Ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải một số bài toán của hình học tổng hợp trong mặt phẳng

Khãa luËn tèt
nghiÖp

GVHD: Th.s Phan Hång
Tr•êng
MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình Toán ở nhà trường phổ thông, các em học sinh đã
được làm quen với khái niệm “lồi” ngay từ cấp hai khi học môn hình học.
Hầu hết chương trình học ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông đều
giới hạn trong các hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn rồi
đến các khối đa diện lồi như hình chóp, hình lăng trụ hoặc các khối tròn như
hình nón, hình trụ, hình cầu. Việc sử dụng các tính chất của tập lồi và bao lồi
là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán hình
học tổ hợp. Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này nhằm
chuẩn bị cho mình lượng kiến thức tốt cho công việc giảng dạy sau này nên
em đã chọn đề tài: “Ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải một số bài
toán hình học tổ hợp trong mặt phẳng” để làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về tập lồi và bao lồi.
- Làm rõ tính ưu việt của việc ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải
các bài toán hình học tổ hợp trong mặt phẳng.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi và bao lồi.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán hình học tổ hợp ứng dụng tính chất
của tập lồi và bao lồi trong mặt phẳng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu về ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi vào các bài
toán hình học tổ hợp trong mặt phẳng .
5. Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu, phân tích tài liệu.

Nguyễn Thị Nhung

1

K33A - Toán


Khãa luËn tèt
nghiÖp

Nguyễn Thị Nhung

GVHD: Th.s Phan Hång
Tr•êng

2

K33A - Toán


- Sưu tầm, giải quết các bài toán.
6. Cấu trúc đề tài.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì đề tài gồm có 3
chương:
- Chương 1: Tập hợp lồi.
2

- Chương 2: Bao lồi trong mặt phẳng E .

- Chương 3: Ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải một số bài toán
2

hình học tổ hợp trong mặt phẳng E .
Các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất cơ bản của tập lồi và bao
lồi được trình bày trong chương 1 và chương 2. Đó là những kiến thức cần
thiết được sử dụng trong chương 3. Chương 3 đề cập đến phương pháp chung
để giải các bài toán hình học tổ hợp sử dụng phép lấy bao lồi và sau đó là các
bài tập minh họa cho phương pháp này. Đây cũng chính là phần nội dung
chính của đề tài.



NỘI DUNG
Chương 1: TẬP HỢP LỒI
1.1, Một số kiến thức bổ trợ
1, Cho một điểm M, khi đó:
1

- Nếu M nằm trên đường thẳng có định hướng ( trục số E ), thì M có tọa độ
là x và ta hay viết M (x).
2

- Nếu M nằm trên mặt phẳng tọa độ Oxy (E ), thì M có tọa độ là (x,y)
và ta hay viết M (x, y).
3

- Nếu M nằm trong không gian Oxyz ( E ), thì M có tọa độ là (x, y, z) và ta
hay viết là M(x, y, z).

uuuur

2, Gọi O là gốc tọa độ khi đó ta có thể cho tương ứng M với OM , vì

uuuur
như đã biết khi ấy tọa độ của điểm M cũng chính là tọa độ của vec tơ OM .

Dựa vào phép tính về vec tơ, ta có thể đưa ra các khái niệm sau:
1

2

3

- Nếu M (x) (M (x, y); M( x, y, z)) là điểm thuộc E (E , E ) thì điểm λM sẽ
là điểm có tọa độ là λx ( (λx, λy); ( (λx, λy, λz) ) với λ là số thực tùy ý.
1

- Nếu M (x1); N (x2) là 2 điểm thuộc E , thì điểm M+ N sẽ là điểm có
2

3

tọa độ là x1 + x2 (định nghĩa tương tự trong E , E ).
2

Thí dụ trong E xét 2 điểm M( x1, y1), N( x2, y2) thì ta hiểu điểm
2

λM + µN là điểm trong E có tọa độ là: ( λ x1 + µ x2; λy1 + µ y2).

3, Cho 2 điểm M, N khi đó tập hợp:
MN= { λM + (1- λ) N: 0 ≤ λ ≤ 1} gọi là đoạn thẳng nối M với N.
+, Khi λ =0 thì λM + ( 1- λ) N = N, đó là mút bên phải N.
+, Khi λ =1 thì λM +( 1- λ) N = M, đó là mút bên trái M.
Người ta cũng có thể dùng khái niệm:



MN = { λM +µ N : λ ≥ 0; µ ≥ 0; λ+ µ= 1} ®ể chỉ đoạn thẳng có 2 đầu
mút là M và N.
4, Có 2 tập hợp A và B. Khi đó:
A+ B= {c: c= a+b, với a
λA= { c: c= λa với a

A, b

B}

A}

1

Thí dụ: Trong E cho A= [ 1; 3]; B= [ 2; 6] thì A+ B= [3; 9];
2A= [2; 6]

1.2, Định nghĩa tập hợp lồi
Tập hợp D được gọi là tập hợp lồi nếu như với mọi hai phần tử a
b

D,

D, với mọi số λ ( 0≤ λ ≤ 1) thì phần tử λa + (1- λ) b cũng thuộc tập hợp D.

*Chú ý: Như đã nói trong phần trên, tập hợp
{ λa + (1- λ) b : 0≤ λ ≤1 } chính là đoạn thẳng nối 2 phần tử a với b.
Vì vậy về mặt hình học ta có thể hiểu như sau: D là tập hợp lồi nếu như
với mọi hai điểm A, B

Thí dụ:

D, thì toàn bộ đoạn thẳng AB cũng thuộc tập hợp D.



1

-Trong E các đoạn thẳng, các khoảng là những tập hợp lồi.

2

-Trong E các đa giác lồi, hình tròn...là những tập hợp lồi.

2

-Trong E tứ giác ABCD dưới đây không phải là tập hợp lồi.

2

1.3, Một số tính chất của tập hợp lồi trong mặt phẳng E
1. Mệnh đề 1.

Giao của các tập lồi bất kì là một tập lồi, tức: Nếu Di
tập hợp lồi, với I là tập chỉ số bất kì thì D =

X(i

Di (i I) cũng là tập hợp lồi.

- Chứng minh:
Lấy a, b tùy ý thuộc D và λ là số thực tùy ý sao cho 0 ≤ λ ≤ 1.
Với

i

I, do Di là các tập hợp lồi mà a, b

nên: λa + (1- λ)b

Di

(

i I)

I) là các

Di (

i

I)



Từ đó λa + (1- λ) b

D

Vậy D là tập hợp lồi (đpcm).
*Chú ý: Nếu A, B là các tập hợp lồi thì A
(Xem hình minh họa):

A

B chưa chắc là tập hợp lồi.

B

Ví dụ: Lấy A= {a}; B= B( O; R), a B; với B (O; R) là hình tròn tâm O, bán
kính R. Khi đó A, B là các tập hợp lồi nhưng A B không phải là tập lồi vì
lấy b

B thì đoạn thẳng ab

A

B.

2. Mệnh đề 2.
2

Trong mặt phẳng E cho tập hợp D. Khi đó D là tập hợp lồi khi và chỉ
khi với mọi số nguyên dương n, với mọi x1, x2...., xn
và

n

i 1

i = 1, thì:

n
i 1

i xi

D, với

λi ≥ 0;

i= 1, n

D.

- Chứng minh:
Giả sử D là tập hợp thỏa mãn yêu cầu đã cho. Nói riêng với n= 2, ta có
từ x1, x2 D, λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0 và λ1 +λ2 =1, thì: λ1x1 + λ2x2
Theo định nghĩa suy ra D là tập hợp lồi.

D.

Đảo lại, giả sử D là tập hợp lồi. Ta phải chứng minh D thỏa mãn tính
chất đã cho. Điều này được chứng minh bằng quy nạp như sau:
+, Với n= 1, kết luận hiển nhiên đúng.
+, Với n= 2, kết luận đúng vì đó là định nghĩa của tập hợp lồi.
+, Giả thiết quy nạp, kết luận của bài toán đã đúng đến n= k, tức là với
k

mọi x1, x2..., xk

D, với

λi ≥ 0, i= 1, k và
i 1

- Xét khi n= k+1. Lấy x1, x2...., xk, xk+1
và

k 1
i 1

k

i = 1 thì:

i 1

i xiD.

D, lấy λi ≥ 0, i= 1, k 1

i = 1.

Chỉ có 2 khả năng xảy ra:
a, Nếu λk+1 =1, thì λ1 =λ 2 =.....=λk =0. Vì thế:
k 1
i 1

D ( theo giả thiết xk+1

i xi = xk+1

D)

k

b, Nếu λk+1 < 1. Đặt λo =
i 1

(chú ý là

i ; khi đó rõ ràng λo

0 và λo > 0.

k 1

i = 1 và λk+1 < 1).

i 1

i

Ta có:
k 1

k

o

.xi +λk+1.xk+1

(1)

i xi =λ0
i 1

Vì

i 1

1

;..........,

0

k

[0,1] và

k

i 1

0

i
o =

0

=1

0
k

nên từ x1, ....,xk

D và theo giả thiết quy nạp suy ra: x =
i 1

i
o .xi

D

k 1

Do x D, xk+1 D, λ0 > 0, λk+1 ≥ 0 và λ0 + λk+1 =
i 1

của D suy ra: λo. x + λk+1.xk+1

D

i =1 nên từ tính lồi

(2)



Từ (1), (2) suy ra:

k 1
i 1

i xiD

Vậy kết luận của bài toán cũng đúng với n= k+1.
Theo nguyên lí quy nạp suy ra điều phải chứng minh.
*Chú ý: Kết luận của mệnh đề trên vẫn đúng nếu D là tập hợp lồi trong
1

3

E , cũng như trong E .
1.4, Một số bài tập về tập hợp lồi.

Bài 1: Cho A, B là các tập hợp lồi. Chứng minh rằng A+ B cũng là tập
hợp lồi.
Lời giải
Đặt C = A+ B, thì C= { c: c= a+b, với a

A, b

B}

Lấy c1, c2 tùy ý thuộc C, và 0 ≤ λ ≤ 1 là số thực tùy ý.
Vì c1

C

c1= a1+ b1 với a1

A, b1

B

c2

C

c2= a2+ b2 với a2

A, b2

B

từ đó: λc1 + (1- λ) c2 = λ (a1+ b1) + (1- λ) (a2+ b2)
= [ λa1 + (1- λ) a2 ] + [λb1 + (1- λ) b2 ]
Do A, B là các tập hợp lồi mà a1, a2
λa1 + (1- λ)a2

A;

A; b1, b2

λb1 + (1-λ) b2

Vì lẽ đó từ (1) suy ra λc1 + (1- λ) c2

(1)
B nên:

B

C

Điều đó có nghĩa là C lồi, tức A+ B lồi. (đpcm)
*Chú ý: Bằng quy nạp dễ dàng suy ra nếu A1, A2, ..... An là các tập hợp lồi thì
A1+A2+ ..... +An cũng là tập hợp lồi.
Bài 2: Cho hệ phương trình

a1x + b1y+ c1 ≥ 0
a2x + b2y + c2 ≥ 0
...
anx + bny +c2 ≥ 0

Giả sử hệ nói trên có nghiệm và D là tập hợp nghiệm của hệ ấy. Chứng
2

minh rằng D là tập hợp lồi trong E .
Lời giải
Giả sử ( x1, y1) và ( x2, y2) là 2 phần tử tùy ý của D và λ là số thực tùy ý
sao cho 0≤ λ ≤ 1.
Ta có: ak x1 + bky1 +c k ≥ 0 và akx2 +bky2+ ck ≥ 0 với

k= 1, n .

Từ đó suy ra với mọi k= 1, n cũng có:
λ( ak x1 + bky1 +c k ) + (1- λ) (akx2 + bky2 +ck ) ≥ 0
hay ak [ λx1+(1-λ)x2]+ bk [ λy1+(1- λ)y2] + ck ≥ 0

(1)

Bất đẳng thức (1) chứng tỏ rằng với mọi k= 1, n thì phần tử:
( λ x1 + (1- λ) x2; λy1 +(1- λ)y2 )
hay λ (x1, y1) + (1- λ) (x2, y2)

D

D
2

Theo định nghĩa D là tập hợp lồi trong E ( đpcm).
Bài 3: Trong mặt phẳng cho điểm ( xo, yo). D là tập hợp các điểm (x, y)

2

2

2

được xác định như sau: D= { (x; y) : (x- xo) + (y- yo) ≤ R }
Ở đây R là số dương cho trước. Chứng minh rằng D là tập hợp lồi.
Lời giải
Giả sử ( x1, y1); (x2, y2) là 2 phần tử tùy ý của D. Khi ấy ta có:
2

2

2

2

2

2

(x1- x0) + ( y1- y0) ≤ R
(x2- x0) + ( y2- y0) ≤ R

(1)

Lấy λ là số thực tùy ý sao cho 0 ≤ λ ≤1. Xét phần tử:
λ (x1, y1) + (1- λ) (x2; y2) = ( λx1 + (1- λ) x2; λy1 + (1- λ) y2)
2

2

Ta có: [ λx1+ (1- λ) x2- x0] + [λy1 + (1- λ) y2- y0]
2

2

= [ λ(x1- x0) +(1- λ) (x2- x0) ] + [ λ( y1- y0) +(1- λ)( y2- y0)]
2

2

2

2

2

2

= λ . [(x1- x0) + ( y1- y0) ] +(1- λ) [(x2- x0) + ( y2- y0) ] + 2λ(1- λ).
[(x1- x0) (x2- x0) + ( y1- y0) ( y2- y0)]

(2)



Chú ý rằng:

x1

(x1- x0) (x2- x0) ≤

2

x0

x2

x0

2

2

(y1- y0)( y2- y0) ≤ y1 y0

2

y2

y0

2

(3)

2

Thay (1), (3) vào ( 2) ta có:
2

[ λx1 + (1- λ) x2 – x0] + [ λy1 +(1- λ) y2- y0]
2

2

2

2

≤ λ R + (1- λ) R +2λ( 1- λ ) R
2

2

2

2

2

2

2

(4)

2

2

Vì λ R +( 1- λ) R + 2λ( 1- λ)R = R [λ +( 1- λ)] =R

2

nên từ (4) suy ra:
2

2

[ λx1+(1-λ)x2–x0 ] + [ λy1+( 1- λ)y2- y0 ] ≤ R

2

(5)

Bất đẳng thức (5) chứng tỏ rằng phần tử λ (x1; y1) +( 1- λ) (x2; y2)

D

2

Theo định nghĩa D là tập hợp lồi trong E ( đpcm).
*Chú ý:
Trong bài tập trên D chính là đường tròn tâm ( x0; y0) và bán kính bằng R.
Bài 4: Cho C là tập hợp lồi và λ1 ≥ 0, λ 2 ≥ 0. Chứng minh rằng:
λ1C + λ2 C = ( λ1 +λ 2) C
Lời giải

1, Rõ ràng ( λ1+ λ 2) C
Thật vậy, giả sử x

(1)

( λ1+ λ 2) C, tức là: x= (λ1 +λ2 ) x , với xC

Từ x= λ1 x +λ2 x và λ1 x
Suy ra x

λ1C + λ2 C
λ1C, λ2 x

λ2C

λ1C + λ2 C

Như thế bao hàm thức (1) đã được chứng minh.
2, Bây giờ ta sẽ chứng minh bao hàm thức ngược lại:
λ1C + λ2 C

( λ1 + λ2) C

(2)

V× λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0 nên ta có 2 khả năng sau xảy ra:
a, Nếu λ1+ λ2 = 0. Khi đó λ1 = λ2 = 0. Lúc này (2) hiển nhiên đúng.
b, Nếu λ1 + λ2 > 0. Giả sử x là phần tử bất kì mà x

Nguyễn Thị Nhung

1
0

λ1C + λ2 C.

K33A - Toán


Nguyễn Thị Nhung

1
0

K33A - Toán


Như vậy tồn tại x1

C, x2

sau: x=( λ1 + λ2 ) (

1
1

Do x1 C, x2 C,

C sao cho x= λ1x1 + λ2 x2. Ta có thể viết lại như
.x1 +

2

.x2 )

2
1

(3)

2
1

1
1

2

≥ 0,
1

mà C là tập hợp lồi nên

Từ (3), (4) đi đến x

1

2

.x2

C

2

2

1

2

(4)

( λ1+ λ2) C. Vậy (2) được chứng
λ1C + λ2 C

(Đpcm).

Bài 5: Giả sử C là tập hợp lồi. Điểm x
nếu như không tồn tại 2 điểm x1, x2
ở đây x1

1

2

minh. Từ (1), (2) suy ra
= (λ1 + λ2 )C

=1

2

.x1 +

1
1

≥ 0 và

2

2

+

C gọi là điểm cực biên của C

C sao cho: x= λ1 x1+ λ2x2

x2, λ1 > 0, λ2 > 0 và λ1+ λ2 =1

Cho C là tập hợp lồi. Chứng minh rằng x
chỉ khi không tồn tại 2 điểm x1, x2

C là điểm cực biên của C khi và
x= x1x2

C, x1 x2, sao cho:

2

Lời giải
1, Giả sử x C là điểm cực biên của C, nhưng lại tồn tại x1, x2 C, x1

x2

mà: x= x1x2

2

Rõ ràng: x=

1
2

1

x1 + x2 , ở đây x1, x2
2

C, x1

x2,

1
2

+

1

=1

2

Điều này trái với định nghĩa của điểm cực biên. Vậy giả thiết phản chứng là
sai. Tức là không tồn tại x1, x2

C; x1

2, Đảo lại, giả sử không tồn tại x1, x2
x=

1
2

x2 sao cho x= x1x2

2

C; x1

x2 sao cho:

( x1+x2)

Nguyễn Thị Nhung

21

K33A - Toán


Ta phải chứng minh x C là điểm cực biên của C. Giả thiết điều đó không
đúng tức là x không phải là điểm cực biên của C. Điều đó có nghĩa là tồn tại
x1, x2 C( x1

x2 ), và còn tồn tại λ1 >0, λ2 > 0; λ1+ λ2 =1

Nguyễn Thị Nhung

22

K33A - Toán


sao cho x= λ1x1+ λ2x2

(1)

Do 0 < λ1< 1, nên luôn chọn được ε > 0 sao cho λ1+ ε và λ1- ε đều thuộc
(0; 1).
Đặt α = λ1+ ε; β= λ1- ε.
Vì C là tập hợp lồi mà x1, x2
a= αx1 + (1-α )x2

C

b= βx1 + (1- β)x2

C

Rõ ràng a
1
2

C, nên:

b và ta thấy:

( a+ b) =

.x1 + ( 1-

2

)x2

2

= λ1x1+ (1- λ1) x2
= λ1x1 + λ2x2
Từ (1),(2) suy ra: x=

(2)
1
2

( a+ b)

Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy giả thiết phản chứng là sai. Tức
là x là điểm cực biên của C. Bài toán được giải hoàn toàn.
Bài 6: Cho C là tập hợp lồi và x

C. Chứng minh rằng điểm x là điểm

cực biên của C khi và chỉ khi C\{x} là tập hợp lồi.
Lời giải
1, Giả sử x là điểm cực biên của C. Ta phải chứng minh C\{x} làtập hợp lồi.
Giả thiết phản chứng điều đó không đúng. Điều đó có nghĩa là tồn tại x1
x2

C (x1

x2) sao cho đoạn [x1; x2] không nằm trọn trong C\{x}.

Do C là tập hợp lồi mà x1

C, x2

C nên: [x1, x2]

Vì C chỉ khác C\{x} một điểm x, nên x
x

[x1, x2], thì do [x1, x2]

C

[x1, x2] . Thật vậy nếu trái lại

C suy ra [x1, x2]

C\{x}.

C,


Đó là điều vô lí. Như vậy x [x1, x2], điều này trái với x là điểm cực biên của
C. Tóm lại giả thiết phản chứng là sai, tức C\{x} là tập lồi.
2, Đảo lại, giả sử C\{x} là tập hợp lồi, ta sẽ chứng minh x là điểm cực biên
của C. Giả thiết phản chứng x không phải là điểm cực biên của C. Điều đó có
nghĩa là tồn tại x1, x2
x= λx1 + (1- λ)x2
Do x1, x2

C; x1

x2 sao cho: x

(x1, x2); tức là:

với 0 < λ< 1.

C mà x1 x, x2

(*)

x (vì có (*)), nên chứng tỏ rằng:

C\{x}.
Vì C\{x} là tập hợp lồi nên [x1, x2]
Do x thuộc (x1, x2) suy ra x

C\{x}

C\{x}.

Điều vô lí này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai.
Vậy x là điểm cực biên của C (đpcm).

x, x2


Chương 2: BAO LỒI TRONG MẶT PHẲNG E

2

2.1, Định nghĩa về bao lồi.
Cho M là tập hợp cho trước. Tập hợp lồi nhỏ nhất chứa M được gọi là
bao lồi của tập hợp M.
Kí hiệu là C (M).
-Ví dụ:
2

Trong E cho B( O; R) = {x : d(O, x) ≤ R} là hình trßn tâm O, bán kính
R. Khi đó C (B( O; R) ) = B (O; 1)

( hình trßn đơn vị)

2

2.2, Một số tính chất của bao lồi trong mặt phẳng Euclide E
2.2.1: Mệnh đề 1.
Gọi Z= { α: Cα là tập hợp lồi chứa M}
Trong đó M là một tập hợp cho trước.
Khi đó C (M) =

Cα (α

Z)

Nghĩa là: bao lồi của một tập hợp là giao của tất cả các tập hợp lồi chứa
tập hợp đã cho.
*Chứng minh:
2

Gọi M là tập hợp trong mặt phẳng E . Trước hết ta thấy rằng: Z

.

2

Thật vậy, ít nhất toµn mặt phẳng E chính là một tập hợp lồi chứa M.
Vì Cα là tập hợp lồi nên như ta đã biết giao của các tập hợp lồi chính là tập
hợp lồi. Vì thế Cα (α Z) là tập hợp lồi, và rõ ràng vì Cα

M, α Z nên