Kĩ thuật liên hợp 2 nghiệm hữu tỉ

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

04. KĨ THUẬT LIÊN HỢP HAI NGHIỆM HỮU TỈ
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Lý thuyết cơ bản.
- Trong các chủ đề trên, đã đề cập đến vấn đề nâng lũy thừa rồi sử dụng Viet đảo trong các bài toán
phương trình vô tỷ chứa căn đơn giản như một căn bậc hai, hai căn bậc hai ở hai vế, … Và vấn đề
được đặt ra là trong các bài toán phức tạp hơn, nhiều căn thức thậm chí chứa cả phân thức việc
nâng lũy thừa sẽ tạo hệ số lớn dẫn đến khó có thể xử lý. Chính vì thế ta cần tư duy qua hướng liên
hợp.
- Tuy nhiên, để có thể liên hợp được thuận tiện thì ta cần sự hỗ trợ của công cụ đắc lực CASIO để
đoán nghiệm vô tỷ cũng như tìm nhân tử chung chứa nghiệm lẻ của bài toán.
- Các dạng biểu thức liên hợp:
f ( x) − g ( x)
•
.
f ( x) − g ( x) =
f ( x) + g ( x)
•

f ( x) − g ( x) =

•

3

•

-

f 2 ( x) − g ( x)

f ( x) + g ( x)

f ( x) ± 3 g ( x) =

f ( x) ± 3 g ( x) =

.

f ( x) ± g ( x)

( x) ∓ 3 f ( x) 3 g ( x) + 3 g 2 ( x)
f 3 ( x) − g ( x)
.
f 2 ( x) ∓ f ( x) 3 g ( x) + 3 g 2 ( x)
3

f

2

.

Dựa vào các căn thức của phương trình, ta lựa chọn các biểu thức liên hợp cho phù hợp.

Ví dụ 1. Giải phương trình

2 x 2 − x + 3 − 21x − 17 + x 2 − x = 0

( x ∈ ℝ) .

21x − 17 ≥ 0
17
PHÂN TÍCH CASIO. Trước hết, ta có điều kiện của bài toán là  2
⇔ x ≥ . Với bài toán
21
2 x − x + 3 ≥ 0
này, chứa hai căn thức bậc hai, việc lựa chọn giải pháp nâng lũy thừa không hẳn là sẽ không làm được
nhưng lại rất phức tạp về phần tính toán trong khi ta cũng chưa có nghiệm của nó. Chính vì thế hướng tư
duy bây giờ sẽ là tìm nghiệm của phương trình sau đó dùng phương pháp liên hợp nhân tử.
Ta
xét
hàm
số
f ( x ) = 2 x 2 − x + 3 − 21x − 17 + x 2 − x .
Sử dụng TABLE với
f ( X ) = X 2 − X + 2 X 2 − X + 3 − 21X − 17 .
X
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5

6
6.5

F(X)
0
- 0.608
0
1.3973
3.4603
6.1323
9.3824
13.191
17.547
22.441
27.866
33.818

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Start = 1 , End = 7 , Step = 0.5 . Ta có bảng giá trị như
Và đồ thị biểu diễn hàm số.

7

40.293

sau:

Như vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x = 1 hoặc x = 2 . Từ đó suy ra được nếu sử
dụng phương pháp nhân liên hợp, ta cần tìm được nhân tử ( x − 1)( x − 2 ) = x 2 − 3 x + 2 , ta thấy ngay là
không thể nhân và chia lượng liên hợp với hai căn đó ngay. Vậy thì làm thế nào để tách nhóm để tạo ra
x 2 − 3 x + 2 , ta thực hiện theo nguyên tắc sau: nếu phương trình có chứa căn g ( x ) và có hai nghiệm

α .a + b = g (α )

α , β , khi đó ta sẽ đặt ax + b = g ( x ) . Thay hai nghiệm vào đẳng thức đó ta được 
.
 β .a + b = g ( β )
Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được a, b đồng thời sẽ có được biểu thức liên hợp là

( ax + b −
•

)

g ( x ) . Và có thể áp dụng cho các căn bậc cao hơn. Vậy với bài toán trên, ta tư duy như sau:

x = 1
a + b = 2
a = 1
Với nghiệm 
, ta đặt ax + b = 2 x 2 − x + 3 nên có hệ phương trình 
⇔
x = 2
2a + b = 3
b = 1
nên ta có được nhân tử là

•

(

)

2 x2 − x + 3 − x − 1 .

x = 1
m + n = 2
m = 3
Với nghiệm 
, ta đặt mx + n = 21x − 17 nên có hệ phương trình 
⇔
x = 2
 2m + n = 5
 n = −1

(

)

nên ta có được nhân tử là 3 x − 1 − 21x − 17 .

21x − 17 ≥ 0
17
LỜI GIẢI. Điều kiện:  2
⇔x≥ .
21

2 x − x + 3 ≥ 0
Phương trình đã cho tương đương với: x 2 − 3 x + 2 +

⇔ x − 3x + 2 +
2

(

) (

)

2 x 2 − x + 3 − x − 1 + 3 x − 1 − 21x − 17 = 0

x 2 − 3x + 2
2 x2 − x + 3 + x + 1

+

9 ( x 2 − 3x + 2 )

3 x − 1 + 21x − 17

=0



1
9
⇔ ( x 2 − 3x + 2 ) 1 +

+
=0
2 x 2 − x + 3 + x + 1 3 x − 1 + 21x − 17 

 x 2 − 3x + 2 = 0
x = 1
⇔ 
⇔
1
9
1+
+
=0
x = 2

2 x 2 − x + 3 + x + 1 3 x − 1 + 21x − 17
17
1
9
Vì x ≥
nên 1 +
+
> 0.
21
2 x 2 − x + 3 + x + 1 3 x − 1 + 21x − 17
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = {1; 2} .

Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x + ( 3 x + 61) 3 x − 1 = 3 x 2 − 61

( x ∈ ℝ) .

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

PHÂN TÍCH CASIO. Tư tưởng vẫn giống như Ví dụ 1, nhưng ở ví dụ hai này mở rộng ra căn bậc ba
cùng với căn bậc hai. Với điều kiện x ≥ 0 ta sẽ tìm được hai nghiệm của phương trình là x = 0; x = 9 , do
đó ta sẽ tìm nhân tử như sau:
1

x = 0
b = 0
a =
• Với nghiệm 
, ta đặt ax + b = x nên có hệ phương trình 
⇔
3 nên ta có
x = 9
9a + b = 3
b = 0

(

)

1
1



được nhân tử là  x − x = 3 x − x  .
3
3


•

x = 0
Với nghiệm 
, ta đặt mx + n = 3 x − 1 nên có hệ phương trình
x
=
9


(

1

 n = −1
m =
⇔
3 nên ta

9m + n = 2
n = −1

)

1


 1

có được nhân tử là  x − − 3 x − 1  =  3 x − 1 − 3 3 x − 1  .
3

 3

LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ 0 .
Phương trình đã cho tương đương với 6 x + 3 ( 3 x + 61) 3 x − 1 = 9 x 2 − 183

(

)

⇔ 9 x 2 − 2 x + 2 x − 6 x + ( 3 x + 61) x − 3 − 3 3 x − 1 − ( 3 x + 61)( x − 3) − 183 = 0

(

)

(

)

⇔ 6 x 2 − 54 x + 2 x − 6 x + ( 3 x + 61) x − 3 − 3 3 x − 1 = 0
⇔ 6x ( x − 9) + 2 x
⇔ 6x ( x − 9) +
⇔ 6x ( x − 9) +

(

)

(

)

x − 3 + ( 3 x + 61) x − 3 − 3 3 x − 1 = 0

2 x ( x − 9)
x +3
2 x ( x − 9)
x +3

+

+

( 3x + 61) ( x − 3)
( x − 3)

2

3

− 9 ( x − 1) 


+ 3 ( x − 3) x − 1 + 9

3

(

3

x −1

)

=0

2

( 3x + 61) x 2 ( x − 9 )
2
2
( x − 3) + 3 ( x − 3) 3 x − 1 + 9 ( 3 x − 1 )

=0



x x ( 3 x + 61)
2 x

=0
⇔ x ( x − 9) 6 x +
+
2


x + 3 ( x − 3)2 + 3 ( x − 3) 3 x − 1 + 9 3 x − 1 


x x ( 3 x + 61)
2 x
Vì 6 x +
+
> 0; ∀x ≥ 0 nên phương trình trên tương đương
2
x + 3 ( x − 3)2 + 3 ( x − 3) 3 x − 1 + 9 3 x − 1

(

(

vớ i

)

)

x = 0
x ( x − 9) = 0 ⇔ 
là hai nghiệm của phương trình đã cho.
x = 9

Ví dụ 3. Giải phương trình

3

7 x − 8 + 2 = x 2x − 1 − 5 x − 1

( x ∈ ℝ) .

PHÂN TÍCH CASIO. Tư tưởng vẫn giống như các ví dụ trên, nhưng ở ví dụ này mở rộng ra tới ba căn
thức gồm các căn bậc ba cùng với căn bậc hai. Với điều kiện x ≥ 1 , ta sẽ khảo sát nghiệm bằng TABLE
cũng như chức năng tìm nghiệm SHIFT CALC đồng thời có được đồ thị như sau:
X
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4

F(X)
0
4.7714
5.353
5.2416
4.7141
3.8783
2.7916

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

4.5
1.4905
5
0
5.5
-1.661
6
- 3.479
Dựa vào các yếu tố trên, ta tìm được các nghiệm là x = 1; x = 5 . Và sẽ tìm nhân tử liên hợp cho cả ba căn
thức như sau:
1

a
=

x = 1
a + b = 0
2 nên ta
• Với nghiệm 
, ta đặt ax + b = x − 1 nên có hệ phương trình 
⇔
x
=
5
5
a
+
b
=

2


b = − 1

2
có được nhân tử là x − 1 − 2 x − 1 .

(

•

)

1

m
=

x = 1
m + n = 1
2 nên
Với nghiệm 
, ta đặt mx + n = 2 x − 1 nên có hệ phương trình 
⇔
x
=
5
5
m

+
n
=
3
1


n =

2

(

)

ta có được nhân tử là x + 1 − 2 2 x − 1 .
•

x = 1
Với nghiệm 
, ta đặt px + q = 3 7 x − 8 nên có hệ phương trình
=
5
x


(

 p + q = −1  p = 1
⇔

nên

5 p + q = 3
q = −2

)

ta có được nhân tử là x − 2 − 3 7 x − 8 .

LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ 0 .
Phương trình đã cho tương đương với 2 x 2 x − 1 − 10 x − 1 − 2 3 7 x − 8 − 2 = 0

(

) (
Tuy nhiên xét đến biểu thức − x ( x + 1 − 2

( ∗)
) (
)
2 x − 1 ) nếu liên hợp sẽ xuất hiện dấu âm, vì thế ta sẽ gặp khó

⇔ 2 x − 2 − 3 7 x − 8 + 5 x − 1 − 2 x − 1 − x x + 1 − 2 2x − 1 + x2 − 6x + 5 = 0

khăn trong việc đánh giá biểu thức còn lại có vô nghiệm hay không, hay nói cách khác là có luôn âm, hay

(

)

luôn dương hay không. Chính vì thế, ta sẽ tách đến biểu thức − x x + 1 − 2 2 x − 1 + x 2 − 6 x + 5 thành
như sau:

(

)

− x x + 1 − 2 2 x − 1 + x 2 − 6 x + 5 = 2 x 2 x − 1 − 7 x + 5 . Do đó, ta có được:

( ∗) ⇔ 2 ( x − 2 − 3 7 x − 8 ) + 5 ( x − 1 − 2

) (

)

x − 1 + 2x 2x − 1 − 7x + 5 = 0

Chú ý đến các biểu thức liên hợp, ta có:
•

x − 2 − 3 7 x − 8 = ( x − 5 ) x − 1.

(

2x x − 1

( x − 2)

)

x −1 − 2 x −1 = x −1

•

2 x 2 x − 1 − 7 x + 5 = ( x − 5 ) x − 1.

Do đó, ta có nhân tử chung là ( x − 5 )

2x x − 1

( x − 2)

2

+ ( x − 2) 7 x − 8 +
3

x − 1 − 2 = ( x − 5 ) x − 1.

•

Vì f ( x ) =

2

+ ( x − 2) 3 7 x − 8 +

(8x − 5)

(

3

7x − 8

)

2

.

1
.
x −1 + 2

x −1

.
x + 1 + 2 2x − 1
 x −1 = 0
x = 1
x − 1. f ( x ) = 0 ⇔ 
⇔
x = 5
x − 5 = 0

(

3

7x − 8

)

2

+

( 8 x − 5 ) x − 1 > 0; ∀x ≥ 1 .
1
+
x − 1 + 2 x + 1 + 2 2x − 1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1; x = 5 .

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

5x2
+ 4 − x = x + 1+ x + 1− x
( x ∈ ℝ)
4
PHÂN TÍCH CASIO. Quan sát thấy phương trình chứa nhiều căn thức, ta có thể sử dụng phương pháp
đặt ẩn phụ hoặc nhân liên hợp. Tuy nhiên, để làm được điều đó ta cần xét nghiệm của phương trình trước,
vẫn với cách tìm nghiệm ở các ví dụ trên, bây giờ ta sẽ quan sát ĐỒ THỊ cũng như bảng TABLE hay
chức năng SHIFT CALC tại các giá trị nghiệm như sau:
X
F(X)

-1
3.0718
-0.8
2.002
-0.6
1.2973
-0.4
0.7398
-0.2
0.3095
0
0
0.2
-0.19
0.4
-0.26
0.6
-0.203
0.8
0
1
0.5678
Ví dụ 4. Giải phương trình

4
4

, thì nhân tử ta cần tìm đó là x  x −  = x ( 5 x − 4 ) .
5
5


2
5x
1
− x = x ( 5 x − 4 ) nên đại
Nhưng để ý kỹ một chút thì phương trình bài cho đã xuất hiện nhân tử
4
4
lượng còn lại sẽ chính là biểu thức liên hợp hay nói cách khác ta sẽ giải phương trình
x = 0
4 − x − 1 + x − 1 − x = 0 . Mặt khác, ta thấy rằng với 
thì 4 − x = 1 + x + 1 − x , do đó ta sẽ
x = 4
5

liên hợp như sau:
5x2 − 4 x
4 − x − 1+ x − 1− x =
4 − x + 1 + x + 1 − x 2 1 − x2 + 2 − x

Sau khi tìm được hai nghiệm là x = 0; x = 0,8 =

(

Cũng với nhận xét bên trên

)(

)

4 − x = 1 + x + 1 − x ⇔ 4 − x = 2 + 2 1 − x 2 ⇔ 2 − x = 2 1 − x 2 . Thì ở

(

)

đây hai biểu thức cân bằng và nếu tìm được hàm số thỏa mãn f ( 2 − x ) = f 2 1 − x 2 ta cũng sẽ tìm
được nghiệm của phương trình đã cho. Quan sát vế phải, ta chú ý đến hằng đẳng thức bậc hai

2 + 2 1 − x 2 = 1 + x + 1 − x , và đại lượng cân bằng với nó chính là căn thức còn lại
4 − x = 2 + ( 2 − x ) . Biểu thức còn lại chính là 5 x 2 − 4 x nên ta sẽ dùng phương pháp đồng nhất hệ số

(

5x 2 − 4 x = a ( 2 − x ) − b 2 1 − x 2
2

(

)

2

( 2 − x ) + 4 2 + ( 2 − x ) = 2 1 − x2
2

⇔ a = b = 1 . Do đó phương trình đã cho được viết lại thành

)

2

+ 2 + 2 1 − x 2 . Với hàm số đại diện ở đây chính là

f ( t ) = t 2 + 4 2 + t với điều kiện t > 0 .

LỜI GIẢI. Điều kiện: 4 ≥ x ≥ 1 .
Cách 1. Nhân liên hợp. Phương trình đã cho tương đương với:

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

5x − 4 x + 4
2

(

)

4 − x − 1 + x − 1 − x = 0 ⇔ 5x − 4x +



⇔ (5x − 4x ) 1 +


2

2

4

(

4 − x + 1+ x + 1− x

)(

(

4 (5x2 − 4 x )
4 − x + 1+ x + 1− x

) (2

1 − x2 + 2 − x


x = 0
 = 0 ⇔ 5x 2 − 4 x = 0 ⇔ 

x = 4
2 1 − x2 + 2 − x 
5



)

Vì 1 ≥ x ≥ −1 nên suy ra 2 1 − x 2 + 2 − x > 0 , do đó phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.
Cách 2. Phương pháp hàm số. Phương trình đã cho tương đương với:
5 x 2 + 4 4 − x = 4 x + 4 1 + x + 4 1 − x ⇔ 4 − 4 x + x 2 + 4 4 − x = 4 (1 − x 2 ) + 4 1 + x + 4 1 − x

(

⇔ ( 2 − x ) + 4 2 + ( 2 − x ) = 2 1 − x2
2

) +4
2

(

2 + 2 1 − x2 ⇔ f ( 2 − x ) = f 2 1 − x2

)

x = 0
1 ≥ x ≥ −1
1 ≥ x ≥ −1

⇔ 2 − x = 2 1− x ⇔ 
⇔ 2
⇔
4
2
2
x =

5 x − 4 x = 0
( 2 − x ) = 4 (1 − x )
5

4
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0; x = .
5
2

Ví dụ 5. Giải phương trình x 2 − x + 5 = 5 x − 1 + 7 x + 2.
A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính X 2 − X + 5 − 5 X − 1 − 7 X + 2 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2

(

)

(

)

Nhập vào máy tính X 2 − X + 5 − 5 X − 1 − 7 X + 2 : ( X − 2 ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1

Nhập vào máy tính X 2 − X + 5 − 5 X − 1 − 7 X + 2 : ( ( X − 2 )( X − 1) ) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = 2 ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1)( x − 2 ) = x 2 − 3x + 2.
Ta cần cân bằng ax + b = 5 x − 1 khi biết hai nghiệm x = 1, x = 2

a.1 + b = 5.1 − 1 = 2
⇒
⇒ a = b = 1.
a.2 + b = 5.2 − 1 = 3
Ta cần cân bằng cx + d = 7 x + 2 khi biết hai nghiệm x = 1, x = 2
c.1 + d = 7.1 + 2 = 3
c = 1
⇒
⇒
c.2 + d = 7.2 + 2 = 4 d = 2
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải
1
(*)
5
Khi đó (1) ⇔ x + 1 − 5 x − 1 + x + 2 − 7 x + 2 − 2 x − 3 + x 2 − x + 5 = 0

ĐK: x ≥

(

) (

)

( x + 1) − ( 5 x − 1) + ( x + 2 ) − ( 7 x + 2 ) + x 2 − 3x + 2 = 0
⇔
2

2

x + 1 + 5x −1
x + 2 + 7x + 2
2
2
x − 3x + 2
x − 3x + 2
⇔
+
+ x 2 − 3x + 2 = 0
x + 1 + 5x −1 x + 2 + 7 x + 2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

)

=0


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

1
1


⇔ ( x 2 − 3x + 2 ) 
+
+ 1 = 0
 x + 1 + 5x −1 x + 2 + 7 x + 2 

1
1
1
+
+ 1 > 0.
Với x ≥ ⇒
5
x + 1 + 5x −1 x + 2 + 7 x + 2
x = 1
Do đó (2) ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = 2
x = 1
Đ/s: 
x = 2
C. Nhận xét

(2)

Khi đã nhóm được x + 1 − 5 x − 1 thì ta cũng có thể làm như sau:

1.

(

)

Phương trình ⇔ x + 1 − 5 x − 1 − x − 1 + x 2 − x + 5 − 7 x + 2 = 0

( x + 1) − ( 5 x − 1) + x 2 − 2 x + 4 −

⇔
2

7x + 2 = 0

x + 1 + 5x −1

Với x ≥

(3)

1
2
⇒ T = x 2 − 2 x + 4 + 7 x + 2 = ( x − 1) + 3 + 7 x + 2 > 0.
5

x2 − 2 x + 4 ) − ( 7 x + 2)
(
x 2 − 3x + 2
+
=0
Do đó (3) ⇔
T
x + 1 + 5x −1
2

(4)

Ta có ( x 2 − 2 x + 4 ) − ( 7 x + 2 ) = x 4 − 4 x3 + 12 x 2 − 23 x + 14
2

= x3 ( x − 1) − 3 x 2 ( x − 1) + 9 x ( x − 1) − 14 ( x − 1) = 0

= ( x − 1) ( x 3 − 3 x 2 + 9 x − 14 ) = ( x − 1)( x − 2 ) ( x 2 − x + 7 ) .

Khi đó (4) ⇔

( x − 1)( x − 2 ) + ( x − 1)( x − 2 ) ( x 2 − x + 7 ) = 0

x + 1 + 5x −1

T


1
x2 − x + 7 
⇔ ( x − 1)( x − 2 ) 
+
=0
T
 x + 1 + 5x − 1

1
1
x −x+7
1
và T > 0 ⇒
+
=
+

5
T
x + 1 + 5x −1
x + 1 + 5x −1
x =1
Do đó (5) ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = 2
2

Với x ≥

(5)

( x − 1)

2

T

+

27
4 > 0.

x = 1
Đ/s: 
x = 2
Rõ ràng cách làm 2 này dài và phức tạp hơn nhiều so với cách làm 1. Đặc biệt, khi vế trái của phương
trình được thay bởi một phương trình bậc 3 thì cách làm 2 là rất khó khăn còn cách làm 1 vẫn rất ổn.

Ví dụ 6. Giải phương trình x 2 − x + 4 = 5 x − 1 + 3 5 x 2 + 4 x − 1.
A.

Phân tích CASIO

Nhập vào máy tính X 2 − X + 4 − 5 X − 1 − 3 5 X 2 + 4 X − 1 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1

(

)

Nhập vào máy tính X 2 − X + 4 − 5 X − 1 − 3 5 X 2 + 4 X − 1 : ( X − 1) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

)

(

Nhập vào máy tính X 2 − X + 4 − 5 X − 1 − 3 5 X 2 + 4 X − 1 : ( ( X − 1)( X − 2 ) ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = 2 ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1)( x − 2 ) = x 2 − 3x + 2.
Ta cần cân bằng ax + b = 5 x − 1 khi biết hai nghiệm x = 1, x = 2

a.1 + b = 5.1 − 1 = 2
⇒
⇒ a = b = 1.
a.2 + b = 5.2 − 1 = 3
Ta cần cân bằng cx + d = 3 5 x 2 + 4 x − 1 khi biết hai nghiệm x = 1, x = 2

c.1 + d = 3 5.12 + 4.1 − 1 = 2
⇒
⇒ c = d = 1.
c.2 + d = 3 5.2 2 + 4.2 − 1 = 3
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải

ĐK: x ≥

1
5

(*)

)

) (

(

Khi đó (1) ⇔ x + 1 − 5 x − 1 + x + 1 − 3 5 x 2 + 4 x − 1 − 2 x − 2 + x 2 − x + 4 = 0
Với x ≥

(2)

2
1
2
⇒ T = ( x + 1) + ( x + 1) 3 5 x 2 + 4 x − 1 + 3 ( 5 x 2 + 4 x − 1)
5

x +1 3
2

=  3 5x 2 + 4 x −1 +
 + ( x + 1) > 0.
2  4

2

( x + 1) − ( 5 x − 1) + ( x + 1)
⇔
2

Do đó (2)

3

− ( 5 x 2 + 4 x − 1)

+ x 2 − 3x + 2 = 0

T
x + 1 + 5x −1

2
x − 3x + 2
x3 − 2 x 2 − x + 2
⇔
+
+ x 2 − 3x + 2 = 0
T
x + 1 + 5x −1
( x − 1)( x − 2 ) + ( x − 1)( x − 2 )( x + 1) + x − 1 x − 2 = 0
⇔
( )(
)
T
x + 1 + 5x −1

1
x +1 

⇔ ( x − 1)( x − 2 ) 
+
+ 1 = 0
T
 x + 1 + 5x −1

1
1
x +1
Với x ≥ và T > 0 ⇒
+
+ 1 > 0.

5
T
x + 1 + 5x −1
x =1
Do đó (3) ⇔ ( x − 1)( x − 2 ) = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = 2
x = 1
Đ/s: 
x = 2
C. Nhận xét

1.

(3)

Ta cũng có thể cân bằng ax + b = 5 x − 1 như sau:

Ta viết ( ax + b ) − ( 5 x − 1) = a 2 x 2 + ( 2ab − 5 ) x + b 2 + 1.
2

Ta cần phân tích a 2 x 2 + ( 2ab − 5 ) x + b 2 + 1 để có nhân tử x 2 − 3 x + 2

Đồng nhất hệ số ⇒

2
a 2 2ab − 5 b 2 + 1 3a + 2ab = 5
=
=
⇒ 2 2

1
−3
2
2a − b = 1

⇒ 3a 2 + 2ab = 5 ( 2a 2 − b 2 ) ⇒ 7 a 2 − 2ab − 5b 2 = 0 ⇒ ( a − b )( 7 a + 5b ) = 0.

Từ đó ta chọn được a = b = 1 thỏa mãn. Chú ý, ta ngầm hiểu với nhau là a > 0.
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

2.

Ta cũng có thể làm như sau:

)

(

Phương trình ⇔ x + 1 − 3 5 x 2 + 4 x − 1 − x − 1 + x 2 − x + 4 − 5 x − 1 = 0
Với x ≥

(4)

2
1
2
⇒ T = ( x + 1) + ( x + 1) 3 5 x 2 + 4 x − 1 + 3 ( 5 x 2 + 4 x − 1)

5

x +1 3
2

=  3 5x 2 + 4 x −1 +
 + ( x + 1) > 0.
2  4

2

Do đó (4) ⇔
Với x ≥

( x + 1)

3

− ( 5 x 2 + 4 x − 1)
T

+ x2 − 2 x + 3 − 5x − 1 = 0

(5)

1
2
⇒ x 2 − 2 x + 3 + 5 x − 1 = ( x − 1) + 2 + 5 x − 1 > 0.
5

2
x 3 − 2 x 2 − x + 2 ( x − 2 x + 3) − ( 5 x − 1)
Do đó (5) ⇔
+ 2
=0
T
x − 2x + 3 + 5x −1
2

(6)

Ta có ( x 2 − 2 x + 3) − ( 5 x − 1) = x 4 − 4 x3 + 10 x 2 − 17 x + 10
2

= x3 ( x − 1) − 3x 2 ( x − 1) + 7 x ( x − 1) − 10 ( x − 1)

= ( x − 1) ( x 3 − 3 x 2 + 7 x − 10 ) = ( x − 1)( x − 2 ) ( x 2 − x + 5 ) .

Và x3 − 2 x 2 − x + 2 = ( x − 1) ( x 2 − x − 2 ) = ( x − 1)( x − 2 )( x + 1) .
Do đó (6)

2
x − 1)( x − 2 )( x + 1) ( x − 1)( x − 2 ) ( x − x + 5)
(
⇔
+
=0

x2 − 2 x + 3 + 5x − 1
 x +1


x2 − x + 5
⇔ ( x − 1)( x − 2 ) 
+ 2
=0
x − 2x + 3 + 5x −1 
 T
T

(7)

2

1  19

x−  +
2

x +1
x − x+5
x +1
1
2
4

Với x ≥ và T > 0 ⇒
+ 2
=
+
> 0.

2
5
T
T
x − 2x + 3 + 5x −1
( x − 1) + 2 + 5 x − 1
x =1
Khi đó (7) ⇔ ( x − 1)( x − 2 ) = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = 2
x = 1
Đ/s: 
x = 2
Rõ ràng cách làm 2 này dài và phức tạp hơn nhiều so với cách làm 1. Đặc biệt, khi vế trái của phương
trình được thay bởi một phương trình bậc 3 thì cách làm 2 là rất khó khăn còn cách làm 1 vẫn rất ổn.
Ví dụ 7. Giải phương trình x 2 − x + 1 − 3x − 5 = 3x − 4. x 2 − 2 x + 2.
A.

Phân tích CASIO

Nhập vào máy tính X 2 − X + 1 − 3 X − 5 − 3 X − 4. X 2 − 2 X + 2 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2

(

)

(

)

Nhập vào máy tính X 2 − X + 1 − 3 X − 5 − 3 X − 4. X 2 − 2 X + 2 : ( X − 2 ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 3

Nhập vào máy tính X 2 − X + 1 − 3 X − 5 − 3 X − 4. X 2 − 2 X + 2 : ( ( X − 2 )( X − 3) ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có hai nghiệm là x = 2, x = 3.

Ta cần cân bằng ax + b = 3 x − 5 khi biết hai nghiệm x = 2, x = 3
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

a.2 + b = 3.2 − 5 = 1  a = 1
⇒
⇒
a
.3
+
b
=
3.3
−
5
=
2
b = −1

Ta cần sử lý 3 x − 4. x 2 − 2 x + 2, đại lượng này có hai căn nhân với nhau nên việc cân bằng bình

thường là khá khó khăn, ta làm như sau:
 3x − 4 = 2
Với x = 2 ⇒ 
⇒ 3x − 4 = x 2 − 2 x + 2.
2
 x − 2 x + 2 = 2
 3x − 4 = 5
Với x = 3 ⇒ 
⇒ 3x − 4 = x 2 − 2 x + 2.
2
 x − 2 x + 2 = 5
Từ đó ta sẽ nhóm

)

(

x 2 − 2 x + 2 − 3 x − 4 với nhau, khi đó viết vế phải thành
3 x − 4. x 2 − 2 x + 2 = − x 2 − 2 x + 2

(

)

x 2 − 2 x + 2 − 3x − 4 .

Tách thế này để khi chuyển vế, dấu trừ thành dấu cộng và việc giải sẽ đơn giản hơn.
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải

ĐK: x ≥

5
3

(*)

(

)

Khi đó (1) ⇔ x − 1 − 3 x − 5 − x + 1 + x 2 − x + 1 = − x 2 − 2 x + 2

( x − 1) − ( 3x − 5 ) = −
⇔
2

x − 1 + 3x − 5

x

2

(x
− 2 x + 2.

2

(

)

x 2 − 2 x + 2 − 3x − 4 + x 2 − 2 x + 2

− 2 x + 2 ) − ( 3x − 4 )

x 2 − 2 x + 2 + 3x − 4
x2 − 5x + 6
x2 − 5x + 6
2
⇔
+ x − 2 x + 2.
=0
x − 1 + 3x − 5
x2 − 2 x + 2 + 3x − 4


x2 − 2 x + 2
1
⇔ ( x2 − 5x + 6) 
+
=0
2
 x − 1 + 3x − 5

x
−
2
x
+

2
+
3
x
−
4



(2)

x2 − 2x + 2
5
1
Với x ≥ ⇒
+
> 0.
3
x − 1 + 3x − 5
x2 − 2 x + 2 + 3x − 4
x = 2
Do đó (2) ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = 3
x = 2
Đ/s: 
x = 3
Ví dụ 8. Giải phương trình 2 x 2 + x − 3 = ( x + 1) 3x − 5 + ( x − 1) 3 10 x 2 + 11x + 2.
A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính 2 X 2 + X − 3 − ( X + 1) 3 X − 5 − ( X − 1) 3 10 X 2 + 11X + 2 = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 3

(

)

(

)

Nhập vào máy tính 2 X 2 + X − 3 − ( X + 1) 3 X − 5 − ( X − 1) 3 10 X 2 + 11X + 2 : ( X − 3) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2

Nhập vào máy tính 2 X 2 + X − 3 − ( X + 1) 3 X − 5 − ( X − 1) 3 10 X 2 + 11X + 2 : ( ( X − 3)( X − 2 ) ) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có hai nghiệm là x = 2, x = 3.
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Ta cần cân bằng ax + b = 3 x − 5 khi biết hai nghiệm x = 2, x = 3
a.2 + b = 3.2 − 5 = 1  a = 1
⇒
⇒
a.3 + b = 3.3 − 5 = 2 b = −1
Ta cần cân bằng cx + d = 3 10 x 2 + 11x + 2 khi biết hai nghiệm x = 2, x = 3

c.2 + d = 3 10.22 + 11.2 + 2 = 4 c = 1

⇒
⇒
d = 2
c.3 + d = 3 10.32 + 11.3 + 2 = 5
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải

ĐK: x ≥

5
3

(*)

Khi đó (1) ⇔ 2 x 2 + x − 3 − ( x + 1) 3x − 5 − ( x − 1) 3 10 x 2 + 11x + 2 = 0

(

)

)

(

⇔ ( x + 1) x − 1 − 3 x − 5 + ( x − 1) x + 2 − 3 10 x 2 + 11x + 2 − ( x 2 − 1) − ( x 2 + x − 2 ) + 2 x 2 + x − 3 = 0.
2
5
2
Đặt T = ( x + 2 ) + ( x + 2 ) 3 10 x 2 + 11x + 2 + 3 (10 x 2 + 11x + 2 ) > 0, ∀x ≥ .
3

3
2
2
( x − 1) − ( 3 x − 5) + x − 1 . ( x + 2 ) − (10 x + 11x + 2 ) = 0
Khi đó ta có ( x + 1) .
( )
T
x − 1 + 3x − 5

⇔
⇔

( x + 1) ( x 2 − 5 x + 6 ) ( x − 1) ( x3 − 4 x 2 + x + 6 )
x −1 + 5x − 3
( x + 1) ( x 2 − 5 x + 6 )

+

T

=0

( x − 1)( x + 1) ( x 2 − 5 x + 6 )

+
T
x −1 + 5x − 3
2

x +1

x −1 
⇔ ( x2 − 5x + 6) 
+
=0
T 
 x −1 + 5x − 3
5
x +1
x2 −1
Với x ≥ > 1 và T > 0 ⇒
+
> 0.
3
T
x −1 + 5x − 3
x = 2
Do đó (2) ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = 3
x = 2
Đ/s: 
x = 3

=0
(2)

Bài giảng và tài liệu này được chia sẻ tại
Đề thi thử hocmai,moon,uschool
/>dưới sự cho phép của Thầy giáo Đặng Việt Hùng
Truy cập để nhận nhiều tài liệu hơn !

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016