05 ki thuat lien hop 3 nghiem huu ti BG(2016)

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

05. KĨ THUẬT LIÊN HỢP BA NGHIỆM HỮU TỈ
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

3 x3 + 13 x 2 + 14 x + 6
Ví dụ 1 [Video]. Giải phương trình x x + 3 =
2 x2 + 9 x + 7
4 + 6 x − x 2 − 3 10 − 3 x
Ví dụ 2 [Video]. Giải phương trình 3 7 x − 13 =
4 + 10 − 3 x

( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ)

Ví dụ 3 [Video]. Giải phương trình 2 x 3 − 2 x 2 − 6 x + 9 = 3 x 2 + 4 x − 4 + 3 4 x 2 + 7 x − 3.
x 4 + 3x3 + x 2 + x + 2
Ví dụ 4 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 x + x + 1 =
( x ∈ ℝ)
x3 + x + 2
3
2
2 x + x + 1 ≥ 0
PHÂN TÍCH CASIO. Tương tự như ví dụ 2, với điều kiện  3
, ta sẽ tìm nghiệm của bài
 x + x + 2 ≠ 0
toán bằng chức năng SHIFT CALC hoặc bảng TABLE như sau:
X 4 + 3X 3 + X 2 + X + 2
Nhập hàm số F ( X ) = 2 X 3 + X 2 + 1 −
. Và nhập các giá trị:

X3 + X +2
• Start = −1
X
F(X)
• End = 5
-1
ERROR
• Step = 0.5
-0.5
-0.045
Ta được bảng như bên. Và ta sẽ thấy được phương trình có 2 nghiệm đó chính là
0
0
x = {0;1} . Với các nghiệm hữu tỷ, ta sẽ chọn x = 1 thì thấy
0.5
0.0104
3

(

2

2 x3 + x 2 + 1 = 2 = x + 1 , do đó biểu thức liên hợp mà ta sẽ chọn là

)

2 x3 + x 2 + 1 − x − 1 .

1
1.5

2
2.5
3
3.5
4
4.5
5

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
x 4 + 3x3 + x 2 + x + 2
2 x3 − 2 x
2 x3 + x 2 + 1 − x − 1 =
−
x
−
1
=
x3 + x + 2
x3 + x + 2
Nhưng trước khi liên hợp, ta cần xét trường hợp:
 x + 1 ≤ 0
2 x3 + x2 + 1 + x + 1 = 0 ⇔ 
⇔ x = −1 ( loại do điều kiện )
2
2 x ( x − 1) = 0
Từ đó suy ra.
2 x3 − 2 x
2 x3 − 2 x
2 x3 + x2 + 1 = 3
+ x + 1 ⇔ 2 x3 + x2 + 1 − x − 1 = 3

x + x+2
x +x+2
2
 2 x ( x − 1) = 0
2 x3 − 2 x
2 x3 − 2 x

⇔
= 3
⇔
 2 x3 + x 2 + 1 = x3 + 1 ( ∗)
2 x3 + x 2 + 1 + x + 1 x + x + 2

3
2
Điều kiện 2 x + x + 1 ≥ 0 . Phương trình (*) tương đương với

0
0.1168
0.5825
1.4004
2.5
3.8219
5.3173
6.9906
8.795

2 2 x3 + x 2 + 1 = 2 x3 + 2 ⇔ x 2 = 2 x 3 + x 2 + 1 − 2 2 x 3 + x 2 + 1 + 1
⇔x =
2

(

 x + 1 = 2 x3 + x2 + 1
2x + x + 1 −1 ⇔ 
− x + 1 = 2 x3 + x2 + 1

3

2

)

2

(1)
( 2)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

 x ≥ −1
 x ≥ −1
⇔
⇔
⇔ x ∈ {−1;0;1} .



2
3
2
2
3
x
x
−
1
=
0
2
x
+
x
+
1
=
x
+
2
x
+
1
2
x
−
2
x
=

0
(
)



x ≤ 1
x ≤ 1
 x ≤ 1
⇔
⇔
⇔ x =0.
( 2) ⇔  2
 3

2
3
2
 x − 2 x + 1 = 2 x + x + 1 2 x + 2 x = 0
 x ( x + 1) = 0
Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm S = {0;1}
 x ≥ −1

(1) ⇔ 

Ví dụ 5 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 x 2 = 8 x 2 − 8 x − 12 + ( x + 2 ) 3 x 2 + 2 x − 7 + 2

( x ∈ ℝ) .

PHÂN TÍCH CASIO. Điều kiện: 8 x 2 − 8 x − 12 ≥ 0 . Đây là một bài toán chứa cả căn bậc hai, lẫn căn bậc

ba, giải pháp tối ưu sẽ là liên hợp và vì chứa căn bậc ba nên có thể bài toán sẽ có ba nghiệm. Vậy ta sẽ
dùng bảng TABLE để xét miền nghiệm của nó như sau:
Nhập hàm số F ( X ) = 2 X 2 − 8 X 2 − 8 X − 12 − ( x + 2 ) 3 X 2 + 2 X − 7 − 2 . Nhập các giá trị:
• Start = −5
• End = 5
• Step = 0.5
Ta có bảng TABLE như bên. Và thấy được
rằng
phương trình đã cho có tới 4 nghiệm. Mục tiêu
của ta là tìm biểu thức liên hợp với các căn
thức, nên ta xét như sau:

( x + 2) 3 x2 + 2 x − 7

• V ới

X
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0

chứa nghiệm

x = −2 nên ta chỉ cần tìm biểu thức
liên hợp với 3 x 2 + 2 x − 7 sao cho
xuất
hiện
nhân
tử
( x + 1)( x − 2 )( x − 3) .

Đặt

3

X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5

F(X)
38.9
28.911
19.834

10.015
5.2474
1.9884
0
-0.753
0
ERROR
ERROR

b − a = −2
a = 1

x + 2 x − 7 = ax + b ⇒ 2a + b = 1 ⇔ 
,
b
=
−
1

3a + b = 2

2

đó

do

biểu

F(X)

ERROR
ERROR
ERROR
ERROR
0
-1.031
0
2.2055
5.4071
9.5409
14.578

thức

liên

h ợp

là

x − 1 − 3 x2 + 2 x − 7 .
8 x − 8 x − 12 , ta đặt

• V ới

2

 4m + 2n + p = 2
m = 1



8 x − 8 x − 12 = mx + nx + p ⇒ 9m + 3n + p = 6 ⇔ n = −1 , do đó
m − n + p = 2
p = 0


2

2

biểu thức liên hợp chính là x 2 − x − 8 x 2 − 8 x − 12 .
Do đó phương trình đã cho tương đương với: 2 x 2 − 2 − 8 x 2 − 8 x − 12 − ( x + 2 ) 3 x 2 + 2 x − 7 = 0

)

(

)

(

⇔ x 2 − x − 8 x 2 − 8 x − 12 + ( x + 2 ) x + 1 − 3 x 2 + 2 x − 7 = 0

(x
⇔

2

− x ) − ( 8 x 2 − 8 x − 12 )

x 2 − x + 8 x 2 − 8 x − 12

⇔

( x + 2 ) ( x + 1)

2

x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 8 x + 12
x 2 − x + 8 x 2 − 8 x − 12

+

+

( x + 1)

2

3

− ( x2 + 2 x − 7 )


+ ( x + 1) x + 2 x − 7 +
3

2

(

3

x + 2x − 7
2

x 4 − 2 x3 − 7 x 2 + 8 x + 12

( x + 1)

2

+ ( x + 1) x + 2 x − 7 +
3

2

(

3

x + 2x − 7
2

⇔ ( x + 1)( x + 2 )( x − 2 )( x − 3) . f ( x ) = 0 ⇔ x = −1; x = −2; x = 2; x = 3

)

2

)

2

=0

=0

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Với f ( x ) =

1
x 2 − x + 8 x 2 − 8 x − 12

+

1

( x + 1)

2

+ ( x + 1) x + 2 x − 7 +
3

2

Ta thấy rằng x 2 − x + 8 x 2 − 8 x − 12 = x 2 − x + 8 ( x 2 − x ) − 12 ≥

(

3

x + 2x − 7
2

)

2

.

12
⇒ f ( x) > 0 .
8

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm kể trên.

( x ∈ ℝ)

Ví dụ 6 [Tham khảo]. Giải phương trình 3x 3 + 6 x 2 − 9 x + 8 = 8 x 4 − x + 1

PHÂN TÍCH CASIO. Tương tự các ví dụ bên trên, ta khảo sát nghiệm bằng TABLE như sau:
Nhập hàm số F ( X ) = 3 X 3 + 6 X 2 − 9 X + 8 − 8 X 4 − X + 1 và các giá trị.

X

-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3

• Start = −3
• End = 3
• Step = 0.5
Bảng TABLE này có rất nhiều điều để nói.
• Phương trình đã cho có ba nghiệm gồm x = 0; x = 1 và một nghiệm
sẽ nằm trong khoảng

( −1, 5; −1) .

Và SHIFT CALC ta tìm được

5
nghiệm đó là x = −1.666666667 = − .
3
• Điểm chú ý tiếp theo chính là tại nghiệm x = 1 có dấu hiệu của
nghiệm bội vì hàm số tại đó tiếp xúc với trục hoành.

Sau khi xác định được nghiệm, ta tiếp tục dự đoán biểu thức liên hợp.
Biểu thức liên hợp có dạng

(

)

x 4 − x + 1 + ax 2 + bx + c có chứa ba nghiệm

F(X)
-65.75
-31.06
-8.871
-2.875
6.1435
3.625
0
-0.625
0
1.0369
7.0161
20.844
44.894

1


a = − 2
1 + a + b + c = 0



1
5


⇔ b =
, do đó nhân tử liên hợp cần
0;1; −  , khi đó ta có hệ phương trình 1 + c = 0
2
3

 29 25

5
 + a− b+c=0
c = −1
9
3
9


tìm đó chính là 2 x 4 − x + 1 − x 2 + x − 2 . Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

)

(

3x 3 + 6 x 2 − 9 x + 8 − 8 x 4 − x + 1 = 3 x3 + 2 x 2 − 5 x − 4 2 x 4 − x + 1 − x 2 + x − 2 = 0

)

(

⇔ x ( x − 1)( 3 x + 5 ) − 4 2 x 4 − x + 1 − x 2 + x − 2 = 0

( ∗)

x 2 ( x − 1)( 3 x + 5 )
1 7

4
2
.
Chú ý: x − x + 2 =  x −  + > 0; ∀x và 2 x − x + 1 − x + x − 2 =
2 4

2 x4 − x + 1 + x2 − x + 2


4 x 2 ( x − 1)( 3 x + 5 )
4x
= 0 ⇔ x ( x − 1)( 3 x + 5 ) 1 −
( ∗) ⇔ x ( x − 1)( 3x + 5) −
=0
4
2
4
2
2 x − x +1 + x − x + 2
 2 x − x +1 + x − x + 2 

2

2

 x ( x − 1)( 3 x + 5 ) = 0
⇔ x ( x − 1)( 3 x + 5 ) 2 x 4 − x + 1 + x 2 − 5 x + 2 = 0 ⇔ 
 2 x 4 − x + 1 + x 2 − 5 x + 2 = 0

)

(

Dùng TABLE ta sẽ khảo sát được 2 x 4 − x + 1 + x 2 − 5 x + 2 ≥ 0 , thật vậy, ta có:
2 x4 − x + 1 + x2 − 5x + 2 =

( 4x

2

+ 8 x + 3) ( x − 1) + ( 3 x − 1) + x 2 − 5 x + 2
2

2

≥ 3 x − 1 + x 2 − 5 x + 2 = ( x − 1) ≥ 0
2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

(i )

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

 x = 0; x = 1
Do đó suy ra phương trình ( i ) vô nghiệm hay nói cách khác ( ∗) ⇔ 
.
x = − 5
3

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm kể trên.

Ví dụ 7 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 x 2 − 9 x + 7 = ( x − 3) 4 x − 7 + ( x − 4 ) 3 x − 5.
A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính 2 X 2 − 9 X + 7 − ( X − 3) 4 X − 7 − ( X − 4 ) 3 X − 5 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 3

(

)

(

)

Nhập vào máy tính 2 X 2 − 9 X + 7 − ( X − 3) 4 X − 7 − ( X − 4 ) 3 X − 5 : ( X − 3) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 4

Nhập vào máy tính 2 X 2 − 9 X + 7 − ( X − 3) 4 X − 7 − ( X − 4 ) 3 X − 5 : ( ( X − 3)( X − 4 ) ) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2

(

)

Nhập vào máy 2 X 2 − 9 X + 7 − ( X − 3) 4 X − 7 − ( X − 4 ) 3 X − 5 : ( ( X − 3)( X − 4 )( X − 2 ) ) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có 3 nghiệm là x = 2, x = 3, x = 4 ⇒ ( x − 2 )( x − 3)( x − 4 ) = 0.
Quan sát ( x − 3 ) 4 x − 7 đã có x − 3 và ( x − 4 ) 3 x − 5 đã có x − 4.
Ta cần cân bằng ax + b = 4 x − 7 khi biết 2 nghiệm x = 2, x = 4

2a + b = 4.2 − 7 = 1 a = 1
⇒
⇒
⇒ nhóm x − 1 − 4 x − 7.
4a + b = 4.4 − 7 = 3 b = −1
Ta cần cân bằng cx + d = 3 x − 5 khi biết 2 nghiệm x = 2, x = 3
2c + d = 3.2 − 5 = 1 c = 1
⇒
⇒
⇒ nhóm x − 1 − 3 x − 5.
=
−
1
d
+
=
−

=
3
c
d
3.3
5
2


Lời giải

B.

7
(*)
4
Khi đó (1) ⇔ 2 x 2 − 9 x + 7 − ( x − 3) 4 x − 7 − ( x − 4 ) 3 x − 5 = 0

ĐK: x ≥

(

)

(

)

⇔ ( x − 3) x − 1 − 4 x − 7 + ( x − 4 ) x − 1 − 3 x − 5 − ( x 2 − 4 x + 3) − ( x 2 − 5 x + 4 ) + 2 x 2 − 9 x + 7 = 0

⇔ ( x − 3)

( x − 1) − ( 4 x − 7 ) +
.
2

( x − 1) − ( 3x − 5) = 0
.
2

( x − 4)
x −1 + 4x − 7
x − 1 + 3x − 5
2
2
( x − 3) ( x − 6 x + 8 ) ( x − 4 ) ( x − 5 x + 6 )
⇔
+
=0
x −1 + 4x − 7
x − 1 + 3x − 5
( x − 3)( x − 2 )( x − 4 ) + ( x − 4 )( x − 2 )( x − 3) = 0
⇔
x −1 + 4x − 7
x − 1 + 3x − 5
1
1


⇔ ( x − 2 )( x − 3)( x − 4 ) 

+
=0
 x − 1 + 4 x − 7 x − 1 + 3x − 5 
7
1
1
+
> 0.
Với x ≥ ⇒
4
x − 1 + 4 x − 7 x − 1 + 3x − 5

(2)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

x = 2
Do đó (2) ⇔ ( x − 2 )( x − 3)( x − 4 ) = 0 ⇔  x = 3 thỏa mãn (*)
 x = 4
Ví dụ 8 [Tham khảo]. Giải phương trình x 2 − 2 x + 1 = ( x − 3) 3x − 2 + 3 9 x 2 − 8 x + 7.
A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính X 2 − 2 X + 1 − ( X − 3) 3 X − 2 − 3 9 X 2 − 8 X + 7 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 3

(

)

(

)

(

)

Nhập vào máy tính X 2 − 2 X + 1 − ( X − 3) 3 X − 2 − 3 9 X 2 − 8 X + 7 : ( X − 3) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2

Nhập vào máy tính X 2 − 2 X + 1 − ( X − 3) 3 X − 2 − 3 9 X 2 − 8 X + 7 : ( ( X − 3)( X − 2 ) ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1

Nhập vào máy tính X 2 − 2 X + 1 − ( X − 3) 3 X − 2 − 3 9 X 2 − 8 X + 7 : ( ( X − 3)( X − 2 )( X − 1) ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có 3 nghiệm là x = 1, x = 2, x = 3 ⇒ ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) = 0.
Quan sát ( x − 3 ) 3 x − 2 đã có x − 3.
Ta cần cân bằng ax + b = 3 x − 2 khi biết 2 nghiệm x = 1, x = 2

a + b = 3.1 − 2 = 1
a = 1
⇒
⇒
⇒ nhóm x − 3 x − 2.
2a + b = 3.2 − 2 = 2 b = 0
Ta cần cân bằng cx + d = 3 9 x 2 − 8 x + 7 khi biết 3 nghiệm x = 1, x = 2, x = 3

c + d = 3 9.12 − 8.1 + 7 = 2


⇒ 2c + d = 3 9.2 2 − 8.2 + 7 = 3 ⇒ c = d = 1 ⇒ nhóm x + 1 − 3 9 x 2 − 8 x + 7.

3
2
3c + d = 9.3 − 8.3 + 7 = 4
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải
ĐK: x ≥

2
3

(*)

Khi đó (1) ⇔ x 2 − 2 x + 1 − ( x − 3) 3x − 2 − 3 9 x 2 − 8 x + 7 = 0

)

) (

(

⇔ ( x − 3) x − 3 x − 2 + x + 1 − 3 9 x 2 − 8 x + 7 − x ( x − 3) − x − 1 + x 2 − 2 x + 1 = 0

Đặt T = ( x + 1) + ( x + 1) 3 9 x 2 − 8 x + 7 + 3 ( 9 x 2 − 8 x + 7 )
2

(2)

2

x +1  3
2
2

=  3 9 x2 − 8x + 7 +
 + ( x + 1) > 0, ∀x ≥ .
2  4
3

2

Do đó (2) ⇔ ( x − 3) .

x 2 − ( 3x − 2 )

( x + 1)

3

− (9 x2 − 8x + 7 )

+
=0
T
x + 3x − 2
( x − 3)( x − 1)( x − 2 ) + x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0

⇔
T
x + 3x − 2
( x − 1)( x − 2 )( x − 3) + ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) = 0
⇔
T
x + 3x − 2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

1
1

⇔ ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) 
+ =0
 x + 3x − 2 T 
2
1
1
+ > 0.
Với x ≥ và T > 0 ⇒
3
x + 3x − 2 T
x = 1
Do đó (3) ⇔ ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) = 0 ⇔  x = 2 thỏa mãn (*)
 x = 3

(3)

Ví dụ 9 [Tham khảo]. Giải phương trình x3 + x 2 − 3 − ( x − 2 ) 6 x − 2 = 6 x 2 − 10 x + 5. x3 + x − 1.
A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính X 3 + X 2 − 3 − ( X − 2 ) 6 X − 2 − 6 X 2 − 10 X + 5. X 3 + X − 1 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 3

(

)

(

)

Nhập vào máy X 3 + X 2 − 3 − ( X − 2 ) 6 X − 2 − 6 X 2 − 10 X + 5. X 3 + X − 1 : ( X − 3) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2

Nhập vào máy X 3 + X 2 − 3 − ( X − 2 ) 6 X − 2 − 6 X 2 − 10 X + 5. X 3 + X − 1 : ( ( X − 3)( X − 2 ) ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1
Nhập vào máy

(X

3

)

+ X 2 − 3 − ( X − 2 ) 6 X − 2 − 6 X 2 − 10 X + 5. X 3 + X − 1 : ( ( X − 3)( X − 2 )( X − 1) ) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có 3 nghiệm là x = 1, x = 2, x = 3 ⇒ ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) = 0.
Quan sát ( x − 2 ) 6 x − 2 đã có x − 2.
Ta cần cân bằng ax + b = 6 x − 2 khi biết 2 nghiệm x = 1, x = 3

a = 1
a + b = 6.1 − 2 = 2
⇒
⇒
3a + b = 6.3 − 2 = 4 b = 1
Đại lượng

6 x 2 − 10 x + 5. x 3 + x − 1 có 2 căn nhân với nhau nên việc cân bằng bình thường là khá phức

tạp. Chú ý, dễ dàng thấy được, với x = 1, x = 2, x = 3 thì
Do đó ta sẽ nhóm

6 x 2 − 10 x + 5 = x3 + x − 1.

x3 + x − 1 − 6 x 2 − 10 x + 5 → x3 + x − 1

(

)

x 3 + x − 1 − 6 x 2 − 10 x + 5 với nhau.

Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải

 x3 + x − 1 ≥ 0

1

ĐK:  x ≥
3

2
6 x − 10 x + 5 ≥ 0

(*)

(

)

Khi đó (1) ⇔ ( x − 2 ) x + 1 − 6 x − 2 + x 3 + x − 1

(

)

x3 + x − 1 − 6 x 2 − 10 x + 5 = 0

(2)

2

5 

5

Ta có 6 x − 10 x + 5 =  x 6 −
> 0 ⇒ T = x 3 + x − 1 + 6 x 2 − 10 x + 5 > 0.
 +
6
6

2
x 3 + x − 1) − ( 6 x 2 − 10 x + 5 )
(
x + 1) − ( 6 x − 2 )
(
3
+ x + x − 1.
=0
Do đó (2) ⇔ ( x − 2 ) .
T
x +1+ 6x − 2
2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

( x − 2 ) ( x 2 − 4 x + 3)

x3 − 6 x 2 + 11x − 5
=0

T
x +1 + 6x − 2
( x − 2 )( x − 1)( x − 3) + x3 + x − 1. ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) = 0
⇔
T
x +1+ 6x − 2

1
x3 + x − 1 
⇔ ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) 
+
=0
 x + 1 + 6x − 2

T


⇔

+ x 3 + x − 1.

(3)

x3 + x − 1
> 0.
T
x +1 + 6x − 2
x = 1
Do đó (3) ⇔ ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) = 0 ⇔  x = 2 thỏa mãn (*)
 x = 3

1

Với (*) và T > 0 ⇒

+

Ví dụ 10 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 x 2 − 5 x = ( x − 3) 3 x − 2 + ( x − 2 ) 4 x − 3

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Điều kiện x ≥

3
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
4
x 2 − 3 x − ( x − 3) 3 x − 2 + x 2 − 2 x − ( x − 2 ) 4 x − 3 = 0

(

)

(

)

⇔ ( x − 3) x − 3 x − 2 + ( x − 2 ) x − 4 x − 3 = 0

( x − 3) ( x 2 − 3x + 2 ) ( x − 2 )( x − 1)( x − 3)
⇔

+
=0
x + 3x − 2

x + 4x − 3

1
1


⇔ ( x − 2 )( x − 1)( x − 3) 
+
=0
 x + 3x − 2 x + 4 x − 3 
1
1
3
Ta thấy
+
> 0, ∀x ≥ nên thu được ( x − 2 )( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {1; 2;3} .
4
x + 3x − 2 x + 4 x − 3
Kết luận phương trình đã cho có ba nghiệm.

Ví dụ 11 [Tham khảo]. Giải phương trình x 4 − 6 x 3 + 13 x 2 − 11x = ( x − 3 ) 3 x − 2 + ( x − 2 ) 4 x − 3 .
Lời giải.
3
Điều kiện x ≥ . Phương trình đã cho tương đương với
4
x 4 − 6 x 3 + 11x 2 − 6 x + x 2 − 3 x − ( x − 3) 3 x − 2 + x 2 − 2 x − ( x − 2 ) 4 x − 3 = 0

(

)

(

)

⇔ ( x − 3) x − 3 x − 2 + ( x − 2 ) x − 4 x − 3 + x ( x3 − 6 x 2 + 11x − 6 ) = 0

( x − 3) ( x 2 − 3x + 2 ) ( x − 2 )( x − 1)( x − 3)
⇔
+
+x
x + 3x − 2

x + 4x − 3

( x − 2 )( x − 1)( x − 3) = 0

1
1


⇔ ( x − 2 )( x − 1)( x − 3) 
+
+ x = 0
 x + 3x − 2 x + 4 x − 3


1
1
3
Ta thấy
+
+ x > 0, ∀x ≥ nên thu được ( x − 2 )( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {1; 2;3} .
4
x + 3x − 2 x + 4 x − 3
Kết luận phương trình đã cho có S = {1; 2;3} .

Ví dụ 12 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 x 3 − 5 x = ( x 2 − 1) 5 x − 6 + ( x 2 − 4 ) 4 x − 3

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Điều kiện x ≥

6
. Phương trình đã cho tương đương với
5
x3 − x − ( x 2 − 1) 5 x − 6 + x 3 − 4 x − ( x 2 − 4 ) 4 x − 3 = 0

(

)

(

)

⇔ ( x 2 − 1) x − 5 x − 6 + ( x 2 − 4 ) x − 4 x − 3 = 0

(x
⇔

2

− 1)( x 2 − 5 x + 6 )

(x
+

2

− 4 )( x 2 − 4 x + 3)

=0
x + 5x − 6
x + 4x − 3
( x + 1)( x − 1)( x − 2 )( x − 3) + ( x − 2 )( x + 2 )( x − 1)( x − 3) = 0
⇔
x + 5x − 6
x + 4x − 3
x +1
x+2 


⇔ ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) 
+
=0
 x + 5x − 6 x + 4x − 3 
x +1
x+2
3
Nhận xét
+
> 0, ∀x ≥ nên ta thu được ( x − 2 )( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {1; 2;3} .
4
x + 5x − 6 x + 4x − 3
Kết luận phương trình đã cho có S = {1; 2;3} .

Em gái Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016