Một số vấn đề về góc trong không gian định chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

PHẠM THU HIỀN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GÓC TRONG KHÔNG
GIAN ĐỊNH CHUẨN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2017

1


LỜI CẢM ƠN
Qua luận văn này, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô trong khoa
Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội II nói chung và các Thầy,
Cô thuộc Bộ môn Giải tích nói riêng đã dạy bảo, dìu dắt tôi trong suốt
thời gian qua. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc
tới TS. Nguyễn Hữu Thọ, thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp
đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp và tất cả mọi người đã quan tâm, động viên để tôi có thể hoàn
thành tốt nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn
hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tôi rất

mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để luận văn này được
hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Học viên

Phạm Thu Hiền

2


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ, luận
văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài " Một số vấn đề về
góc trong không gian định chuẩn" do tôi tự thực hiện. Các kết quả và
tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Phạm Thu Hiền

3


Mục lục
Lời cảm ơn

2

Lời cam đoan

3

Phần mở đầu

5

1 Kiến thức chuẩn bị

8

1.1

Không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Kí hiệu và các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Góc trong không gian định chuẩn

13

2.1

Hàm góc. Các tiên đề về góc . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Không gian đặc trưng bởi tích vô hướng . . . . . . . . .

16

2.3

Các dạng góc bảo toàn tính trực giao

. . . . . . . . . .

20

2.4

Một số độ đo góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.5

Một số vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53

4


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các vấn đề về góc, hàm góc và cách đo góc trong không gian Euclid
là chủ đề toán học đã được nghiên cứu hầu như hoàn thiện từ lâu. Có lẽ
sự đóng góp có hệ thống đầu tiên về chủ đề góc và các tính chất của nó
là của triết gia Hy lạp cổ đại Eudemus (từ 370 trước công nguyên đến
300 trước công nguyên) trong bài viết sắp xếp lại và chọn lọc các phát
biểu của Thầy giáo của ông ta về chủ đề này, đó là Aristotle. Cùng với
nhu cầu từ các bài toán thực tế cũng như sự phát triển của khoa học
kỹ thuật, các vấn đề đó được mở rộng trong các không gian phi Euclid.
Chẳng hạn như trong không gian Banach thực hữu hạn chiều (không
gian Minkowski), chủ đề về hàm góc, độ đo góc trở nên rất thú vị.

Busemann (xem [5]) đã thảo luận về "tiên đề" cho các cách đo góc
trong trường hợp đường cong phẳng cùng thuộc về một lớp S gọi là
đường cong mở Jordan, giữ nguyên tính chất cộng tính khi hai điểm
phân biệt nằm trên một đường cong của S. Ông định nghĩa các khái
niệm tia r, góc D với các cạnh r1 và r2 và số đo góc |D| trên tập các góc
có tính chất sau:
1. |D| ≥ 0 (tính dương).
2. |D| = π nếu và chỉ nếu D là góc trên đường thẳng (góc bẹt).
3. Nếu D1 và D2 là hai góc có một cạnh chung nhưng không có tia
chung khác thì |D1 ∪ D2 | = |D1 | + |D2 |. (Tính cộng tính)
5


4. Nếu Dv → D thì |Dv | → |D|. (Tính liên tục)
Ông ta đã cho rằng các giả thiết này là đủ để có được các mối quan
hệ thông dụng giữa độ đo góc và độ cong. Lưu ý rằng, Busemann tập
hợp các tính chất cần thiết của số đo góc mà ta cần có trong mỗi cấu
trúc mà trong đó khái niệm tự nhiên của góc tồn tại.
Trong vài thập kỷ gần đây, một số tác giả đã khám phá những vấn
đề thú vị liên quan đến các vấn đề của tính trực giao. Có thể kể đến P.
Brass (xem [4]), người định nghĩa lại khái niệm về số đo góc: Số đo góc
là một độ đo µ trên vòng tròn đơn vị ∂B với tâm O được mở rộng trong
các cách dịch chuyển bất biến thông thường để đo góc, và có các tính
chất sau:
1. µ(∂B) = 2π.
2. Với bất kì tập Borel S ∈ ∂B, ta có: µ (S) = µ (−S).
3. Với mỗi p ∈ ∂B ta có: µ ({p}) = 0.
Khái niệm này được nhiều nhà toán học quan tâm và sử dụng trong
các nghiên cứu của họ.
Với mong muốn có được một cái nhìn toàn diện và sâu rộng hơn về

góc, được sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi chọn đề tài
cho luận văn của mình là
"Một số vấn đề về góc trong không gian định chuẩn"
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về góc trong không gian định chuẩn, một số
dạng góc, một số độ đo góc.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để nhận được một nghiên cứu tổng quan về góc trong không gian định
chuẩn.
6


4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm
2 chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về: Không gian
Euclid, không gian định chuẩn, kí hiệu và các khái niệm cơ bản. Trong
Chương 2, luận văn dành cho việc trình bày về Góc trong không gian
định chuẩn , cụ thể về: Hàm góc, không gian đặc trưng bởi tích vô hướng,
các dạng góc bảo toàn tính trực giao, một số độ đo góc và một số vấn
đề liên quan.

7


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
(Kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1]
và [2])

1.1

Không gian Euclid

Định nghĩa 1.1.1. Cho V là một không gian véc tơ trên trường R. Một
tích vô hướng trên V là một ánh xạ được xác định như sau: , : V ×V →
R, (x, y) → x, y thỏa mãn các điều kiện sau:
i. x, x ≥ 0, với mọi x ∈ V ; x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
ii. kx, y = k x, y với mọi x, y ∈ V, ∀k ∈ R.
iii. x + x, , y = x, y + x, , y , ∀x, x, , y ∈ V .
iv. x, y = y, x , ∀x, y ∈ V .
Định nghĩa 1.1.2. Không gian véc tơ V trên trường số thực R có trang
bị trên nó một tích vô hướng , được gọi là không gian véc tơ Euclid.
Kí hiệu: E = (V, , ) với tích vô hướng trên nó là , .
Ví dụ 1.1.3. Cho V = Rn , (Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) |xi ∈ R}). Với x =
(x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn ta định nghĩa x, y =

n

xi yi .
i=1

8


Đây là một tích vô hướng trên Rn và E = (Rn , , ) là một không gian
véc tơ Euclid.
Định lí 1.1.4. Cho E là không gian Euclid. Khi đó với ∀x, y ∈ E ta
luôn có
| x, y | ≤ x . y .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
Định lí 1.1.5. Giả sử E là không gian véc tơ Euclid. Khi đó:
∀x, y ∈ E : x − y ≤ x − y ≤ x + y
.

1.2

Không gian định chuẩn

(Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét không gian định chuẩn thực)
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian véc tơ trên trường số R và ánh
xạ . : X → R. Ta nói . là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn 4 tính
chất sau:
1. x ≥ 0, với mọi x ∈ X.
2. x = 0 ⇔ x = 0.
3. kx = |k| x , với mọi x ∈ X, k ∈ R.
4. x + y ≤ x + y , với mọi x, y ∈ X.
Nếu . là chuẩn trên X, ta nói (X, . ) là không gian véc tơ định chuẩn
(còn đọc tắt là không gian định chuẩn).
Ví dụ 1.2.2. Không gian R2 với các metric:
d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |
9


2

2

d2 (x, y) = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 )

1
2

d∞ (x, y) = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |}
ở đây x = (x1 , x2 ) và y = (y1 , y2 ), x, y ∈ R2 lần lượt sinh ra các chuẩn
tương ứng sau:
x−y
x−y
x−y

1

= |x1 − y1 | + |x2 − y2 |
2

2
∞

2

= (x1 − y1 ) + (x2 − y2 )

1
2

= max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} .

Mệnh đề 1.2.3. Cho không gian định chuẩn (X, . ) trên trường số R
và các dãy {xn } , {yn } ⊂ X, {λn } ⊂ R sao cho lim xn = x, lim yn =
n→∞

n→∞

y, lim λn = λ. Khi đó:
n→∞

1. lim xn = x .
n→∞

2. lim (xn + yn ) = x + y,
n→∞

3. lim (λn xn ) = λx.
n→∞

Hệ quả 1.2.4. Các ánh xạ f, g : X → X xác định bởi
f (x) = x0 + x, g(x) = λ0 x, (λ0 ∈ R\ {0})
là đồng phôi.
Mệnh đề 1.2.5.

1. Trên một không gian hữu hạn chiều, hai chuẩn

bất kì luôn tương đương nhau.
2. Trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều, một tập là compact khi
và chỉ khi đóng và bị chặn.
3. Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều luôn là không gian đầy
đủ. Do đó, một không gian véc tơ con hữu hạn chiều của một không
gian định chuẩn là tập đóng trong không gian đó.
10

Định lí 1.2.6. Nếu hình cầu đơn vị đóng
¯ (0, 1) := {x ∈ X : x ≤ 1}
B
của một không gian định chuẩn X là tập compact thì X là không gian
hữu hạn chiều.

1.3

Kí hiệu và các khái niệm cơ bản

Xét (X, . ) là không gian định chuẩn thực. Chúng ta biểu thị đoạn
thẳng đóng nối hai điểm x, y ∈ X bởi kí hiệu seg [x, y] và đoạn thẳng mở
nối các điểm đó bởi seg(x, y). Đường đi qua x, y ∈ X ta viết x, y . Hình
cầu đơn vị và mặt cầu đơn vị trong (X, . ) được kí hiệu tương ứng là
B và S. Hơn nữa, B (ρ) và S (ρ) tương ứng kí hiệu cho hình cầu và mặt
cầu có bán kính ρ và tâm tại gốc tọa độ. Sau đây là một số khái niệm
tính trực giao sau sẽ được sử dụng trong luận văn. Hai véc tơ x, y ∈ X
gọi là:
• Trực giao Birkhoff (kí hiệu x

B

y) nếu:

x + ty ≥ x , ∀t ∈ R.
• Trực giao cân (kí hiệu x

I

y) nếu:

x+y = x−y .
• Trực giao Pytago (kí hiệu x
x

2

P

y) nếu:

+ y

• Trực giao Singer (kí hiệu x

S

2

= x − y 2.

y) nếu:

x . y =0
11


hoặc
x

y
−
x
y
• Trực giao Robert (kí hiệu x

=
R

x
y
+
x
y

.

y) nếu:

x + αy = x − αy

thỏa mãn với mọi α ∈ R.

12


Chương 2
Góc trong không gian định chuẩn
(Kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [13])

2.1

Hàm góc. Các tiên đề về góc

Một trong những cách để định nghĩa về góc trong không gian định
chuẩn (X, . ) là xét hàm:
ang : X0 × X0 → [0, π] ,
ở đây, X0 là viết tắt của tập X\ {0}. Chúng ta sẽ gọi các hàm kiểu này
là hàm góc. Cho trước một hàm như vậy, chúng ta có thể xác định các số
đo góc của một góc

xyz hình thành bởi ba điểm là ang (x − y, z − y).

Thoạt đầu, chúng ta chưa đòi hỏi bất kì tính chất nào của hàm góc,
cách thích hợp ở đây là phát biểu một số tính chất "tốt" cho hàm góc
và nghiên cứu tất cả khái niệm góc có các tính chất đó. Đầu tiên, chúng
ta trình bày các tính chất tự nhiên nhất cho hàm góc:
1. Với x ∈ X0 cố định, hàm y → ang (x, y) và y → ang (y, x) là toàn
ánh liên tục của X0 (tính liên tục);
2. ang (x, y) = ang (y, x) với mọi x, y ∈ X0 (tính đối xứng);
3. ang (αx, βy) = ang (x, y) với mọi x, y ∈ X0 và α, β > 0 (tính thuần
nhất);
13


4. ang (x, αx + βy) + ang (αx + βy, y) = ang (x, y) với mọi x, y ∈ X0
và α, β > 0 (tính cộng tính);
5. ang (x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = αy với α > 0 (tính không suy
biến).
Năm tính chất trên được gọi là các tiên đề cấu trúc, và các tính

chất sau được gọi là các tính chất vị trí.
6. ang (x, y) = π ⇔ y = αx với α < 0 (tính cùng phương);
7. ang (x, y) + ang (y, −x) = π (tính bù);
8. ang (x, y) = ang (−x, −y) (tính phản bất biến).
Bổ đề sau cho ta mối quan hệ về các tiên đề cấu trúc và tính chất vị
trí.
Bổ đề 2.1.1. Xét ang : X0 × X0 → [0, 1] là một hàm góc trong không
gian định chuẩn (X, . ) nếu ang thỏa mãn các tiên đề cấu trúc thì cũng
thỏa mãn tính chất vị trí.
Chứng minh. Đối với tính chất 6, lấy x, y ∈ X0 sao cho ang (x, y) = π
và x, y độc lập. Đặt z = 2y − x, khi đó
1
1
y = x + z,
2
2
và từ các tiên đề 4, 5 ta có:
ang (x, y) < ang (x, z) ≤ π, (điều này dẫn tới mâu thuẫn)
do đó x, y không thể độc lập.
Từ tiên đề cấu trúc 5 ta có: x = αy với ∀α < 0. Điều ngược lại là tầm
thường.
Đối với tính chất 7, giả sử x, y ∈ X0 là độc lập (trong trường hợp
khác ta nhận được kết quả một cách dễ dàng). Xét dãy véc tơ (zn )n∈N
14


được định nghĩa bởi
zn =

1

y+
n

1
− 1 x.
n

Do y = nzn + (n − 1) x, nên theo tiên đề cộng tính ta có
ang (x, y) + ang (y, zn ) = ang (x, zn ) .
Cho n → ∞ ta có:
ang (x, y) + ang (y, −x) = ang (x, −x) = π.
Theo bổ đề về tính liên tục, tính chất 8 là một hệ quả được suy ra từ
tính chất 7.
Hai tính chất sau đây được đưa ra dựa trên các tiêu chuẩn tam giác
đồng dạng trong không gian định chuẩn Euclid:
9. Nếu x, y, v, w ∈ X0 sao cho
x = v , y = w , ang (x, y) = ang (v, w) và x = y
thì
v = w và ang (x − y, −y) = ang (v − w, −w) .
10. Nếu x, y, v, w ∈ X0 sao cho
x = v , y = w , ang (x, y) = ang (v, w) và x = y
thì
v = w và x − y = v − w .
Các tính chất 9 và 10 được gọi là các tính chất đồng dạng. Chú ý rằng,
các tính chất đó không phải là hiển nhiên như các tiên đề, và vì lí do đó,
chúng ta muốn một lần nữa sử dụng từ "tính chất" thay vì "tiên đề".
Bổ đề tiếp theo nói rằng trên thực tế chúng tương đương nhau.
15

Bổ đề 2.1.2. Nếu ang : X0 × X0 → [0, π] là một hàm góc thỏa mãn tất
cả các tiên đề cấu trúc, khi đó tính chất 9 và 10 là tương đương.
Chứng minh. Giả sử tính chất 9 là đúng, lấy x, y, v, w ∈ X0 như trong
giả thiết về tính chất 10 nhưng (không mất tính tổng quát) giả sử rằng:
x − y > v − w . Từ đó, ta có thể tìm được một điểm p ∈ seg (x, y)
mà y − p = v − w . Rõ ràng, chúng ta có:
ang (p, y) = ang (x, y)
và do đó các tam giác ∆pOy và ∆vOw dẫn đến điều mâu thuẫn với tính
chất 9.
Bây giờ giả sử rằng tính chất 10 là đúng, lấy x, y, v, w ∈ X0 như
trong giả thiết về tính chất 9 nhưng giả sử rằng:
ang (x − y, −y) > ang (v − w, −w) .
Như vậy, có một điểm p ∈ seg (0, x) sao cho:
ang (p − y, −y) = ang (v − w, −w) .
Vì p < x = v , nên tính chất 10 không thỏa mãn đối với các tam
giác ∆pOy và ∆vOw.

2.2

Không gian đặc trưng bởi tích vô hướng

Trong [8] các tác giả đã chứng minh rằng bất kì không gian định chuẩn
(X, . ) mà trong đó tồn tại hàm góc ang : X0 × X0 → [0, 1] thỏa mãn
các tiên đề cấu trúc cũng như tính chất 9 (hoặc tương đương, tính chất
10) sẽ là một không gian tích vô hướng. Hơn nữa, hàm góc này chính là
một chuẩn Euclid. Chúng ta sẽ đi chứng minh khẳng định đó.

16

Định lí 2.2.1. Cho (X, . , ang) là một không gian định chuẩn được
trang bị một hàm góc thỏa mãn tất cả các tiên đề cấu trúc và các tính
chất đồng dạng, khi đó chuẩn . được suy ra từ một tích vô hướng.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng với các giả thiết cho trước về trực
giao cân sẽ suy ra tính trực giao Birkhoff. Đây là một đặc tính được biết
đến trong không gian tích vô hướng. Thật vậy, với x, y ∈ X là các véc
tơ khác không, trực giao cân và xét hàm f : [−1, 1] → R được xác định
bởi
f (t) = ang (x − y, tx − y) − ang (tx − y, −x − y) .
Dễ thấy rằng f (−1) > 0, f (1) < 0 và do đó, từ tính liên tục ta thấy tồn
tại t0 ∈ (−1, 1) với f (t0 ) = 0. Điều này có nghĩa là:
ang (x − y, t0 x − y) = ang (t0 x − y, −x − y)
và từ tính chất 10 ta có:
t0 x − y − (x − y) = (t0 x − y) − (−x − y) .
Từ đó suy ra t0 = 0 và
ang (−x − y, −y) = ang (−y, −x − y) .
Theo tính chất 9, ta có
ang (x, y) = ang (x, −y) ,
và từ tính thuần nhất cho ta
ang (λx, y) = ang (λx, −y) , ∀λ ∈ R.
Bằng cách áp dụng tính chất 10 một lần nữa ta thấy x và y là trực giao
Roberts và do đó cũng là trực giao Birkhoff. Định lý được chứng minh

17


Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng bất kì hàm góc nào thỏa mãn
tất cả các tiên đề cấu trúc và các tính chất đồng dạng đều là góc Euclid
chuẩn. Đầu tiên ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2. Xét ang : X0 × X0 → R là một hàm góc xác định trong

không gian định chuẩn (X, . ) và giả thiết rằng ang thỏa mãn tất cả các
tiên đề cấu trúc và các tính chất đồng dạng. Nếu x, y, v, w ∈ X0 sao cho
x = v , y = w và x − y = v − w thì ta có
ang (x, y) = ang (v, w) .
Chứng minh. Giả sử có các tính chất đồng dạng và lấy x, y, v, w ∈ X là
các véc tơ khác không, với
x = v , y = w
và
x−y = v−w
nhưng
ang (x, y) > ang (v, w) .
Chúng ta có thể chọn p ∈

xoy sao cho p = y và ang (x, p) =

ang (v, w). Từ tính chất đồng dạng10, ta có x − p = v − w và do
đó p ∈
/ seg [x, y].
Thật vậy, y chỉ là điểm của seg [x, y] mà x − y = v − w nhưng
dễ dàng có p = y. Chúng ta có hai khả năng:
Đầu tiên, nếu các điểm 0, x, y, p là các đỉnh của một tứ giác lồi thì
tứ giác này có tổng các độ dài của các đường chéo bằng tổng các độ dài
của hai cạnh đối diện, điều này mâu thuẫn với giả thiết tính lồi ngặt.
Khả năng còn lại là p ∈ int (conv (0, x, y)), và trong trường hợp này ta
cũng đạt được điều mâu thuẫn với giả thiết tính lồi ngặt.
Bây giờ, ta có định lý sau:
18


Định lí 2.2.3. Xét (X, (., .)) là không gian tích vô hướng. Một hàm góc

ang : X0 × X0 → R thỏa mãn các tiên đề góc và các tính chất đồng dạng
thì sẽ là hàm góc Euclid thường. Nói cách khác, khi đó ta có:
ang (x, y) = arccos

(x, y)
với mọi x, y ∈ X0 ,
x . y

ở đây, arccos : [−1, 1] → [0, π] là hàm ngược của hàm cosin khi hạn chế
trong đoạn [0, π].
Chứng minh. Để đơn giản chúng ta gọi:
(x, y)
.
x . y

ange (x, y) = arccos

Vì ang và ange đều có tính cộng tính (theo tiên đề góc số 4 ) và liên
tục, từ đó dễ thấy
ange (x, y) =

π
2n

ang (x, y) =

π
,
2n

khi và chỉ khi

với mọi n ∈ N.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. Lấy x, y ∈ X0 sao cho
ang (x, y) =

π
.
2

Khi đó ta có:
ang (−x, y) =

π
,
2

và từ đặc tính đồng dạng 10 kéo theo
x−y = x+y .
Do đó các tam giác ∆0xy và ∆0(−x)y có các cạnh tương ứng bằng nhau
và từ đó:
ange (x, y) = ange (−x, y)
19


tức là:
ange (x, y) =

π
.

2

ange (x, y) =

π
,
2

Ngược lại, nếu

ta có ngay
x+y = x−y
và từ Bổ đề 2.2.2 ta có:
ang (x, y) = ang (−x, y) .
Điều này dẫn đến

π
.
2
Để chứng minh tính đúng đắn của các giả thiết cho n + 1 khi nó đúng
ang (x, y) =

với n, chúng ta sử dụng lập luận tương tự, và như vậy định lý được
chứng minh.

2.3

Các dạng góc bảo toàn tính trực giao

Chúng ta nói rằng một hàm góc xác định trong không gian định chuẩn

π
bảo toàn một dạng trực giao khi nó đạt "giá trị Euclid" cho cặp véc
2
tơ trực giao. Gunawan, Lindiarni và Neswan (xem [9]) đã định nghĩa hai
hàm góc bảo toàn các tính trực giao: Góc P bảo toàn tính trực giao
Pytago, và góc I bảo toàn tính trực giao cân. Thurey (xem [12]) đã định
nghĩa góc Thy bảo toàn tính trực giao Singer. Đối với góc bảo toàn tính
trực giao Birkhoff, chúng ta có khái niệm góc q được đưa ra bởi Zhi-Zhi,
Wei và Lu-Lin (xem [15]). Chúng ta sẽ xét một loại góc mới là một biến
thể của góc q, được gọi là góc S. Milicic đã giới thiệu góc B bảo toàn
tính trực giao Birkhoff và một góc dựa vào đạo hàm Gateaux của chuẩn.
Sau đây chúng ta sẽ xét các dạng góc đó.
20


2.3.1

Góc P

Từ trực giao Pytago, ta định nghĩa góc P giữa hai véc tơ khác 0: x, y ∈ X
xác định bởi:
x

angp (x, y) = arccos

2

+ y 2− x−y
2 x . y

2

.

Để ý rằng định nghĩa này liên quan đến định lý cosin đã biết. Cụ thể,
chúng ta định nghĩa góc giữa x và y là góc thỏa mãn:
x−y

2

= x

2

+ y

2

− 2. x . y cos (angp (x, y)) .

Hơn nữa, sự đúng đắn của định nghĩa này được khẳng định bởi các
bất đẳng thức tam giác và thực tế angp là góc Euclid thông thường nếu
chuẩn xác định từ một tích vô hướng.
Để rõ ràng hơn, chúng ta xét các hàm góc định nghĩa góc P bởi hàm
angp : X0 × X0 → R được đưa ra như trên. Bây giờ, ta sẽ xét một số tính
chất của angp . Đầu tiên, rõ ràng angp thỏa mãn các tiên đề cấu trúc 1
(tính liên tục) và 2 (tính đối xứng) cũng như tính chất 8 (tính phản bất
biến).
Bổ đề 2.3.1. Cho (X, . ) là một không gian chuẩn với góc P , angp :
X0 × X0 → R. Khi đó các tính chất sau là tương đương:

a) Hàm angp thỏa mãn tiên đề cấu trúc 5 (tính không suy biến).
b) Hàm angp thỏa mãn tính chất 6 (tính cùng phương).
c) Không gian (X, . ) là lồi chặt.
Chứng minh. Dễ thấy angp (x, y) = 0 nếu và chỉ nếu
x

2

+ y 2− x−y
2 x . y

21

2

=1


nhưng điều này tương đương với
| x − y |= x − y .
Ngoài ra,
angp (x, y) = 0 ⇔ x − y = x + y .
Từ đây suy ra ngay tính tương đương cần khẳng định.

Chú ý 2.3.2. Chú ý rằng ngay cả khi nếu (X, . ) không lồi chặt thì ta
vẫn có angp (x, y) = 0 và angp (x, y) = π khi y = αx, với α > 0 và α < 0
tương ứng.
Bổ đề 2.3.3. Cho x, y ∈ X0 , ta có x

P

y khi và chỉ khi angp (x, y) =

π
.
2

Chú ý 2.3.4. Không nhất thiết là
angp (x, y) + angp (x, −y) = π.
Ví dụ, nếu ta chọn vòng tròn đơn vị của (X, . ) có quan hệ như một
hình lục giác đều và x, y là hai đỉnh liên tiếp của nó thì dễ thấy:
angp (x, y) + angp (x, −y) =

4π
.
3

Mệnh đề 2.3.5. Hàm góc P angp của không gian định chuẩn (X, . )
thỏa mãn tiên đề cấu trúc 3 (tính thuần nhất) khi và chỉ khi chuẩn .
được xác định từ tích vô hướng.
Chứng minh. Trong [10] các tác giả đã chứng minh rằng một không gian
định chuẩn là không gian tích vô hướng khi và chỉ khi ta có x
với α ∈ R miền là x

P

P

αy

y. Kết luận của mệnh đề được suy ra từ Bổ đề

2.3.2.

22


2.3.2

Góc I

Xuất phát từ dạng trực giao cân, hàm góc I: angi : X0 × X0 → R được
xác định bởi
x+y 2− x−y
4. x . y

angi (x, y) = arc cos

2

.

Từ bất đẳng thức tam giác, định nghĩa này có ý nghĩa và rõ ràng angi
là góc chuẩn nếu không gian là Euclid. Ta sẽ thấy góc I có một số tính
chất giống góc P . Đầu tiên, có thể thấy angi thỏa mãn tiên đề cấu trúc
1 (tính liên tục), 2 (tính đối xứng) và 8 (tính phản bất biến).
Ta cũng dễ dàng kiểm tra được rằng góc I bảo toàn trực giao cân theo
nghĩa hai véc tơ x, y ∈ X0 là trực giao cân khi và chỉ khi angi (x, y) = π2 .
Bây giờ, chúng ta cũng có tính chất tương tự như Bổ đề 2.3.1 đối với
góc I.

Bổ đề 2.3.6. Cho (X, . ) là không gian định chuẩn và
angi : X0 × X0 → R
là hàm góc I của nó. Khi đó các tính chất sau là tương đương:
a) Hàm angi thỏa mãn tiên đề cấu trúc 5 (tính không suy biến).
b) Hàm angi thỏa mãn tính chất vị trí 6 (tính cùng phương).
c) Không gian (X, . ) là lồi chặt.
Chứng minh. Nếu angi (x, y) = 0 thì ta có:
x+y

2

− x−y

2

= 4. x . y .

Từ bất đẳng thức tam giác ta suy ra:
( x + y )2 − x − y
23

2

≥4 x . y ,


nên | x − y | ≥ x − y . Cùng với tính chất bất đẳng thức ngược ta
có
| x − y |= x−y ,
và suy ra điều phải chứng minh.

Nếu angi (x, y) = π, chúng ta có thể sử dụng tính toán tương tự.

Chú ý 2.3.7. Giống như đối với góc P, ta cũng có angi (x, αx) = 0 nếu
α > 0 và angi (x, αx) = π nếu α < 0.
Mệnh đề 2.3.8. Cho (X, . ) là không gian định chuẩn, và xét
angp : X0 × X0 → R
là hàm góc I tương ứng. Khi đó angi là thuần nhất khi và chỉ khi chuẩn
đã cho là chuẩn Euclid.
Chứng minh. Như chúng ta đã biết trực giao cân trong không gian định
chuẩn là thuần nhất khi và chỉ khi chuẩn được suy ra từ một tích vô
hướng (xem [10]). Từ đó, góc I bảo toàn trực giao cân nên ta được điều
phải chứng minh.

Chúng ta nhấn mạnh điểm tương đồng giữa góc P và góc I. Tuy
nhiên, chúng cũng có sự khác biệt. Trong khi không xảy ra với góc P thì
góc I bất kì trong không gian định chuẩn có tính chất 7 (tính bù). Thật
vậy:
x+y 2− x−y
angi (x, −y) = arccos −
4. x . y
= π − arccos

x+y 2− x−y
4. x . y

= π − angi (x, y) .
24

2

2


2.3.3

Góc Thy

Trong [12] góc được định nghĩa, mà tác giả gọi là góc Thy, và góc này
bảo toàn tính trực giao Singer, đó là hàm góc angthy : X0 × X0 → R
được xác định bởi:
angthy (x, y) = arccos

1
4

x
y
+
x
y

2

−

x
y
−
x
y

2

.

Sau đây chúng ta sẽ trình bày một số tính chất của nó. Những kết
quả này có thể được tìm thấy trong các loại tài liệu [11]và [12] .
Bổ đề 2.3.9. Góc Thy thỏa mãn tiên đề cấu trúc 1 (tính liên tục), 2
(tính đối xứng), 3 (tính thuần nhất) và 5 (tính không suy biến) cũng như
các tính chất vị trí. Ngoài ra, hai véc tơ x, y ∈ X0 khác không là trực
giao Singer khi và chỉ khi angthy (x, y) = π2 .
Chú ý 2.3.10. Góc Thy có một tính chất mà mạnh hơn tính thuần
nhất, cụ thể ta có:
angthy (αx, βy) = sgn (αβ) angthy (x, y) , ∀α, β = 0.
Để ý rằng góc Thy là trùng với hàm góc chuẩn trong không gian
Euclid. Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh một kết quả từ [9] nhưng dựa
trên một giả thiết tổng quan hơn. Người đọc cần phải nhận thức thực tế
rằng định lý này giải thích cho sự tồn tại của một loại tọa độ cực trong
một mặt phẳng định chuẩn tùy ý.
Định lí 2.3.11. Xét ang : X0 × X0 → R là một hàm góc thỏa mãn tiên
đề cấu trúc 1 (tính liên tục), 3(tính thuần nhất) và 5 (tính không suy
biến) cũng như tính chất 6 (tính cùng phương). Khi đó, nếu x, y ∈ X0 là
hai véc tơ độc lập tuyến tính và hàm f : t → ang (y, x + ty) là đơn ánh,
thì f là phép đồng phôi giảm từ R tới (0, π).

25