Tài liệu Các công thức toán 12 (Ôn thi TN + TSĐH) docx

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TỐN THPT
DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Chú ý: 1.Nội dung có chút nâng cao và mở rộng với mục đích dùng cho ơn luyện thi ĐH-CĐ
2.Các nội dung ở phần hệ thống là những nội dung trọng tâm của
thi TNTHPT
VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM
• 
•  !"#
o Phương trình tiếp tuyến: tại M
0;
đi qua một điểm M
1
ho$ hệ số góc k
o Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
o Cực trị hàm số
o %& '(&)
o *+,#-##+./012+.30
o Cách xác đònh tiệm cận :
o 456-#789:;75<7=81>7-#2>&?@#AB
C=81!"#A!"#&6D@$DA
o Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
o Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
o C¸c d¹ng ®å thÞ cã chøa gi¸ trÞ tut ®èi thêng gỈp:
……..
VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT
• ;7(E(&FG(H0>"EIE#J( #&( "KL#(H

• ;7M-#J #&
• Vẽ được đồ thị của các hàm số mũ,logarit và luỹ thừa
• %8+,&=J #&:
• %8+,&=J #&
• Giải hệ phương trình mũ và logarit (Khơng có ở ban cơ bản)
VấN Đề 3:NGUN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN
• ;7"A
o Áp dụng bảng ngun hàm
o Dùng PP đổi biến(dạng 1 và dạng 2)
o PP ngun hàm từng phần
• ;7789
( ). ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = −
∫
o Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và ngun hàm cơ bản.
o Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =
b
/
f[u(x)]u dx
a
∫
bằng cách đặt t = u(x)
Dạng 2: Tính I =
f (x)dx

β
∫
α
đặt x = asint ;x = atant ;………
o Tìm tích phân bằng phương pháp từng phần:
b b
b
a
a a
u.dv u.v v.du= −
∫ ∫

o Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
o Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
GV : Phạm Đỗ Hải

o Tìm tích phân của các hàm số vơ tỷ:
o Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối. Tính
b
f (x) dx
a
∫

• 456-#789
o Tính diện tích hình phẳng
o Tính thể tích vật thể tròn xoay :
NOPQ:*RSE
• Tìm số phức z;
;z
biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;…

• ;<+T8U82&L(9(#8E0
• ;=+TVW-#C/5+,XYX98E3
• %8+,&=&88E (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Vi-et)
• Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. (Khơng có ở ban cơ bản)
VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI.
• Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...)
• ;7>7ZI8(Z28( V&6(H
• [$\":
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,hình hộp,…
o Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
• [$&6:Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình trụ và thể tích khối trụ
• [$I:
o Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình nón và thể tích khối khối nón
VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHƠNG GIAN
• H<M2&Z]#
o Xác đònh điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học ...
o Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
o Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chóp,hộp:
• [$\"/*3
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu
o Viết phương trình mặt cầu
o Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn trong khơng gian
• [$81:
o Viết pt mặt phẳng dưới 3 dạng (cơ bản,chùm mp và tổng qt)
• P+.1:
o Viết pt đường thẳng dưới 2 dạng (PTTS và PTCT)
• N&7+,#+T:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)
• ;7Z#+T:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)
• ;7I#+T:(đường thẳng- đường thẳng;đường thẳng-mặt phẳng và mặt phẳng-
mặt phẳng )

• Xác định phương trình;tâm và bán kính của đường tròn trong khơng gian
• ;=="-#2> 2$81$010
o Tìm hình chiếu H của M lên (α)
o Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d).
• Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
o Đối xứng qua mp(α)
o Đối xứng quađường thẳng (d).
GV : Phạm Đỗ Hải

• Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp (β)
PHẦN A.GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Nhắc lại 1 số công hức về đạo hàm cơ bản:
Bài toán 1: Khảo sát hàm số
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.Tìm tập xác định: D=…
2. Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm
3.Tính giới hạn:
lim ... lim ...
o
x x
x
y y
±
→
→±∞
= =
với x

o
là nghiệm mẫu
4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)
5.Lập bảng biến thiên
6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến
7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU
8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)
Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’
9.Nhận xét về đồ thị:
• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)
• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox
• Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
10. Vẽ đồ thị.
GV : Phạm Đỗ Hải
( )
( )
( )
2
/
/
2
//
/
/
/
//
/
//
/
.

.5
)0(
..
.4
...3
....2
.1
v
vC
v
C
v
v
uvvu
v
u
vCvC
vuvuvu
vuvu
−
=






≠
−
=







=
+=
±=±
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
x
x
ax

x
ee
aaa
x
x
x
x
xx
x
C
a
xx
xx
2
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
2
/
1
/
/
/

sin
1
cot.18
cos
1
tan.17
sincos.16
cossin.15
1
ln.14
ln.
1
log.13
.12
ln..11
.2
1
.10
11
.9
...8
1.7
0.6
−
=
=
−=
=
=
=

=
=
=
−
=






=
=
=
−
αα
α
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

sin
cot

cos
tan
sin.cos
cos.sin
ln
ln.
log
.
.ln.
.2
1
...
2
/
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/

/
/
2
/
/
/1
/
u
u
u
u
u
u
uuu
uuu
u
u
u
au
u
u
uee
uaaa
u
u
u
v
v
v
uxu

a
uu
uu
−
=
=
−=
=
=
=
=
=
=
−
=






=
−
αα
α
dcx
bax
y
+
+

=
.19
ta coù
2
/
)( dcx
bcad
y
+
−
=
22
2
2
11
2
1
.20
cxbxa
cxbxa
y
++
++
=
ta coù

( )
2
22
2

2
22
11
22
11
2
22
11
/
2
cxbxa
cb
cb
x
ca
ca
x
ba
ba
y
++
++
=

1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R

+ Đạo hàm: y
/
= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên?
(giảm trên?)
y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: •
)(lim

23
dcxbxax
x
+++
+∞→
=



<∞−
>+∞
)0(
)0(
a
a
•
)(lim
23
dcxbxax
x
+++
−∞→
=



<∞+
>−∞
)0(
)0(

a
a
+ Bảng biến thiên:
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
+ y
/
+ 0 − 0 +
y +
∞

-
∞
y CĐ +
∞
-
∞
CT

x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
−
y
/
− 0 + 0 −
y +
∞

−
∞
y +
∞
CĐ
CT −
∞

Chú ý : dù y

/
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ?
• ; điểm đặc biệt
a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±

a
b
2
−
•KL: tăng? Giảm?
GV : Phạm Đỗ Hải
a > 0
a < 0
Điểm uốn I(−
a
b
3
;f(−
a
b
3
))

•Giá trò cực trò : y(0) = c
có một cực trò
• Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(±
a
b
2
−
) =−
a4
∆
Có 3 cực trò
+ Giới hạn :

)(lim
24
cbxax
x
++
±∞→
=



<∞−
>+∞
)0(
)0(
a
a

+ Bảng biến thiên :
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞

y
/
− 0 + y
/
− 0 + 0 − 0 +
y
+
∞
+
∞
y +
∞
CĐ +
∞
CT CT
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
+ 0 − y

/
+ 0 − 0 + 0 −
y
−
∞
−
∞
y
CĐ CĐ
-
∞
CT -
∞
+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương

3.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\






−
c

d
+ Đạo hàm : y
/
=
2
)( dcx
bcad
+
−
ad−bc < 0 ad−bc > 0
y
/
< 0 ∀ x ∈D y
/
> 0 ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên D Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận: • x =
c
d
−
là tiệm cận đứng vì
lim
d
x
c
ax b
cx d
±
 

→ −
 ÷
 
+
+
= ∞
• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
lim
x
ax b
cx d
→±∞
+
+
=
c
a
+Bảng biến thiên :
GV : Phạm Đỗ Hải
a> 0
b>0
a< 0
b <0
a< 0
b>0
a> 0
b <0

CĐ
a < 0
a > 0
CT

x −
∞
−d/c +
∞
x −
∞
−d/c +
∞
y
/
− || −
y
/
+ || +
y a/c ||+
∞

−
∞

a/c
y +
∞
|| a/c
a/c −

∞
+ Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao
điểm hai tiệm cận .

4. Hàm hữu tỉ : 2/1 y =
fex
cbxax
2
+
++
(đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )
+ TXĐ: D = R\






−
e
f

+ Đạo hàm : y
/
=
2
2
).(
)(.2.

fxe
cebfxafxae
+
−++
có ∆
/
=(af)
2
−(bf−c e).ae
∆
/
< 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với ae y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

Hàm số không có cực trò
• Giá trò cực trò tính theo CT : y =
e
bax
+
2
+ Tiệm cận : • x = −

e
f
là tiệm cận đứng
vì
)(lim xf
e
f
x
−→
= ∞
• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);
)]()([lim BAxxf
x
+−
∞→
=
(x)
ε
∞→
x
lim
=0 => y =
e
a
x + (
e
b
−
2
e

af
) là t/c xiên
+ Bảng biến thiên :
x −
∞
−f/e +
∞
x −
∞
x
1
−f/e x
2
+
∞
y
/
+ || + y
/
+ 0 − || − 0 +
y
+
∞
|| +
∞

−
∞
−
∞

y CĐ ||+
∞
+
∞
−
∞
−
∞
CT

x −
∞
−f/e +
∞
x
−
∞
x
1
−f/e x
2
+
∞
y
/
− || −
y
/
− 0 + || + 0 −
GV : Phạm Đỗ Hải

x= −d/ c
y= a/c
x= −d/ c
y= a/c
a.e > 0
a.e < 0

y +
∞
||+
∞

−
∞
−
∞

y
+
∞
+
∞
|| CĐ
CT −
∞
−
∞
+ Vẽ đồ thò : ( như hàm phân thức )
(ban cơ bản khơng khảo sát hàm số này)
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :

u Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết
1. Tiếp tuyến tại M(x
0
; f(x
0
))
• TT có phương trình là : y - f(x
0
)= f
/
(x
0
)(x− x
0
)
• Từ x
0
tính f(x
0
) ; Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0
) = ?
• P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f
/

(x
0
)(x− x
0
) + f(x
0
)
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) của đồ thò h/s y =f(x)
• Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x
1
) + y
1
• Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) là
hệ phương trình :
(1)
= − +
=



f(x) k(x x ) y
1 1
/
f (x) k (2)
có nghiệm

• Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −
a
1
• Giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
• Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
• Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k

1
.k
2
= −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k
1
= k
2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 .
• Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thò hàm số y = f(x) đã vẽ và
y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox
Chú ý:Ở mức độ khó hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)
• Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thò (C): y =f(x)
• Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò y = g(x)
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ: D= ?
+ Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

GV : Phạm Đỗ Hải
đứng
Xiên

Xiên
Xiên
Xiên
đứng
đứng

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y
/
> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng ...
Đònh lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/

= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính y
CĐ
; y
CT
; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y
/
= 0.
3) x
0
là cực trị của hàm số 
/
( ) 0
0
/
( )
=



y x
y x

• Dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ? .. y
//
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) => x
1
, x
2
….. .
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y

CT
= ?
Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y
CĐ
= ?
• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x
o
:
+ x
o
là điểm cực trị
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

=
<=>

≠



+ x
o
là điểm cực đại <=>
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

=

>

+ x
o
là điểm cực tiểu <=>
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x


=

<

• Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
khi





≠
=
=
0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf

yxf
xf
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/
khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f
/
(x).
Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
u
v
u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D
GV : Phạm Đỗ Hải
đổi dấu qua x
0

Và y
/
=
u v v u
2
v
′ ′
−
=
g(x)
2
v

dấu của y
/
là dấu của g(x)
Nếu h/s đạt cực trò tại x
0
thì y
/
(x
0
)= 0 => g(x
0
) = 0 <=> u
/
v−v
/
u = 0
=>
u u
v v
′
=
′
. Do đó giá trò cực trò y(x
0
) =
u (x )
0
v (x )
0
′

′
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
- Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
( )
0
' 0 ó nghiêm
0
a
f x c
≠

⇔ = ⇔

∆ >

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung
. 0
CD CT
y y⇔ <
- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0

CD CT
x x⇔ <
- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm trên trục hồnh
0
. 0
CD CT
CD CT
y y
y y
+ >

⇔

>

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm dưới trục hồnh
0
. 0
CD CT
CD CT
y y
y y
+ <


⇔

<

- Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hồnh
. 0
CD CT
y y⇔ =
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:
• xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]
• Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
• Tính f(x
1
) ; f(x
2
) ………. So sánh → KL
f(a) ; f(b)

• Kết luận:
max y
[a;b]
=
?
min y
[a;b]
=
?
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :
• Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
• Đạo hàm : y
/
= ? ..
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

• Lập BBT:
• Từ BBT kết luận
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT
min y y
ct
[a;b]
=


* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ
max y

[a;b]
=
y
CĐ

* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
• nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
• nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
GV : Phạm Đỗ Hải

• Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng
nào đó thành bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x) ; (C
2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung

• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
′ ′
=



có nghiệm
Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận :
• Tiệm cận đứng :
f (x)
lim
x x
0
= ±∞
±
→
=> x = x

0
là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x
0
là những điểm hàm số không xác đònh
• Tiệm cận ngang :
f (x) y
lim 0
x
=
→±∞
=> y = y
0
là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có
tiệm cận ngang
• Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng có phần này):
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)

lim
x→±∞
[f(x) –(ax + b)] =
(x)
lim
x
ε
→±∞
= 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;
f (x)

a
lim
x
x
=
→±∞
;
[ ]
b f (x) ax
lim
x
= −
→±∞
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Bài tốn 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh
bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy
1 2
1 2
1 2
b
C
a
2 2
( ) và ( )
( )
, (a b)
S y
C
b
Ox C C

a
C C
H
x a x b
y dx
V y y dx
π


= = <

= −
= −
∫
∫
C
1
2
1 2
1 2
d
c
2 2
( ) và ( )
( )
, (c )
S x
C
d
Oy C C

c
C C
H
y c y d d
x dy
V x x dy
π


= = <

= −
= −
∫
∫
Bài tốn 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
• Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m
• Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0
• Giải hệ và kết luận
……………………
Bài tốn 11:Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
• Tìm đk của tham số m để quỷ tích tồn tại
• Tìm toạ độ của điểm cần tìm quỷ tích
• Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ trên
GV : Phạm Đỗ Hải

• Tìm giới hạn quỷ tích
• Kết luận
Bài toỏn 12:Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp:
a) Dạng đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )
xf
Ta có: y =
( )
xf
=
( ) ( )
( ) ( )



<
≥
0xf nÕuxf-
0xf nÕuxf
• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Đồ thị (C
1
) gồm 2 phần:
° Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành (f(x) ≥ 0)
° Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua Ox.
b) Dạng đồ thị (C
2
) của hàm số: y =

( )
xf
Ta có y =
( )
xf
=
( )
( )



<
≥
0 x nÕux-f
0x nÕuxf
• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Đồ thị (C
2
) gồm 2 phần:
° Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0)
° Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy.
c) Dạng đồ thị (C
3
) của hàm số:
( )
xfy =
Ta có:
( )
xfy =
⇔

( )
( )



±=
≥
xfy
xf 0
(Do đó
( )
xfy =
được coi là hàm đa trị của y theo x)
• Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)
• Đồ thị (C
3
) gồm hai phần:
° Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.
d) Dạng đồ thị của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Ta có: y =
( )
( )
xg
xf
=

( )
( )
( )
( )
( )
( )







<
≥
0xf nÕu
xf
-
0xf nÕu
xg
xg
xf
• Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
• Đồ thị (C
4
) gồm hai phần:

° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) ≥ 0
° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành.
e) Dạng đồ thị (C
5
) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
• Các bước làm tương tự như phần d)
GV : Phạm Đỗ Hải

• Chú ý: g(x) ≠ 0.
f) Dạng đồ thị (C
6
) của đồ thị hàm số: y =
( ) ( )
xgxf +
Ta có: y =
( ) ( )
xgxf +
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )



<+
≥+
0xf u nÕxgxf-

0xf u nÕxgxf
• đồ thị (C
6
) gồm hai phần:
° Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) ≥ 0
° Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0
• Mở rộng:
Vẽ đồ thị hàm số: y =
( ) ( ) ( ) ( )
xgxfxfxf
k
++++ ...
21
° Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối khơng đổi dấu.
g) Dạng đồ thị (C
7
) của hàm số: y =
( )
xf
• Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Sau đó vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số: y = f(
x
)
• Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )
xf

.
Tóm lại ta thực hiện dần các bước như sau:
y = f(x) ⇒ y = f(
x
) ⇒ y =
( )
xf
……………………
PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT
Bài tốn 1:Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc logarit
a
−
n
=
n
a
1
; a
0
= 1 0 ;
m
m
n
n
a a=
( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
a
x
.a

y
= a
x+y
(a.b)
x
=a
x
.b
x
x
a
x y
a
y
a
−
=
x
x
a a

x
b b
=
 
 ÷
 

( )
( )

x
y
y x.y
x
a a a
= =
• Hàm số mũ : y =
x
a
với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
>
2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2
⇔
1
x

a
<
2
x
a
* Hàm số logarit: α = log
a
N ⇔ a
α
= N log
a
x = b ⇔ x= a
b
• Đặc biệt :
x
a
a
log
= x ; log
a
x
a
= x ; log
a
1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
log
a
(B.C) = log
a

B + log
a
C
log
a
B
C
 
 ÷
 
= log
a
B − log
a
Clog
α
a
B
β
=
β
α
log
a
B
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log
c
a.log
a

b =
log
c
b ⇔
log b
c
log b
a
log a
c
=
GV : Phạm Đỗ Hải