Giáo án ôn thi TN 12-2009

Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
PHẦN I: KẾ HOẠCH ÔN THI TN
Phân phối chương trình
STT Nội dung Tiết
1
Chuyên đề 1: Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên
quan (6 tiết)
- Hàm số y=ax
3
+bx
2
+cx+d
)0(
≠
a
- Hàm số y=ax
4
+bx
2
+c
)0(
≠
a
- Hàm số
)0,(c bcad
dcx
bax
y
≠≠
+
+

=
1-2
3-4
5-6
3 Chuyên đề 2: Hình học không gian (3 tiết) 7-9
4
Chuyên đề 3: Phương pháp tọa độ trong không gian (6 tiết)
- Phương trình mặt phẳng
- Phương trình đường thẳng trong không gian
- Một số bài toán tổng hợp
10-11
12-13
14-15
2 Chuyên đề 4: Số phức (3 tiết) 16-18
Nhóm Toán khối 12
Tổ Toán lí – KTCN
PHẦN II. NỘI DUNG TÀI LIỆU
CHUYÊN ĐỀ I
KHẢO SÁT HÁM SỐ, VẼ ĐỒ THỊ VÀ CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
(6 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
Biết và nắm vững sơ đồ khảo sát vẽ đồ thị hàm số
-TXĐ
-Xét chiều biến thiên
-Cực trị
-Giới hạn và tiệm cận (nếu có)
-Lập bảng biến thiên
NguyÔn Hïng Cêng
1

Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
-Đồ thị
Giải được một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thường gặp
2. Kỹ năng
Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số
( )
( )
3 2
4 2
, 0
, 0
y ax bx cx d a
y ax bx c a
= + + + ≠
= + + ≠
( )
, 0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
Biết cách dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình
Biết viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số
II. PHƯƠNG TIỆN HỖ TRỢ
Tài liệu tham khảo: SGK, SGV, SBT, đề thi TN THPT một số năm gần đây
III. CÁCH THỨC TIẾN HÀNH
1.GV đưa ra hệ thống các ví dụ ôn lại kiến thức cơ bản
2. Làm chi tiết một bài tập

3. HS vận dụng, GV kiểm tra, chữa và hướng dẫn HS sửa lỗi
4. Các dạng bài tập giao cho HS làm ở nhà
IV. NỘI DUNG
A. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1.Tập xác định:
Tìm tập xác định của hàm số.
2.Sự biến thiên
- Xét chiều biến thiên của hàm số:
- Tính đạo hàm y’
- Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ = 0 hoặc không xác định;
- Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (Nếu có).
- Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).
3. Đồ thị
Căn cứ vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
NguyÔn Hïng Cêng
2
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
B. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Giả sử (C
1
) là đồ thị của hàm số y = f(x) và (C
2
) là đồ thị hàm số y = g(x). Số nghiệm của
phương trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm của (C
1
) và (C
2

)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M
0
(x
0
;f(x
0
))
B1. Tính y’ = f’(x), suy ra f’(x
0
)
B2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
;f(x
0
)) là
0 0 0
'( )( )y f x x x y= − +
với (
( )
0 0
y f x=
)
C. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
I. Khảo sát hàm số bậc ba
( )
3 2
, 0y ax bx cx d a= + + + ≠

1. Ôn lại công thức tính đạo hàm: y' = (u ± v)' = u' ± v'
y' = (k.u)' = k. u'
y' = (x
n
)' = n.x
n - 1
Ví dụ: Tính đạo hàm:
1. y = 3x
3
- 6x
2
+ 9x + 5
Giải: y' = (3x
3
)' - (6x
2
)' + (9x)' +(5)' = 3(x
3
)' - 6(x
2
)' + 9(x)' +(5)' = 9x
2
- 12x + 9
2. y = - x
3
+ 4x
2
- 3x + 1
Giải: y' = (- x
3

+ 4x
2
- 3x + 1)' = (- x
3
)' + (4x
2
)' - (3x)' + (1)' = - (x
3
)' + 4(x
2
)'- 3(x)' + (1)'
= - 3x
2
+ 8 x - 3.
Bài tập đề nghị: Tính đạo hàm: 1) y = x
3
+ 3x
2
- 6x + 9
2) y = - 2x
3
+ 6x
2
- 8x +1
2. Ôn tập xét dấu để xát dấu đạo hàm là tam thức bậc hai dạng: f(x) = ax
2
+ bx + c
Thực hiện theo các bước:
Bước 1. Xác định dấu của hệ số a.
Bước 2. Tính

∆
:
- Nếu
∆
< 0 a > 0 ta kết luận f(x) > 0 với
x
∀
∈ ¡
a < 0 ta kết luận f(x) < 0 với
x
∀
∈ ¡
- Nếu
∆
= 0 a > 0 ta kết luận f(x) > 0 với
x
∀ ≠
2
b
a
−
a < 0 ta kết luận f(x) < 0 với
x
∀ ≠
2
b
a
−
- Nếu
∆

> 0 tìm 2 nghiệm là x
1
; x
2
. Biểu diễn hai nghiệm trên trục số theo thứ tự từ nhỏ
đến lớn. Xét dấu của f(x) theo phương pháp khoảng như sau:

NguyÔn Hïng Cêng
3
x
1
x
2
cïng dÊu a cïng dÊu a
tr¸i dÊu a
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
Ví dụ: Xét dấu các tam thức sau:
1) f(x) = x
2
+ x + 1
+) Hệ số a = 1 >0.
+) Tính
∆
= 1 - 4.1.1 = - 3 < 0 . Kết luận f(x) > 0 với
x
∀
∈ ¡
2) f(x) = - x
2
+2x-1

+) Hệ số a = - 1 < 0
+) Tính
∆
= 4 - 4.(-1).(-1) = 0. Kết luận f(x) < 0 với
x
∀ ≠
1.
3) f(x)= x
2
- 5x +6
+) Hệ số a = 1> 0
+) f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
= 2 và x
2
= 3
Biểu diễn 2 nghiệm trên trục số
+) Kết luận: f(x) > 0
( ;2) (3; )x⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
f(x) < 0
(2;3)x⇔ ∈
Lưu ý: Dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình và hướng dẫn cách
đọc kết quả.
3. Dạng đồ thị của hàm số bậc 3
0a
>
0a
<
Phương trình
y’ = 0

có hai nghiệm
phân biệt
Phương trình
y’ = 0
có nghiệm kép
Phương trình
y’ = 0
vô nghiệm
NguyÔn Hïng Cêng
4
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
4. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
6 9y x x x= − +
(1)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b.Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
6 9x x x m− + =
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)
Bài giải:
a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
1.TXĐ: D = R
2.Sự biến thiên
a.Chiều biến thiên
2
2
' 3 12 9
1

' 0 3 12 9 0
3
y x x
x
y x x
x
= − +
=

= ⇔ − + = ⇔

=

Trên khoảng
( )
;1−∞
và
( )
3;+∞
,
' 0y >
nên hàm số đồng biến
Trên khoảng
( )
1;3
,
' 0y <
nên hàm số nghịch biến
b.Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y

CĐ
= y(1)= 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, y
CT
= y(3)= 0
c.Giới hạn
( )
( )
3 2
3 2
lim lim 6 9
lim lim 6 9
x x
x x
y x x x
y x x x
→−∞ →−∞
→+∞ →+∞
= − + = −∞
= − + = +∞
d.Bảng biến thiên
NguyÔn Hïng Cêng
5
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
Đồ thị
Giao với trục Oy tại điểm (0;0)
Giao với trục Ox tại điểm (0;0), (3;0)

b. Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2

6 9x x x m− + =
Ta có:
3 2
6 9x x x m− + =
(*)
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng
y m=
. Dựa vào đồ thị hàm số (1) ta có:
Nếu
4
0
m
m
>


<

thì phương trình (*) có một nghiệm
Nếu
4
0
m
m
=


=

thì phương trình (*) có hai nghiệm

Nếu
0 4m< <
thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)
Ta có:
( )
2
' 3 12 9, ' 2 3y x x y= − + = −
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:
( )
3 2 2
3 8
y x
y x
= − − +
⇔ = − +
Ví dụ 2: Cho hàm số y=-x
3
+3x-2 (2)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2)
b. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại của hàm số.
c. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x
3
-3x+2+m=0
Giải:
1.Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
a. Chiều biến thiên
y
′

= -3x
2
+3 = -3(x
2
-1)
= −

′
= ⇔

=

1
0
1
x
y
x
NguyÔn Hïng Cêng
6
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
Trên khoảng
( 1;1)−
, y’>0 nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng
( ; 1)−∞ −
và
(1; )+∞
, y’<0 nên hàm số nghịch biến
b.Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x=1 => y
CĐ
= 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 => y
CT
= -4
c. Giới hạn
3
3
( 3 2)
lim ( 3 2)
x
x
Lim x x
x x
→−∞
→+∞
− + − = +∞
− + − = −∞
d. Lập bảng biến thiên.
X
−∞
-1 1 +
∞
y
/
+ 0 - 0 +
Y
+
∞

0

-4 -
∞
1. Đồ thị
Giao với Ox tại A(1;0) và B(-2;0)
Giao với Oy tại C(0;-2)
NguyÔn Hïng Cêng
7
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
b. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại
Điểm cực đại (1;0)
PTTT có dạng: y=y’(x
0
)(x-x
0
) + y
0
Ta có: y’(1) = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là y=0
c. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x
3
-3x+2+m=0
Ta có: x
3
-3x+2+m=0  -x
3
+3x-2 = m (*)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y=m
• -4<m<0 Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

•
4
0
m
m
= −


=

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
•
0
4
m
m
>


< −

Phương trình (*) có 1 nghiệm
5. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho hàm số
3 2
3y x x= − +
(1)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)
NguyÔn Hïng Cêng
8

Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
b.Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
3 0x x m− + =
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1;2)
Bài tập 2: Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
(2)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (2)
b.Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (2) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
2 3 1 0x x m+ − + =
c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 0
Bài tập 3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
3 2
3 2
3 2
3
1
.
3
1
. 2 4
3
. 3 5 1
. 3
a y x x x
b y x x x
c y x x x

d y x x
= − + −
= − +
= − + +
= − −
Bài tập 4: Cho hàm số
3
3 1y x x= − +
với m là tham số, có đồ thị là (C)
a.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b.Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k
II. Hàm số
4 2
( 0)y ax bx c a= + + ≠
1. Ôn lại kiến thức đạo hàm:
y’=(u±v)’=u’±v’
y’= (ku)’= k.(u)’, klà hằng số
y’= (x
n
)’ = n.x
n-1
VD : Tính đạo hàm của hàm số
1) y=x
4
- 4x
2
+5

y’ =

(x
4
- 4x
2
+5)’= (x
4
)’-(4x
2
)’+(5)’
= (x
4
)’- 4(x
2
)’+(5)’= 4x
3
- 4.2x+0 = 4x
3
- 8x
2) y=- x
4
+ 2x
2
- 10
y’=(- x
4
+ 2x
2
- 10)’ =(- x
4
)’+ 2(x

2
)’- (10)’= -4x
3
+ 4x
* Bài tập tương tự cho học sinh tự làm
1) y=-2x
4
+ 3x
2
-7
2) y=3x
4
+ 2x
2
+3
2. Xét dấu
1) f(x) = 4x
3
-8x = 4x(x
2
-2)
f(x) = 0 <=>
2
0
2 0
x
x
=



− =

=>
0
2
2
x
x
x
=


=


= −

Biểu diễn nghiệm trên trục số : + +
NguyÔn Hïng Cêng
9
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
_
2−
0 _
2
Xét dấu theo phương pháp khoảng (khoảng ngoài cùng cùng dấu với a)
f(x)>0 <=>
( 2;0) ( 2; )x∈ − ∪ +∞
f(x)<0 <=>
( ; 2) (0; 2)x∈ −∞ − ∪

2) f(x) = -8x
3
+2x = 2x(-4x
2
+1)
f(x) = 0 <=>
2
0
4 1 0
x
x
=


− + =

=>
0
1
2
1
2
x
x
x

 =


=



= −


Biểu diễn nghiệm trên trục số : + +
2−
_ 0
2
_
Xét dấu theo phương pháp khoảng (khoảng ngoài cùng cùng dấu với a)
f(x)>0 <=>
1 1
( ; ) (0; )
2 2
x∈ −∞ − ∪
f(x)<0 <=>
1 1
( ;0) ( ; )
2 2
x∈ − ∪ +∞
* Bài tập tương tự cho học sinh tự làm 1) y=-4x
3
+ 4x. 2) y=-4x
3
- 2x
3. Dạng đồ thị của hàm số
4 2
( 0)y ax bx c a= + + ≠
0a

>
0a
<
Phương trình
y’ = 0
có ba nghiệm
phân biệt
Phương trình
y’ = 0
có một nghiệm
4. Bài tập vận dụng
NguyÔn Hïng Cêng
10
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
Ví dụ 1: Cho hàm số y =
4 2
-x + 2x + 3 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô (C)
2. Tìm m để Phương trình
4 2
- 2 0 x x m+ =
có 4 nghiệm phân biệt.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực tiểu của (C).
Giải
1.Tập xác định: D =
¡
2. Sự biến thiên:
+)Chiều biến thiên: y’ = - 4x
3
+4x = -4x(x

2
-1)
y’ = 0 
0
1
1
x
x
x
=


= −


=

y
’
> 0 với mọi
( ; 1) (0;1)x∈ −∞ − ∪
,
suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-  ; -1) và ( 0 ; 1)
y
’
< 0 với mọi
( 1;0) (1; )x∈ − ∪ +∞
,
suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( - 1 ; 0) và ( 1 ; +)
+) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x = - 1 và x =1; y
CĐ
= 4
Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = 0 ; y
CT
= 3
+) Giới hạn:

- ¥®
¥
x
lim y = -

+ ¥®
¥
x
lim y = -
+) Bảng biến thiên:
x -  -1 0 1 +
y
’
+ 0 - 0 + 0 -
y
4 4

-  3 - 
3. Đồ thị (C ) :
Cắt Oy tại điểm (0; 3), cắt Ox tại 2 điểm ( -
3
; 0) và (

3
; 0)
NguyÔn Hïng Cêng
11
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
Nhận Oy là trục đối xứng
0
1
1
-x^4 +2*x^2+3
3
4
2.Phương trình đã cho tương đương với phương trình
4 2
-2 +m =0 x x

4 2
-x + 2x + 3 = m + 3
. Do đó, số nghiệm của phương trình đã
cho bằng số điểm chung của đồ thị (C) với đường thẳng y = m +3
Căn cứ vào đồ thị để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì
3 < m + 3 < 4 vậy 0 < m < 1
3. Theo kết quả của ý a thì điểm cực tiểu (0;3)
Ta có
'
(0) 0f =
.suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực tiểu là:
y=3
VD 2: Cho hàm số
4 2

8 10y x x= − +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại của đồ thị (C)
c) Dựa vào đồ thị (C) hãy biên luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

4 2
8 10 0 ( ).... *.x x m− + − =

Giải:
1.Tập xác định: D =
¡
2. Sự biến thiên:
a. Chiều biến thiên: y’ = 4x
3
-16x =
2
4 ( 4)x x −
y’ = 0 
0
2
2
x
x
x
=


= −



=

y
’
> 0 với mọi
( 2;0) (2; )x∈ − ∪ +∞
,
suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -2 ; 0) và ( 2 ; +)
y
’
< 0 với mọi
( ; 2) (0;2)x∈ −∞ − ∪
,
suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( -; -2) và ( 0 ; 2).
b. Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 ,y
CĐ
= 10
Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x =
2
±
; y
CT
= -6
c. Giới hạn:
NguyÔn Hïng Cêng
12
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp

- ¥®

¥
x
lim y = +
;
+ ¥®
¥
x
lim y = +
Hàm số không có tiệm cận
+) Bảng biến thiên:
x -  -2 0 2 +
y
’
- 0 + 0 - 0 +
y
+ 10 +

-6 -6
3. Đồ thị (C ) :
Đồ thị (C) cắt trục Oy tại điểm (0; 10),
cắt trục Ox tại 4 điểm
( 4 6;0)
± −
) và
( 4 6;0)
± +
(Lưu ý: Tuỳ từng đối tượng HS giáo viên lưu ý thêm về cách tìm giao điểm của đồ thị với trục
hoành)
Đồ thị (C) nhận trục Oy là trục đối xứng

2. Theo kết quả của ý a thì điểm cực đại (0;10)
Ta có
'
(0) 0f =
.suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại là:
y=10
3. Ta có (*)
4 2
8 10x x m⇔ − + =
Do đo, sô nghiệm của phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị (C) và đường
thẳng y = m. Nên dựa vào đồ thị (C), ta có:
+) Nếu m < -6 thì phương trình (*) vô nghiệm.
+) Nêu m =-6 thì phương trình (*) có hai nghiệm kép.
+) Nếu -6 < m < 10 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biết
+) Nếu m = 10 thì phương trình (*) có 3 nghiệm (1 kép và 2 đơn)
+) Nếu m > 10 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
NguyÔn Hïng Cêng
13
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
5. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
4 2
2 1 0y x x m= − + − =
Bài 2:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) y = f(x) = x
4
– 2x
2
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó đường thẳng y = 8 .
c) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình: x
4
– 2x
2
– m = 0.
Bài 3: Cho hàm số y =
1
2
x
4
– 3x
2
+
3
2
có đồ thị là (C).
a/ Khảo sát hàm số trên.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ bằng 1 .
c/ Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

4 2
1
3 0
2

x x m− − =
Bài 4: Cho hàm số y = –x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1 có đồ thị là (C
m
).
a/ Khảo sát hàm số khi m = 5. và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 0.
Bài 5: Cho hàm số y = mx
4
+(m
2
-9)x
2
+10 (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
2) Viết Phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với đường thẳng y =19.
III. HÀM SỐ PHÂN THỨC
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
1. Ôn lại kiến thức đạo hàm:

a)Nếu dạy học sinh tính y’ theo công thức :
'
2
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
Giáo viên hướng dẫn học sinh xác định hệ số a,b,c,d
VD : 1)
3
2 1
x
y
x
−
=
+
a= 1, b =-3, c = 2 , d = 1=>
'
2
1.1 ( 3).2
(2 1)
y
x
− −
=
+

=
'
2
7
(2 1)
y
x
=
+
2)
1 2
2
x
y
x
−
=
+
a= -2, b =1, c = 1 , d = 2=>
'
2
( 2).2 1.1
( 2)
y
x
− −
=
+
=
'

2
5
( 2)
y
x
−
=
+
Học sinh tự làm xác định hệ số a,b,c,d
NguyÔn Hïng Cêng
14
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
1)
3 2
1
x
y
x
−
=
−
2)
4 2
3
x
y
x
+
=
+

b) Nếu dạy học sinh tính y’ theo công thức :
' '
( )
u
y
v
=
thì giáo viên yêu cầu học sinh ôn lại
công thức
' '
( )
u
y
v
=
' '
2
u v v u
v
−
=
VD :
1)
3
2 1
x
y
x
−

=
+
=>
' '
' '
2
3 ( 3) (2 1) (2 1) ( 3)
( )
2 1 (2 1)
x x x x x
y
x x
− − + − + −
= =
+ +

2 2 2
1(2 1) 2( 3) 2 1 2 6 7
(2 1) (2 1) (2 1)
x x x x
x x x
+ − − + − +
= = =
+ + +
2)
1 2
2
x
y
x

−
=
+
=>
' '
' '
2
1 2 (1 2 ) ( 2) ( 2) (1 2 )
( )
2 ( 2)
x x x x x
y
x x
− − + − + −
= =
+ +


2 2 2
2( 2) 1(1 2 ) 2 4 1 2 5
( 2) ( 2) ( 2)
x x x x
x x x
− + − − − − − + −
= = =
+ + +
2. Tiệm cận
Hàm phân thức
....( 0, 0)
ax b

y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
+) Tập xác định:
\
d
D R
c
 
= −
 
 
+) Đạo hàm :
'
2
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
(Lưu ý : dấu y
’
phụ thuộc vào dấu của ad - bc)
+) Hàm số không có cực trị
+) Giới hạn, tiệm cận:

lim lim
x x
a
y y
c
→−∞ →+∞
= =
; suy ra y = a/c là tiệm cận ngang
Nếu y
’
>0 trên D:
( ) ( )
lim ; lim
d d
x x
c c
y y
+ −
→ − → −
= −∞ = +∞
; suy ra x = -d/c là tiệm cận đứng
Nếu y
’
<0 trên D:
( ) ( )
lim ; lim
d d
x x
c c
y y

+ −
→ − → −
= +∞ = −∞
; suy ra x = -d/c là tiệm cận đứng
+) Bảng biến thiên:
TH1: y
’
> 0 trên D
NguyÔn Hïng Cêng
15
Trêng THPT Phï Lu Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp
x
−∞

d
c
−

+∞
y
’
+ +
y
+∞
a/c
a/c
−∞
TH2: y
’
< 0 trên D

x
−∞

d
c
−

+∞
y
’
- -
y a/c
+∞


−∞
a/c
3. Dạng đồ thị của hàm số
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
4. Bài tập vận dụng
NguyÔn Hïng Cêng
16