Bài giảng Thuật toán quay lui và ứng dụng

Thuật toán quay lui và ứng dụng
Lã Văn Chinh
Giả thiết một cấu hình cần tìm được mô tả bởi một bộ phận gồm n thành phần a1, a2,... an. Giả sử
tìm được i - 1 thành phần a1, a2, ai-1, ta tìm thành phần thứ i bằng cách duyệt tất cả các khả năng
có thể của ai. Với mỗi khả năng j kiểm tra xem nó có chấp nhận được không. Xảy rahai trường hợp.
nhận được thì xác định ai theo j và kiểm tra xem i = n chưa, nếu i = n thì ta ghi nhận một cấu hình,
còn nếu i < ta gọi tiến hành xác định ai+1.
Nếu thử tất cả các khả năng mà không có khả năng nào chấp nhận được thì quay lại bước trước xác
định lại ai-1
Nội dung của thuật toán này rất phù hợp với việc gọi đệ quy. Ta có thủ tục đệ quy sau đây:
Procedure Try (i:tinteger);
Var j:integer;
Begin
For j:=1 to n do
if chấp nhận j then
begin
xác nhận aj theo j
if i=n then
else try(i+1);
end;
end;
Để minh hoạ cho thuật toán này ta áp dụng giải bài toán xếp hậu:
Nội dung bài toán: Liệt kê tất cả các cách sắp xếp những con hậu trên bàn cờ NxN sao cho chúng
không ăn được nhau.
Giải: Ta xếp n con hậu trên n dòng, heo nguyên lý nhân ta có
n
n cách sắp xếp thoả mãn điều kiện
đầu bải. Để làm điều đó ta dùng thủ tục đệ quy mô tả ở trên để giải. Ta đánh ghi số cột và dòng của
bàn cờ từ 1 đến n, mỗi cách sắp xếp ứng với 1 bộ gồm a
1
,a

2
,.....,a
n
với a
i
= j (j=1,2,...,n) có nghĩa là
con hậu thứ i đặt vào cột j. Giả sử ta chọn được i-1 con hậu bằng cách duyệt tất cả các khả năng
của nó.
Quan trọng nhất là ta tìm điều kiện chấp nhận j, một con hậu đứng ở một ô trong bàn cờ nó có
nhiều nhất bốn hướng đi(đường dọc, đường ngang và hai đường chéo).
Vậy điều kiện chấp nhận thứ i thoả mãn không nằm trên đường đi của tất cả i-1 con hậu đã xếp. Bởi
vì n con hậu xếp ở hàng nên đường đi ngang của chúng là không chiến nhau, do đó khi chọn con
hậu thư i chỉ cần kiểm tra xem trên 2 đường chéo và đường dọc của chúng có chiếu vào những con
hậu đã xếp không? Để kiểm tra điều này mỗi đường ta dùng một biến trạng thái.
* Đường dọc kiểm soát bằng biến b[j],(j=1,2,...,n).
* Một đường chéo kiểm soát bằng biến c[i+j],i+j={2,....,2n}.
* Còn đường chéo kia kiểm soát bằng biến d[i-j],i-j={1-n,....,n-1}.
Các biến trạng thái này khởi gán giá trị True trong thủ tục Init. Như vậy con hậu thứ i được chấp
nhận xếp vào cột j nếu nó thoả mãn cả ba biến b[j],c[i+j],d[i-j] đều có giá trị true. Các biến này gán
giá trị False khi xếp xong con hậu thứ i, và trả lại giá trị true sau khi gọi Result hay Try(i+1). Ta có
chương trình Pascal sau :
Program XepHau;
Uses crt;
var
n : integer;
a:array[1..30] of integer;
b:array[1..30] of boolean;
c:array[2..60]of boolean;
count,d:word;
Procedure Init;

Var
i:integer;
Begin
Write('Cho do rong ban co n= ');
Readln(n);
Count:=0;
d:=0;
For i:=1 to n do b[i]:=true;
For i:=2 to 2*n do c[i]:=true;
For i:=1-n to n-1 do d[i]:=true;
End;
Procedure Result;
Var
i:integer;
Begin
d:=d+1;
count:=count+1;
Write('Cach xep thu',count:5,'.');
for i:=1 to n do write(a[i]:2);
Writeln;
if d = 24 then
begin
readln;
d :
= 0;
end;
end;
Procedure try(i:integer);
Var
j : integer;

Begin
For j:=1 to n do
If (b[j]) and (c[i + j]) and (d[i - j]) then
Begin
a [i] : = j;
b [j] : = false;
c[i + j]: = false;
d [i] : = false;
if i = n then Result
else try (i+1);
b [j] : = true;
c[i + j]: = true;
d[i + j]: = true;
end;
end;
begin
clrscr;
Init;
Try(1);
Write ('An Enter de ket thuc:');
Readln;
End.
Để hiểu sâu sắc thuật toán này, mời bạn đọc làm một số bài toán sau:
Bài 1: Hãy viết chương trình liệt kê tất cả các dãy nhị phân có độ dài n.
Bài 2: Hãy viết chương trình liệt kê các hoán vị của {1,2,...,n}
Bài 3: Hãy viết chương trình liệt kê các tổ hợp chập m của {1,2,...,n}
Bài 4: Hãy viết chương trình liệt kê tất cả các chu trình Haminton của đồ thị.
(Chu trình bắt đầu từ đỉnh v nào đó qua tất cả các đỉnh còn lại, mỗi đỉnh đúng một lần rồi quay trở
về đỉnh v được gọi là chu trình Hamilton).
Lã Văn Chinh