CÔNG THỨC TINH NHANH lớp 12 on thi DH

MỘT SỐ CÔNG THỨC LỚP 12
A. KHỐI ĐA DIỆN
1. BẢNG TÓM TẮT 5 KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU.
Loại {n, p} có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì: n.M=p.D=2C hoặc D + M = 2 + C
{n, p} n: số cạnh của một mặt, p: số mặt của một đỉnh
Khối đa diện đều

Số
đỉnh

Số
cạnh

Số
mặt

Loại

Thể tích

Số mặt
phẳng
đối xứng

4

6

4

{3;3}

V  ( 2 /12)a 3

6

8

12

6

{4;3}

V  a3

9

6

12

8

{3;4}

V  ( 2 / 3) a 3

9

20

30

12

{5;3}

V  (15  7 5)a 3

15

12

30

20

{3;5}

V  (15  5 5)a 3

15

Tứ diện đều

Khối lập phương

Khối bát diện đều

Khối thập nhị diện (12) đều

Khối nhị thập diện (20) đều
2. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP.
LOẠI

TÍNH CHẤT – CÔNG THỨC

HÌNH VẼ
B

TAM
DIỆN
VUÔNG

Hình chóp tam giác S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông
góc. SA = a, SB = b, SC = c.
1
VS . ABC  abc
6

S
C

S

HÌNH
CHÓP
TAM
GIÁC
ĐỀU

Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên
bằng b.
VS . ABC

S

a 2 3b 2  a 2

12

b

A

a
C
H
B


S

Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên
tạo với đáy góc .
VS . ABC

a 3 tan 

12

A



a
C
H
B

S

Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên
tạo với đáy góc .
HÌNH
CHÓP
TAM
GIÁC
ĐỀU

VS . ABC

a 3 tan 

24

A



a
C
H
B

S

Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi
(P) là mp đi qua A và song song với BC, vuông góc với
(SBC), góc giữa (P) và đáy bằng .

F

A

VS . ABC

E



a cot 

24
3

C

H


B

Cho tứ diện đều cạnh a
VABCD 

TỨ DIỆN
ĐỀU

a

a3 2
12

Cho tứ diện đều cạnh a. Gọi G1, G2, G3, G4 lần lượt là
trọng tâm của các mặt của tứ diện.
Khi đó G1G2G3G4 là tứ diện đều có thể tích:
a3
VG1G2G3G4 
27

VABCD

2

12

G1
G2

G4
G3



AB = CD = a
TỨ DIỆN AC = BD = b
AD = BC = c
GẦN
ĐỀU

a

a

b

c



a

2

 b2  c 2   b2  c 2  a 2   c 2  a 2  b2 

c

C

a

b
D
S

TỨ DIỆN
BIẾT 3
CẠNH, 3
GÓC Ở 1
ĐỈNH

SA = a, SB = b, SC = c
�
�   , CSA
� 
ASB   , BSC
VS . ABC

abc

1  cos 2  cos 2   cos 2  2cos cos cos
6

c

b


a

C

A


S

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên
bằng b.
VS . ABCD

a 2 4b 2  2a 2

6

b
C

D

H

a



S

HÌNH
CHÓP

TỨ
GIÁC
ĐỀU

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên
tạo với mặt đáy góc .
a tan 

12

C



3

VS . ABCD

H

a



S

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, mặt bên
tạo với mặt đáy góc .
a tan 


6

C

D

3

VS . ABCD

Khối tám mặt có đỉnh là tâm của hình hộp chữ nhật có ba
cạnh a, b, c.
abc
V 
6



H


a




c
a
b

KHỐI
TÁM
MẶT

D

Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm của hình lập phương
cạnh a
a3
V 
6
a

Khối tám mặt đều cạnh a . Nối tâm của các mặt bên ta
được khối lập phương có thể tích là:
V 

a

2a 3 2
27

3. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU – THỂ TÍCH KHỐI CẦU.
a) Diện tích hình tròn – hình quạt – hình viên phân
2
Diện tích hình tròn: S ht   R
Diện tích hình quạt: S qt 

 R2
(: đơn vị radian)

2


R


R



Diện tích hình viên phân: Svp 

  sin  2
R
2

b) Mặt cầu – Chỏm cầu
2
- Diện tích mặt cầu: S mc  4 R

4 R 3
Thể tích khối cầu: Vmc 
3
- Diện tích chỏm cầu chiều cao h: S xq  2 Rh
h�
2�
Thể tích chỏm cầu chiều cao h: Vcc   h �R  �
� 3�
c) Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật – hình lập phương
Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=b, AA’=c
- Tâm I là trung điểm AC’ hoặc OO’
AC ' 1 2

a  b2  c2
- Bán kính R 
2
2
Đặc biệt: ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương thì
a 3
2
Mặt cầu (S) nội tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
cạnh a.
- Tâm I là trung điểm AC’ hoặc OO’
a
- Bán kính R 
2
Khi đó: (S1), (S2) là mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình
lập phương cạnh a.
R

V1
3

V2
9

d) Hình nón – Khối nón
Loại

HÌNH NÓN,
KHỐI NÓN

Công thức
1
VN   R 2 h
2
S xq   Rl
Stp   Rl   R 2

Hình vẽ


HÌNH NÓN
CỤT, KHỐI
NÓN CỤT

1
VNC   h  R 2  r 2  Rr 
3
S xq   l  R  r 
Stp   l  R  r    R 2   r 2
- Thiết diện qua trục là tam giác ABC cân tại A và SABC
= R.h
- Thiết diện qua đỉnh không qua trục là tam giác ACD
cân tại A, thiết diện cắt đáy theo dây CD có:
 Góc giữa thiết diện và đáy:

THIẾT DIỆN

AHO
 ACD  ,  BCD    �
�
�
 Góc giữa thiết diện và trục: �
AO,  ACD    OAH
 Khoảng cách từ tâm đáy đến thiết diện:
d  O, ( ACD)   OK

MẶT CẦU
NGOẠI TIẾP
NÓN

(S) tâm I bán kính R ngoại tiếp hình nón bk r, đường
cao h.
h2  r 2
R
2h
Đặc biệt: Trong các khối nón nội tiếp mặt cầu (S) tâm
I, bán kính R không đổi. Khối nón có thể tích lớn nhất
32 3
4
2 2
R
R, r 
R , max VN 
81
3
3
Mặt cầu (S) tâm I, bán kính r nội tiếp trong mặt nón (N)

bán kính R, đường cao h, đường sinh l.
+) Dựng tâm I: - Lấy E  AC sao cho OC = EC
+) Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC và cắt AO
tại I là tâm mặt cầu nội tiếp mặt nón (N)
hR
+) Bán kính mặt cầu r 
lR
khi h 

MẶT CẦU
NỘI TIẾP
NÓN

e) Hình trụ – Khối trụ
CÔNG THỨC
CƠ BẢN

VT   R 2 h
S xq  2 Rh
Stp  2 Rh  2 R 2
- Thiết diện vuông góc với trục là đường tròn đường
kính R
- Thiết diện chứa trục là hcn ABCD có S = 2Rh
- Thiết diện song song với trục là hcn AEFD có
khoảng cách giữa trục và thiết diện là d(Ô’, (AEFD)) =
OI


AB, CD là hai đường kính bất kì trên hai mặt đáy của
hình trụ

1
VABCD  AB.CD.OO '.sin( AB, CD)
6
1
Đặc biệt: Nếu ABCD ta có VABCD  AB.CD.OO '
6
A, B là hai điểm trên hai đường tròn đáy của hình trụ
- Góc giữa AB và trục OO’ là
A ' AB
 AB, OO '  �
- Khoảng cách giữa AB và OO’ là d  AB, OO '   O ' H
Nếu ABCD là hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì
đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của
hình trụ
Cạnh của hình vuông AB 2  4 R 2  h 2
- Mặt cầu ngoại tiếp khối trụ có bán kính r, đường cao
h có:
h2
4
- Trong các hình trụ nội tiếp mặt cầu thì hình trụ có
R  r2 

MẶT CẨU
NGOẠI TIẾP
HÌNH TRỤ

MẶT CẨU
NỘI TIẾP
HÌNH TRỤ

thiết diện qua trục lớn nhất khi R  r 2 � h  r 

R
2

. Khi đó thiết diện là hình vuông.
- Trong các hình trụ có đường cao h và bán kính r nội
tiếp mặt cầu thì hình trụ có thế tích lớn nhất khi
hr 2.
Hình trụ (H) có bán kính R và đường cao 2R.
(S) là mặt cầu nội tiếp hình trụ.
Stp ( S ) 2

- Tỉ số diện tích
Stp ( H ) 3
- Tỉ số thể tích

Vtp ( S )
Vtp ( H )



2
3

Đặc biệt:
1) Một hình trụ có Stp không đổi thì Vmax khi h  2 R 

S
6

2) Một hình trụ có V không đổi thì Stp min khi h  2 R 

3

V



HÌNH TRỤ
CỤT
(phiến trụ)

1
VTC   R 2  h1  h2 
2
S xq   R  h1  h2 

NỬA KHỐI
TRỤ

1
VNT   R 2 h
2

V1 

2 3
R tan 
3

HÌNH NÊM

� 2 �
V2  �  �R 3 tan   V  V1
�2 3 �

DIỆN TÍCH
GIỚI HẠN
BỞI MỘT
PHẦN
PARABOL

THỂ TÍCH
KHỐI TRÒN
XOAY SINH
BỞI
PARABOL
DIỆN TÍCH
VÀ THỂ
TÍCH KHÓI
TRÒN XOAY
SINH RA
BỞI (E)

S parabol 

4
Rh
3

1
1
V parabol   R 2 h  VT
2
2

S E   ab
4
V2 a   ab 2
3
4
V2b   a 2b
3


HÌNH
XUYẾN

+) Diện tích hình vành khăn
S = (R2 – r2)
+) Thể tích hình xuyến (phao)
2

�R  r �
�R  r �
V  2 �
�
�
�

�2 �
�2 �
+) Thể tich khối giao của hai khối
trụ cùng bán kính R là:

HÌNH GIAO
BỞI HAI
KHỐI TRỤ

16 R 3
3
+) Thể tich khối giao của 1/4 hai
khối trụ cùng bán kính R là:
2R3
V
3
V

B. HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Một số dạng toán cực trị trong không gian
Bài toán
Cho điểm M(xM; yM;zM) không thuộc
các trục và mp tọa độ.
Viết ptr (P) qua M và cắt các tia Ox,
Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C sao
cho VO.ABC nhỏ nhất?

Cho (P) và điểm A và B.
Tìm M(P) để (MA + MB) min?

Cho (P) và điểm A và B.
Tìm M(P) để |MA - MB| max?

Hình vẽ

Cách giải

Mp ( P ) :

x
y
z


1
3 xM 3 yM 3 zM

+) A và B trái phía so với (P)
 M, A, B thẳng hàng
 M = AB (P)
(MA + MB) min = AB
+) A và B cùng phía so với (P)
A’ đối xứng với A qua (P)
 M, A’, B thẳng hàng
 M = A’B (P)
(MA + MB) min = A’B
+) A và B cùng phía so với (P)
 M, A, B thẳng hàng
 M = AB (P)
|MA - MB| max = AB

+) A và B khác phía so với (P)
A’ đối xứng với A qua (P)
 M, A’, B thẳng hàng
 M = A’B (P)


Cho M d.
Viết (P) chứa d sao cho d(M,(P)) max

Cho A và M.
Viết (P) qua A và cách M một khoảng
lớn nhất
Cho d và  không song song với d.
Viết (P) chứa d và tạo với  một góc
lớn nhất?
Cho //(P).
Viết phương trình đường thẳng d thuộc
(P), song song với  và cách  một
khoảng nhỏ nhất

|MA - MB| max = A’B
H là hình chiếu vuông góc của M
trên d.
r
uuuu
r
d(M,(P)) max  n ( P )  MH
qua Abki �d
�
�

r uuuu
r r
(P): �r
n ( P )  [[u d , AM],u d ]
�
�
�qua A
uuuu
r
(P): �r
�n ( P )  AM
qua A �d
�
�
r r
r
(P): �r
�
�
n (P)  �
u
,
u
d ,uΔ �
�
�
� d�
�
�
mp(d,)  (P)

Lấy Ad, A’ là hình chiếu vuông
góc của A trên(P)
�qua A '
r
d �r
u d  uΔ
�
H là hình chiếu của M trên (P)
d  AH

d(M,d) min
Cho A  (P), M 

qua A
�
�
r uuuu
r r
hoặc d : �r
�
�
ud  �
n
, n (P) �
( P ) , AM
�
�
�
�
�

�

(P), AM  (P).
Viết d đi qua A,
thuộc (P) sao cho

d  MA
d(M,d) max

Cho A(P) cho
trước,  cắt (P)
nhưng   (P).

Viết d đi qua A,
nằm trong (P) và
tạo với  một góc
nhỏ nhất
Viết d đi qua A,
nằm trong (P) và
tạo với  một góc
lớn nhất

qua A
�
�
r uuuu
r
d : �r
�
�

u

n
,
AM
� d �( P )
�
’ đi qua A và song song với 
d là hình chiếu vuông góc của 
trên (P).
qua A
�
�r
r uuuu
r r
hoặc: d : �
�
�
�
u

n
,
AM
, n (P) �
�
�( P )
�
�
�d �

MỘT SỐ CÔNG THỨC LỚP 12 – ĐẠI SỐ
1. Tính đơn điệu của hàm số

2. Cực trị
a) Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành
b
+ CSC khi có 1 nghiệm x 
3a
+ CSN khi có 1 nghiệm x 

3

d
a

u ( x ) ax 2  bx  c

v( x)
dx  e
u '( x) 2ax  b

+) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: y 
v '( x)
d
b) Cực trị của hàm số bậc hai/bậc nhất y 

c) Cực trị của hàm số bậc ba y  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d (a �0)
+) y '  3ax 2  2bx  c , Δ '  b 2  3ac

Δ ' �0 : hàm số không có cực trị
Δ '  0 : hàm số có hai điểm cực trị
+) Nếu hàm số có hai điểm cực trị A, B thì trung điểm của AB là điểm uốn U.
+) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là:
C1: y  r ( x) với f ( x)  f '( x). p( x)  r ( x)
y '. y ''
C2: r ( x )  y 
3 y '''
d) Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương y  f ( x)  ax 4  bx 2  c(a �0)
y '  4ax 3  2bx  2 x(2ax 2  b)
+) Hàm số có 1 cực trị  ab0
+) Hàm số có 3 cực trị  ab<0
�a  0
+) Hàm số có 1 cực trị và cực trị là cực tiểu  �
b �0
�
�a  0
+) Hàm số có 1 cực trị và cực trị là cực đại  �
b �0
�


�a  0
+) Hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại  �
b0
�
�a  0
+) Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu  �
b0
�

�
b
Δ � � b
Δ�


;

,
C

;

Giả sử y  f ( x)  ax 4  bx 2  c(a �0) có 3 cực trị A(0; c), B �
�
�
�
�
�
�tạo
2a 4a �
�
� � 2a 4a �
thành tam giác ABC thỏa mãn ab < 0.
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH

� 
Đặt BAC

 b3

Tổng quát cot

2 8a
Dữ kiện
Tam giác ABC vuông cân tại A
Tam giác ABC đều
Tam giác ABC có trọng tâm O
Tam giác ABC có trực tâm O
Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện
tích bằng nhau
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành
2

Công thức thỏa mãn ab<0
b3  8a  0
b3  24a  0
b 2  6ac
b3  8a  4ac  0

Đồ thị hàm số (C) y  ax 4  bx 2  c(a �0) cắt trục Ox
tại 4 điểm phân biệt lập thành CSC
Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C)
y  ax 4  bx 2  c (a �0) và trục hoành có diện tích
phần trên và phần dưới bằng nhau

b 2  4 2 | ac |
b 2  8ac
100
b2 
ac

9
b2 

36
ac
5

3. Tiệm cận
ax  b
tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCN tại A, B thì M là trung điểm của AB
cx  d
2
Diện tích tam giác IAB không đổi SIAB = 2 | ad  bc |
c
Cho hàm phân thức y 

4. Hàm số lũy thừa
Hàm số y  x ,  �� được gọi là hàm số lũy thừa
+ Tập xác định của hàm số lũy thừa y  x ,  �� phụ thuộc vào .
►  nguyên dương: D  �
►  nguyên âm hoặc bằng 0: D  �\{0}
►  không nguyên: D  (0; �)
+ Đồ thị hàm số:

5. Số phức
► Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 ).


Số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số z-1=
►

►

i4n = 1
i4n+1 = i
i4n+2 = -1
i4n+3 = -i;  n  N* .

Vậy in  {-1;1;-i;i},  n  N*

(1  i ) 2  2i

 1 i
►

1
1
z

z
2
a 2  b2
z

2

 2i

Một số tính chất
�z � z

+ z  z ; z �z '  z �z ' ; z.z '  z.z ' ; � � ; z.z | z |2
�z ' � z '
+ z là số thực  z  z
z là số ảo  z   z
+ z  z ; z. z '  z . z ' ;

z
z

z'
z'

+ z  z ' �z �z ' �z  z '
►

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC

k
�
max z  max z 
�
2
�
BT1: Cho số phức z thỏa mãn: z  A  z  A  k (k>0) . Khi đó �
k2
2
�
min z  max z 
 A
�

4
�
�
max z  max z  A  k
�
BT2: Cho số phức z thỏa mãn: z  A  k (k>0) . Khi đó �
min z  max z  A  k
�
�
TỔNG QUÁT
BT3: Cho số phức z thỏa mãn: Az  B  k (k>0) .
1) Tìm min/max P  Cz  D  C . z 
Az  B  k � z 

D
C

B
k
k
� D� B D

� �z  �  
.
A
A
A
� C� A C

�

�B D
k �
max P  C �  
�
�
�
�A C | A | �
Khi đó: �
B D
k
�
min P  C .  
�
A C | A|
�
2) Tìm min/max P  C z  D  C . z 

D
D
 C . z
C
C


Az  B  k � z 

� �D �
� B �D � k
B
k


� �z  � �
 
�
.
�
� �C �
� A �
A
A
C
�
� A
�
�

�
�B �D � k �
�max P  C �  � �
�
�
�
�
�
�A �C � | A | �
Khi đó: �
�
B �D � k
�min P  C .  � �
A �C � | A |

�
BT4: Cho số phức z thỏa mãn: Az  B  k (k>0) .
Tìm min/max P  Cz  D  C . z 

D
D
D
 C .z
hoặc P  C z  D  C . z 
C
C
C

B1 Az  B  A z  B  A z  B  k

Cách làm:

B2 làm tương tự như BT3.

6. Nguyên hàm – Tích phân
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp + mở rộng
0dx  C ;
1. �

2. �
dx  x  C
1



 1

3.

x dx 
x
�
 1

4.

dx    C
�
x
x

5.

dx  ln x  C
�
x

1

 C   �1

1

2

1

e x dx  e x  C
6. �
ax
C
ln a
cos xdx  s inx  C
8. �

cos xdx  s inx  C
10. �
1

12.

�
sin

2

1
2

x

dx

15.

�
a x

16.

�x

2

2



dx
2

a

2

1
ax
ln
C
2a a  x





 ln x  x 2  a 2  C

cotxdx  ln sin x  C
19. �

sin xdx   cos x  C
9. �

dx  �
(1  tan
�
cos x

cot xdx  ln sin x  C
14. �

� b�
ln  ax  b  dx  �x  �
ln  ax  b   x  C
17. �
� a�
tan xdx   ln cos x  C
18. �

7. �
a x dx 

11.

tan xdx   ln cosx  C

13. �

2

x)dx  tan x  C

dx  �
(1  cot 2 x )dx   cot x  C

dx

x

20.

 ln t an  C
�
sin x
2

21.

  ln cot  C
�
cosx
2

dx

x

CHÚ Ý (phần đạo hàm)
1
x

 ln x  '   x  0  .
Đặc biệt:  ln x  ' 

1
x


8. Bài toán lãi suất ngân hàng

Bài toán
Lãi đơn

là số tiền lãi chỉ tính trên số
tiền gốc mà không tính trên số
tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Công thức
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi
đơn r%/kì hạn thì số tiền khách nhận được cả
vốn lẫn lãi sau n kì hạn là:
S n  A(1  nr )

Lãi kép

tiền lãi của kì hạn trước nếu

người gửi không rút ra sẽ
được tính vào vốn tính lãi cho
kì hạn sau
mỗi tháng gửi đúng cùng một
số tiền vào 1 thời gian

Tiền gửi
hàng tháng

Gửi ngân
hàng và rút
tiền gửi
hàng tháng

Sn  A(1  r ) n

Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng
A đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (nhận
tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là:
Sn 

mỗi tháng rút ra cùng một số
tiền vào ngày ngân hàng tính
lãi.

A
�
(1  r ) n  1�
1 r 

�
r �

Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r
%/tháng . Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính
lãi, rút ra cùng một số tiền là X đồng. Tính số
tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?
Sn  A(1  r )

Cách tính số tiền còn lại sau n
tháng giống hoàn toàn công
thức tính gửi ngân hàng và
rút tiền hàng tháng

Vay vốn trả
góp

Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi
kép r%/kì hạn thì số tiền khách nhận được cả
vốn lẫn lãi sau n kì hạn là:

n

 1 r 
X

n

1

r

Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r
%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay,
bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau
đúng 1 tháng, mỗi tháng số tiền hoàn nợ là X
đồng và trả hết nợ sau đúng n tháng.
Sn  A(1  r )

n

 1 r 
X

n

1

r
Để sau n tháng hết nợ thì S n  0

hay X 

Tăng lương

A(1  r ) n r
(1  r ) n  1

Một người được lãnh lương khởi điểm là A
đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì người đó

được tăng thêm r%/tháng. Hỏi sau kn tháng
người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?
S kn

Tăng
trưởng dân
số

X m  X n (1  r )

m n

 1 r 
 Ak

k

r
 m, n  � , m


1
n

r% : tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m


Xm: dân số năm m
Xn: dân số năm n