Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

LÊ TH± HUYEN MY

NGHIfiCHUOI CÚA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYEN TÍNH TRONG LÂN
CÚA ĐIEM KỲ D±

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC
Chuyên ngành: Toán Giái tích

Hà N®i-2011

C¾N


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

LÊ TH± HUYEN MY

NGHIfiCHUOI CÚA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYEN TÍNH TRONG LÂN C¾N
CÚA ĐIEM KỲ D±

Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS. Nguyen Văn Hào

Hà N®i-2011

Lài cám ơn
Em xin chân thành cám ơn các thay giáo, cô giáo và các ban sinh viên
khoa Toán Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã đ®ng viên, giúp đõ đe
em có đieu ki¾n tot nhat trong suot quá trình thnc hi¾n khóa lu¾n tot
nghi¾p. Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói TS. Nguyen
Văn Hào đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình chí báo, giúp đõ em
hoàn thành tot khóa lu¾n này.
Do thòi gian và kien thúc có han nên khóa lu¾n không tránh khói nhung
han che và còn có thieu sót nhat đ%nh. Em xin chân thành cám ơn và
tiep thu nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban
sinh viên.

Hà N®i, tháng 5 năm 2011
Sinh viên

Lê Th% Huyen My


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, khóa
lu¾n tot nghi¾p đai hoc "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân
tuyen tính trong lân c¾n cúa điem kỳ d%" đưoc hoàn thành theo
sn nh¾n thúc van đe cna riêng tác giá, không trùng vói bat kỳ khóa lu¾n
nào khác.
Trong quá trình nghiên cúu và thnc hi¾n khóa lu¾n, tôi đã ke thùa nhung
thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn!

Hà N®i, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Lê Th% Huyen My


Mnc lnc
Má đau..................................................................................................3
Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%.............................................6
1.1. Đai cương ve phương trình vi phân......................................................6
1.1.1. M®t so khái ni¾m..............................................................................................................6
1.1.2. Bài toán Cauchy...................................................................................................7
1.1.3. Van đe ton tai và duy nhat nghi¾m cna phương trình vi phân............................7

1.2. Phương trình vi phân tuyen tính cap n..............................................8
1.2.1. M®t so khái ni¾m..............................................................................................................8
1.2.2. Sn phu thu®c tuyen tính và đ®c l¾p tuyen tính cna các hàm...............................8
1.2.3. Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính......................................10

1.3. Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so
1.3.1. Nghi¾m riêng cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so

11
11

1.3.2. Cau trúc h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾
so hang so...........................................................................................................12
1.3.3. Phương pháp giái phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so

13

1.4. Nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính không
thuan nhat h¾ so hang so....................................................................13
1.4.1. Dang thú nhat.....................................................................................................14
1.4.2. Dang thú hai.......................................................................................................15
1.4.3. Dang thú ba.......................................................................................................16

1.5. Chuoi lũy thùa....................................................................................17
1.5.1. Sn h®i tu và bán kính h®i tu cna chuoi lũy thùa.................................................17
1.5.2. M®t so tính chat cna tong cna chuoi lũy thùa....................................................20

Chương 2. Điem kỳ d% và phương trình Euler............................22
2.1. Điem thưòng và điem kỳ d% cna phương trình vi phân..............23
2.1.1. M®t so khái ni¾m............................................................................................................23
2.1.2. Phân loai điem kỳ d%.....................................................................................................24

2.2. Phương trình Euler......................................................................26
2.2.1. Phương trình chí so có hai nghi¾m thnc phân bi¾t....................................................27
5


2.2.2. Phương trình chí so có hai nghi¾m thnc bang nhau...........................................28
2.2.3. Phương trình chí so có c¾p nghi¾m phúc liên hop.....................................................29
2.2.4. Đ%nh lý............................................................................................................................31

Chương 3. Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính
trong lân c¾n cúa điem kỳ d%.............................................................33
3.1. Ý tưóng cna phương pháp tìm nghi¾m chuoi....................................33
3.2. Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân trong lân
c¾n cna m®t điem kỳ d% chính quy..................................................40
3.2.1. Các nghi¾m bang nhau.......................................................................................45

3.2.2. Các nghi¾m sai khác nhau m®t so nguyên.........................................................46
3.2.3. Đ%nh lý............................................................................................................................47

3.3. Phương trình Bessel...........................................................................49
3.3.1. Phương trình Bessel cap 0..................................................................................49
3.3.2. Phương trình Bessel cap 1/2...............................................................................53
3.3.3. Phương trình Bessel cap 1..................................................................................56

Ket lu¾n................................................................................................60
Tài li¾u tham kháo.............................................................................61

6


Má đau
1. Lý do chon đe tài
Như ta đã biet vi¾c tìm nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân
tuyen tính đưoc dna trên cơ só xác đ%nh m®t h¾ nghi¾m cơ bán cna
phương trình vi phân thuan nhat cùng vói vi¾c tìm m®t nghi¾m riêng
cna phương trình đó. Nghi¾m tong quát cna phương trình này là tong
nghi¾m riêng cna phương trình vói nghi¾m tong quát cna phương trình
vi phân tuyen tính thuan nhat tương úng. Nhưng cho đen nay, ngưòi ta
cũng chí đưa ra đưoc quy trình h¾ thong đe xây dnng h¾ nghi¾m tong
quát cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so. Đoi vói
phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so không phái là hang so, vi¾c
tìm nghi¾m ó dang to hop cna các hàm so sơ cap cna m®t so phương
trình vi phân khá khó khăn (neu không muon nói là không the). Đieu
này cũng xáy ra ngay cá khi phương trình vi phân có dang rat đơn gián.
Chang han, như phương trình dưói đây
yrr − 2x.yr + y = 0.

Đó là phương trình vi phân cap hai vói h¾ so là hàm so cna m®t bien
đ®c l¾p, nhưng ta không the tìm đưoc nghi¾m riêng dưói dang m®t hàm
so sơ cap. Tuy nhiên, vi¾c giái các dang phương trình như phương trình
trên đây là rat quan trong vì nó náy sinh tù các van đe thnc tien, đ¾c
bi¾t nó xuat hi¾n nhieu cùng vói các bài toán cna v¾t lý. Chang han, nó
liên quan đen phương trình Schr¨odinger trong cơ hoc lưong tú. Vì
v¾y, chúng ta can phái xây dnng các phương pháp nham tìm nghi¾m
cho các phương trình dang này. M®t trong các phương pháp thông
dung là úng dung lý thuyet chuoi đe tìm nghi¾m cna phương trình
dưói dang chuoi


lũy
thùa

∞

y(x) =

.

anxn = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn + ....

n=0

Cơ só Toán hoc cna phương pháp này là thay the bieu thúc
trên cùng các đao hàm cna nó vào phương trình vi phân can
giái. Tù đó, xác đ%nh giá tr% cna các hang so a0, a1, a2, ...
sao cho nó nghi¾m đúng phương trình vi phân đã cho. Sau khi
đong nhat các h¾ so trong h¾ thúc nh¾n đưoc, ta thu đưoc

nghi¾m cna phương trình đã cho.
Tuy nhiên, cơ só cna phương pháp này như đã nói ó trên chí có
giá tr% khi chuoi lũy thùa úng vói các h¾ so tìm đưoc phái là
chuoi h®i tu. Như ta đã biet, chuoi lũy thùa có nhieu tính chat
đep đe, đieu đó cho phép ngưòi ta có the thnc hi¾n nhieu quá
trình tính toán thu¾n loi. Dĩ nhiên, mien h®i tu cna chuoi lũy
thùa thu đưoc là m®t t¾p hop khác rong và neu chuoi
lũy thùa có bán kính h®i tu R thì trong khoáng h®i tu cna chuoi
(−R, R),
ta có the lay đao hàm và tích phân tùng so hang cna chuoi.
Chuoi mói nh¾n đưoc (sau khi lay đao hàm ho¾c tích phân)
cũng có bán kính h®i tu như chuoi ban đau. Đieu đó dan tói
ý tưóng tìm nghi¾m cna phương trình vi phân dưói dang chuoi
lũy thùa. Vì v¾y đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan,
em chon đe tài "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi
phân tuyen tính trong lân c¾n cúa điem kỳ d%" đe
hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p b¾c đào tao cú nhân Toán
hoc.
Đe có the giái quyet đưoc van đe đ¾t ra, chúng tôi bo cuc
khóa lu¾n thành ba chương
Chương 1. Trong chương này, chúng tôi đưa ra m®t so
kien thúc chuan b% can thiet cho muc đích cna khóa lu¾n. Đó
là m®t so van đe cơ bán ve phương trình vi phân; Phương
trình vi phân tuyen tính; Phương trình vi phân tuyen tính


thuan

các loai điem cna phương trình vi phân liên quan đen vi¾c

nhat

tìm nghi¾m chuoi cna nó. Đong thòi,

h¾

so

hang
so;
Phương
trình vi
phân
tuyen
tính
không
thuan
nhat
h¾

so

hang
so;
Van đe
can
thiet
căn
bán ve
chuoi

lũy
thùa.
C
hươn
g 2. é
đây
chúng
tôi
trình
bày ve


chúng tôi đưa ra cách tìm nghi¾m cna phương trình Euler - m®t ví du
đien hình cna phương trình vi phân có m®t điem kỳ d% chính quy.
Chương 3. Đây là phan chính cna khóa lu¾n, chúng tôi trình bày
ve phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính
trong lân c¾n cna điem kỳ d% chính quy, cũng đưa ra m®t ví du minh hoa
đien hình cho phương pháp này là phương trình Bessel - bài toán cna v¾t
lý.

2.Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Trình bày phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân
tuyen tính trong lân c¾n cna điem kỳ d% chính quy.

3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu m®t phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi
phân tuyen tính. Tuy nhiên, do khuôn kho yêu cau đoi vói m®t khóa
lu¾n tot nghi¾p b¾c cú nhân Toán hoc, nên chúng tôi chí trình bày van
đe này trong pham vi tìm nghi¾m chuoi trong lân c¾n cna điem kỳ d%
chính quy. Vi¾c nghiên cúu nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tai

nhung điem kỳ d% không chính quy khá phúc tap nên chúng tôi xin dành
lai cho nhung nghiên cúu ve sau.

4. Phương pháp nghiên cNu
Tra mang, tìm kiem tài li¾u, phân tích, tong hop và xin ý kien đ%nh
hưóng cna ngưòi hưóng dan.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1. Đai cương ve phương trình vi phân
1.1.1. M®t so khái ni¾m
Phương trình vi phân là m®t phương trình chúa hàm can tìm và các
đao hàm cna nó. Neu hàm can tìm chí phu thu®c m®t bien đ®c l¾p, thì
phương trình đó goi là phương trình vi phân thưòng. Neu hàm can tìm
phu thu®c hai ho¾c nhieu bien đ®c l¾p thì phương trình đó goi là phương
trình vi phân đao hàm riêng.
Trong khóa lu¾n này, chúng tôi chí xét phương trình vi phân thưòng.
Như v¾y phương trình vi phân thưòng có dang tong quát
F .x, y, yr , yrr, ...y(n). = 0,

(1.1)

trong đó F là hàm xác đ%nh trong m®t mien nào đó cna không gian Rn+2
gom bien đ®c l¾p x và y là hàm cna bien đ®c l¾p cùng các đao hàm cap
m®t đen cap n cna nó. Cap cna m®t phương trình vi phân thưòng đưoc
xác đ%nh bói cap cao nhat cna đao hàm xuat hi¾n trong phương trình.
Nghi¾m cna phương trình (1.1) là hàm y = y(x) khá vi n lan trên khoáng
(a, b) nào đó thóa mãn phương trình đã cho, túc là
F .x, y(x), yr(x), ..., y(n−1)(x). = 0

vói moi x thu®c (a, b). Đo th% cna hàm y = y(x), x ∈ (a, b) đưoc goi
là đưòng cong tích phân cna phương trình . Khi giái phương trình vi
phân
ta cũng dùng thu¾t ngu "Tích phân phương trình vi phân" vì lí do này.
Neu tù phương trình (1.1) ta tìm đưoc bieu dien cna đao hàm cap cao
nhat y(n) qua các bien còn lai thì ta nói phương trình giái ra đưoc đoi
vói y(n) ho¾c ta còn goi là phương trình dang chính tac, túc là phương
trình


(1.1) có dang

y(n) = f .x, y, yr , ..., y(n−1). .

(1.2)

1.1.2. Bài toán Cauchy
Bài toán tìm nghi¾m y = y(x) vói bien đ®c l¾p
x thu®c khoáng (a, b)
nào đó, cna phương trình (1.2) thóa mãn đieu ki¾n
o

yo = = yr (xo) , ..., y(n−1) = y(n−1)
y

(xo)

(xo) (1.3)
, yr

o

đưoc goi là bài toán Cauchy. Đieu ki¾n (1.3) đưoc
goi là đieu ki¾n đau
cna bài toán Cauchy.
1.1.3. Van đe ton tai và duy nhat nghi¾m
cúa phương trình vi phân
é đây, chúng tôi chí giói thi¾u ve van đe ton
tai và duy nhat nghi¾m cna phương trình vi phân.
Vi¾c chúng minh đ%nh lý này, chúng ta có the
tham kháo trong [2]
Đ%nh lý 1 (Ton tai duy nhat nghi¾m). Cho
phương trình vi phân cap n
dang chính tac
y(n) = f .x, y, yr , ..., y(n−1). .
Neu ve phái cúa phương trình trên là m®t hàm liên
tnc cúa n + 1 bien
trong m®t mien nào đó cúa Rn+1 chúa điem .x0,
(n−1)
y0, yr , ..., y
. và các
∂f ∂f
,
đao
∂y ∂y r
hàm
riêng


,

(
n
∂)

y
liên tnc thì
ton tai m®t
khoáng (a,
b)
chúa
điem x0 đe
trên khoáng
này ton tai
và duy nhat
m®t hàm y
= y(x) khá
vi n lan và
thóa
mãn
đieu
ki¾n
đau (1.3).


1.2. Phương trình vi phân tuyen tính cap n
1.2.1. M®t so khái ni¾m
Phương trình vi phân tuyen tính cap n là phương trình có dang
r
y(n) + pn−1(x)y(n−1) + · · · + (x)y + (x)y = f (x),

p1

(1.4)

p0

trong đó p0(x), p1(x), ..., pn−1(x) và f (x) là các hàm liên tuc trên
khoáng
(a, b) nào đó.
Tù đ%nh lý ton tai duy nhat nghi¾m, ta suy ra phương trình vi phân
tuyen tính cap n luôn ton tai m®t nghi¾m duy nhat thóa mãn đieu ki¾n
đau (1.3). Ve phái cna (1.4) thưòng đưoc ký hi¾u là Ln[y] và goi là toán
tú vi phân tuyen tính cap n. Khi đó phương trình (1.4) đưoc viet dưói
dang
Ln[y] = f (x).
Phương trình Ln[y] = 0 goi là phương trình vi phân tuyen tính thuan
nhat tương úng cna phương trình Ln[y] = f (x). Trong trưòng hop
pi(x), i =
0, ..., n − 1, là các hang so thì phương trình (1.4) đưoc goi là phương
trình
vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so.
Đe xây dnng nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính
chúng ta can đen m®t so khái ni¾m và ket quá liên quan đen hàm so dưói
đây
1.2.2. SN phn thu®c tuyen tính và đ®c l¾p tuyen tính cúa các
hàm
Các hàm y1(x), y2(x), ..., ym(x) xác đ%nh trên khoáng (a, b) đưoc goi
là phn thu®c tuyen tính trên khoáng đó neu ton tai các hang so c1, c2,
..., cm không đong thòi bang 0 sao cho

m
.
k=1

ckyk(x) = 0

(1.5)


vói moi x ∈ (a, b). Các hàm so đó đưoc goi là đ®c l¾p tuyen tính trên
khoáng (a, b) neu nó không phu thu®c tuyen tính, túc là h¾ thúc (1.5)
chí xáy ra khi c1 = c2 = · · · = cm = 0.
Giá sú các hàm y1, y2, ..., ym xác đ%nh và có đao hàm đen cap m − 1
trên
khoáng (a, b) nào đó, ta đ¾t
.

y12

y

..
.
yr1
yr2
W [y1, y2, ..., ym] = Det .
.
···

. . (m−1)· · · (m−1
)
y
. 1
y2

···
···
···
···

ym

..

.
.
yrm
..
..
···
.
(m−1) .
ym

.

Giá tr% trên đưoc goi là đ%nh thúc Wronski cna các hàm y1, y2, ..., ym
trên
(a, b).

Bo đe 1. Neu các hàm y1, y2, ..., ym phn thu®c tuyen tính thì W (x) =
0
vói moi x ∈ (a, b).
ChNng minh. Vì các hàm y1, y2, ..., ym phu thu®c tuyen tính nên ton
tai các hang so λ1, λ2, ..., λm không đong thòi bang không đe
λ

y1 (x)
+ λ 2y (x)
+ · · · +m
λ y (x) = 0

1
2

m
λ1y r 1(x) + λ2y r 2(x) + · · · + λmy r m(x) = 0
..............


 (m−1)
(m−1
(m−1)
)
λ1 y
(x) + λ2y2 (x) + · · · + λmym (x) = 0
1
vói moi x ∈ (a, b). Vì h¾ thuan nhat này có nghi¾m không tam thưòng
(λ1, λ2, ..., λm) nên đ%nh thúc cna nó W (x) = 0 vói moi x ∈ (a, b).
Bo đe 2. Cho các hàm y1, y2, ..., ym xác đ%nh trên khoáng (a, b) là

nghi¾m
cúa phương trình Ln[y]. Khi đó đe các hàm y1, y2, ..., ym đ®c l¾p tuyen
tính thì đieu ki¾n can và đú là W [y1, y2, ..., ym] ƒ= 0 vói moi x ∈ (a,
b). ChNng minh. Theo bo đe 1, neu ton tai x ∈ (a, b) đe W (x)
ƒ= 0 thì


y1, y2, ..., ym đ®c l¾p tuyen tính, bat lu¾n các hàm này có là nghi¾m
cna phương trình Ln[y] = 0 hay không.
Ngưoc lai, giá sú các hàm y1, y2, ..., ym đ®c l¾p tuyen tính nhưng ton
tai


x0 đe W (x0) = 0.
Xét h¾ phương trình
λ

y1 (x
) + λ 2y (x
) + · · · + mλ my (x ) = 0

1 0
2 0
 0 r
λ1y 1(x0) + λ2 y r 2 (x0 ) + · · · + λmy r m(x0) = 0
..............


 (m−1)
(m−1

(m−1)
)
λ 1y
(x0) + λ2y2 (x0) + · · · + λmym (x0) = 0.
1
Vì W (x0) = 0 nên ton tai b® so (λ1, λ2, ..., λm) không đong thòi
bang
m
.
không là nghi¾m cna h¾ trên. Theo đ%nh lý 2 dưói đây, y =
λk y k
là
k=1

nghi¾m cna phương trình Ln[y] = 0. Theo h¾ trên thì nghi¾m này thóa
mãn đieu ki¾n đau (1.3). Hien nhiên y = 0 cũng thóa mãn đieu ki¾n này
nên theo đ%nh lý 1
y=

.m

λkyk(x) = 0

k=1

trên khoáng (a, b). Đieu này mâu thuan vói tính đ®c l¾p tuyen tính cna
y1, y2, ..., ym. Bo đe đưoc chúng minh.
1.2.3. Cau trúc nghi¾m cúa phương trình vi phân tuyen tính Đ
%nh nghĩa. H¾ gom n nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cna phương
trình

Ln[y] = 0 goi là h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình đó.
Như chúng ta đã nghiên cúu trong các giáo trình b¾c đai hoc, các ket
quá dưói đây cho phép ta xây dnng đưoc nghi¾m tong quát cna phương
trình phân tuyen tính.
Đ%nh lý 2. Neu y1, y2, ..., ym là các nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cúa
phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat Ln[y] = 0, thì nghi¾m tong
quát cúa phương trình có dang
m


y=

.

k=1

ckyk(x),

(1.6)


trong đó c1, c2, ..., cm là các hang so tùy ý.
Đ%nh lý 3. Giá
sú

y˜ là m®t nghi¾m riêng cúa phương trình vi phân
tuyen
tính không thuan nhat Ln[y] = f (x) và y1, y2, ..., yn là m®t h¾ nghi¾m
cơ bán cúa phương trình thuan nhat Ln[y] = 0 tương úng vói phương
trình đã cho. Khi đó, nghi¾m tong quát cúa phương trình Ln[y] = f (x)

là
n
.
y(x) = y˜(x) +
ck yk (x).
(1.7)
k=1

1.3. Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾
so hang so
1.3.1. Nghi¾m riêng cúa phương trình vi phân tuyen tính thuan
nhat h¾ so hang so
Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so là phương
trình có dang
Ln 1y(n−1 yr + p0
[y )
+··
]
· + p1
=
y(
n)

+
pn


y = 0,

(1.8)

−

trong đó p0, p1, ..., pn−1 là các hang so thnc. Ta tìm nghi¾m riêng
cna
phương trình (1.8) dưói dang y = eλx, trong đó hang so λ đưoc xác đ
%nh sao cho y là nghi¾m cna phương trình đó. Các đao hàm cna
nghi¾m trên đưoc tính toán đơn gián là
yr = λeλx, yrr = λ2eλx, ..., y(n) = λneλx.
Thay vào phương trình (1.8) ta nh¾n đưoc

1

.

0

−

λx

.

1λ

n

Ln[y] = Ln(e ) = λ +
pn

n−1

+p

+···

λ+
p

eλx = 0.

Bói vì eλx ƒ= 0, nên tù phương trình trên, ta suy ra
Pn(λ) = λn +
pn

−1λ

n−1

p1

+ · · · +λ +
p0

= 0.

(1.9)

Đieu đó cho thay, neu λ là m®t nghi¾m cna phương trình (1.9) thì y = eλx
là m®t nghi¾m cna phương trình (1.8). Phương trình (1.9) đưoc goi là

phương trình đ¾c trưng cna phương trình (1.8). Đa thúc Pn(λ) goi là đa
thúc đ¾c trưng cna phương trình (1.8).
1.3.2. Cau trúc h¾ nghi¾m cơ bán cúa phương trình vi phân
tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so
Như v¾y, h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình (1.8) đưoc xây dnng
trên cơ só các nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng. Đe xây dnng đưoc h¾
nghi¾m cơ bán cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so, ta
can m®t so bo đe sau trong vi¾c xú lý các nghi¾m cna phương trình đ¾c
trưng. Chúng minh chi tiet các bo đe này ta có the tham kháo trong [3].
Bo đe 3. Neu λ1, λ2, ..., λm là các nghi¾m khác nhau cúa phương
trình đ¾c trưng (1.9), thì
eλ1x, eλ2x, ..., eλmx
là các nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình vi phân tuyen tính
thuan nhat (1.8).
Bo đe 4. Neu λ1 là m®t nghi¾m b®i m cúa phương trình đ¾c trưng (1.9),
thì các hàm
eλ1x, xeλ1x, ..., xm−1eλ1x
là các nghi¾m riêng đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình vi phân tuyen
tính thuan nhat (1.8).
Bo đe 5. Neu α ± iβ là các nghi¾m phúc b®i m cúa phương trình
đ¾c trưng (1.9), thì các hàm
eαx cos βx, xeαx cos βx, ..., xm−1eαx cos βx
và
eαx sin βx, xeαx sin βx, ..., xm−1eαx sin βx
là 2m nghi¾m riêng đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình vi phân
tuyen tính thuan nhat (1.8).


1.3.3. Phương pháp giái phương trình vi phân tuyen tính thuan

nhat h¾ so hang so
Tù "đ%nh lý cơ bán cna đai so", đa thúc đ¾c trưng Pn(λ) có đúng
n nghi¾m ke cá nghi¾m b®i. Do đó, tù các bo đe trên cho phép ta xây
dnng đưoc đúng n nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cna phương trình (1.8).
Tù đó, ta nh¾n đưoc nghi¾m tong quát cna phương trình đã cho.
Ví dn 1. Giái phương trình
y(5) + yrrr − 10yrr = 0.
Phương trình trên đây có phương trình đ¾c trưng là
λ5 + λ3 − 10λ2 = 0.
Các nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng là λ = 0 (b®i 2), λ = 2
(nghi¾m đơn) và c¾p nghi¾m phúc đơn liên hop λ = −1 ± 2i. Do đó,
theo các bo
đe đã xây dnng ó trên, ta có h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình đã cho
là
e0x = 1, xe0x = x, e2x, e−xcos2x, e−x sin
2x.
Tù đó, ta đưoc nghi¾m tong quát cna phương trình là
y = c1 + c2x + c3e2x + c4e−xcos2x +
c5e−x sin 2x,
trong đó ci, i = 1, 5 là các hang so.

1.4. Nghi¾m tong quát cúa phương trình vi phân tuyen
tính không thuan nhat h¾ so hang so
Trong phan này chúng ta xét các phương trình có dang
r
y(n) + pn−1y(n−1) + · · · + y + y = f (x),

p1

(1.10)

p0

trong đó p0, p1, ..., pn−1 là các hang so, f (x) liên tuc trên khoáng (a,
b)
nào đó.


Đe nh¾n đưoc nghi¾m tong quát cna phương trình (1.10), ta lay m®t


nghi¾m riêng cna phương trình không thuan nhat c®ng vói nghi¾m tong
quát cna phương trình thuan nhat tương úng. Van đe này đã đưoc trình
bày trong phan cau trúc nghi¾m tong quát cna nó. Tuy nhiên vi¾c tìm
m®t nghi¾m riêng cna phương trình này cũng không han đơn gián. Dưói
đây, chúng tôi đưa ra m®t so trưòng hop cna f (x) mà ta có the tìm
đưoc nghi¾m riêng cna phương trình này m®t cách đơn gián.
1.4.1. Dang thN nhat
Ve phái cna phương trình (1.10) có dang f (x) = eαxPk(x) trong
đó
Pk(x) là m®t đa thúc b¾c k cna x. Ta phân bi¾t hai trưòng hop sau
+ Neu α không là nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng, thì ta có the
tìm nghi¾m riêng cna phương trình dưói dang
y = eαxQk(x);
+ Neu α làm nghi¾m b®i m cna phương trình đ¾c trưng, thì ta có
the tìm nghi¾m riêng cna phương trình dưói dang
y = xmeαxQk(x);
trong đó Qk(x) là đa thúc b¾c k cna x.
Ví dn 2. Giái phương trình
yrr + 3yr − 4y = x.

Phương trình đ¾c trưng cna phương trình này là λ2 + 3λ − 4 =
0 và
x
nó có
hai
nghi¾m
phân
bi¾t
λ
=
1,
λ
=
−4.
Do
đó
y
=
e
và
y2
1
2
1
= e−4x
là h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình tuyen tính thuan nhat tương úng.
Ve phái cna phương trình tuyen tính thuan nhat có dang eαxP1(x) vói
α = 0 và P1(x) = x. Vì α = 0 không phái là nghi¾m cna phương
trình đ¾c trưng, nên ta tìm nghi¾m riêng cna phương trình dưói dang
y˜(x) = e0x Q1 (x) = Ax + B.