LOI GIAI bài tập PHẦN PHƯƠNG TRINH VO TY

BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
(Lê Văn Qú Biên soạn và giới thiệu)
-----------------------

Bài 1. Giải các phương trình sau
4x
a) x  3 
4 x
x 3
c) 2 x 2  9  (x  5)

x 3
x 3

b)
d)

x2
2x  3

 2x  3  x  1

x 4  x 4

x  6  x 2  16
Hướng dẫn giải

2

a) ĐK: x ≥ 0. PT  x  3  4x  4 x (x  3)  4 x (x  3)  5x  3
 16x(x  3)  (5x  3)2 (vì cả hai vế không âm)

b) Đặt ĐK, quy đồng và đưa về tích
c) Đặt ĐK, quy đồng và đưa về tích

d) ĐK: x  4 ; x  4. Đặt t  x  4  x  4 . ĐS: x = 5
Bài 2. Giải phương trình sau
a)

x  1  3 x  2  1  3 x 2  3x  2

3

3
c) x 2  x 4  x 2  2x  1

b) 4( x  1  3)x 2  (13 x  1  8)x  4 x  1  3  0
d) (3x 2  11) x 2  1  3 3x 3  8x 2  11 3x  4
Hướng dẫn giải :

a) PT  ( 3 x  1  3 x 2  3x  2)  ( 3 x  2  1)  0


3

x  1(1  3 x  2)  ( 3 x  2  1)  0  (1  3 x  2)( 3 x  1  1)  0

3 x  2  1
 3

 x 1 1


b) ĐK : x 1:

x  1

x  0

4x 2  12x 2  13x x  1  8x  4 x  1  3  0

 (1  4 x  1  4(x  1))  x x  1(4x  13  12 x  1)  0
 (1  2 x  1)2  x x  1(2 x  1  3)2  0  x 
c) ĐK: |x|  1: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của PT
Xét x ≠ 0 , chia hai vế PT cho x được: x  3 x 
Đặt t  3 x 

5
4

1
1
1
1
2  x   3x  2  0
x
x
x
x

1
1 5
. ĐS: x 

x
2

d) PT  (3x 2  11) x 2  1  3x (3x 2  11)  8x 2  4
 (3x 2  11)( 3x  x 2  1)  4(2x 2  1)
Nhận thấy x  
Xét x  

1
2

1
2

khi đó

không là nghiệm của PT

3x  x 2  1  0 . Nhân hai vế PT cho

(3x 2  11)(2x 2  1)  4(2x 2  1)( 3x  x 2  1)

 (2x 2  1)[4( 3x  x 2  1)  (3x 2  11)]  0
n

y: G THPT Bình Sơn, uảng Ngãi

3x  x 2  1 ta được:

2x 2  1  0
(1)
 
4( 3x  x 2  1)  (3x 2  11)  0 (2)

1
1
(1)  x 
(do x  
)
2
2

(2)  2(x  3)2  ( x 2  1  2)2  0  x  3
Bài 3. Giải các phương trình sau
a)

x 2  15  2  3x  x 2  8

b)

2x  1(3x 2  x  1)  3x 3  x  1  0

c)

x  x 9  x 1  x  4

d)

x  1  1  4x 2  3x

a) Ta có:

Hướng dẫn giải
2
x 2  15  x 2  8  3x  2  0  x 
3

PT  ( x 2  8  3)  ( x 2  15  4)  (3x  3)  0


x 1
x 1

 3  0
 3(x  1)  0  (x  1) 
 2

x 2  15  4
x2  8  3
x 2  15  4
 x 83

x 1
x 1
2
ới x  thì x + 1 > 0 và x 2  15  4  x 2  8  3 

3
x2  8  3

x 2  15  4
x 1
x 1
Do vậy

 3  0 . ậy x = 1 là nghiệm duy nhất
x2  8  3
x 2  15  4
1
b) ĐK x  . PT  2x  1  3x 2 2x  1  2x  1  x 2x  1  3x 3  x  0
2
 2x  1( 2x  1  3x 2  1)  x( 2x  1  3x 2  1)  0



x2  1



x2  1

 ( 2x  1  x )( 2x  1  3x 2  1)  0

c) ĐK x  0.

2x  1  x  0 (dạng cơ bản)

PT  x  2 x x  9  x  9  x  1  2 x  1 x  4  x  4


x 2  9x  2  x 2  5x  4

 x 2  9x  4 x 2  9x  4  x 2  5x  4  x 2  9x  x  x  0
d) ĐK : x  0
2x  1
0
PT  4x 2  1  ( 3x  x  1)  0  (4x 2  1) 
3x  x  1


1
 (2x  1)  2x  1 
0
3x  x  1 

1
 x  (vì biểu thức trong ngoặc lớn > 0 với x  0)
2
Bài 4. Giải các phương trình sau
a) 2. 3 3x  2  3 6  5x  8

b) 2 x  4  13x  3 x  4( 16x  64  1)  92

c) 2(2x  1) x 2  1  5x 2  4x  2

d) x x 2  2  1  (x 2  1)2
Hướng dẫn giải
3
6
t 2

a) ĐK: x  . Đặt t  3 3x  2  x 
,
3
5
n

y: G THPT Bình Sơn, uảng Ngãi


t3  2
PT trở thành: 2.t  3 6  5
 8  2.t  3 8  5t 3  8 
3

3 8  5t 3  8  2t (PT cơ bản)

b) 2 x  4  13x  3 x  4( 16x  64  1)  92
ĐK x  4
PT  2 x  4  13x  12 x 2  16  3 x  4  92
 2 x  4  3 x  4  13x  12 x 2  16  92
Đặt t  2 x  4  3 x  4 , t  0.
Khi đó: t 2  13x  12 x 2  16  20  13x  12 x 2  16  t 2  20
t  9
PT trở thành: t  t 2  20  92  t 2  t  72  0  
t  8(l )
ới t = 9 ta có: 2 x  4  3 x  4  9  …
c) PT  2(2x  1) x 2  1  5x 2  4x  2  2(2x  1) x 2  1  (2x  1)2  (x 2  1)

Đặt t 

2(2x  1) x 2  1 (2x  1)2

1
(x 2  1)
(x 2  1)

(2x  1)2
(2x  1) x 2  1
2

t

(x 2  1)
(x 2  1)

PT trở thành: 2t  t 2  1  t  1
ới t = 1 ta có:

(2x  1) x 2  1
 1  (2x  1) x 2  1  x 2  1
2
(x  1)

2x  1  0
2x  1  0
 x  0 .Thử lại thấy thỏa mãn

2
2
2

2  
2
2
(2
x

1)
(
x

1)

(
x

1)
(2
x

1)

x

1



d) PT  x x 2  2  1  x 4  2x 2  1
Đặt t  x x 2  2  t 2  x 4  2x 2
t  0

PT trỏa thành: t  1  t 2  1  
t  1
ới t = 0 ta có: x x 2  2  0  x  0
x  0
x 
ới t = 1 ta có: x x 2  2  1   4
2
x  2x  1  0
Bài 5. Giải các phương trình sau
a) x 3 35  x 3 (x  3 35  x 3 )  30

b)

12 

2 1

3
3
 4x 2  2  4x 2
2
x
x

Hướng dẫn giải
3
a) Đặt t  35  x 3
x 3  t 3  35
(x  t )3  3xt(x


Ta có hệ PT: 
xt(x  t )  30
xt(x  t )  30

(x  t )3  125
x  t  5


 
xt(x  t )  30
xt(x  t )  30


x  2
x  2
ới 
ta có  3
x 2
35  x 3  3
t  3


n y: G THPT Bình Sơn, uảng Ngãi

 t )  35

(x  t )3  90  35

xt(x  t )  30


x  t  5
x  2
x  3

hoặc 

xt  6
t  3
t  2



x  3
ới 
ta có
t  2

b)

12 


x  3
x 3
3
35  x 3  2



3
3
 4x 2  2  4x 2
2
x
x

3
3
3
;b  4x 2  2 thì a, b  0 và 2  12  a 2
2
x
x
x
2
2
2
2
Ta có a + b = 4x và b  a = 4x  12  (ba)(a+b) = 4x2  12  (ba)4x2 = 4x2  12
3
 b  a  1  2  1  (12  a 2 )  a 2  11
x
Mặt khác ta có: a  b  b 2  a 2  12  a  b  b 2  (b  a  11)  12
Đặt a  12 

 b 2  2b  1  0  b  1 khi đó

3
3

2

1

4
x

 1  4x 4  x 2  3  0  x 2  1  x  1
2
2
x
x
Thử lại ta thấy x  1 thỏa mãn PT
Bài 6. Giải các phương trình sau.
4x 2 

a) x 2  2(x  1) 3x  1  2 2x 2  5x  2  8x  5

b) x  2 x  1  (x  1) x  x 2  x  0

c) 3x  5  3x  1( 2x  9  4  x ) ;

d) 2 x 2  2  5 x 3  1 ĐS: x 





Hướng dẫn giải
a) ĐK x  

1
3

PT  x 2  2x  1  2(x  1) 3x  1  3x  1  (3x  3  2 2x 2  5x  2)  0
 (x  1  3x  1)2  (3x  3  2 2x 2  5x  2)  0
2



x2  x
x 2  2x  1

0
 
3x  3  2 2x 2  5x  2
 x  1  3x  1 


x2
1

0
 (x  1)2 
 (x  1  3x  1)2 3x  3  2 2x 2  5x  2 


 x = 1 vì biểu thức trong ngoặc lớn > 0)
b) Hint : ĐK x  1
u 2  v 2  1

(1)
Đặt u  x ; u  x  1; u, v  0 . Ta có:  2
2
(2)
u  2v  uv  uv  0
Thay (1) vào (2) được: v 2  1  2v  uv(v  1)  0  (v  1)(v  1  uv)  0
ới v = 1 ta có: x = 2
v  1
v  1
v  1
ới v – 1 = uv  
2
2 2  
2
2
2   4
(v  1)  u v
(v  1)  (v  1)v
v  2v  1  0(*)



Vì v  1 nên (*) VN
ậy PT có duy nhất nghiệm x = 2
Cách khác : Đưa về tích như sau: PT  x  1  2 x  1  1  (x  1) x  x 2  x  0
 ( x  1  1)2  x 2  x ( x  1  1)  0
c) ĐK: 
n

1

x 4
3
y: G THPT Bình Sơn, uảng Ngãi

5  37
2


1
 x  4 thì 2x  9  4  x  0
3
Do đó PT  (3x  5)( 2x  9  4  x )  3x  1(3x  5)
ới 



2x  9  4  x  3x  1 (do 3x + 5 0)



2x  9  3x  1  4  x  3x  1 4  x  2
x  0
 3x 2  11x  4  4  
(thỏa đk)
11
x


3

d) PT  2(x  1)  2(x 2  x  1)  5 (x  1)(x 2  x  1)
2

x 1
x 1

2

5
x2  x  1
x2  x  1

t  2
.Được PT: 2t 2  5t  2  0  
vấn đề còn lại là dễ dàng
t  1

2
Bài 7. Giải các phương trình sau.

Đặt t 

a)

x 1
;t  0
2
x x 1

x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2x  3 b)

x  1  2(x  1)  x  1  1  x  3 1  x 2

c) ( x  1  1)3  2 x  1  2  x ĐS: x = 0
d) 2 x  5  2x  1  2x 2  4x  25
Hướng dẫn giải
a) ĐK: x  2
PT 


(x  1)(x  2)  x  2  x  3  (x  1)(x  3)  0

x  2( x  1  1)  x  3( x  1  1)  0

 x 1  1
 ( x  1  1)( x  2  x  3)  0  
x 2
 x 2  x 3

b) ĐK 1  x  1.
PT 


x  1  1  x 2  2(x  1)  2 1  x 2  1  x  1  x  0

x  1(1  1  x )  2 x  1( x  1)  1  x )  1  x (1  1  x )  0

 (1  1  x )( x  1  1  x )  2 x  1( x  1)  1  x )  0

 x 1  1x

x  0
 ( x  1  1  x )(1  1  x  2 x  1)  0  

24
1  2 x  1  1  x
x   25

c) ĐK x  1. PT  ( x  1  1)3  x  1  2 x  1  1  2  ( x  1  1)3  ( x  1  1)2  2
Đặt t  x  1  1; thì t  1
PT trở thành t 3  t 2  2  0  t  1
ới t = 1 ta có: x  1  1  1  x  0
1
d) ĐK : x  
2
PT  2( x  5  3)  ( 2x  1  3)  2x 2  4x  16  0
2

x 4

2x  8

 2(x  4)(x  2)  0
x 5 3
2x  1  3


2
2

 2(x  2)   0

 (x  4) 
2x  1  3
 x 5 3


n



y: G THPT Bình Sơn, uảng Ngãi


1
thì biểu thức trong ngoặc lớn >0)
2
Bài 8. Giải các phương trình sau.
x = 4 ì với x  

x  3  3x  1  2 x  2x  2

a)

3

b)

x  1  3 x2  3 x  3 x2  x

3x 2  5x  1  x 2  2 

c)





3 x 2  x  1  x 2  3x  4

d) x  3  2x x  1  2x  x 2  4x  3
Hướng dẫn giải
a) ĐK x  0
PT 

x  3  2 x  2x  2  3x  1

 x  3  4 x  3 x  4x  2x  2  2 2x  2 3x  1  3x  1
 2 x  3 x  2x  2 3x  1  4x(x  3)  (2x  2)(3x  1)  x  1
Thử lại thấy x = 1 thỏa mãn
b) PT 

3

x  1  3 x 2  x  3 x 2  3 x  0  3 x  1(1  3 x )  3 x (1  3 x )  0

3 x  1
 (1  x )( x  1  x )  0   3
x 1
 x 1  3 x

2

2
2
c) ĐK: 3x  5x  1  0; x  2  0; x  x  1  0; x 2  3x  4  0
3

PT 


3

3





3x 2  5x  1  3 x 2  x  1  x 2  3x  4  x 2  2  0

2x  4



3x  5x  1  3 x  x  1
2

2





3x  6
x 2  2  x 2  3x  4

0



2
3



 (x  2) 
0
2
2
2
2
x

2

x

3
x

4
 3x  5x  1  3 x  x  1




 x = 2 ( vì biểu thức trong ngoặc lớn âm) ( thỏa đk)
d) ĐK x  -1





PT  ( x  3  x 2  4x  3)  (2x x  1  2x )  0  x  3(1  x  1)  2x (1  x  1)  0

 x  1  1 x  0
 (1  x  1)( x  3  2x )  0  

 x  3  2x x  1

Bài 9. Giải các phương trình sau
a) 2 x  3  9x 2  x  4
c)

2

b) x 2
2

x  x 1  x  x 1  2

a) ĐK :x -3.

2x x



1
x

3x

1





d) x  2004  x  1  1  x 


Hướng dẫn giải

 x  3  1  3x
PT  x  3  2 x  3  1  9x 2  ( x  3  1)2  (3x )2  
 x  3  1  3x

 x  3  3x  1
5  97
 
(các PT dạng cơ bản) Giải tìm được x 
;x  1
18

 x  3  3x  1

n

y: G THPT Bình Sơn, uảng Ngãi

2


b) ĐK: -1  x < 0 hoặc x  1
Chia hai vế PT cho x ta được : x
Đặt t

2 x

1
, t  0. PT trở thành: t 2
x

x

ới t = 1 ta có:

x

1
x

1

x2

x

1
x

3

1
x

2t

3

0

0 x 

1

x

1
x

t

1

t

1
x

2 x

3

0

3(l )

1 5
(thỏa đk)
2

c) ĐK: x 2  1  0; x  x 2  1  0; x  x 2  1  0 (*)
PT  x  x 2  1  2 x  x 2  1 x  x 2  1  x  x 2  1  4 (bình phương hai vế)
 2x  2  4  x  1 (thỏa đk)
d) ĐK: x  0. Đặt t  1  x  x  1  t 2 và x  (1  t 2 )2
Vì

x  1  t 2  0  1  t  1









PT trở thành (1  t 2 )2  2004  1  t 2 (1  t )2  (1  t )2 (1  t )2  2005  t 2 (1  t )2  0
(1  t ) [(1  t )  (2005  t )]  0  (1  t ) (2t  2t  2004)  0  (1  t ) (t 2  t  1002)  0
 (1 – t)2 = 0 còn PT t2 + t- 1002 = 0 vô nghiệm do t [-1;1])
 t = 1 khi đó x = 0
Bài 10. Giải các phương trình sau.
2

2

2

2

2





2

a) x 2  3  x 2  2 x  1  2 x 2  2

b) x  2 x  1  x  2 x  1 

c) 3(2  x  2)  2x  x  6 .

Hướng dẫn giải

d)

x 3
2

3x  2  2 x  1  7x  8  4 3x 2  5x  2

a) Đặt t  x 2  2 (*). PT trở thành: t 2  2  (3  t )x  1  2t  t 2  2t  3  (3  t )x  0
(t  1)(t  3)  (3  t )x  0  (t  3)(t  1  x )  0  t = 3 hoặc t = x 1
Thay từng giá trị t tìm được vào (*) ta sẽ tìm được x
b) ĐK : x  1. PT  x  1  2 x  1  1  x  1  2 x  1  1 
 ( x  1  1)2  ( x  1  1)2 

x 3

2

x 1 1

x 3
2

x 1 1 

x 3
2

x 3

(dạng cơ bản)
2
x 3
x  1  1  0  1  x  2 thì PT  2 
 x  1 (thỏa mãn)
2

* Nếu x  1  1  0  x  2 thì PT  2 x  1 
* Nếu

c) ĐK : x  2

PT  ( x  6  3 x  2)  (2x  6)  0 

8x  24

 2(x  3)  0
x 6 3 x 2
x  3


4
 1  0  
 2(x  3) 
(dễ tìm dược x)
 x  6  3 x  2  4
 x 6 3 x 2


d) ĐK: x  1.

Đặt t  3x  2  2 x  1 ĐK : t > 0

Khi đó t 2  7x  6  4 3x 2  5x  2  7x  4 3x 2  5x  2  t 2  6
t  1(l )
PT trở thành : t  t 2  6  8  t 2  t  2  0  
t  2
ới t = 2 ta có :
n

3x  2  2 x  1  2 (dạng cơ bản)
---------------------------------------

y: G THPT Bình Sơn, uảng Ngãi