Ghi nhớ cực nhanh công thức toán 12 cho học sinh cho học sinh đạt điểm cao

Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 THI THPT QUỐC GIA 2017
I) Hàm số (11 câu)
1. Hàm số đồng biến, nghịch biến:
• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng ( a; b ) khi y ' ≥ 0 ∀∈ ( a; b )
• Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng ( a; b ) khi y ' ≤ 0 ∀∈ ( a; b )
2. Cực trị hàm số
a) Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = x0
Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = x0
b) Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

 f ' ( x0 ) = 0
khi 
 f '' ( x0 ) < 0
 f ' ( x0 ) = 0
khi 
 f '' ( x0 ) > 0

Có cực trị (CĐ, CT) ⇔ y=' 3ax 2 + 2bx +=
c 0
⇔ ∆ ' y=' b 2 − 3ac > 0

c) Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 )
• Có 3 điểm cực trị ⇔ y ' =
0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ a.b < 0 ( a ≠ 0 )
• Có 1 điểm cực trị ⇔ a.b ≥ 0 ( a ≠ 0 )
4. GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a;b]
+ Tìm nghiệm phương trình f ' ( x ) = 0 ∀x ∈ ( a; b ) giả sử có các nghiệm là x1 , x2
+ Tính f(a), f(b), f ( x1 ) , f ( x2 ) …
+ Kết luận: GTLN (GTNN) của hàm số là GTLN (GTNN) của các số ở dãy trên
5. Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)

• Đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là x = a nếu lim f ( x) = ±∞
x→a

• Đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm ngang là y = b nếu lim f ( x) = b
x →±∞

6. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
• Tập xác định
• Sự biến thiên của hàm số
+ Giới hạn và tiệm cận (nếu có)
+ Đạo hàm y’, giải PT y’=0
+ Bảng biến thiên
+ Cực trị
+ Tính đồng biến, nghịch biến
• Vẽ đồ thị
1


Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
+ Giao với Ox, Oy (nếu có)
+ Chọn các điểm mà đồ thị đi qua (Bảng giá trị)
Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
Dấu của a
a>0
Dấu ∆

a<0
2

2

Pt y’ = 0 có hai
nghiệm phân
biệt.

O

-2

-2

2

2

Pt y’ = 0 có
nghiệm kép

4

Pt y’ = 0 vô
nghiệm

2

2

2

Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
Các dạng đồ thị hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
Dấu a
y’=0
a>0
a<0

2

Pt y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt

-2

2

Pt y’ = 0 có
một nghiệm
-2

Các dạng đồ thị hàm số: y =
D = ad – bc > 0

ax + b
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
cx + d

D = ad – bc < 0
4

4

2

2

-2

7. Tiếp tuyến của đồ thị
a, PTTT tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) của đồ thị y = f ( x ) có dạng:
=
y f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 , với
y0 = f ( x0 ) .

3


Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
b, TT ⊥ {=
y ax+b} ⇒ f ' ( x0=
)

−1
, TT / / { y =ax+b} ⇒ f ' ( x0 ) =a
a

II. Mũ – Logarit (10 câu)

1. Công thức mũ-logarit:

(1) a

(4)

x+ y

= a .a
x

(a )
x

y

y

(2) a

x− y

ax  a 
(3) x =  
b
b

ax
= y
a

(5) a x .b x = ( a.b )

= a x. y

 x > y khi a > 1
(7) a x > a y ⇔ 
 x < y khi 0 < a < 1

x

(6)

8) Điều kiện của log a x là

=
log e x ln=
x, log10 x log x
Kí hiệu:

x

a =a
y

 x>0

0 < a ≠ 1

 x>0
0 < a ≠ 1

(9) log a x = b ⇔ x = a b

(10) log a x + log a y =
log a x. y

x
(11) log a x − log a y =
log a  
 y

(12) log aα x =

(13) log a xα = α log a x

(14) log a x.log x y = log a y

log a b =

y
x

Điều kiện của log a x là 

log a a 1;log
0
=
Quy ước: =
a1

(15)

x

1
log b a

(16) a

logb c

1

α

log a x

= c logb a

 x > y khi a > 1
 x < y khi 0 < a < 1

(17) log a x > log a y ⇔ 

2.Đạo hàm của hàm số mũ – logarit

( a ) ' = a ln a ⇒ ( a ) ' = a
e ⇒ (e ) ' =
e .u '
(e ) ' =
x

x

x

x

u

u

u

f '( x)
1
1
⇒ ( ln u ) ' =
.u ' ⇒ ( ln f ( x ) ) ' =
( ln x ) ' =
x
u
f ( x)

ln a.u '

u

1
u'
⇒ ( log a u ) ' =

x ln a
u ln a

( log a x ) ' =

3.Đồ thị hàm số mũ

Khảo sát hàm số y = a x
• Tập xác định hàm số D = 

nÕu a > 1 ⇒ hµm sè t¨ng
y ' > 0
 y ' < 0 nÕu 0 < a < 1 ⇒ hµm sè gi¶m

• Đạo hàm:
=
y ' a x ln a ⇒ 

4


Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
nÕu a >1
 0
 +∞ nÕu 0 < a <1

• Giới hạn: xlim
ax = 
→−∞

⇒ y=
0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

nÕu a >1
 +∞
lim a x = 
 0 nÕu 0 < a <1

x→+∞

• Bảng biến thiên

• Giá trị đặc biệt: Cho x = 0 ⇒ y =1 ; cho x =1 ⇒ y =a
• Đồ thị

Nhận xét: Hàm số y = a x tăng khi a > 1 , giảm khi 0 < a < 1 .
Hàm số y = a x luôn dương với mọi x

4.Đồ thị hàm số logarit

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = log a x
• Tập xác định D
= ( 0; +∞ )
• Đạo hàm
=
y'
• Giới hạn

 y ' > 0 nÕu a>1
1

⇒
x ln a
 y ' < 0 nÕu 0
 −∞ nÕu a>1
lim log a x = 
x →0
 +∞ nÕu 0
• Bảng biến thiên
5

 +∞ nÕu a>1
lim log a x = 
x→+∞
 −∞ nÕu 0

Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
• Điểm đặc biệt Cho x = a ⇒ y = 1 , cho x =1 ⇒ y =0
• vẽ đồ thị

5. Phương trình mũ, phương trình logarit
a) Phương trình mũ:
•

 f ( x ) = g ( x )
f ( x)
a=
a g( x) ⇔ 

0 < a ≠ 1

•

a f ( x) =
b ⇔ f ( x) =
log a b

• A.a 2 x + B.a xb x + Cb 2 x =
0 (lũy thừa x xuất hiện tất cả các số hạng
2x
Chia 2 vế cho b (b lớn nhất)
2x

x

x

a
a
a
, đặt t   , t > 0
⇔ A  + B   + C =
0=
b
b
b
2x
x
x

• A.a + B.a + C =
0 , đặt
=
t a , t >0

b) Phương trình logarit

6


Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
•

•
•

 f ( x) > 0

log a f ( x ) = b ⇔ 0 < a ≠ 1
 f x = ab
 ( )
 f ( x ) > 0
 
log a f ( x )= log a g ( x ) ⇔  g ( x ) > 0

 f ( x ) = g ( x )

(Chọn điều kiện đơn giản hơn)

A.log 2a f ( x ) + B log a f ( x ) + C =

0 , (Đk: f(x) >0)

Đặt t = log a f ( x ) ta được phương trình At 2 + Bt + C =
0
3) Bất phương trình mũ, logarit
Các dạng tương tự như phương trình mũ, logarit, chỉ cần ghi nhớ công thức (7) và (17) ở
trên.
III) Nguyên hàm -Tích phân- ứng dụng (7 câu)
1) Bảng đạo hàm, nguyên hàm các hàm số cơ bản
Nguyên hàm
Đạo hàm

∫ dx=

x+C

xα +1
x
=
dx
+C
∫
α +1
dx
ln x + C
∫=
x
x
x
∫ e dx= e + C

α

−cosx + C
∫ s inxdx =
dx sin x + C
∫ cosx=

( x) ' = 1

(x =
) ' (α + 1) x
α +1

( ln x ) ' = 1x

(e ) ' = e
x

x

( cosx ) ' = − s inx
( sinx ) ' = co s x

dx
∫ cos2 x =tanx + C

( tanx ) ' =

1
cos 2 x

dx
∫ sin 2 x =-cotx + C
dx
1
ln ax + b + C
∫ ax=
+b a
1 ax +b
ax + b
dx
e
+C ;
∫ e=
a
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx

( cotx ) ' =

−

∫  f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

2) Tích phân

7

1
sin 2 x

α


Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
•
•

b

( x)
∫ f=
a
b

a

∫

f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx

b

c

a

•

F (=
x ) ba F ( b ) − F ( a )

∫

b

f=
( x )dx

∫

a

a

b

f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (a < c < b)
c

• Phương pháp đổi biến:

b

∫ f ( u ) u 'du
a

Đặt t=u(x)
• Phương pháp tích phân từng phần
b

b

a

a

= uv ba − ∫ vdu
∫ udv

Cách đặt: “trong mọi tích phân từng phần đều đặt u = hàm đa thức, nếu xuất hiện lnx
thì đặt u=lnx
3) Ứng dụng:
* Gọi S H là diện tích hình H= {=
y f ( x ) ,=
y g ( x ) ,=
x a,=
x b}
Khi đó
=
SH

b

∫ f ( x ) − g ( x ) dx
a

* Gọi VOx là thể tích được tạo bởi khi quay H=

{=y

f ( x ) ,=
y 0,=
x a,=
x b} quanh trục Ox

{=y

f ( x ) ,=
x 0,=
y a,=
y b} quanh trục Oy

b

VOx = π ∫ y 2 dx với y = f ( x )
a

* Gọi VOy là thể tích được tạo bởi khi quay H=
b

VOy = π ∫ x 2 dy với x được rút từ y = f ( x )
a

IV) Số phức (6 câu)

1) Tập số phức kí hiệu là 
2) Mỗi số phức z ∈  được viết là
z=
a + bi, a, b ∈  và i 2 = −1
• a là phần thực, b là phần ảo

• Nếu b = 0 được gọi z = a là số thực
• Nếu a = 0 gọi z = bi là số thuần ảo
a1 = a2
b1 = b2

3) Hai số phức a1 + b1i = a2 + b2i ⇔ 

4) z= a + bi có số phức liên hợp là z= a − bi
5) Mỗi số phức z= x + yi được biểu diễn lên mặt phẳng Oxy là điểm M(x;y)

8


Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
6) Moodun của số phức z= a + bi là z = a + bi = a 2 + b 2
7) Phép toán trên tập số phức
a) Phép cộng, phép trừ:

( a1 + b1i ) ± ( a2 + b2i ) = ( a1 ± a2 ) + ( b1 ± b2 ) i

b) Phép nhân

( a1 + b1i ) . ( a2 + b2i ) = ( a1a2 − b1b2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) i (nhân phá ngoặc, chú ý

c) Phép chia

( a + b i )( a2 − b2i )
a1 + b1i
= 1 1=
a2 + b2i ( a2 + b2i ) . ( a2 − b2i )

i 2 = −1 )

( a1a2 + b1b2 ) + ( b1a2 − a1b2 ) i
a22 + b22

a12 + b12

8)
a) Căn bậc hai của số thực âm

( a > 0)

−a =±i a

b) Phương trình bậc hai với hệ số thực
ax 2 + bx + c =
0
Nếu ∆ < 0 ⇒ ∆ = ±i −∆
−b ± i −∆
Vậy nghiệm là x1,2 =
2a
2
9) a) Căn bậc hai của số phức a + bi là x + yi nếu ( x + yi ) =
a + bi

b) Dạng lượng giác của số phức

a
b

z =a + bi = a 2 + b 2 
+
2
2
a 2 + b2
 a +b

=


i


a 2 + b 2 ( cosϕ +isinϕ )
a

b

a +b

a +b

(Với
= c=
osϕ ,
sinϕ )
2
2
2
2

(

c) Công thức Moa – Vrơ: ( a + bi ) =
r
 r ( cosϕ +isinϕ )  = r n ( cosnϕ + sin nϕ )=
n

n

V) KHỐI ĐA DIỆN –Hình không gian(8 câu)
1)Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

B : dieän tích ñaùy

V=B.h với 

 h : chieàu cao

9

a 2 + b2

)


Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Tốn 12 - />
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V= a.b.c với a,b,c là ba kích thước

b) Thể tích khối lập phương:
V=a3 với a là độ dài cạnh
a

c
b

a

a

a

2. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
B : diện tích đáy
1
V= Bh với 
3
 h : chiều cao

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC ta có:
VSABC
SA SB SC
=
VSA ' B' C ' SA ' SB' SC'

S

A'

B'

A

C'

B

C

3. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT:
h
V=
B + B'+ BB'
3
B, B' : diện tích hai đáy
với 
 h : chiều cao

(

A'

)

B'
C'

A

B

C

2)Cơng thức tính diện tích và thể tích khối trụ-khối nón-khối cầu
1. Hình trụR : bán kính đáy
S
2
Rl
vớ
i
=
π
R

xq
Khối trụ:
l : đườngsinh

R : bán kính đáy
Vtrụ = πR 2 h với 
 h : đường cao

10

l

h


Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Tốn 12 - />
2. Hình nón
R : bán kính đáy
=
π
S
Rl
vớ
i

xq
– Khối nón
l : đườngsinh
Vnón=

R : bán kính đáy
1 2
πR h với 
3
 h : đường cao

h

l

R

3.Hình nón Sxq =
π(R + R ')l
cụt – Khối
1
Vnóncụt = π(R 2 + R '2 + RR ')h
nón cụt:
3
R,R ' : bán kính 2 đáy

với l : đườngsinh
 h : đường cao


R'
h

l
R

4. Mặt cầu – S= 4πR 2 với R : bán kính mặt cầu
Khối cầu:
4 3
Vcầu=

3

πR với R : bán kính khối cầu

R

VI) Hình học Oxyz (8 câu)
1) Hệ tọa độ Oxyz gồm các trục Ox, Oy, Oz đơi một vng góc với nhau và lần lượt gắn



các vecto đơn vị i (1;0;0 ) , j ( 0;1;0 ) , k ( 0;0;1)
2) Tọa độ của vecto


  
u ( a; b; c ) ⇔ u = ai + b j + ck

3) Tọa độ củađiểm
 



A ( x; y; z ) ⇔ OA =xi + y j + zk





4) Tính chất: Trên Oxyz cho u1 ( a1 ; b1 ; c1 ) , u2 ( a2 ; b2 ; c2 ) và các điểm A, B, C, D có tọa độ
tương ứng
 

(1) u1 ± u2 = ( a1 ± a2 , b1 ± b2 , c1 ± c2 )

(2) ku1 = ( ka1 ; k b1 ; k c1 )

 
( 3) u1 = u2 ⇔ a1 = a2 ; b1 = b2 ; c1 = c2



 

a
b c
(4) u1 cùng phương với u2 ⇔ 1 = 1 = 1 ⇔ u1 , u2  =
0
a2 b2 c2
 
( 5) u1.u2 = a1a2 + b1b2 + c1c2

11


Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
( 6)


u1 =

a12 + b12 + c12
 
 
u1.u2
( 7 ) cos u1 , u2 =  
u1 . u2

(

=

)

a1a2 + b1b2 + c1c2

a12 + b12 + c12 . a22 + b22 + c22
 
 
(8) u1 ⊥ u2 ⇔ u1.u2 =0 ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 =0





(9) 3 điểm A, B, C lập thành tam giác ⇔ AB và AC không cùng phương
 

⇔  AB, AC  ≠ 0

 x A + xB y A + y B z A + z B 
;
;

2
2 
 2

(10) I là trung điểm của AB, I 

(11) G là trọng tâm của tam giác ABC

 x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC 
G A B C ; A
;

2
2
2





1
(12) S ABC =  AB, AC 
2

  

(13) Bốn điểm A, B, C, D lập thành tứ diện ⇔  AB, AC  AD ≠ 0
(14) VABCD =

1   
 AB, AC  . AD

6

(15) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R là :
D1 :

( x − a) + ( y − b) + ( z − c)
2

2

2

=
R2

D2 : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d =
0 (với R=

a 2 + b2 + c2 − d ;

a 2 + b2 + c2 − d > 0 )


5) Phương trình mặt phẳng (α ) biết (α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có n ( a; b; c ) là vecto
0
pháp tuyến có dạng: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) =

6) Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : ax + by + cz + d =
0 là
d ( M 0 ; (α ) ) =

ax 0 + by0 + cz0 + d
a 2 + b2 + c2

7) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận

u∆ ( a; b; c ) là VTCP có phương trình là

x x2 + a2t2
=
 x= x1 + a1t1
 x1 + a1t1 =x2 + a2t2



y2 + b2t2 Xét hệ ( I ) :  y1 + b1t1 = y2 + b2t2
y1 + b1t1 và ∆ 2 :  y =
8) Cho ∆1 :  y =
=
 z= z + c t
 z + c t =z + c t
1
11
2
2 2
 z z2 + c2t2

 1 11

12

Ths Lê Văn Tiến -Groups FB: Hỏi-đáp Toán 12 - />
Vị trí tương đối của ∆1 và ∆ 2 như sau:
• Hệ (I) có 1 nghiệm ⇔ ∆1 cắt ∆ 2
• Hệ (I) vô số nghiệm ⇔ ∆1 trùng ∆ 2




• Hệ (I) vô nghiệm, u∆ ≠ ku∆ ⇔ ∆1 và ∆ 2 chéo nhau
•

1
2
Hệ (I) vô nghiệm, u∆1 = ku∆2 ⇔ ∆1 // ∆ 2



9) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ có VTCP u∆ và M 0 ∈ ∆ là

 
 M 0 M , u∆ 


d (M ; ∆) =

u∆
   
u∆ , u∆  .M 1 M 2
1

2
10) d ( ∆1 ; ∆ 2 ) =  
u∆ , u∆ 
 1 2

∆1 có VTCP là u∆1 và đi qua M 1

∆ 2 có VTCP là u∆2 và đi qua M 2

11) Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (α ) :ax+by+cz+d=0
Mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R
• ( S ) ∩ (α ) =
{M } (M là tiếp điểm)

R
(α ) tiếp xúc với (S) tại M ⇔ d ( I ; (α ) ) =
• ( S ) ∩ (α ) = {∅} ⇔ d ( I ; (α ) ) > R
• ( S ) ∩ (α )= {(C )} ⇔ d ( I ; (α ) ) < R
Tâm I của đường tròn (C) là hình chiếu của I lên (α )
r là bán kính của (C)=
r
R 2 − d 2 ( I ; (α ) )

13