(x, t) lần lượt ký hiệu cho
các đại lượng nhiệt động lực học: mật độ, nội năng, và áp suất của lưu
chất; u = u(x, t) là vận tốc phân tử, và e = e(x, t) = ε + u2 /2 là năng
lượng toàn phần. Hàm số a = a(x) > 0, x ∈ R, là tiết diện của ống dẫn.

3


2.1
2.1.3

Mô hình dòng lưu chất đẳng entropy
Xây dựng các lược đồ số kiểu Godunov và kiểu van
Leer

Đặt



ρ
U := ρu ,
a




ρu
F (U ) := ρu2 + p ,
0



ρu
1  2
ρu . (2.36)
H(U ) := −
a
0

Khi đó, hệ (2.1) được viết lại thành
∂t U + ∂x F (U ) = H(U )∂x a,

x ∈ R,

t > 0.

(2.37)

Xây dựng lược đồ số kiểu Godunov
∆t
n
n
F (URie (0−; Ujn , Uj+1
)) − F (URie (0+; Uj−1
, Ujn )) ,
∆x
(2.42)
trong đó ký hiệu URie ( xt , UL , UR ) là nghiệm chính xác của bài toán
Riemann của hệ (2.1) ứng với bộ dữ liệu UL , UR . Để cho các sóng thu
được từ việc giải các bài toán Riemann địa phương tại các điểm xj−1/2
và xj+1/2 không ảnh hưởng đến nhau, chúng tôi giả thiết ∆t phải thỏa
mãn điều kiện ổn định C.F.L
∆t
1
max{|λk (Ujn )| : j ∈ Z, k = 1, 2, 3} ≤ .
(2.43)
∆x
2
Ujn+1 = Ujn −

Xây dựng lược đồ số kiểu van Leer

Ujn+1 = Ujn −

∆t

n+1/2
n+1/2
F URie (0−; Uj+1/2,− , Uj+1/2,+ )
∆x
n+1/2

n+1/2

− F URie (0+; Uj−1/2,− , Uj−1/2,+ )

,

với điều kiện ổn định C.F.L (2.43) được thỏa mãn. Trong đó
n+1/2

∆t
n
n
F (Uj+1/2,−
) − F (Uj−1/2,+
) ,
2∆x
∆t
n
n
n
= Uj+1/2,+
−
F (Uj+3/2,−
) − F (Uj+1/2,+

) ,
2∆x

n
Uj+1/2,− = Uj+1/2,−
−
n+1/2

Uj+1/2,+

4

(2.52)


1
n
= Ujn + Sjn ,
Uj+1/2,−
2
1 n
n
n
,
Uj+1/2,+ = Uj+1 − Sj+1
2
và các hệ số Sjn = (snj,1 , snj,2 , snj,3 ) được định bởi
n
Sjn = (Uj+1
− Ujn )Φ(θjn ),

n
Ujn − Uj−1
θjn = n
,
Uj+1 − Ujn

|θ| + θ
,
1 + |θ|
= 0.

Φ(θ) =
snj,3

hàm hạn chế van Leer,

Tính cân bằng của hai lược đồ số kiểu Godunov (2.42) và kiểu
van Leer (2.52)
Nếu UL , UR là hai trạng thái cân bằng của hệ (2.1) thì nghiệm xấp
xỉ cho bởi các lược đồ số (2.42), (2.52) là
Ujn = Uj0 ,

j ∈ Z,

n ∈ N∗ .

Do đó, các lược đồ số kiểu Godunov (2.42) và kiểu van Leer (2.52) là
các lược đồ số cân bằng.

2.2

2.2.3
Đặt


Mô hình dòng lưu chất tổng quát
Xây dựng lược đồ kiểu Godunov

ρ





 ρu
 
U :=   ,
 ρe 
a



ρu

 2

 ρu + p 

,
F (U ) := 


 u(ρe + p)



ρu




 2
ρu + p − ρ
1

.
S(U ) := −  2

a  ρu + p


0

0
(2.77)

Khi đó, hệ (2.2) được viết lại dưới dạng
∂t U + ∂x F (U ) = S(U )∂x a,
5

t > 0,

x ∈ R.


Lược đồ số kiểu Godunov cho mô hình (2.2) như sau
∆t
n
n
F URie (0−; Ujn , Uj+1
) − F URie (0+; Uj−1
, Ujn ) ,
∆x
(2.78)
với điều kiện ổn định C.F.L sau đây được thỏa mãn
Ujn+1 = Ujn −

1
∆t
max{|λk (Ujn )| : j ∈ Z, k = 0, 1, 2, 3} ≤ .
∆x
2
Lược đồ số kiểu Godunov (2.78) là một lược đồ số cân bằng.

6


Chương 3

Hệ phương trình nước
nông với đáy biến thiên
Mô hình hệ phương trình nước nông với đáy biến thiên (a = a(x))

được cho bởi
∂t h + ∂x (hu) = 0,
∂t (hu) + ∂x h u2 +

gh
2

= −gh∂x a,

x ∈ R,

t > 0,

(3.1)

trong đó chiều cao của dòng nước tính từ đáy đến mặt nước h(x, t) và
vận tốc của dòng nước u(x, t) là các ẩn hàm; g là hằng số trọng trường.

3.1

Sóng cơ bản

Thêm vào hệ (3.1) một phương trình hiển nhiên ∂t a = 0, ta viết hệ
(3.1) dưới dạng dạng ma trận
∂t U + A(U )∂x U = 0,

x ∈ R,

t > 0,

trong đó
 
h
U = u ,
a




u h 0
A(U ) = g u g  .
0 0 0

Ma trận A(U ) có ba giá trị riêng thực
λ1 = u −

gh,

λ2 = u +
7

gh,

λ3 = 0.


Hai trường đặc trưng ứng với λ1 , λ2 có tính phi tuyến thực sự. Trường
đặc trưng ứng với λ3 có tính suy biến tuyến tính. λ1 trùng với λ3 trên
mặt
C + := (h, u, a) : u = gh .

(3.2)
λ2 trùng với λ3 trên mặt
C − := (h, u, a) :

u = − gh .

(3.3)

Hệ (3.1) có tính hyperbolic thực sự trên các miền sau:
G1 := (h, u, a) :

u>

G2 := (h, u, a) :

|u| <

gh ,
gh ,

G+
2 := {(h, u, a) ∈ G2 :

u > 0},

G−
2

u < 0},

:= {(h, u, a) ∈ G2 :

G3 := (h, u, a) :

u < − gh .

Cho trước trạng thái bên trái U0 = (h0 , u0 , a0 ) và a = a0 . Trạng
thái U = (h, u, a) được nối với trạng thái U0 bởi một sóng 3−tiếp xúc
khi và chỉ khi u = h0 u0 /h và h là nghiệm của phương trình
F (U0 , a; h) := 2gh3 + 2g(a − a0 − h0 ) − u20 h2 + h20 u20 = 0.

(3.13)

Các đường cong sóng cơ bản ứng với các trường phi tuyến thực sự
có phương trình là
W1 (U0 ) := R1 (U0 ) ∪ S1 (U0 ) = {U (h, u, a) :
W2B (U0 )

:=

RB
2 (U0 )

∪

S2B (U0 )

= U (h, u, a) :

a = a0 ,

a = a0 ,

u = w1 (U0 ; h)} ,
u = w2B (U0 ; h) ,
(3.16)

trong đó

w1 (U0 ; h) :=


√ √

h−
 u0 − 2 g

h0 ,

h ≤ h0 ,

g
1
1
(h − h0 )
+ , h > h0 ,
2
h h0

√
√


h − h0 ,
h ≤ h0 ,
 u0 + 2 g

(3.17)


 u0 −

w2B (U0 ; h) :=


 u0 +

g
(h − h0 )
2
8

1
1
+ , h > h0 .
h h0

(3.18)


3.2

Tính đơn điệu của các đường cong kết hợp
sóng

3.2.1

Trường hợp 1: UL ∈ G1 ∪ C +

Bổ đề 3.4. Cho trước UL ∈ G1 ∪ C + và aR < aL . Gọi
U (h) := h, w1 (UL ; h), aL = W1 (UL ) ∩ G2 ,

−
h#
L
trong đó
h2L +

−hL +
h#
L :=

8hL u2L
g

,
2
(h− , u− , aL ) := W1 (UL ) ∩ C − .
Khi đó,
d
ϕ2 (h) > 0,

dh

−
với mọi h ∈ (h#
L , h ) ∪ (h , h ),

trong đó
ϕ2 (h) := ϕ2 (U (h), aR ),
w1 (UL ; h ) = 0,
với các đường cong C − , W1 (U0 ), và hàm w1 (U0 ; h) có phương trình và
biểu thức được cho bởi (3.3), (3.16), (3.17); ϕ2 (U0 , a) ký hiệu nghiệm
lớn của hàm F (U0 , a; h) được cho bởi (3.13).
Bổ đề 3.5. Cho trước UL ∈ G1 ∪ C + và aR < aL . Gọi
U (h) := h, w1 (UL ; h), aL = W1 (UL ) ∩ G2 ,

−
h#
L
trong đó
h2L +

−hL +
h#
L :=

8hL u2L
g

,

2
(h− , u− , aL ) := W1 (UL ) ∩ C − .
Khi đó

d
u(h) < 0,
dh

−
với mọi h ∈ (h#
L , h ) ∪ (h , h ),

9


trong đó
u(h) :=

w1 (UL ; h)h
,
ϕ2 (U (h), aR )

w1 (UL ; h ) = 0.
với các đường cong C − , W1 (U0 ), và hàm w1 (U0 ; h) có phương trình và
biểu thức được cho bởi (3.3), (3.16), (3.17); ϕ2 (U0 , a) ký hiệu nghiệm
lớn của hàm F (U0 , a; h) được cho bởi (3.13).

3.2.2

Trường hợp 2: UL ∈ G2

Bổ đề 3.6. Cho trước UL ∈ G2 và aR < aL . Gọi
U (h) := h, w1 (UL ; h), aL = W1 (UL ) ∩ G2 ,

h+ < h < h− ,

trong đó
(h± , u± , aL ) := W1 (UL ) ∩ C ± .
Khi đó,
d
ϕ2 (h) > 0,
dh

với mọi h ∈ (h+ , h ) ∪ (h , h− ),

trong đó
ϕ2 (h) := ϕ2 (U (h), aR ),
w1 (UL ; h ) = 0,
với các đường cong C ± , W1 (U0 ) và hàm w1 (U0 ; h) có phương trình và
biểu thức được cho bởi (3.3), (3.2), (3.16), (3.17); ϕ2 (U0 , a) ký hiệu
nghiệm lớn của hàm F (U0 , a; h) được cho bởi (3.13).
Bổ đề 3.7. Cho trước UL ∈ G2 và aR < aL . Gọi
U (h) := h, w1 (UL ; h), aL = W1 (UL ) ∩ G2 ,

h+ < h < h− ,

trong đó
(h± , u± , aL ) := W1 (UL ) ∩ C ± .
Khi đó,
d

u(h) < 0,
dh

với mọi h ∈ (h+ , h ) ∪ (h , h− ),
10


trong đó
u(h) =

w1 (UL ; h)h
,
ϕ2 (U (h), aR )

w1 (UL ; h ) = 0,
với các đường cong C ± , W1 (U0 ) và hàm w1 (U0 ; h) có phương trình và
biểu thức được cho bởi (3.3), (3.2), (3.16), (3.17); ϕ2 (U0 , a) ký hiệu
nghiệm lớn của hàm F (U0 , a; h) được cho bởi (3.13).

3.3

Miền tồn tại nghiệm duy nhất

3.3.1

Trường hợp 1: UL ∈ G1 ∪ C +

Định lý 3.1. Cho trước trạng thái bên trái UL ∈ G1 ∪ C + . Giả sử trạng
thái bên phải UR thỏa mãn các điều kiện
aR < aL ,

w2B (UR ; 0) < uup ,
w2B (UR ; h−b )

(3.37)

−b

>u ,

trong đó
hsL := ϕ1 (UL , aR ),
uup := usL + 2

usL :=

hL uL
,
hsL

ghsL ,

U − (h− , u− , aL ) := W1 (UL ) ∩ C − ,
h−b := ϕ2 (U − , aR ),

u−b :=

h− u−
,
h−b

với các đường cong C − , W1 (U0 ), và các hàm w1 (U0 , h), w2B (U0 , h) có
phương trình và biểu thức được cho trong (3.3), (3.16), (3.17), (3.18);
ϕ1 (U0 , a), ϕ2 (U0 , a) lần lượt ký hiệu nghiệm nhỏ và nghiệm lớn của
hàm F (U0 , a; h) được cho bởi (3.13). Khi đó, bài toán Riemann cho hệ
(3.1) có nghiệm là một trong ba dạng sau:
W3 (UL , ULs ) ⊕ W1 (ULs , U ) ⊕ W2 (U, UR ),

(3.38)

hoặc
W3 (UL , ULs ) ⊕ S1 (ULs , ULs# ) ⊕ W3 (ULs# , ULs#b ) ⊕ W2 (ULs#b , UR ), (3.39)
11


hoặc
S1 (UL , U ) ⊕ W3 (U, U b ) ⊕ W2 (U b , UR ).

(3.40)

Hơn nữa, nếu (3.37) được kết hợp thêm giả thiết
#b
hs#
L < hL ,

trong đó
−hsL +

(hsL )2 +

hs#

L :=

8hsL (usL )2
g

2

,

−hL +
#
UL# = (h#
L , uL , aL ),

h#
L :=

h2L +

8hL u2L
g

2

,

u#
L :=

hL uL

h#
L

,

#
h#b
L := ϕ2 (UL , aR ),

thì bài toán Riemann cho hệ (3.1) có nghiệm duy nhất.

3.3.2

Trường hợp 2: UL ∈ G2

Định lý 3.2. Cho trước trạng thái bên trái UL ∈ G2 . Giả sử trạng thái
bên phải UR thỏa mãn các điều kiện
aR < aL ,
w2B (UR ; 0) < u+up ,
w2B (UR ; h−b )

(3.41)

−b

>u ,

trong đó
U ± = (h± , u± , aL ) = W1 (UL ) ∩ C ± ,
h+s := ϕ1 (U + , aR ),

u+up := u+s + 2

u+s :=

h+ u+
,
h+s

gh+s ,

h−b := ϕ2 (U − , aR ),

u−b :=

h− u−
,
h−b

với các đường cong C ± , W1 (U0 ), và các hàm w1 (U0 , h), w2B (U0 , h) có
phương trình và biểu thức được cho trong (3.3), (3.2), (3.16), (3.17),
12


(3.18); ϕ1 (U0 , a), ϕ2 (U0 , a) lần lượt ký hiệu nghiệm nhỏ và nghiệm lớn
của hàm F (U0 , a; h) được cho bởi (3.13). Khi đó, bài toán Riemann cho
hệ (3.1) có nghiệm là một trong ba dạng sau:
R1 (UL , U + ) ⊕ W3 (U + , U +s ) ⊕ W1 (U +s , U ) ⊕ W2 (U, UR ),

(3.42)

hoặc
R1 (UL , U + ) ⊕ W3 (U + , U +s ) ⊕ S1 (U +s , U s# )
⊕ W3 (U s# , U +s#b ) ⊕ W2 (U +s#b , UR ),

(3.43)

hoặc
W1 (UL , U ) ⊕ W3 (U, U b ) ⊕ W2 (U b , UR ).

(3.44)

Hơn nữa, nếu (3.41) được kết hợp thêm giả thiết
h+s# < h+b ,
trong đó
−h+s +

(h+s )2 +

h+s# :=

8h+s (u+s )2
g

2

,

h+b := ϕ2 (U + , aR ),
thì bài toán Riemann cho hệ (3.1) có nghiệm duy nhất.

3.4

Lược đồ số kiểu van Leer

Đặt

h
U := hu ,
a







hu


F (U ) := h u2 +

gh
2

0




,


0
H(U ) := −gh .
0
(3.45)

Khi đó, hệ (3.1) được viết lại dưới dạng
∂t U + ∂x F (U ) = H(U )∂x a,

x ∈ R,

t > 0.

Lược đồ số kiểu van Leer cho hệ (3.1) là
Ujn+1 = Ujn −

∆t
n+1/2
n+1/2
F URie (0−; Uj+1/2,− , Uj+1/2,+ )
∆x
n+1/2

n+1/2

− F URie (0+; Uj−1/2,− , Uj−1/2,+ )
13

,

(3.46)


trong đó
∆t
1
max{|λk (Ujn )| : j ∈ Z, k = 1, 2, 3} ≤ ,
∆x
2
∆t
n+1/2
n
n
n
F (Uj+1/2,−
) − F (Uj−1/2,+
) ,
Uj+1/2,− = Uj+1/2,−
−
2∆x
∆t
n+1/2
n
n
n
Uj+1/2,+ = Uj+1/2,+
−
F (Uj+3/2,−
) − F (Uj+1/2,+

) ,
2∆x
và

1
n
Uj+1/2,−
= Ujn + Sjn ,
2
1 n
n
n
Uj+1/2,+
= Uj+1
− Sj+1
,
2

trong đó các hệ số Sjn = (snj,1 , snj,2 , snj,3 ) được định bởi
n
Sjn = (Uj+1
− Ujn )Φ(θjn ),
n
Ujn − Uj−1
n
θj = n
,
Uj+1 − Ujn

|θ| + θ

,
1 + |θ|
= 0.

Φ(θ) =
snj,3

hàm hạn chế van Leer,

14


Chương 4

Mô hình dòng chảy hai pha
Mô hình dòng chảy hai pha trong trường hợp đẳng entropy gồm 5
phương trình
∂t (αρ) + ∂x (αρu) = 0,
∂t (αρu) + ∂x α(ρu2 + p) = p∂x α,
∂t (βθ) + ∂x (βθv) = 0,

(4.1)

∂t (βθv) + ∂x β(θv 2 + q) = −p∂x α,
x ∈ R,

∂t θ + ∂x (θv) = 0,

t > 0,

trong đó α(x, t), ρ(x, t), u(x, t), p(x, t) kí hiệu cho tỉ số thể tích, mật độ,
vận tốc và áp suất dòng lưu chất của Pha I ; và β(x, t), θ(x, t), v(x, t), q(x, t)
kí hiệu cho tỉ số thể tích, mật độ, vận tốc và áp suất dòng lưu chất của
Pha II. Các tỉ số thể tích phải thỏa mãn phương trình
α + β = 1.

4.1
4.1.1

Bài toán Riemann
Sóng cơ bản

Giả sử lưu chất của mỗi pha là đẳng entropy và lí tưởng, và có
phương trình trạng thái lần lượt là
p = p(ρ) = κργ ,
δ

q = q(θ) = ιθ ,

κ > 0,
ι > 0,

15

γ > 1,
δ > 1.


Hệ (4.1) được viết lại dưới dạng ma trận
x ∈ R,

∂t U + A(U)∂x U = 0,

t > 0,

trong đó
 
U

U = V ,
α

ρ
,
u

U=

V =

và


u

 p (ρ)
 ρ

A(U) =  0


 0
0

ρ
u
0
0
0

0
0
v
q (θ)
θ

0

0
0
θ
v
0

θ
.
v

ρ(u−v) 
α

0
0
p−q
βθ




.



v

Ma trận A(U) có năm giá trị riêng thực
λ1 = u −

p (ρ),

λ2 = u +

λ4 = v +

q (θ),

λ5 = v.

p (ρ),

λ3 = v −

q (θ),

Bốn trường đặc trưng ứng với λ1 , λ2 , λ3 , λ4 có tính phi tuyến thực
sự. Trường đặc trưng ứng với λ5 có tính suy biến tuyến tính. λ5 có thể
trùng với λ1 hoặc λ2 trên các mặt âm thanh
C + := {u − v = c},
C − := {u − v = −c},
trong đó
c :=

p (ρ).

Hệ (4.1) có tính hyperbolic thực sự trên các miền
G1 := {u − v > c},
G2 := {|u − v| < c},
G3 := {u − v < −c}.

16


Các đường cong sóng cơ bản ứng với các trường phi tuyến thực sự
đi qua điểm U0 = (U0 , V0 , α0 ) := (ρ0 , u0 , θ0 , v0 , α0 ) là
W1 (U0 ) := R1 (U0 ) ∪ S1 (U0 ) = {U(ρ, u, θ0 , v0 , α0 ) :
B
W2B (U0 ) := RB
2 (U0 ) ∪ S2 (U0 ) = U(ρ, u, θ0 , v0 , α0 ) :

W3 (U0 ) := R3 (U0 ) ∪ S3 (U0 ) = {U(ρ0 , u0 , θ, v, α0 ) :
W4B (U0 )

:=

RB
4 (U0 )

∪

S4B (U0 )

= U(ρ0 , u0 , θ, v, α0 ) :

u = w1 (U0 ; ρ)} ,
u = w2B (U0 ; ρ) ,
v = w3 (V0 ; θ)} ,
v = w4B (V0 ; θ) ,
(4.15)

trong đó

√
γ−1
2 κγ γ−1

2

2
u
−
−

ρ
ρ
, ρ ≤ ρ0 ,

0
0

γ−1
w1 (U0 ; ρ) :=

1
1 1/2


, ρ > ρ0 ,
−
 u0 − (p − p0 )
ρ0 ρ

√
γ−1

 u0 + 2 κγ ρ γ−1
2
− ρ0 2 , ρ ≤ ρ0 ,


γ−1
w2B (U0 ; ρ) :=


1
1 1/2


u
+
(p
−
p
)
−
, ρ > ρ0 ,
 0
0
ρ0 ρ

√
δ−1

2 ιδ δ−1

2

, θ ≤ θ0 ,
 v 0 − δ − 1 θ 2 − θ0
w3 (V0 ; θ) :=

1
1 1/2



, θ > θ0 ,
−
 v0 − (q − q0 )
θ0 θ

√
δ−1

2 ιδ δ−1

 v0 +
θ 2 − θ0 2 , θ ≤ θ0 ,

δ−1
w4B (V0 ; θ) :=

1
1 1/2


, θ > θ0 .
−
 v0 + (q − q0 )
θ0 θ

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

Hệ thức bước nhảy cho sóng 5−tiếp xúc là
[v − σ] = 0,
[αρ(u − σ)] = 0,
[(u − σ)2 + 2h] = 0,
[αρu(u − σ) + αp + βq] = 0.

17

(4.30)


4.1.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán Riemann

Nghiệm Riemann của từng pha
Nghiệm Riemann đối với pha II: luôn luôn là
W3 (VL , V− ) ⊕ W5 (V− , V+ ) ⊕ W4 (V+ , VR ).

(4.31)

Nghiệm Riemann đối với pha I: có thể là
W5 (UL = U− , U+ ) ⊕ W1 (U+ , U1 ) ⊕ W2 (U1 , UR ),

(4.32)

W1 (UL , U− ) ⊕ W5 (U− , U+ ) ⊕ W2 (U+ , UR ),

(4.33)

W1 (UL , U1 ) ⊕ W2 (U1 , U− ) ⊕ W5 (U− , U+ = UR ),

(4.34)

hoặc
hoặc

tương ứng với các trường hợp
λ5 < λ1 < λ2 ,
λ1 < λ5 < λ2 ,
λ1 < λ2 < λ5 .
Trường hợp 1: λ5 < λ1 < λ2
Hai trạng thái hai bên của sóng 5−tiếp xúc là
U− = (UL , V− , αL ) = (ρL , uL , θ− , v− , αL ),
U+ = (U+ , V+ , αR ) = (ρ+ , u+ , θ+ , v+ , αR ).
Hai trạng thái này phải thỏa mãn hệ thức (4.30), do đó ta có hệ phương
trình
v− = v+ =: σ,
αL ρL (uL − σ) = αR ρ+ (u+ − σ),
(uL − σ)2 + 2h(ρL ) = (u+ − σ)2 + 2h(ρ+ ),
αL ρL uL (uL − σ) + αL p(ρL ) + βL q(θ− ) = αR ρ+ u+ (u+ − σ)
+ αR p(ρ+ ) + βR q(θ+ ).
18

(4.35)

Định lý 4.1. Giả sử
W3 (VL ) ∩ W4B (VR ) = (θ∗ , v∗ )
sao cho UL ∈ G1 (v∗ ), tức là
uL − v∗ >

p (ρL ).

Khi đó, tồn tại một khoảng I chứa αL sao cho khi αR thuộc vào I thì
hệ phương trình (4.35) sẽ có một bộ nghiệm duy nhất σ, ρ+ , u+ , θ± ,
do đó ta xác định được ba trạng thái V± , U+ . Từ đó, nếu có thêm sự
giao nhau
W1 (U+ ) ∩ W2B (UR ) = U1 ,
sao cho σ1 (U+ , U1 ) ≥ v+ khi W1 (U+ , U1 ) là sóng 1−sốc, thì bài toán
Riemann của hệ (4.1) có nghiệm được viết theo từng pha lần lượt
là (4.32), (4.31), trong đó các đường cong W1 (U0 ), W2B (U0 ), W3 (V0 ),
W4B (V0 ) có phương trình được cho trong (4.15), (4.16), (4.17), (4.18),
(4.19).
Trường hợp 2: λ1 < λ5 < λ2
Hai trạng thái hai bên của sóng 5−tiếp xúc là
U− = (U− , V− , αL ) = (ρ− , u− , θ− , v− , αL ),
U+ = (U+ , V+ , αR ) = (ρ+ , u+ , θ+ , v+ , αR ).
Hai trạng thái này phải thỏa mãn hệ phương trình
v− = v+ =: σ,
αL ρ− (u− − σ) = αR ρ+ (u+ − σ),
(u− − σ)2 + 2h(ρ− ) = (u+ − σ)2 + 2h(ρ+ ),
αL ρ− u− (u− − σ) + αL p(ρ− ) + βL q(θ− ) = αR ρ+ u+ (u+ − σ)
+ αR p(ρ+ ) + βR q(θ+ ).
Định lý 4.2. Giả sử
W1 (UL ) ∩ W2B (UR ) = (ρ∗ , u∗ ),

W3 (VL ) ∩ W4B (VR ) = (θ∗ , v∗ ),
19

(4.43)


sao cho (ρ∗ , u∗ ) ∈ G2 (v∗ ), tức là
|u∗ − v∗ | <

p (ρ∗ ).

Khi đó, tồn tại một khoảng I chứa αL sao cho khi αR thuộc vào I thì
hệ phương trình (4.43) sẽ có một bộ nghiệm σ, ρ± , u± , θ± duy nhất,
do đó bốn trạng thái V± , U± được xác định. Từ đó, bài toán Riemann
của hệ (4.1) có nghiệm được viết dưới dạng tách pha là (4.33), (4.31),
trong đó các đường cong W1 (U0 ), W2B (U0 ), W3 (V0 ), W4B (V0 ) có phương
trình được cho trong (4.15), (4.16), (4.17), (4.18), (4.19).
Trường hợp 3: λ1 < λ2 < λ5
Hai trạng thái hai bên của sóng 5−tiếp xúc là
U− = (U− , V− , αL ) = (ρ− , u− , θ− , v− , αL ),
U+ = (UR , V+ , αR ) = (ρR , uR , θ+ , v+ , αR ).
Hai trạng thái này phải thỏa mãn hệ thức (4.30), tức là
v− = v+ = σ,
αL ρ− (u− − σ) = αR ρR (uR − σ),
(u− − σ)2 + 2h(ρ− ) = (uR − σ)2 + 2h(ρR ),

(4.51)

αL ρ− u− (u− − σ) + αL p(ρ− ) + βL q(θ− ) = αR ρR uR (uR − σ)
+ αR p(ρR ) + βR q(θ+ ).

Định lý 4.3. Giả sử
W3 (VL ) ∩ W4B (VR ) = (θ∗ , v∗ )
sao cho UR ∈ G3 (v∗ ), tức là
uR − v∗ < − p (ρR ).
Khi đó, tồn tại một khoảng I chứa αR sao cho khi αL thuộc vào I thì
hệ phương trình (4.51) sẽ có một bộ nghiệm duy nhất σ, ρ− , u− , θ± ,
do đó ta xác định được ba trạng thái trung gian V± , U− . Từ đó, nếu có
sự giao nhau
W1 (UL ) ∩ W2B (U− ) = U1
20


sao cho σ2 (U1 , U− ) ≤ v− khi W2 (U1 , U− ) là sóng 2−sốc, thì bài toán
Riemann của hệ (4.1) có nghiệm được viết dưới dạng tách pha là (4.34),
(4.31), trong đó các đường cong W1 (U0 ), W2B (U0 ), W3 (V0 ), W4B (V0 ) có
phương trình được cho trong (4.15), (4.16), (4.17), (4.18), (4.19).

4.2

Xây dựng lược đồ số kiểu Godunov

Đặt



ρ
ρu

U := 
 θ ,

θv


ρu
ρu2 + p

F (U) := 
 θv  ,
θv 2 + q





H(U) :=



ρ(v−u)
α
 ρu(v−u)

 α 

.



0

(4.52)



q−p
β

Khi đó, hệ (4.1) được viết dưới dạng
∂t U + ∂x F (U) = H(U)∂x α,
∂t α + v∂x α = 0,

t > 0,

(4.53)

x ∈ R.

Lược đồ số kiểu Godunov để xấp xỉ nghiệm yếu cho bài toán Cauchy
của hệ (4.1) là
∆t
∆t
n
n
n
n
− Fj−1/2,+
− αj−1/2,+
+
,
H(Unj ) αj+1/2,−

Fj+1/2,−
∆x
∆x
∆t
n
n
(vjn )+ (αjn − αj−1
) + (vjn )− (αj+1
− αjn ) ,
αjn+1 = αjn −
∆x
(4.62)
trong đó
Un+1
= Unj −
j

n
n
Fj+1/2,−
:= F URie 0−; Unj , αjn , Unj+1 , αj+1

,

n
n
Fj−1/2,+
:= F URie 0+; Unj−1 , αj−1
, Unj , αjn
n

n
αj+1/2,−
:= αRie 0−; Unj , αjn , Unj+1 , αj+1
,
n
n
n
n
n
αj−1/2,+ := αRie 0+; Uj−1 , αj−1 , Uj , αj ,
(vjn )+ = max{vjn , 0}, (vjn )− = min{vjn , 0},

,

x
; UL , αL , UR , αR ký hiệu nghiệm Riemann của hệ
t
(4.53) ứng với dữ liệu Riemann
UL , αL , UR , αR . Để cho các
và URie , αRie

21


sóng thu được từ việc giải các bài toán Riemann địa phương tại các
điểm xj−1/2 và xj+1/2 không ảnh hưởng đến nhau, ta giả thiết điều
kiện ổn định C.F.L sau đây được thỏa mãn
∆t
1
max{|λk (Unj )| : j ∈ Z, k = 1, 2, 3, 4, 5} ≤ .

∆x
2
Lược đồ số kiểu Godunov (4.62) có thể chụp được sóng tĩnh một
cách chính xác, tức là nó có tính cân bằng.

22


Kết luận
Trong luận án này, chúng tôi đã trình bày các kết quả thu được khi
nghiên cứu về nghiệm của một số hệ các định luật cân bằng dạng phi
bảo toàn (2.1), (2.2), (3.1), (4.1). Các kết quả này là mới và đã được
đăng trong 7 bài báo khoa học (P1)-(P7).
Đối với mô hình dòng lưu chất chảy trong ống có tiết diện biến
thiên ở Chương 2, chúng tôi đã xây dựng các lược đồ số kiểu Godunov
và kiểu van Leer (2.42), (2.78), (2.52). Để hoàn thiện các lược đồ số
này, chúng tôi đã thiết lập các thuật toán xác định các trạng thái trung
gian trong từng cấu trúc nghiệm Riemann. Các thuật toán này chúng
tôi xây dựng dựa sự giao nhau giữa các đường cong kết hợp sóng và
đường cong sóng cơ bản.
Đối với hệ phương trình nước nông (3.1) ở Chương 3, bằng cách
khảo sát dấu của đạo hàm, chúng tôi đạt được tính đơn điệu của các
đường cong kết hợp sóng được nêu trong các Bổ đề 3.4, 3.5, 3.6, 3.7,
từ đó dẫn đến miền tồn tại duy nhất nghiệm Riemann được nêu trong
hai Định lý 3.1, 3.2. Sau đó, các kết quả đạt được về bài toán Riemann
cho hệ (3.1) được chúng tôi tích hợp để xây dựng lược đồ số kiểu van
Leer (2.52).
Đối với mô hình dòng chảy hai pha (4.1) ở Chương 4, để nghiên
cứu nghiệm Riemann, chúng tôi tiếp cận bằng phương pháp tách pha.
Với cách tiếp cận này, chúng tôi đạt được ba cấu trúc nghiệm tương

ứng với từng vị trí của sóng 5−tiếp xúc. Trong mỗi cấu trúc nghiệm
như vậy, hai trạng thái quan trọng nằm hai bên của sóng 5−tiếp xúc
được xác định bằng một hệ phương trình phi tuyến. Bằng cách áp dụng
Định lý hàm ẩn, chúng tôi đạt được các kết quả về sự tồn tại nghiệm
Riemann như đã nêu trong ba Định lý 4.1, 4.2, 4.3. Các kết quả này
được chúng tôi tích hợp để xây dựng lược đồ số kiểu Godunov (4.62).

23