Bài giảng Thuật toán đơn hình đối ngẫu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 15 trang )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN

Chào mừng quý thầy
cô về dự giờ hội giảng mùa xuân

Năm học 2015-2016
Giảng viên: Đào Thị Kim Chi

Chương III
BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU VÀ THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU
3.3.THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU

3.3.1-Thuật toán đơn hình đối ngẫu cho bài toán có cơ sở đối ngẫu:
a.Bài toán có cơ sở đối ngẫu là bài toán có dạng

Trong đó ma trận A có cơ sở đơn vị là khi lập bảng đ ơn hình đ ể tính các ước l ượng thì có , c ơ s ở đ ơn v ị ấy g ọi là c ơ s ở đ ối
ngẫu
Nhận xét Nếu bài toán (trên) có cơ sở đối ngẫu và đồng thời có thì cơ sở ấy xác định một phương án tối ưu.

b.Điều chỉnh phương án đối với bài toán có cơ sở đối ngẫu

Xét bài toán có cơ sở đối ngẫu nhưng không có , khi đó cơ sở đối ngẫu ấy chỉ cho ta một “giả phương án” , ta
phải điều chỉnh để dần dần có được phương án tối ưu hoặc kết luận không có phương án.
Quá trình điều chỉnh gồm 3 bước:
Bước 1: Xác định dòng quay là dòng k ứng với
Bước 2: Xác định phần tử quay với dòng k là dòng quay, phần tử quay xác định bởi:

Bước 3: Biến đổi sơ cấp và xác định vectơ đơn vị đưa ra vào. Quá trình này làm giống như thuật toán đơn hình. Ta
biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận bổ sung để đưa cột chứa phần tử quay đưa về số 1.

c.Dấu hiệu tối ưu

Quá trình điều chỉnh như trên luôn dẫn một bài toán có cơ sở đối ngẫu về một bài toán có cơ sở đối ngẫu. Lý do
của điều đó là do cách chọn phần tử quay như trên khiến ta luôn có

Định lý Với bài toán có cơ sở đối ngẫu ta có:
a.Nếu thì cơ sở đơn vị xác định một phương án tối ưu.
b. Nếu tồn tại để nhưng thì bài toán có tập phương án rỗng.

Chứng minh
a.Nếu thì bài toán là bài toán chính tắc có cơ sở đơn vị, theo dấu hiệu tối ưu trong thuật toán đ ơn hình nên cơ sở
đơn vị xác định một phương án tồn tại tối ưu.
b.Nếu tồn tại nhưng thì trong hệ ràng buộc của bài toán có ràng buộc sau

Rõ ràng buộc đó không bao giờ xảy ra khi nhưng

d. Sơ đồ thuật toán đơn hình đối ngẫu cho bài toán có cơ sở đối ng ẫu

BEGIN

TRUE

FALSE

Kết luận PATU
FALSE

Tồn
Tồn tại
tại có
có

TRUE

Tập PA rỗng

END

Ví dụ 1. Giải bài toán sau bằng thuật toán đơn hình đối ngẫu

Đưa thêm ẩn phụ , ta có bài toán:

Ta có nên đây là bài toán cơ sở đối ngẫu. Ứng với cơ sở , ,

Cơ s ở

4

3

2

3

0

0

b

2

2

1

0

1

-1

0

0

0

11

-1

2

0

1

1

0

0

-8

-2

-1

0

3

0

1

2

4
-2

-2
0

-3
-1/2

0
1

-5
½

0
0

0
½

0

15

0

5/2

0

-1/2

1

-1/2

4

4

1

½

0

-3/2

0

-1/2

3

12
4

0
0

-2
1

0
-2

-8
-1

0
0

-1
-1

0

5

0

0

5

2

1

2

4

2

1

0

1

-1

0

0

20

0

0

-4

-10

0

-3

Vậy bài toán có phương án tối ưu là với

Trong bước 1 ta có dòng quay ứng với , phần tử quay ứng với

Ví dụ 2: Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau đây:

+12

Đưa bài toán về dạng chính tắc và đối dấu hai vế ràng buộc đẳng thức, ta nhận được bài toán

Giả phương án ban đầu là

Cơ sở

15

12

10

0

0

b

0

-160

-3

-4

-2

1

0

0

-140

-1

-2

-3

0

1

0

-15

-12

-10

0

0

12

40

3/4

1

1/2

-1/4

0

0

-60

1/2

0

-2

-1/2

1

480

-6

0

-4

-3

0

12

25

7/8

1

0

-3/8

1/4

10

30

-1/4

0

1

1/4

-1/2

600

-7

0

0

-2

-2

Vậy bài toán có phương án tối ưu là

với

Từ kết quả tính toán nêu trên, ta có thể tìm được lời giải của bài toán đối ngẫu nhờ vận dụng quy tắc sau
đây.

Quy tắc B: Nếu cơ sở ban đầu là ma trận đơn vị thì để tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu ta chọn ra

từ bảng đơn hình đối ngẫu cuối cùng của các của các cột biến mà chúng là các biến cơ sở ở bước lặp đ ầu tiên
(bảng 1) rồi cộng thêm với hệ số tương ứng. Sau đó đổi dấu tổng tìm được nếu biến cơ sở tương ứng ban
đầu nhận giá trị âm.

Với ví dụ đang xét ta thấy các biến cơ sở ở bước lặp đầu tiên (bảng 1) là , (, là các vectơ đơn vị). Lúc đầu các
biến này nhận giá trị âm, nên PATƯ của bài toán đối ngẫu được xác định như sau:

Vậy =(2,2) và

*Ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu

Ví
dụ: Xét bài toán lập kế hoạch sản xuất của xí nghiệp

Bây giờ ta xét bài toán khác đặt ra đối với xí nghiệp đó là bài toán

mua nguyên liệu dự trữ cho việc sản xuất các sản phẩm nói trên.

Xí nghiệp sản xuất của mặt hàng từ các loại nguyên liệu với lượng dự
Cần mua các loại nguyên liệu với lượng yêu cầu Hãy lập kế hoạch

trữ tương ứng là . Mỗi đơn vị sản phẩm có giá trị là và chi phí nguyên liệu i là
Lập kế hoạch sản xuất của xí nghiệp sao cho:

a)
b)

Tổng giá trị sản phẩm là lớn nhất
Lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ

mua các loại nguyên liệu sao cho

a)
b)

Tổng số tiền mua nguyên liệu nhỏ nhất
Số tiền chi phí cho một đơn vị sản phẩm không vượt quá giá trị của
sản phẩm đó.

Gọi là số lượng sản phẩm j cần sản xuất. Với điều kiện a),b) ta có bài toán quy
hoạch tuyến tính

Gọi là đơn giá của nguyên liệu loại i
Tổng số tiền mua nguyên liệu
Số tiền chi phí nguyên liệu cho sản phẩm
Như vậy, bài toán mua nguyên liệu được phát biểu như sau

Bài toán (2) là bài toán đối ngẫu của bài toán (1). Như vậy, bài toán mua nguyên liệu là bài toán đ ối ng ẫu c ủa bài toán

lập kế hoạch sản xuất.
Gọi lần lượt là PATƯ của các bài toán (1), (2). Theo định lí độ lệch bù.Ta có:
Nếu thì =0 hay , nghĩa là sản phẩm thứ j được thì số tiền chi phí nguyên liệu cho 1 đơn vị sản phẩm bằng giá trị
của sản phẩm đó
Nếu thì =0 hay , nghĩa là nguyên liệu nào mua thì phải sử dụng hết

Ví dụ 3 . Giải bài toán sau bằng thuật toán đơn hình đối ngẫu

Đưa thêm ẩn phụ , ta có bài toán:

Đây là bài toán cơ sở đối ngẫu vì

Cơ s ở

3

5

-7

1