Tải bản đầy đủ (.doc) (14 trang)

TÀI LIỆU ÔN HSG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (189.05 KB, 14 trang )

GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10
MÔN: ĐẠI SỐ
I – PHƯƠNG TRÌNH.
1. (BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x
2
– x + m = 0 có hai nghiệm dương x
1
, x
2
sao cho P =
4 4 5 5
1 2 1 2
x x x x+ − −

đạt GTLN.
HD: P = x
1
x
2
(1 – 3x
1
x
2
). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
2. (BT_363_9/07) Cho a ≠ 0. Giả sử b, c là hai nghiệm phân biệt của phương trình x
2
– ax -
2
1
2a


=0 . Chứng minh
rằng. b
4
+ c
4
≥ 2 +
2
.
3. (BT_363_9/07)Cho a,b,c,d ∈ R. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 4 phương trình sau có nghiệm. ax
2
+ 2bx + c = 0,
bx
2
+ 2cx + d = 0, cx
2
+ 2dx + a = 0, dx
2
+ 2ax + b = 0.
4. (BT_367_1/08) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng trong ba phương trình x
2
– 2ax + b = 0, x
2
– 2bx
+ c = 0 , x
2
– 2cx + a = 0 có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân bệt và ít nhất một phương trình vô
nghiệm.
5. (BT_366_12/07) Giải phương trình x
2
(x

4
– 1)(x
2
+ 2) + 1 = 0.
HD: Chuyển về A
2
= 0.
6. (BT_366_12/07) Giải phương trình
2 2
2
2
2 2 4
20 5 20 0
1 1
1
x x x
x x
x
− + −
   
+ − =
 ÷  ÷
+ −

   
.
HD: Đặt u =
2
1
x

x

+
, v =
2
1
x
x
+

Chuyển phương trình về dạng aA + b
.A B
+ cB = 0.
7. (BT_366_12/07) Giải phương trình x
4
= 24x + 32.
HD: Chuyển về A
2
= B
2
.
8. (BT_359_5/07) Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có các số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu
phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ.
9. (BT_368_2/08) Giải phương trình x
4
- 2x
3
+ 4x

2
– 3x – 4 = 0.
10. (Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x
2
+ ax + 1 = 0(1), x
2
+ bx + 1 = 0 (2) , x
2
+ cx + 1 = 0 (3). Biết tích một
nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm của phương trình (2) là một nghiệm của phương trình (3). Chứng
minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2
+ abc = 4.
HD: Áp dụng Định lí viét.
1
1
2
2
1 2
1 2
1
(4)
1
(5)
(6)
1

x a
x
x b
x
x x c
x x

+ = −



+ = −



+ = −


. Nhân (4); (5) ta có
1 2
2 1
x x
ab c
x x
+ = +
.
Từ (4),(5) ta có
2 2 2 2
1 2
2 2

1 2
1 1
2 ; 2x a x b
x x
+ = − + = −
. Nhân lại ta có
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2 2 1
1
( 2)( 2) 4
x x
a b x x
x x x x
   
− − = + + + −
 ÷  ÷
   
.
11. Nghiệm của phương trình x
2
+ ax + b + 1 = 0 là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng a
2
+ b
2
cũng là số tự
nhiên.
12. Có thể có hay không biệt số ∆ của phương trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0 với hệ số nguyên a, b, c bằng 23.
13. Giả sử a, b, c là các số sao cho 2a , a + b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng với x ∈Z thì ax
2
+ bx + c cũng
nguyên.
14. Tìm a ∈ Z để phương trình có nghiệm nguyên.
a) x
2
+ ax + a = 0 .
b) x
2
– (3 + 2a)x + 40 – a = 0.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 1
GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
c) x
2
– (1 + 2a)x + 19 – a = 0.
d) x
2
+ (a + 1)x + a + 2 = 0.
15. Tìm các số hữu tỷ dương x, y sao cho x + y và
1 1
x y
+
là các số nguyên.
16. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c . Biết phương trình f(x) = x vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình af
2

(x) + bf(x) + c =
x vô nghiệm.
17. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c, a ≠ 0 thoả mãn |f(x) ≤ 2008 khi | x | ≤ 1 . Chứng minh rằng |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008
18. Giả sử |ax
2
+ bx + c| ≤ 1 khi |x| ≤ 1.Chứng minh rằng |cx
2
+ bx + a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1.
HD: Giả sử a ≥ 0.
19. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c, a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì Phương trình f(f(x)) = 0 có nghiệm.
HD: ay
1
> 0 ⇒ PT: ax
2
+ bx + c = y
1
có nghiệm.
b) Cho a = 1. Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình f(f(x)) = x có
4 nghiệm phân biệt nếu (b + 1)
2
> 4(b + c + 1).
20. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng.
a) |a| + |b| + |c| ≤ 3.

b) |f(x) | ≤ 7 với |x| ≤ 2.
Cho f(x) = ax
2
+ bx + c. Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1. Chứng minh rằng. |f(x) | ≤
5
4
, ∀ |x| ≤ 1.
21.
22.
II– PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
1. (BT_364_10/07) Giải phương trình.
3
1 1
1
2 2
x x+ + − =
.
HD: Đặt u =
3
1
2
x+
, v =
1
2
x−
. Chuyển về hệ phương trình.
2. (BT_364_10/07) Giải phương trình
4
2 2

1 1 2x x x x− − + + − =
HD: Đặt t =
4
2
1x x+ −
. Tính
4
2
1x x− −
theo t. Chuyển về phương trình ẩn t.
3. (BT_364_10/07) Giải phương trình
2 2 2
7 22 28 7 8 13 31 14 4 3 3( 2)x x x x x x x− + + + + + + + = +
HD:
2 2 2
7 22 28 (2 1) 3(3 ) 3(3 )x x x x x− + = − + − ≥ −
2 2 2
7 8 13 (2 1) 3( 2) 3( 2)x x x x x+ + = − + + ≥ +
2 2 2
31 14 13 (2 1) 3(3 1) 3( 2)x x x x x+ + = − + + ≥ +
4. (BT_363_9/07) Giải phương trình
4 1 5
2x x x
x x x
+ − = + −
HD: C1: Đặt u =
1
x
x


, v =
5
2x
x

. Chuyển về HPT.
C2: Chuyển về PT tích hoặc dạng A
2
= B
2
.
5. (BT_365_11/07) Giải phương trình
2 3
2( 8) 5 8x x+ = +
.
HD: Phương trình dạng đẳng cấp aA + b
.A B
+ cB = 0.
6. (BT_366_12/07) Giải phương trình x
2
+ 2 = 2
3
1x +
.
HD: C1: aA + b
.A B
+ cB = 0. C2: Chuyển về A
2
= 0.
7. (BT_366_12/07) Giải phương trình

4 2 2 4 3 6 5x y z x y z+ + + = − + − + −
.
HD: Chuyển về A
2
+ B
2
+ C
2
= 0.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 2
GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
8. (BT_366_12/07) Giải phương trình
1 1
2
2 4
x x x+ + + + =
.
HD: Đặt t =
1
4
x +
. Chuyển về phương trình ẩn t.
9. (BT_366_12/07) Giải phương trình
4 2
2008 2008x x+ + =
.
HD: Đặt y =
2
2008x +
. Chuyển về hệ phương trình.

10. (BT_366_12/07) Giải phương trình
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = −
.
HD: C1: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp.
C2: Đặt
2 2
4 5 1, 1a x x b x x= + + = − +
. Chuyển về hệ phương trình ẩn a, b.
11. (BT_366_12/07) Giải phương trình
2 2 2 3
2 1 6 9 6 ( 1)(9 ) 38 10 2x x x x x x x+ + − + + − = + − −
.
HD: Đặt t =
2
1 3 9x x+ + −
. Chuyển về phương trình ẩn t.
12. (BT_366_12/07) Giải phương trình
2 4 3 2
2 4 7 4 3 2 7x x x x x x+ + = + + − −
.
HD: Đặt u = (x + 1)
2
, v =
2
2( 1) 5x + +
. Chuyển về hệ phương trình.
13. (BT_362_8/07) Giải phương trình
3
3

3
6 6 6x x− + + =
.
HD: Đặt z =
3
6x +
, y =
3
6z +
. Chuyển về hệ phương trình “Hoán vị vòng quanh”. Giả sử x ≥ y ≥ z.
14. (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình
2
4
1 3 1 2 1m x x x+ = − − + −
có nghiệm.
HD: Đặt t =
4
1
1
x
x

+
. Do t =
4
2
1
1x

+

nên 0 ≤ t < 1. Chuyển về vẽ bảng biến thiên hàm số bậc hai.
15. (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình
2
4
1 4 3 2 ( 3) 2 0x m x x m x− + − + + + − =
có nghiệm.
HD: Đặt t =
4
2
1
x
x


. Tìm điều kiện của t. Chuyển bài toán về theo tam thức bậc hai.
16. (BT_359_5/07) Giải phương trình
2
2 2
4 8
4
x
x x+ − = −
.
HD: Áp dụng công thức
2
| |A A=
17. (BT_359_5/07) Giải phương trình
2 2
1 1 1 1x x x x x x+ − + − + + + + =
18. (BT_368_2/08) Gải phương trình

2
2 2 1 4 1x x x+ + = +
.
19. (BT_368_2/08) Giải phương trình
2
4 3 4 3 10 3x x x− = − −
.
20. (Olympic 04) Giải phương trình
1 1 1
2 1 3
x
x x
x x x

+ = − + −
.
HD: Đặt t =
1
1
x

.Chuyển về phương trình bậc 2 ẩn t, xem x là tham số.
PT ⇔
1 1 1
2 1 3 1
x x
x x
x x x
− −
+ = − + +


2
2 3 1.x t t x t+ = + +
⇔ t =
2( 1 1)x + +
v t =
1 1x + −
PT: t =
2( 1 1)x + +
Vô nghiệm.
PT: t =
1 1x + −
. Bình phương hai vế chuyển về
2
( 1) 0x x− + =
.
21. (Olympic 99) Giải phương trình
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x− + = − + +
.
HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 3
GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
22. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
3
3
2 3 3 2x x+ = −

.
HD: Đặt y =
3
3 2x −
. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
23. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
2
4 2 2x x x− + = +
HD: Đặt
2x +
= y – 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
24. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
2 2 2
4 6 2 5 3 3 9 5x x x x x x− + = − + + − + −
.
HD: Giải PT bằng phương pháp đánh giá. VT ≥ 2 ≥ VP.
25. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình
2
3
2 4
2
x
x x
+
+ =
, x ≥ - 1.
HD: Đặt
3
2
x +

= y + 1. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.
26. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 3
2( 3 2) 3 8x x x− + = +
.
HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp.
27. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2
15
(30 4 ) 2004( 30060 1 1)
2
x x x− = + +
HD: Đặt y =
15
( 30060 1 1)
2
x + +
. Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II.
28. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
.
HD: Chuyển vế bình phương hai vế. Chuyển về phương trình đẳng cấp.
29. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
3 2
1 1 1
2( 1) 4(1 ) 4 6 0
x x x
m m m
x

x x x
+ + +
+ − + − + − =
.
HD: Đặt t =
1
x
x
+
; t ≥ 2. Chuyển về tam thức bậc hai.
30. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 3 3 2
4
4 4 4
(1 ) (1 ) 1 (1 )x x x x x x x x+ − + − = − + + −
.
HD: Đặt ẩn phụ u =
4
x
, v =
4
1 x−
. Chuyển về phương trình tích.
31. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 2 2
19 7 8 13 13 17 7 3 3( 2)x x x x x x x− + + + + + + + = +
.
HD: Phân tích trong các căn (2x – 1)
2
. Áp dụng BĐT

2 2
| |A B A+ ≥
.
32. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2 2
8 816 10 267 2003x x x x− + + + + =
.
HD: Phương pháp BĐT
| | | | | |a b a b+ ≤ +
r r r r
. Xét
(4 ;20 2), (5 ;11 2)a x b x− +
r r
33. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
2 2
1 1x x x m x− = + + −
.
HD: Đặt ẩn phụ
2
1t x x= + −
, - 1 ≤ t ≤
2
.
34. (Olympic 95-05) Giải phương trình
2
2 15 32 32 20x x x+ = + −
HD: Đặt ẩn phụ
2 15 4 2x y+ = +
. Chuyển về HPT đối xứng loại II.
35. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

2
2 4 8 2x x x x m+ + − − + − =
.
HD: Đặt ẩn phụ
2 4t x x= + + −
,
6
≤ t ≤
2 3
.
2 3 3m = −
36. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm
2 2
1 1x x x x m+ + − − − =
.
HD: Xét
1 3 1 3
( ; ), ( ; ), ( ;0)
2 2 2 2
A B M x−
. Ta có AB = 1 và PT ⇔ |AM – BM| < AB = 1
37. (Olympic 06) Giải phương trình
2 2
( 1) 2 3 1x x x x+ − + = +
.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 4
GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An
HD: Đặt t =
2
2 3x x− +

. Tính x
2
, Chuyển về phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số.
38. (Olympic 06) Giải phương trình
2 2
1
1 1 2
2
x x x− − = −
.
HD: Chuyển về phương trình chứa gt tuyệt đối ở VT, phân tích thành nhân tử ở VP.
39. (Olympic 06) Giải phương trình
2 2 2
4
( )( 3 2007) 2005 4 4 30 1 2006x x x x x x x x− + + − − = + − +
.
HD: PT ⇔
2 2 2 2
4
( 1) 2005( 1 ) 30 1 0x x x x x x+ − + + − + + − =
.
40. (Olympic 04_11) Giải phương trình
2
3
1
1
x
x
x
+ =

+
HD: Chuyển vế. Bình phương. Chuyển về phương trình đối xứng bậc 4
41. (Olympic 06) Giải phương trình
1 3
1 0
4 2
x
x x
+
− =
+ +
.
HD: Quy đồng. Nhân liên hợp
42. (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
3 2 4 4 4x x x x m− − − + − − =
.
43. (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
4 4 4x x x x m+ − + + − =
.
44.
III - BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
1. (BT_359_5/07) Giải bất phương trình
2 2
2 3 6 11 3 1x x x x x x− + − − + > − − −
.
2. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình
2
9 16 2 2 4 4 2x x x+ ≥ + + −
.
HD: Bình phương hai vế. Đặt t =

2
8 32x− +
. Chuyển về bất phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số.
3. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình
2 2 2
(1 3) 2 (1 3) 2 3 2 2 2x x x x x x+ − + + + + + ≤ − − +
.
HD: Nhân hai vế với
2
. Phân tích
2 2 2 2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) ( 1) ( 3) 6x x x x x x− + + + + − + + + + ≤
Chọn O(0;0), M(x;y), A(2; 0), B(- 1;
3
), C(- 1; -
3
). Ta có BPT ⇔ MA + MB + MC ≤ 6
và ∆ ABC đều.Dùng phép quay
0
60
B
Q

. MA + MB + MC = AM + MM
1
+ M
1
C ≥ AC
1
= 6.

BPT ⇔ M ≡ O.
4. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình
2
35
12
1
x
x
x
+ >

.
HD: Đặt x =
1
a
, Đặt t = a +
2
1 a−
.
5.
IV - HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
1. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
( 1)( 1) 8 0
1
4
1 1
x y xy
x y

x y

+ + + =


+ = −

+ +

.
HD: Đặt u = x +
1
x
, v = y +
1
y
.
2. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình
3
4 2
2
2 3
x y
x y
x y

− = −




= +

HD: Giải PT(1). Thế vào PT(2).
TH1: x = 2 v x =
1 13− ±
. TH2: C/m PT vô nghiệm.
Thanh Chương, Tháng 3 năm 2008 Page 5

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×