Đề + Đáp án HSGH vòng 2 năm 2008-2009

PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2
LỚP 9 NĂM HỌC 2008 - 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------------
Câu 1 (5 Điểm)
a. Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
b. Cho
( )
( )
( )
( )
2 2
2008 2008 2009 2008 2008 2009 2009x x y y− + − + − + − + =
(1)
Tính giá trị của A = x + y
Câu 2 (4 Điểm)
Cho hai đường thẳng d
1
: y = - 2x + 5 và d
2
: y = 3x - 2 và họ đường thẳng
d
m
: mx - 3 + m - y = 0 (m là tham biến)
a. Hãy xác định m để ba đường thẳng d
1
; d
2
; d
m

đồng quy. Tìm toạ độ điểm cố định mà d
m

luôn luôn đi qua với mọi m.
b. Cho I(2; 3) viết phương trình đường thẳng d đi qua I và cắt d
1
; d
2
theo thứ tự tại M; N
sao cho I là trung điểm của MN.
Câu 3 (5 Điểm)
a. Giải phương trình
x
xx
x
=−+−
1
1
1
b. Cho a
1
, a
2
> 0, a
1
c
1

≥

2
1
b

và a
2
c
2

≥

2
2
b
Chứng minh (a
1
+ a
2
)(c
1
+ c
2
)
≥
(b
1
+ b
2
)
2

Câu 4 (6 Điểm)
Cho đường tròn (O) và một cát tuyến d không đi qua O. Từ một điểm M trên d kẻ hai
tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Đường vuông góc với đường kính BC tại O cắt AC kéo
dài tại D.
a. Chứng minh AC // MO và tứ giác CDMO là hình bình hành.
b. Xác định vị trí điểm M trên d để tam giác MAB điều.
PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2
NĂM HỌC 2008 - 2009
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
MÔN: TOÁN 9
Nội dung Điểm
Bài 1 5,0
a 3.0
Gọi ba số nguyên liên tiếp là (n - 1); n; (n + 1) ; với n
∈
Z 0,5
Ta có (n - 1)
3
+ n
3
+ (n + 1)
3
= 3n
3
+ 6n = 3(n
3
+ 2n) 0,5
= 3(n
3
- n + 3n) = 3(n - 1).n.(n + 1) + 9n 1,0

Mà 3(n - 1).n.(n + 1)

9 và 9n

9 0,5
Vậy 3(n - 1).n.(n + 1) + 9n

9 hay (n - 1)
3
+ n
3
+ (n + 1)
3


9 0,5
b 2,0
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2008 2008 2009 2008 2008 2009
2009
2008 2008 2009
x x y y
x x
 

 
− − − + − + − +
 
 
 
=
− − − +
0,5
⇒

( )
( )
( )
( )
2 2
2009 2008 2008 2009 2009 2008 2008 2009y y x x− − + − + = − − − +
(2)
0,5
Tương tự nhân hai vế của (1) với
( )
( )
2
2008 2008 2009y y− − − +
ta được
⇒

( )
( )
( )
( )

2 2
2009 2008 2008 2009 2009 2008 2008 2009x x y y− − + − + = − − − +
(3)
0,5
Cộng (2) với (3) vế theo vế ta được: - (x + y) +2.2008 = x + y - 2.2008

⇒
x + y = 2.2008 = 4016
Vậy A = 4016
0,5
Bài 2 4,0
a 2,5
Vì d
1
và d
2
cắt nhau nên giao điểm của d
1
và d
2
là A(
5
11
;
5
7
)
1,0
mà d
1

; d
2
; d
m
đồng quy
⇔
d
m
đi qua A
⇒
m.
5
7
- 3 + m -
5
11
= 0
⇔
m =
6
13
0,5
Ta có d
m
biến đổi được (x + 1).m + (- y - 3) = 0 0,5
Để d
m
luôn đi qua điểm cố định với mọi m thì




=+
=+
03
01
y
x

⇔




−=
−=
3
1
y
x
0,5
b 1,5
Gọi M(x
M
;y
M
); N(x
N
;y
N
) là giao của d với d

1
,d
2
; M(x
M
;-2x
M
+5), N(x
N
; 3x
N
-2)
và I(x
I
;y
I
) = (2;3)
0,5
ta có



=+
=+
INM
INM
yyy
xxx
2
2

⇒




=−++−
=+
⇔



=+
=+
62352
4
6
4
NM
NM
NM
NM
xx
xx
yy
xx

⇒









=
=
5
7
5
9
M
M
y
x
0,5
Vậy đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua M(
5
7
;
5
9
) và I(2;3)
nên đường thẳng cần lập là y = 8x - 13
0,5
Bài 3 5,0
a 3,0
Điều kiện
01

<≤−
x
hoặc
1
≥
x

Đặt
0
1
≥=−
a
x
x
,
0
1
1
≥=−
b
x
1,0
Ta có a + b = x, a
2
- b
2
= x - 1
⇒

xx

x
ba
1
1
1
−=
−
=−

0,5
Do đó 2a = x + 1
x
1
−
= 1 + x
x
1
−
= 1 + a
2
⇒
a
2
- 2a + 1 = 0
⇒
(a - 1)
2
= 0
⇒
a = 1

⇒

x
b
1
=
vì
⇒

00
>⇒≥
xb
0,5
⇒

1
1
=−
x
x

⇒

4
5
2
1
2
=







−
x

⇒

2
51
±
=
x
với
0
2
51
<
−
=
x
(Loại)
Vậy phương trình có nghiệm
2
51
+
=
x

1,0
b 2,0
Theo bài ra a
1
,a
2
,c
1
,c
2
> 0
ta có (a
1
+ a
2
)(c
1
+ c
2
) = a
1
c
1
+ a
2
c
2
+ a
1
c

2
+ a
2
c
1
0,5
Áp dụng cosi và giả thiết ta có
VT = a
1
c
1
+ a
2
c
2
+ a
1
c
2
+ a
2
c
1

≥

2211
2
2
2

1
2 cacabb
++
0,5
VT
21
2
2
2
1
2 bbbb
++≥
VT
( )
2
21
bb
+≥
VT
( )
2
21
bb
+≥
0,5
Vậy (a
1
+ a
2
)(c

1
+ c
2
)
≥
(b
1
+ b
2
)
2
(ĐPCM) 0,5
Bài 4 6,0
Vẽ đúng hình
D A C
0,5
a
d
M
B

3,0
Chỉ ra được
ACAB
⊥
và
ABMO
⊥
1,0
⇒

AC // MO vì cùng vuông góc với AB 0,5
Theo trên thì AC // MO
⇒

∧∧
=
11
OC
và giả thiết
BCDO
⊥
nên
DOCMBO
∆=∆
(cạnh góc vuông - góc nhọn).
⇒
MO = DC và ba điểm
C,A,D
thẳng hàng.
1,0
Vậy tứ giác CDMO là hình bình hành 0,5
b 2,5
Tam giác MAB đều
⇔

0
60
=
∧
AMB

⇔

0
30
=
∧
OMB
0,5
Xét tam giác vuông MBO với
0
30
=
∧
OMB

⇒
OM = 2.OB (tính chất tam giác
vuông)
1,0
Vậy để xác định điểm M ta vẽ đường tròn (O) bán kính bằng đường kính
đường tròn (O) đã vẽ cắt đường thẳng d ở đâu thì đó là điểm M .
1,0