BÀI GIẢNG ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM CHO KỲ VỌNG, MEDIAN, PHƯƠNG SAI VÀ XÁC SUẤT

§1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM CHO KỲ VỌNG,
MEDIAN, PHƯƠNG SAI VÀ XÁC SUẤT
§2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG


1.Ước lượng điểm
Giả sử θ là tham số cần ước lượng. trong tay chúng ta
chỉ có một mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn). Vì vậy để
ước lượng cho θ không thể dựa vào mẫu ngẫu nhiên.
 Ta sẽ dùng một hàm nào đó của mẫu, tức là một hàm
nào đó của biến X1, X2,…., Xn để làm ước lượng cho θ.
Ký hiệu hàm đó là θ*(X1, X2, …, Xn). Như vậy θ*(X1, X2,
…, Xn) là một biến ngẫu nhiên vì X1, X2, …, Xn là các
biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. θ* (X1, X2,
…, Xn) nhận một giá trị cụ thể ( một điểm ) khi mẫu
( X1, X2,…, Xn) nhận một giá trị cụ thể (x1, x2, …, xn)
nên θ* gọi là ước lượng điểm.



2.Ước lượng không chệch
Vì θ* ( X1, X2, …, Xn) là biến ngẫu nhiên nen ta
không thể dòi hỏi θ*(X1, X2, …, Xn) đúng bằng giá trị
θ cầntìm được.
 Ước lượng θ*(X1,X2, …, Xn) dược gọi là ước lượng
không lệch của θ nếu thoả mãn:
Eθ*(X1, X2, …, Xn) = θ
Nếu Eθ*(X1, X2, …, Xn) = θ + C thì θ*(X1,X2, …, Xn)
gọi là ước lượng chệch đối với độ chệch C.
 Như vậy
X là ước lượng không chênh lệch cho EX

S2 là ước lượng không chệch cho DX
Ŝ2 là ước lượng không chệnh của DX đối với độ
chệch – DX/n



3. Ước lượng điểm cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

X là ước lượng không chênh lệch của kỳ
vọng của biến ngẫu nhiên bất kỳ . cụ thể
X là ước lượng không chệch cho tham ẩn
μ phân phối chuẩn, cho tham số ẩn λ của
phân phối Poison và cho tham ẩn 1

phân phối mũ…


4.Ước lượng điểm cho xác suất :
lượng cho xác suất p của biến cố A nào đó
(hay ước lượng cho tỷ lệ nào đó) là
m
 p* =
, trong đó n là số lần quan sát, m là số
 ước

n

m
 p* =
n

lần xảy ra biến cố A.

cũng là ước lượng không chệnh cho xác suất p.

(vì Ep* = E( ) = .Em = = p)


§2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
2.1Định nghĩa ước lượng khoảng:
Một khoảng với hai đầu mút ngẫu nhiên (θ1*(X1, …,
Xn), θ2*(X1, …, Xn)) được gọi là ước lượng khoảng
cho tham ẩn θ với độ tin cậy 1-α tức là:
p{θ1*(X1, …, Xn) < θ < θ2*(X1, …, Xn) } = 1- α
(ở đây (X1, …, Xn) vẫn ký hiệu là mẫu ngẫu nhiên ).
Như vậy xác suất để tham số không nằm trong
khoảng (θ*1(X1, …, Xn), θ*2(X1, …, Xn)) chỉ bằng α.
 Khoảng (θ*1(X1, …, Xn), θ*2(X1, …, Xn)) được gọi là
khoảng tin cậy. giá trị 1- α gọi là độ tin cậy.
Còn θ*2 – θ*1 gọi là độ chính xác của ước lượng.
 Rõ ràng với cùng một độ tin cậy thì khoảng tin cậy
càng hẹp càng giúp ta xác định chính xác được
tham số cần tìm.




§2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
2.2Ước lượng khoảng đối với kỳ vọng của bnn:
Nếu (X1, …, Xn) được rút ra từ họ chuẩn thì

X = N(EX , DX/n ) (xem §5 chương I).
 Nếu

mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ biến ngẫu
nhiên X không phải chuẩn, khi đó X cũng có
phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng EX và
phương sai DX/n nếu n đủ lớn. (Kết quả này
nhận được từ định lý giới hạn trung tâm trong lý
thuyết xác suất). vấn đề cần nói đến ở đây là: Thế
nào gọi là đủ lớn? Tốt nhất là n ≥ 100, song
trong nhiều ứng dụng n ≥ 30 cũng được coi đầy
đủ lớn để sử dụng xấp xỉ chuẩn của (xem [2]).


2.2Ước lượng khoảng đối với kỳ vọng của bnn
 Nếu

DX đã biết (DX = δ2):
Khi đó ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = EX
(nếu X không chuẩn thì đòi hỏi n ≥ 30) với độ tin
cậy 1- α là: 
 
  

Trong đó



u( )
2

; X  u ( ).
 X  u ( 2 ).

2
n
n


xác định từ





(u ( ))  1 
2
2

Cơ sở lý luận của kết luận trên như sau:


2.2Ước lượng khoảng đối với kỳ vọng của bnn


2.2Ước lượng khoảng đối với kỳ vọng của bnn
 Nếu

DX chưa biết:
Giả sử (X1, …, Xn) là mẫu ngẫu nhiên rút ra từ

biến ngẫu nhiên chuẩn, Xi ≈ N(μ, δ2). Để đưa ra
ước lượng khoảng cho μ = EX ta xuất phát từ
khẳng định:
Đại lượng X   n  1
s
có phân phối student với n-1 bậc tự do
Do vậy với tốc độ tin cậy 1-α, ước lượng khoảng
của μ là:


2.2Ước lượng khoảng đối với kỳ vọng của bnn


2.3Ước lượng khoảng đối với tỷ lệ hay xác suất
lượng đối với tỷ lệ (xác suất) nào đó là bài
toán rất hay gặp ở trong các lĩnh vực. Xác suất p
chính là tham ẩn của phân phối nhị thức. Trong
§1 ta đã chỉ ra ước lượng điểm của p là:

 Ước

P* = m/n
 Ta có thể biểu diễn cách khác của p* như
sau:
 giả sử (X1, …, Xn) là mẫu ngẫu nhiên


2.3Ước lượng khoảng đối với tỷ lệ hay xác suất

§3. ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA ƯỚC LƯỢNG
VÀ QUAN SÁT CẦN THIẾT
Trong §2 chúng ta đã giải quyết bài toán xây dựng ước
lượng khoảng. khi cho mẫu ngẫu nhiên, có nghĩa là
cho cỡ mẫu n, cho độ tin cậy 1-α, ta xây dựng được ước
lượng khoảng (θ*1, θ*2). Như vậy độ chính xác của ước
lượng ε = θ*2 – θ*1 cũng sẽ chỉ ra. Trong trường hợp ước
lượng khoảng dối xứng dạng (θ* - b , θ* + b ), trong đó
b có thể là hằng số, có thể là ngẫu nhiên, thì ε = 2b, có
lúc để đơn giản ta lấy ε = b.
 Trong các trường hợp trình bày ở §2.2, §2.4 các ước
lượng khoảng đều đối xứng vag đều phụ thuộc cỡ mẫu
n.
 Bây giờ bài toán đặt ngược lại: cho độ tin cậy, cho độ
chính xác ε, hãy tìm số quan sát n cần thiết để nhận
được ước lượng với độ tin cậy và độ chính xác đã cho.



§3. ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA ƯỚC LƯỢNG
VÀ QUAN SÁT CẦN THIẾT


1. số liệu đã cho trong bài tập 1 chương І, hãy:
a. Chỉ ra Median mẫu.
b. Với độ tin cậy 95%, có thể nói doanh số trung
bình/tháng của các hộ nằm trong khoảng nào? Giả
thiết X tuân theo luật chuẩn.
c. Ước lượng tỷ lệ % các hộ có doanh số/tháng ≥ 11
triệu. Với độ tin cậy 99% tỷ lệ này nhất là bao nhiêu?

2. Với số liệu đã cho trong bài tập 2 chương І, hãy:
a. Chỉ ra Median mẫu, giá trị trung bình mẫu?
b. với độ tin cậy 95% năng suất lúa trung bình của
huyện thấp nhất và cao nhất là bao nhiêu? ( giả thiết
năng suất lúa là biến ngẫu nhiên chuẩn).
c. Tỷ lệ % số điểm trồng lúa có năng suất cao >35tạ/ha?
Tỷ lệ này thấp nhất là bao nhiêu với độ tin cậy 99%.


3. Có một khu rừng có diện tích rất lớn. căn cứ vào
kết quả điều tra ngẫu nhiên trên 31 ô, mỗi ô có
diện tích trên 0,1 ha được giá trị trung bình mẫu (
thể tích gỗ trung bình trên mỗi ô) và sai số tiêu
chuẩn trên mỗi ô là X 10,2m3, s = 1,45m3. Hãy
ước lượng số quan sát cần thiết để sai số ước lượng
không vượt quá 0,4m3 với độ tin cậy 95%?
 Nếu muốn sai số không vựơt quá 0,5 thì cần điều
tra bổ sung hay không
 Nếu muốn sai số khôngvượt quá 0,5 và số quan sát
không vượt quá cỡ mẫu đã điều tra thì độ tin cậy
của ước lượng là bao nhiêu (Số liệu trích từ [3]).
 Hãy chỉ ra ước lượng khoảng đó.
 Giả thiết X tuân theo luật chuẩn.



 5. ước

lượng số cá trong hồ, người ta đánh
bắt 2000 con, đánh dấu rồi thả xuống. vài

ngày sau, ta lại đánh bắt 400 con thì thấy
80 con cá được đánh dấu. Với đọ tin cậy
95% số cá trong hồ có bao nhiêu con?
(xem [5]).








6.Một xí nghiệp đưa ra thị trường một sản phẩm mới. Để xem
đánh giá của người tiêu dùng đối với loại sản phẩm mới này
như thế nào , người ta phát cho mỗi người mua hàng đó một
phiếu thăm dò và yêu cầu gửi lại cho xí nghiệp chậm nhất là
sau 3 tháng. Vì điều kiện thời gian nên xí nghiệp không thể hỏi
ý kiến của tất cả khách hàng trong cả nước, cho nên họ chỉ gửi
phiếu tăm dò cho khách hàng ở Hà Nội. kết quả, sau 3 tháng,
xí nghiệp nhận được 300 phiếu thăm dò, trong đó có 90 phiếu
tỏ ra thích loại sản phẩm này (cả về chức năng và giá cả). Hãy
ước lượng tỷ lệ thực khách hàng thích loại sản phẩm này?
Với đọ tin cậy 95% tỷ lệ đó cao nhất là bao nhiêu?
Muốn nhận được ước lượng khoảng cho tỷ lệ thực với đọ chính
xác là 0,03 thì cần thăm dò thêm bao nhiêu phiếu nữa.
Với mẫu n = 300, ước lượng khoảng có độ chính xác là 0,0436
thì độ tin cậy của kết luận về ước lượng khoảng là bao nhiêu?