Toán tử schrödinger tuần hoàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THOAN

¨
TOÁN TỬ SCHRODINGER
TUẦN HOÀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THOAN

¨
TOÁN TỬ SCHRODINGER
TUẦN HOÀN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ NGỌC TRÍ

Hà Nội - 2017

i

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí, người
đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo cho tôi trong quá trình làm luận văn.
Thông qua luận văn này, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo
trong tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 cùng gia
đình, bạn bè và các thành viên trong lớp Toán Giải Tích Khóa 19 đã động
viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 8 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Thoan


ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn
của TS. Tạ Ngọc Trí. Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu
trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Các
thông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố trên bất kỳ phương tiện thông
tin nào.
Hà Nội, tháng 8 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Thoan


iii

MỤC LỤC

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . .

3

1.1.2

Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . .

6

1.1.3

Toán tử tuyến tính tự liên hợp . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Một số kết quả về phổ của toán tử tuyến tính bị chặn

7

1.1.5

Toán tử Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.6

Đối xứng hóa và toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . 18

1.1.7

Chéo hóa của toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . 20

1.1.8

Sự phân hoạch phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Toán tử Schr¨odinger một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1

Sự tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.2

Sự gián đoạn của phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.3

Giá trị riêng âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


iv

1.3

Toán tử Schr¨odinger nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1

Sự tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2

Phổ gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.3

Phổ thiết yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.4

Sự phân rã của các hàm riêng

1.3.5

Khoảng cách Agmon . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

. . . . . . . . . . . . 29

2 Các toán tử Schr¨
odinger tuần hoàn

32

2.1

Giới thiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2

Một số định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3

2.2.1

Tích phân trực tiếp và các toán tử khả tích . . . . . 32

2.2.2

Toán tử Schr¨odinger tuần hoàn một chiều . . . . . . 34

2.2.3

Toán tử Schr¨odinger tuần hoàn nhiều chiều . . . . . 38

2.2.4

Các kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.5

Giảm sự nhiễu và các điện thế tuần hoàn . . . . . . 42

Một số bài toán vật lý điển hình ứng dụng các dạng toán
tử Schr¨odinger tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1

Phương trình sóng đối với điện trong trường thế tuần
hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.2

Tìm năng lượng Fermi Ef . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.3

Tìm nhiệt dung riêng đẳng tích . . . . . . . . . . . . 46


Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán tử Schr¨odinger là một khái niệm toán học quan trọng được sử
dụng trong cơ học lượng tử. Các vấn đề về phổ của toán tử Schr¨odinger
cũng liên quan chặt chẽ đến các hiện tượng của tự nhiên. Hầu như các
tính chất riêng biệt của các hạt vi mô tạo nên vật chất đó là điện tử,
proton, neutron,...mô tả trong cơ học lượng tử. Toán tử Schr¨odinger hay
Hamiltonian trong phương trình Schr¨odinger là nhân tố thiết yếu để xây
dựng cơ sở nghiên cứu mô tả tính chất của vật chất trong cơ học lượng tử.
Trong đề tài này, tôi muốn tìm hiểu về một số loại toán tử Schr¨odinger
đặc biệt: toán tử Schr¨odinger tuần hoàn. Bài toán về Mô hình khí điện
tử trong trường thế tuần hoàn của Vật lý chất rắn dùng để giải thích và
xây dựng lý thuyết vùng năng lượng của tinh thể vật chất sử dụng toán

tử Schr¨odinger tuần hoàn để có thể xử lý. Bên cạnh đó, với các hiện tượng
nhiễu loạn trong trường thế tuần hoàn trong cơ lượng tử và khảo sát mô
phỏng tính toán cấu trúc vật chất trong trường thế tuần hoàn, toán tử
Schr¨odinger tuần hoàn là công cụ quan trọng để nghiên cứu.
Với mục đích được tập dược nghiên cứu khoa học thực hiện đề tài tốt
nghiệp cao học, tôi mong muốn tìm hiểu về các toán tử Schr¨odinger tuần
hoàn. Vì vậy dưới sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí
tôi chọn đề tài " Toán tử Schr¨odinger tuần hoàn " làm đề tài cho luận văn
tốt nghiệp của mình với hy vọng là giúp tôi có thêm những hiểu biết về
một vấn đề đó.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về các toán tử Schr¨odinger tuần hoàn. Các định lý, ví dụ ứng
dụng trong vật lý liên quan đến các toán tử Schr¨odinger tuần hoàn.


2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày các định nghĩa, mệnh đề, định lý và các ví dụ cụ thể về các
toán tử Schr¨odinger tuần hoàn.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các toán tử Schr¨odinger tuần hoàn.
Phạm vi nghiên cứu: Một số tài liệu, bài báo có liên quan tới các toán
tử Schr¨odinger tuần hoàn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kết quả của bài toán về mô hình khí điện tử trong trường
thế tuần hoàn của Vật lý chất rắn để tìm hiểu sử dụng lý thuyết cổ điển
của các toán tử tuần hoàn một chiều hay nhiều chiều để tiếp cận vấn đề.
Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán tử
tự liên hợp, toán tử trong không gian Hilbert.

6. Đóng góp dự kiến
Các toán tử Schr¨odinger tuần hoàn và một số bài toán vật lý điển hình
ứng dụng các toán tử Schr¨odinger tuần hoàn.
Hy vọng luận văn sẽ nêu được vai trò và áp dụng của toán tử Schr¨odinger
trong vật lý.
7. Nội dung
Luận văn gồm có 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Các toán tử Schr¨odinger tuần hoàn và một số bài toán vật lý
điển hình ứng dụng các dạng toán tử Schr¨odinger tuần hoàn.


3

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này chúng tôi trình bày sơ lược tổng quát về toán tử Schr¨odinger,
các toán tử Schr¨odinger hoàn một chiều, là cơ sở cho các vấn đề tìm hiểu
ở chương sau. Nội dung chương này được tham khảo trong các tài liệu: [2],
[3], [4], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12].

1.1
1.1.1

Toán tử tuyến tính
Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.1.1. Cho X, Y là các không gian vectơ định chuẩn trên
trường số K , ánh xạ T : X −→ Y gọi là tuyến tính nếu

T (αx + βy) = α(T x) + β(T y)
với mọi x, y ∈ X và α, β ∈ K .
Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính T là một toán tử tuyến tính bị chặn nếu
tồn tại hằng số C sao cho:

Tx

Y

≤C x

X

với mọi x ∈ X .
Số T nhỏ nhất được gọi là chuẩn của T , kí hiệu là T
Do đó,

T = sup
x

X =1

Tx

Y

.

hoặc T

X,Y .


4

Khi X = Y thì T gọi là toán tử trên X . Khi Y = K thì toán tử tuyến
tính T được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian Banach trên trường số C, B(X)
là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X , toán tử A ∈ B(X). Phổ của
toán tử A kí hiệu là σ(A) là tập tất cả các số phức λ sao cho A − λ1 không
khả nghịch, tức là

σ(A) = λ ∈ C : A − λ1 là không khả nghich trong B(X)
hay

det(A − λ1) = 0
trong đó 1 là toán tử đơn vị.
Chú ý 1.1.1. A được gọi là khả nghịch nếu toán tử A, B ∈ B(X) sao cho
AB = BA = 1. Khi đó B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu

B = A−1 .
Định nghĩa 1.1.3. Cho A ∈ B(X)
1) Nếu x = 0, x ∈ X thỏa mãn Ax = λx với A ∈ B(X), λ ∈ C được
gọi là vectơ riêng của A, λ tương ứng được gọi là một giá trị riêng.
Nếu λ là một giá trị riêng thì A − λ1 không là khả nghịch, do đó λ thuộc
phổ của A.
Tập tất cả các gía trị riêng của A là tập con của σ(A) và được gọi là phổ
điểm của A, kí hiệu σp (A);
2) Nếu ker(A − λ1) = 0 và Ran(A − λ1) là không gian các giá trị riêng

và Ran(A − λ1) không trù mật thì λ được gọi là phổ dư;
3) Phổ rời rạc, kí hiệu σd (A) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số bội
số hữu hạn. Khi T là toán tử liên hợp thì

σd (T ) = {λ ∈ σp (T )|rank(PT (λ − ε, λ + ε)) < ∞ với mỗi ε > 0};
(toán tử tự liên hợp sẽ được nói đến ở phần 1.3)
4) Phổ thiết yếu σess (T ) = σ(T )\σd (T ), khi T là toán tử tự liên hợp
thì


5

σess (T ) = {λ ∈ R|rank(PT (λ − ε, λ + ε)) = ∞ với mỗi ε > 0}.
Chú ý 1.1.2. Phổ của toán tử bị chặn là tập bị chặn.
Định nghĩa 1.1.4. Cho A ⊂ B(H). Tập giải được của A xác định bởi

ρ(A) = λ ∈ C|(A − λ)−1 ∈ B(H)
Nói cách khác, số phức λ ∈ ρ(A) khi và chỉ khi A − λ là song ánh với toán
tử ngược bị chặn. Phần bù của tập giải được được gọi là phổ của A, do đó

ρ(A) = C\σ(A).
Đặc biệt, λ ∈ σ(A) nếu A − λ có một hạt nhân không tầm thường.
Một vectơ khác không ψ ∈ ker(A − λ) được gọi là vectơ riêng và λ được
gọi là giá trị riêng tương ứng trong trường hợp đó.
Định nghĩa 1.1.1. Hàm

RA : ρ(A) −→ B(H), λ −→ (A − λ)−1
được gọi là giải thức của toán tử A taị λ. Ta có công thức sau:

RA (λ)∗ = ((A − λ)−1 )∗ = ((A − λ)∗ )−1 = (A∗ − λ∗ )−1 = RA∗ (λ∗ )

Đặc biệt,

ρ(A∗ ) = ρ(A)∗
Ví dụ 1.1.1. 1) Cho H = Cd và A ∈ B(H). Khi đó σ (A) chỉ gồm các giá
trị riêng λ1 , ..., λm của A, ở đây m ≤ d.
2) Cho X = C ([0, 1]), và Au = u với D (A) = C 1 ([0, 1]) . Khi đó
eλ ∈ D (A) và Aeλ = λeλ với mỗi λ ∈ C. Do đó, λ ∈ σp (A) vậy σ (A) =

σp (A) = C.
Định lý 1.1.1. ([3]) Tập giải được ρ(A) là tập mở và RA : ρ(A) −→ B(H)
là hàm giải tích, nghĩa là có khai triển chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối quanh
mỗi điểm λ0 ∈ ρ(A). Thêm vào đó

RA (λ) ≥ dist(λ, σ(A))−1 .
Nếu A bị chặn thì ta có:

{λ ⊂ C | |λ| > A } ⊆ ρ(A).


6

1.1.2

Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn

Định nghĩa 1.1.5. Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên miền

D(T ) của không gian Hilbert.
Ta nói T đóng nếu với mỗi xj ∈ D(T ), xj −→ x và T xj −→ y thì
x ∈ D(T ) và T x = y .

Toán tử T là một mở rộng của T (tức là T ⊂ T ) nếu D(T ) ⊆ D(T )
và T x = T x, với mọi x ∈ D(T ). Hơn nữa, ta nói T là đóng được nếu T
có một mở rộng đóng.
Khi đó mỗi toán tử đóng được có một mở rộng đóng nhỏ nhất được gọi là
bao đóng của nó, kí hiệu là T .
Định nghĩa 1.1.6. Cho T là toán tử không bị chặn trong không gian
Hilbert H. Ta nói một số phức ρ là một phần tử của tập hợp giải được
của T nếu T − ρ1 là song ánh từ D(T ) lên H với phép biến đổi ngược bị
chặn, 1 là toán tử đơn vị.
Định nghĩa 1.1.7. Phổ của toán tử tuyến tính T , kí hiệu σ(T ) là tập các
số phức không thuộc vào tập giải được của T . Mỗi giá trị riêng của T đều
thuộc vào σ(T ).
Phổ rời rạc của T , kí hiệu bởi σd (T ) là tập các giá trị riêng bị cô lập với
số bội hữu hạn.
Phổ thiết yếu của T , kí hiệu σess (T ) là tập σ(T ) \ σd (T ).
Chú ý 1.1.3. Phổ của toán tử không bị chặn chưa chắc đã là không bị
chặn (xem chi tiết ở [12]).

1.1.3

Toán tử tuyến tính tự liên hợp

Định nghĩa 1.1.8. Cho X, Y là các không gian Hilbert trên K , kí hiệu

B(X, Y ) là tập hợp tất cả các toán tử bị chặn từ X vào Y , toán tử
A ∈ B(X, Y ). Khi đó tồn tại duy nhất toán tử A∗ ∈ B(Y, X) sao cho
(∀c ∈ X)(∀y ∈ Y ), Ax, y

Y

= x, A∗ y

X


7

Toán tử A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Đặc biệt, nếu X = Y và A = A∗ ta nói A là toán tử tự liên hợp, khi đó
B(X, Y ) được kí hiệu gọn lại là B(X).
Trong trường hợp xét trên B(X) toán tử tự liên hợp cũng là toán tử
đối xứng.
Định nghĩa 1.1.9. Cho X và Y là hai không gian Banach, A là toán
tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y . Toán tử liên hợp (trong không gian
Banach) của T , kí hiệu là T , là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y ∗ tới X ∗
được cho bởi công thức

(∀y ∈ Y ∗ )(∀x ∈ X ∗ ), (A y)(x) = y(Ax).
Định lý 1.1.2. ([2]) Kí hiệu B(H) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn
trên không gian Hilbert H. Cho An là một dãy các toán tử bị chặn và giả
sử (An x, y) hội tụ khi n −→ ∞ với mọi H. Khi đó tồn tại B(H) sao cho
w
An → A (hội tụ yếu).
Nếu dãy các toán tử An trên không gian Hilbert có tính chất An x hội
tụ với mọi x ∈ H, khi đó tồn tại A ∈ B(H) sao cho An −→ A (hội tụ
mạnh).
Cho A ∈ B(X, Y ). Tập các vectơ x ∈ X sao cho Ax = 0 được gọi là
nhân của A, kí hiệu là ker(A) = {x ∈ X|Ax = 0}.
Tập các vectơ y ∈ Y sao cho y = Ax, x ∈ X được gọi là miền giá trị của
A, kí hiệu là Ran(A) = {y = T x|x ∈ X}

ker(A) và Ran(A) là các không gian con.
Bổ đề 1.1.1. ([3]) Ta có λ ∈ σ(A) nếu dãy ψ ∈ D(T ) thỏa mãn A −

λψn −→ 0.
Nếu λ là điểm biên của ρ(A) thì điều ngược lại vẫn đúng.
Dãy có tính chất như trên gọi là dãy Weyl.
1.1.4

Một số kết quả về phổ của toán tử tuyến tính bị chặn

Bổ đề 1.1.2. ([3]) Giả sử A là đơn ánh. Khi đó,

σ(A−1 ) \ {0} = (σ(A) \ {0})−1


8

Ngoài ra ta có Aψ = λψ khi và chỉ khi A−1 ψ = λ−1 ψ, λ = 0.
Định lý 1.1.3. ([3])
1) Cho A là toán tử đối xứng. Khi đó A là toán tử tự liên hợp khi và
chỉ khi σ(A) ⊂ R và (A − E) ≥ 0; E ∈ R khi và chỉ khi σ(A) ⊆ [E, ∞).
Hơn nữa, RA (λ) ≤ |Im (λ)|−1 nếu (A − E) ≥ 0;

RA (λ) ≤ |λ − E|−1

nếu λ < E.
2) Cho A là toán tử tự liên hợp. Khi đó

inf(A) =

inf

ψ, Aψ

ψ∈D(A), ψ =1

và

sup(A) =

sup

ψ, Aψ

ψ∈D(A), ψ =1

Định lý 1.1.4. ([3]) Giả sử A là toán tử đối xứng. Khi đó tất cả các giá
trị riêng là thực sự và có vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng trực
giao.
Định lý 1.1.5. ([3]) Giả sử A là toán tử đối xứng có cơ sở trực chuẩn là
các hàm riêng {ϕj }. Khi đó A là toán tử tự liên hợp thiết yếu. Đặc biệt,
nó tự liên hợp thiết yếu trên span(ϕj ).
(Tiếp theo ta xét sự liên hợp của các toán tử không bị chặn, một số
kết quả về phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn, toán tử tự liên hợp
không bị chăn)
Định nghĩa 1.1.10. Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên D(T )
của không gian Hilbert H. Kí hiệu D(T ∗ ) là tập các phần tử y ∈ H mà
tồn tại phần tử z ∈ H sao cho với mọi x ∈ D(T ) ta có:

T x, y = x, z
với mỗi y ∈ D(T ∗ ) , ta dặt T ∗ y = z . T ∗ được gọi là toán tử liên hợp cuả
toán tử T .
Chú ý 1.1.4. Không phải tất cả các toán tử tuyến tính không bị chặn
đều có toán tử liên hợp (như một toán tử bị chặn). Tuy nhiên nếu T có
thể đóng được thì luôn tồn tại T ∗ .


9

Định lý 1.1.6. ([2]) Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên D(T )
của không gian Hilber H. Khi đó
1) T ∗ là đóng;
2) T đóng được nếu và chỉ nếu D(T ∗ ) trù mật trong H, trường hợp này
T = T ∗∗ ;
3) Nếu T đóng được thì (T )∗ = T ∗ .
Định nghĩa 1.1.11. Toán tử không bị chặn T được gọi là đối xứng nếu
T ∗ là một mở rộng của T , nghĩa là nếu D(T ) ⊂ D(T ∗ ) và T ϕ = T ∗ ϕ với
mọi ϕ ∈ D(T ).
Định nghĩa 1.1.12. Toán tử T được gọi là tự liên hợp nếu T đối xứng
và D(T ) = D(T ∗ ).
Chú ý 1.1.5. 1) Giả sử T là toán tử đối xứng thì T luôn đóng được.
Thật vậy vì D(T ∗ ) ⊃ D(T ) là trù mật trong H.
2) T là toán tử đối xứng ta có T ⊂ T ∗∗ ⊂ T ∗ với T ∗ là mở rộng đóng
của T ; T ∗∗ là toán tử nhỏ nhất mở rộng đóng của T .
Với toán tử đóng đối xứng T = T ∗∗ ⊂ T ∗ và với toán tử tự liên hợp

T = T ∗∗ = T ∗ .
Do đó một toán tử đối xứng đóng T là tự liên hợp khi và chỉ khi T ∗ đối
xứng.

Định nghĩa 1.1.13. Một toán tử đối xứng T được gọi là tự liên hợp thiết
yếu nếu bao đóng T là tự liên hợp.
Định lý 1.1.7. ([2]) Cho T là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert

H. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
1) Toán tử T tự liên hợp;
2) Toán tử T đóng và ker(T ∗ ± i) = {0};
3) Ran(T ± i) = H.
Hệ quả 1.1.1. ([2]) Cho T là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert H.
Khi đó các điều sau là tương đương
1) Toán tử T là tự liên hợp thiết yếu;


10

2) ker(T ± i = {0});
3) Ran(T ± i) trù mật.
Định lý 1.1.8. (Kato-Rellich) Giả sử các toán tử T1 tự liên hợp, T2 đối
xứng với D(T1 ) ⊂ D(T2 ). Giả sử tồn tại a, b (a < 1) thỏa mãn:

T2 x ≤ a T1 x + b x
với mọi x ∈ D(T )1 . Khi đó, toán tử T1 + T2 tự liên hợp trên D(T1 ) và tự
liên hợp thiết yếu trên miền lõi bất kì của T1 ).
Toán tử T2 trong định lí này có thể được coi như toán tử nhiễu của T1 .
Định nghĩa 1.1.14. Dạng toàn phương là một ánh xạ q : Q(q)×Q(q) −→
C, trong đó Q(q) là tập con tuyến tính trù mật của H, được gọi là miền thức
sao choq(x, ·) tuyến tính và q(·, y) liên hợp tuyến tính với mọi x, y ∈ Q(q).
Để liên kết một dạng toàn phương và một toán tử không bị chặn trước
hết ta chú ý tới định nghĩa toán tử không bị chặn. Ta nói toán tử T dương,
kí hiệu T ≥ 0, nếu T đối xứng và T x, x ≥ 0 với mọi x ∈ D(T ). Với mỗi

toán tử dương T ta cso thể xác định một tích vô hướng x, y
bởi

x, y

T

T

trên D(T )

= T x, y + x, y .

Kí hiệu Q(T ) là một mở rộng của D(T ) ứng với chuẩn ·
tích vô hướng trên thì D(T ) ⊆ Q(T ) ⊂ H.

T

cảm sinh bởi

Thật vậy, ta thấy nếu {xj } là dãy Cauchy trong D(T ) thì nó cũng là dãy
Cauchy trong H do x ≤ x T . Từ đó ta đồng nhất giới hạn trong Q(T )
với giới hạn trong H. Do đó ta có thể đặt dạng toàn phương qT liên hợp
với T mở rộng với mọi x ∈ Q(T ) là

qT (x) = x, x

T

− x 2.

Gọi Q(T ) là miền của T , ta có thể nói việc xét dạng toàn phương dẫn đến
cách hữu ích để xác định toán tử tự liên hợp nếu ta bắt đầu với toán tử
đối xứng nửa bị chặn được cho bởi kết quả sau:


11

Định lý 1.1.9. (Mở rộng Fredrichs) Cho T là toán tử đối xứng nữa bị
chặn, tức là gỉa sử tồn tại γ ∈ R sao cho

qt (x) = T x, x ≥ γ x

2

với mọi x ∈ D(T ).

Khi đó tồn tại một mở rộng tự liên hợp T của T bị chặn dưới bởi γ và
thỏa mãn D(T ) ⊆ Q(T ). Hơn nữa, T là mở rộng tự liên hợp duy nhất
của T với miền chứa trong Q(T ).
Ngược lại, cho dạng toàn phương q , có một toán tử tương ứng T sao
cho q = qT .
Xét một dạng toàn phương của định lý Kato-Rellich được gọi là định
lý KLMN (được đưa ra bởi Kato, Lions, Lax, Milgram và Nelson). Định
lý này cho phép ta xét dạng tổng của các toán tử (xem [4]).
Định lý 1.1.10. Cho T1 là toán tử tự liên hợp dương và qT2 là dạng toàn
phương liên hợp với toán tử đối xứng T2 , được xác định trên Q(T1 ). Neus
có các số thực a < 1 và b thỏa mãn

|qT2 (x) ≤ aqT1 (x) + b x với mọi x ∈ Q(T1 ).

Khi đó tồn tại duy nhất toán tử tự liên hợp T với Q(T ) = Q(T1 ) sao cho

T liên hợp với hình thức qT1 + qT2 .
Trong trường hợp này T2 là toán tử nhiểu của T1 .
Bổ đề 1.1.3. Nếu T1 tự liên hợp và T2 compact tương đối ứng với T1 thì
toán tử tổng T1 + T2 xác định trên D(T1 ) đóng. Hơn nữa toán tử tổng có
phổ thiết yếu với T1 . Nếu ta cần T2 đối xứng thì toán tử tổng tự liên hợp.
Bổ đề 1.1.4. Nếu T1 tự liên hợp và D(T1 ) ⊆ D(T2 ) và toán tử T2 (T1 +i)−1
compact thì ta nói T2 compact tương ứng với T1 . Thực tế ta có thể thay đổi
i bới một số bất kì nằm trong tập giải được của T1 .
Thật vậy, với mỗi dãy {xj } ⊂ D(T1 ) ⊆ D(T2 ) thỏa mãn T1 xj +

xj ≤ c với c ≥ 0 thì ta có thể chọn dãy con {xjk } sao cho {T2 xjk } hội
tụ. Từ đó ta suy ra được T2 compact tương ứng với T1 .


12

Định lý 1.1.11. ([3]) Giả sử A là toán tử liên hợp và ψj , 1 ≤ j ≤ k, là
các phần tử độc lập tuyến tính của H. Cho λ ∈ R, ψj ∈ D(A). Nếu

ψ, Aψ < λ ψ
với mỗi tổ hợp tuyến tính khác không ψ =

2
k
j=1 cj ψj

thì

dim RanPA (−∞, λ) ≥ k.
Bổ đề 1.1.5. ([3])Giả sử A là toán tử tự liên hợp, B toán tử đối xứng và
A bị chặn với cận nhỏ hơn một. Nếu K compact tương đối với A thì nó
cũng compact tương đối với A + B .
Bổ đề 1.1.6. ([3]) Cho X là không gian metric compact địa phương. Giả
sử K là một tập compact và {Oj }nj=1 là một phủ mở. Khi đó tồn tại một
phân hoạch đơn vị của K phụ thuộc vào phủ mở này, nghĩa là có các hàm
số liên tục hj : X −→ [0, 1] sao cho hj có giá compact chứa trong Oj và
n

hj (x) ≤ 1
j=1

dấu đẳng thức xảy ra khi x ∈ K .
Chứng minh. Với mỗi x ∈ K tồn tại ε và j sao cho Bε (x) ⊆ Oj . Theo tính
compact của K , có hữu hạn những quả cầu như vậy phủ K . Gọi Kj là quả
cầu đơn vị của những quả cầu như vậy phủ K . Gọi Kj là quả cầu đơn vị
của những quả cầu nằm trong Oj . Theo bổ đề Uryohn tồn tại các hàm số

gj : X −→ [0, 1] sao cho gj = 1 trong K và gj = 0 trong X \ Oj . Ta đặt
j−1

(1 − gk )

hj = gj
k=1

Khi đó hj : X −→ [0, 1] có giá compact chứa trong Oj và
n

n

hj (x) = 1 −
j=1

(1 − gj (x))
j=1

chứng tỏ tổng là một trong x ∈ K , do x ∈ Kj với mỗi j dẫn đến gj (x) = 1
và làm cho tích bằng 0.


13

1.1.5

Toán tử Schr¨
odinger

Trong phần này, ta đề cập đến các dạng toán tử Schr¨odinger đó là

H = H0 + V
H = −∆ −
H=−

λ
(1)
|x| , D(H )

N

j=1 ∆j

+

N
j
= H 2 (R3 )

Vj,k (xj − xk )

và đưa ra một số kết quả về phổ của chúng. Nội dung trình bày trong phần
này chủ yếu lấy từ [4]. Đầu tiên, ta đưa ra định nghĩa và một số tính chất
của phép biến đổi Fourier và toán tử Schr¨odinger tự do thông qua toán tử
n
∂2
j=1 ∂x2j

Laplace ∆ =

Định nghĩa và tính chất

Cho C ∞ (Rn ) là tập hợp tất cả các hàm số giá trị phức có đạo hàm riêng
bậc bất kì. Với f ∈ C ∞ (Rn ) và α ∈ Nn0 ta đặt:

∂α f =

∂

α

f
α
α1
αn , x
∂x1 ...∂xn

= xα1 1 ...xαnn , |α| = α1 + ... + αn .

Một phần tử α ∈ Nn0 được gọi là một đa chỉ số và |α| là bậc của nó.
Nhắc lại, không gian Schwartz

S(Rn ) =

f ∈ C∞ (Rn )| sup |xα (∂β f )(x)| < ∞, α, β ∈ Nn0
x

trù mật trong L2 (Rn ) (do Cc∞ (Rn ) ⊂ S(Rn )).
Nếu f ∈ S(Rn ) thì cũng đúng với xα f (x) và (∂α f )(x) với mỗi đa chỉ số α.
Với mỗi f ∈ S(Rn ) ta định nghĩa

F(f )(p) ≡ f (p) =

1
(2Π)n/2

là phép biến đổi Fourier của hàm f .

e−ipx f (x)dn x
Rn

14

Định lý 1.1.12. ([3]) Phép biến đổi Fourier

F : S(Rn ) −→ S(Rn )
là một song ánh.
Phép biến đổi ngược

F −1 (g)(x) ≡ gˇ(x) =

1
(2π)n/2

eipx g(p)dn p
Rn

Từ tính chất F 2 (f )(x) = f (−x) ta có được F 4 = 1 (1 là toán tử đơn
vị).
Bổ đề 1.1.7. ([2]) Phép biến đổi Fourier ánh xạ từ không gian Schwartz
vào chính nó, F : S(Rn ) −→ S(Rn ). Hơn nữa, với mỗi đa chỉ số α ∈ Nn0
và mỗi f ∈ S(Rn ) ta có

(∂α f )∧ (p) = (ip)α fˆ(p),

(1.1)

(xα f (x))∧ (p) = i|α| ∂α f (p).

(1.2)

Chứng minh. Theo công thức tích phân từng phần ta có:

∂
f (x)
∂xj

∧

1 n/2
(p) =
(2π)
1 n/2
=
(2π)
1 n/2
=
(2π)

∂
f (x)dn x
∂xj
∂ −ipx
−
e
f (x)dn x
∂xj

e−ipx

Rn

Rn

ipj e−ipx f (x)dn x
Rn

= ipj fˆ(p).
Công thức (1.1) suy ra bằng quy nạp.


15

Tương tự ta suy ra công thức (1.2) bằng quy nạp, sử dụng

1
xj e−ipx f (x)dn x
n/2
(2π)
Rn
∂ −ipx
1
i
e
f (x)dn x
=
n/2
n
∂x
(2π)

j
R
∂ ˆ
=i
f (p).
∂pj

(xj f (x))∧ (p) =

Ta thấy fˆ ∈ S(Rn ) nếu f ∈ S(Rn ), do đó fˆ bị chặn và fˆ

∞

≤

(2π)−n/2 f 1 .
Nếu f ∈ S(Rn ) thì ∂ α xβ f (x) ∈ S(Rn ) pα (∂β fˆ(p) = i−|α|−|β| (∂ α xβ f (x))∧ (p)
bị chặn.
Bổ đề 1.1.8. ([3]) Cho f ∈ S(Rn ) khi đó:

(f (x + a))∧ (p) = eiap fˆ(p),
(f (λx))∧ (p) = λ1n fˆ( λp ),

a ∈ Rn ,
λ > 0.

Định lý 1.1.13. ([3]) Cho g(x) là toán tử nhân bởi g và f (x) là toán tử
được cho bởi

ˆ

f (p)ψ(x) = F −1 (f (p)ψ(p))(x).
n
Kí hiệu L∞
∞ (R ) là các hàm Borel bị chặn, triệt tiêu tại vô cùng. Khi đó
n
f (x)g(x) và g(x)f (p) là các toán tử compact nếu f, g ∈ L∞
∞ (R ) và là các
toán tử Hilbert-Schmidt mở rộng nếu f, g ∈ L2 (Rn ).

Chứng minh. Theo tính đối xứng ta xét g(x)f (p). Cho f, g ∈ L2 , khi đó

g(x)f (p)ψ(x) =

1
(2π)n/2

g(x)fˇ(x − y)ψ(x)dn y.
Rn

Do đó g(x)fˇ(x − y) ∈ L2 (Rn × Rn ) chứng tỏ g(x)f (p) là toán tử HilbertSchmidt.
Nếu f, g bị chặn thì các hàm fR (p) = χ{p|p2 ≤R} (p)f (p) và gR (x) = χ{p|P 2 ≤R} (x)g(x)
nằm trong L2 .


16

Vậy gR (x)fR (p) compact.
Do

g(x)f (p) − gR (x)fR (p) ≤ g

∞

f − fR

∞

+ g − gR

∞

fR

∞

tiến đến g(x)f (p) theo chuẩn, từ đó f, g triệt tiêu tại vô cùng.
Đặc biệt, từ bổ đề này dẫn đến χΩ (H0 + i)−1 là compact nếu Ω là tập
bị chặn trong Rn .
Do đó limt−→∞ |χΩ e−itH0 ψ|2 = 0 với mỗi hàm ψ ∈ L2 (Rn ) và Ω bị chặn
trong Rn .
Mặt khác, chất điểm cuối cùng sẽ di chuyển tới vô cùng từ đó có thể tìm
được chất điểm trong mỗi tập bị chặn tiến đến 0.
Bổ đề 1.1.9. (Reamann-Lebesgue [3]) Kí hiệu C∞ (Rn ) là không gian Banach của tất cả các hàm số liên tục f : Rn −→ C triệt tiêu tại vô cùng
được trang bị chuẩn sup. Khi đó phép biến đổi Fourier là một đơn ánh bị
chặn, ánh xạ từ L1 (Rn ) vào C∞ (Rn ) thỏa mãn

fˆ

∞

≤ (2π)−n/2 f 1 .

Chứng minh. Ta có fˆ ∈ C∞ (Rn ) nếu f ∈ S(Rn ). Hơn nữa,

sup fˆ(p) ≤
p

1
sup
(2π)n/2 p

e−ipx f (x) dn x =
Rn

1
(2π)n/2

do đó fˆ ∈ C∞ (Rn ) với f bất kì thuộc L1 (Rn ).
Từ đó S(Rn ) trù mật trong L1 (Rn ).
Giả sử fˆ = 0, theo định lý Fubini ta có

ϕ(x)fˆ(x)dn x =

0=
Rn

ϕ(x)f
ˆ
(x)dn x
Rn

ˆ Rn ).
với mọi ϕ ∈ S(
Suy ra f = 0 hay phép biến đổi Fourier là đơn ánh.
Định nghĩa 1.1.15. Toán tử Schr¨odinger tự do có dạng

H0 = −

D(H0 ) = H 2 (Rn )

|f (x)| dn x
Rn


17

trong đó

là toán tử Laplace
n

∂2
.
∂x2j

=
j=1

Định lý 1.1.14. ([3]) Toán tử Schr¨
odinger tự do H0 tự liên hợp và phổ

của nó được cho bởi σ(H0 ) = [0, ∞).
Chứng minh. Điều kiện đủ
Đầu tiên ta thấy

ˆ Rp2 (z)ψˆ =
ψ, RH0 (z)ψ = ψ,

2
ˆ
|ψ(p)|
dn p =
2
p −z

Rn

1
d˜
µψ (r),
2
R r −z

trong đó

ˆ
|ψ(rw)|
dr.

d˜
µψ (r) = χ[ 0, ∞)(r)rn−1

S n−1

Dùng phép đổi hệ trục tọa độ ta được

ψ, RH0 (z)ψ =

1
dµψ (λ)
R λ−z

trong đó

√
ˆ λw)|2 dn−1 w dλ
|ψ(

dµψ (r) = χ[0,∞) (λ)(λn/2−1 )
S n−1

định lí được chứng minh.
Lưu ý các hàm trơn giá compact là miền lõi của H0
Bổ đề 1.1.10. ([3]) Tập Cc∞ = f ∈ S(Rn )|supp(f ) compact là miền lõi
của H0
Chứng minh. Dễ thấy S(Rn ) là miền lõi nên điều kiện đủ là chứng minh
bao đóng của H0 |Cc∞ (Rn ) chứa H0 |S(Rn ) .
Lấy hàm ϕ(x) ∈ Cc∞ (Rn ) sao cho hàm ϕ(x) = 1 với |x| ≤ 1 và triệt tiêu
với |x| ≥ 2.
Đặt ϕn (x) = ϕ( 12 x), khi đó ψn (x) = ϕn (x)ψ(x) nằm trong Cc∞ (Rn ) với
mỗi ψ ∈ S(Rn ) và ψ −→ ψ tương ứng với ψn −→ ψ .

18

Lưu ý dạng toàn phương của H0 được cho bởi
n

|∂j ψ(x)|2 dn x,

qH0 (ψ) =
j=1

Rn

ψ ∈ D(H0 ) = H 1 (Rn ).

Định nghĩa 1.1.16. Cho V : Rn −→ R là một hàm số, H0 là toán tử
nhân với V và Schr¨odinger tự do trên L2 (Rn ). Toán tử H = H0 + V trên
không gian Hilbert L2 (Rn ) cho bởi H0 ψ + V ψ với ψ ∈ L2 (Rn ) được gọi là
toán tử Schr¨odinger hoặc toán tử Hamilton.
Miền xác định của toán tử H và tính liên hợp của nó được khẳng định
qua định lý Kato-Rellich, với H0 là toán tử tự liên hợp và giả sử V là một
toán tử đối xứng với D(H0 ) ⊂ D(V ) sao cho a < 1 và số b để

V (φ) ≤ a H0 φ + b φ , với mọi φ ∈ D(H0 ).
Khi H0 + V xác định trên D(H0 ) ∩ D(V ) ≡ D(H0 ) là tự liên hợp.
Toán tử H0 thường được gọi là toán tử động năng, hàm số V thường được
gọi là toán tử thế năng.

1.1.6

Đối xứng hóa và toán tử tự liên hợp

Đầu tiên, nhắc lại kí hiệu của toán tử tự liên hợp. A : H1 → H2 là một
toán tử tuyến tính sao cho D (A) = H1 (giả thiết quan trọng). Toán tử tự
liên hợp: A∗ : H2 → H1 được xác định như sau: Miền D (A∗ ) của A∗ gồm
tất cả các véc tơ g ∈ H2 với các tính chất:

∃g ∗ ∈ H1 sao cho (Af, g) = (f, g ∗ ) với mọi f ∈ D (A).
Vì D (A) trù mật trong H1 , véc tơ g ∗ xác định duy nhất. Đặt A∗ g = g ∗ .
Đặc biệt ta có: (Af, g) = (f, A∗ g) , f ∈ D (A) , g ∈ D (A∗ ). Hiển nhiên,
g ∈ D (A∗ ) khi và chỉ khi phiến hàm tuyến tính l (f ) = (Af, g) xác định
trên D (A) là liên tục. Thật vậy, trong trường hợp này, ta có thể mở rộng
l đến D (A) = H1 bằng tính liên tục. Sau đó, bằng định lý Riesz, ta có

l(f ) = (Af, g) = (f, g ∗ ) với mọi g ∗ ∈ H1 . Chỉ ra toán tử ∗ qua toán tử
nghịch đảo tự liên hợp: nếu A : H1 → H2 thì A∗ : H2 → H1 . Trong phạm