Đặc tính của higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 331 với số hạng b µ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Vũ Thị Thái

ĐẶC TÍNH CỦA HIGGS MANG ĐIỆN TRONG MÔ HÌNH
SIÊU ĐỐI XỨNG TIẾT KIỆM 331 với số hạng B/µ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Huy Thảo

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Hà Nội - 2017


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội II, dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Huy Thảo. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc đến TS. Nguyễn Huy Thảo, người thầy đã tận tình truyền dạy,
hướng dẫn động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu khoa học để hoàn thành luận văn này.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Vật lý lý thuyết,
khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ
chia sẻ các tài liệu bổ ích và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tôt luận
văn. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn
lớp cao học đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu của mình.
Tôi rất biết ơn gia đình, người thân, bạn bè và các đồng nghiệp luôn
động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 9 năm 2017
Học viên

Vũ Thị Thái


Lời cam đoan
Tôi xin đảm bảo số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các luận văn khác. Cụ thể, chương
một và chương hai là phần tổng quan giới thiệu những vấn đề cơ sở có
liên quan đến luận văn. Chương ba tôi đã sử dụng kết quả tính toán mà
tôi đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn TS. Nguyến Huy Thảo.
Cuối cùng tôi xin khẳng định các kết quả có trong luận văn:"Đặc tính
của Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1, với số
hạng B/µ" là kết quả mới không trùng lặp với các kết quả của các luận
văn và công trình đã có.
Hà Nội, tháng 9 năm 2017
Học viên

Vũ Thị Thái


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Các kí hiệu chung
Mở đầu

1

1 Mô hình chuẩn và mô hình tiết kiệm 3-3-1

5

1.1

2

Giới thiệu về mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Những thành công và hạn chế của mô hình chuẩn

8

1.2

Mô hình tiết kiệm 3-3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Lý Thuyết siêu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2

Đại số Poincare và các spinor . . . . . . . . . . .

14

1.3.3

Siêu không gian và siêu trường

. . . . . . . . . .

17

1.3.4

Một số qui tắc xây dựng Lagrangian siêu đối xứng

23

1.3.5

Phân loại các đóng góp vào Lagrangian SUSY. . .

28

Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm


3-3-1 với số hạng B/µ

3

31

2.1

Mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ .

31

2.2

Thế vô hướng của Higgs và phần Higgs . . . . . . . . . .

34

Khối lượng của Higgs mang điện đơn trong mô hình siêu
đối xứng tiết kiệm 3-3-1, với số hạng B/µ

38

3.1

Phần Higgs mang điện đơn . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2

Khối lượng của các Higgs mang điện . . . . . . . . . . .

42

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48


Các kí hiệu chung
Trong luận văn này tôi sử dụng các kí hiệu sau:
Tên

Kí hiệu

Mô hình chuẩn

SM

Mô hình siêu đối xứng (nói chung)

SUSY

Mô hình 3-3-1 tiết kiệm

E331

Mô hình siêu đối xứng tối thiểu

MSSM

Mô hình 3-3-1 tiết kiệm siêu đối xứng

SUSYE331

Mô hình siêu đối xứng tối thiểu rút gọn 3-3-1 SUSYRM331
Đối xứng chẵn lẻ và liên hợp điện tích

CP

Máy gia tốc năng lượng cao

LHC

Vi phạm số lepton thế hệ

LFV


1

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta biết rằng việc nghiên cứu sự tương tác của các hạt cơ bản
có tồn tại 4 loại tương tác: Tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác
điện từ và tương tác hấp dẫn.
Tương tác mạnh gắn kết quark trong hạt nhân nguyên tử và làm cho
vật chất vững bền. Tương tác điện từ diễn tả electron tương tác với
proton trong hạt nhân nguyên tử để tạo nên nguyên tử và phân tử của
các hóa chất trong bảng tuần hoàn Mendeleef cũng như các tế bào và
gen sinh vật.
Tương tác yếu chi phối toàn diện sự vận hành của neutrino, làm cho
một số hạt nhân nguyên tử phân rã và phát tán neutrino. Ba tương
tác"phi hấp dẫn": mạnh, yếu, điện từ đã được mô tả thống nhất trong
một lý thuyết tái chuẩn hóa được, việc giải thích các loại tương tác
này đã được xây dựng lí thuyết thống nhất tương tác là nội dung chính
của nghiên cứu vật lí hạt cơ bản. Hai tương tác cơ bản điện từ và hạt
nhân yếu tuy có cường độ tương tác hiệu dụng quá khác biệt nhưng vì
nhận thấy chúng có nhiều đặc tính chung nên S.Glashow, A.Salam và
S.Weiberg đã kết hợp tương tác điện từ và tương tác hạt nhân yếu trong

2

một lý thuyết duy nhất mà Salam đặt tên là điện-yếu (electroweak), kết
hợp với lý thuyết tương tác mạnh, lý thuyết này gọi là mô hình chuẩn
(Standard Model). Mô hình chuẩn tiên đoán nhiều hiện tượng và hạt
mới lạ cũng như tính chất của chúng mà sau đó đều được thực nghiệm
kiểm chứng với độ chính xác cao: Như dòng trung hòa của tương tác hạt
nhân yếu, các quark charm, top, bottom, hai boson chuẩn W, Z, và gần
đây nhất là hạt cơ bản vô hướng Higgs được phát hiện vào năm 2012.
Việc tiên đoán sự có mặt của Higgs trong thế giới đã được bắt đầu xuất
hiện từ thấp kỉ 60. Nhưng chưa đưa ra được bằng chứng thực nghiệm,
mãi tới năm 2012 đã được các nhà Vật lí học trên thế giới tìm ra từ
thực nghiệm và công bố điều này. Mặc dù là lý thuyết rất thành công,
nhưng mô hình chuẩn còn nhiều vấn đề còn tồn tại. Như vấn đề phân
bậc năng lượng, khối lượng neutrino, vật chất tối, năng lượng tối...Mô
hình SUSYE 3-3-1 là một trong những mô hình khắc phục được những
nhược điểm của mô hình chuẩn. Trong luận văn chúng tôi dự kiến sẽ tập
trung vào nghiên cứu Higgs mang điện đơn trong mô hình SUSYE 3-3-1
với số hạng B/µ, vì hai lí do: Thứ nhất mô hình SUSYE 3-3-1 có phần
Higgs đơn giản nhất trong các mô hình 3-3-1, đã được nghiên cứu một
cách rộng rãi. Thứ hai sự xuất hiện của Higgs trong mô hình SUSYE
3-3-1 có ảnh hưởng rất lớn trong vùng không gian tham số của các mô
hình hiện nay, bao gồm cả mô hình SUSY 3-3-1. Do đó việc nghiên cứu
Higgs mang điện đơn trong mô hình SUSYE 3-3-1 mở rộng là rất cần
thiết. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài "Đặc tính của Higgs mang
điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng
B/µ" để nghiên cứu.


3

2. Mục đích nghiên cứu
• Giới thiệu mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
• Tìm khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết
kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu về mô hình chuẩn và các mở rộng.
• Tìm hiểu về mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
• Đánh giá khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng
tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Khối lượng của Higgs mang điện trong mô
hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
• Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử,
chúng tôi tính toán và tìm khối lượng Higgs mang điện trong mô hình
siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
• Khảo sát, tính toán kết quả bằng phần mềm mathematica.


4

6. Dự kiến đóng góp mới
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 nội dung
chính sau:

• Mô hình chuẩn và mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng
B/µ.
• Đặc tính của Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết
kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
• Khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm
3-3-1 với số hạng B/µ.


5

Chương 1
Mô hình chuẩn và mô hình tiết
kiệm 3-3-1
1.1

Giới thiệu về mô hình chuẩn

1.1.1

Giới thiệu

Mô hình chuẩn được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn SU (3)C ⊗SU (2)L ⊗
U (1)X của phép biến đổi chuẩn unitary. SU (3)C là nhóm đối xứng không
Abel của tương tác mạnh. Các trường chuẩn gluon liên kết với các tích
màu theo cách thức được mô tả trong QCD. SU (2)L là nhóm spin đồng
vị điện yếu không Abel. Siêu tích Y liên hệ với điện tích Q và spin đồng
vị I3 theo hệ thức Y = 2(Q − I3 ). Trường B liên hệ với nhóm U (1)Y trộn
với thành phần trung hoà W ba thành phần tạo nên trường photon A và
trường điện yếu Z. Lí thuyết chuẩn về tương tác điện yếu dựa trên nhóm
đối xứng SU (2)L ⊗U (1)Y được gọi là lý thuyết Glashow-Salam-Weinberg

(GWS).
Các quan sát thực nghiệm cho kết quả phù hợp với mô hình chuẩn
ở độ chính xác rất cao. Mô hình chuẩn cho ta một cách thức mô tả tự


6

thế hệ

I

II

III

quark

u

c

t

d

s

b

νe

νµ

ντ

e

µ

τ

Lepton

Bảng 1.1: Các quark và lepton của mô hình chuẩn [6]

nhiên từ kích thước vi mô cỡ 10−16 cm cho tới các khoảng cách vũ trụ
cỡ 1028 cm và được xem là một trong những thành tựu lớn nhất của loài
người trong việc tìm hiểu tự nhiên. Mô hình chuẩn được tóm tắt ở 3
điểm cơ bản:
1.Vật chất được cấu tạo từ các yếu tố cơ bản là lepton và các quark.
Các quark và lepton được chia thành 3 thế hệ có cấu trúc giống nhau
(bảng 1.1), là thành viên của một nhóm các hạt được gọi là fermion (hạt
có spin bán nguyên). Cả quark và lepton đều được phân thành từng
cặp. Ví dụ, quark được chia thành u (up) và d (down), c (charm) và s
(strange), t (top) và b (bottom). Các quark kết hợp thành tam tuyến để
tạo ra baryon hoặc kết hợp thành các cặp quark - phản quark để tạo ra
meson. Lepton cũng kết hợp thành từng cặp. Các hạt electron, muon và
tau đều có một neutrino tương ứng không mang điện, có khối lượng bé.
Electron giống như proton và neutron, là một hạt bền và dường như có
mặt trong tất cả các dạng vật chất. Các hạt muon và tau không bền và

được tìm thấy chủ yếu trong các quá trình rã.
Tất cả lepton và quark nói trên đều đã được phát hiện trong thực
nghiệm. Bảng (1.2) trình bày khối lượng và điện tích của chúng.


7

Fermion

các thành phần vật chất
Spin = 21 , 32 , 52 ...

Lepton
Vị

Spin =

Khối lượng

1
2

Điện tích

Quark
Vị

GeV/c2

Spin =

Khối lượng

1
2

Điện tích

GeV/c2

νe

< 7.10−9

0

u

0, 005

2
3

e

0, 000511

-1

d

0.01

− 13

νµ

< 0, 0003

0

e

1, 5

2
3

µ

0, 106

−1

s

0, 2

− 13

ντ

< 0, 03

0

t

170

2
3

τ

1, 7771

−1

b

4, 7

− 13

Bảng 1.2: Điện tích và khối lượng của các Quark và Lepton [18]

2. Các lepton và quark tương tác với nhau thông qua 4 loại lực khác
là điện từ, mạnh, yếu và hấp dẫn. Các tương tác được thực hiện thông
qua các boson vector trung gian hay hạt truyền tương tác.

• Photon γ là hạt truyền tương tác điện từ - lực chi phối quỹ đạo của
electron và các quá trình hoá học.
• Gluon g là hạt truyền tương tác của các loại lực có cường độ lớn nhất
- lực tương tác mạnh. Lực này giữ các quark trong photon và neutron
cũng như các hạt trong hạt nhân nguyên tử lại với nhau.
• W và Z boson là hạt truyền tương tác yếu, thể hiện trong các quá
trình rã phóng xạ. Lực yếu đóng vai trò rất quan trọng trong việc quan
sát các phản ứng neutrino, vì neutrino trơ đối với lực điện từ (do chúng
không mang điện) và không bị ảnh hưởng bởi lực mạnh nên chỉ có lực
yếu là giúp ta xác định được đặc tính của neutrino.
• Cuối cùng, tương tác hấp dẫn được thực hiện thông qua hạt truyền


8

tương tác là graviton G.
• Các hạt γ, g, W và Z đều có spin bằng 1 còn G có spin bằng 2.
• Tương tác giữa các trường lực điện từ, mạnh và yếu với thành phần
fermion của vật chất cũng như tương tác giữa chúng được mô tả bởi các
lí thuyết chuẩn SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y . Phần hấp dẫn được gắn với
các phần khác của mô hình chuẩn bằng tay chứ không được mô tả như
một hiện tượng lượng tử.
3. Cơ chế Higgs là thành phần quan trọng thứ 3 của Mô hình chuẩn.
theo cơ chế này, các trường vô hướng tương tác với nhau sao cho trạng
thái cơ bản thu được cường độ trường khác không, phá vỡ đối xứng điện
từ một cách tự phát. Năng lượng tương tác của các boson chuẩn điện
yếu, các lepton và các quark với trường Higgs thể hiện như là khối lượng
của các hạt này. Theo tiên đoán của Mô hình chuẩn thì hạt vô hướng
Higgs có khối lượng lớn hơn 115 GeV.
1.1.2

Những thành công và hạn chế của mô hình chuẩn

Trong hơn 30 năm qua kể từ khi Mô hình chuẩn ra đời, chúng ta được
chứng kiến những thành công nổi bật của nó. Mô hình này đã đưa ra
một số tiên đoán mới có ý nghĩa quyết định như sự tồn tại của dòng yếu
trung hoà, và các vector boson trung gian, cùng những hệ thức liên hệ
khối lượng đã được thực nghiệm xác nhận.
Gần đây, một loạt phép đo kiểm tra các giá trị các thông số điện yếu
đã được tiến hành trên các máy gia tốc Tevatron, LEP và SLC với độ
chính xác rất cao, đạt tới 0, 1% hoặc bé hơn. Điều này chứng tỏ rằng
ngay cả cấu trúc lượng tử của mô hình cũng đã thành công với các dữ


9

liệu thực nghiệm. Người ta đã xác nhận rằng W và Z với lepton và quark
có giá trị đúng như mô hình chuẩn đã dự đoán.
Mô hình chuẩn hạt cơ bản đã giải thích được rất nhiều các hiện tượng
vật lý trong thang năng lượng khoảng 200 GeV. Việc quan sát hạt boson
Higgs với khối lượng khoảng 125.09 GeV bởi các thí nghiệm tại Large
Hadron Collider (LHC) một lần nữa khẳng định sự thành công của SM
ở mức năng lượng thấp dưới vài trăm GeV [5, 4, 6] Như vậy, Mô hình
chuẩn đã mô tả thành công bức tranh hạt cơ bản và các tương tác đồng
thời có vai trò quan trọng trong sự phát triển của vật lí hạt. Mô hình
này đã được công nhận rộng rãi, tên gọi "Mô hình chuẩn của Vật lí hạt"
xứng đáng nói lên vai trò của nó.
Bên cạnh những thành tựu nổi bật, Mô hình chuẩn vẫn còn một số
hạn chế sau [10, 3, 17]:
• Mô hình chuẩn không giải quyết được những vấn đề có liên quan đến

số lượng và cấu trúc các thế hệ fermion như: Tại sao trong Mô hình
chuẩn số thế hệ quark - lepton phải là 3? Có thể tồn tại bao nhiêu thế
hệ quark - lepton? Giữa các thế hệ có sự liên hệ với nhau như thế nào?
• Mô hình chuẩn cho rằng neutrino chỉ có phân cực trái, tức là neutrino
không có khối lượng. Nhưng các số liệu đo neutrino khí quyển do nhóm
Super - Kamiokande công bố năm 1998 đã cung cấp những bằng chứng
về sự dao động của neutrino, khẳng định rằng các neutrino có khối lượng.
• Mô hình chuẩn không giải thích được tại sao quark t lại có khối lượng
quá lớn so với dự đoán. Về mặt lí thuyết, dựa theo Mô hình chuẩn thì
khối lượng quark t vào khoảng 10 GeV, trong khi đó, năm 1995, tại
Fermilab người ta đo được khối lượng của nó là 175 GeV.


10

• Mô hình chuẩn không tiên đoán được các hiện tượng vật lí ở thang
năng lượng cao cỡ TeV, mà chỉ đúng ở vùng năng lượng thấp vào khoảng
200GeV.

1.2

Mô hình tiết kiệm 3-3-1

Trong mục này chúng tôi giới thiệu một số đặc điểm chính của mô
hình tiết kiệm 3-3-1 [7, 13]. Đa tuyến các hạt trong mô hình này được
sắp xếp như sau:

ψiL = (νi , ei , νic )TL ∼
QiL = (u1 , d1 , U )TL ∼
uiR ∼

1,

2
,
3

3,

diR ∼

3, −
1
,
3
1, −

1
,
3

eiR ∼ (1, −1) , i = 1, 2, 3.

QαL = (dα , uα , Dα )TL ∼ (3∗ , 0) , α = 2, 3.

1
,
3

UR ∼

2
,
3

1,

DαR ∼

1, −

1
3

Nhóm đối xứng chuẩn SU (3)L ⊗ U (1)X bị phá vỡ theo hai giai đoạn.
Trước tiên sẽ phá vỡ xuống nhóm đối xứng của mô hình chuẩn thông
qua tam tuyến vô hướng.
0
χ = χ01 , χ−
2 , χ3

T

∼

3, −

Tam tuyến này có giá trị chân không χ =

√1

2

1
.
3

(u, 0, ω)T .

Cuối cùng là phá vỡ từ mô hình chuẩn xuống U(1)Q thông qua tam
tuyến Higgs.

0
+
φ = φ+
1 , φ2 , φ3

T

∼ (3,

2
)
3


11

Tam tuyến này có chân không như sau:
1
φ = √ (0, v, 0)T

2
Khối lượng của fermion được cho bởi Lagrangian Yukawa và có dạng
tổng quát như sau:
LY = LχY + LφY + Lmix
Y
Trong phần luận văn này chúng tôi quan tâm đến Lgrangian sau:
LχY + LφY

∗
e ¯
¯ 1Lχ UR + h, Q
¯
= h,11 Q
αβ αL χ DβR + hij ψiL φejR

c
¯ 1L φdiR + hdαi Q
¯ αL φ∗ uiR + h.c
+hεij εpmn (ψ¯iL
)p (ψjL )m φn + hd1i Q
,, ¯
∗
¯ 1Lχ uiR + huαi Q
¯ αLχ∗ diR + h,, Q
¯
Lmix
= hu1i Q
Y
1α 1L φDαR + hα1 QαL φ UR + h.c

Trung bình chân không ω sinh khối lượng cho quark ngoại lai U và Dα
còn u sinh khối lượng cho u1 , dα quarks trong khi đó v sinh khối lượng
cho uα , d1 và lepton thông thường.

1.3
1.3.1

Lý Thuyết siêu đối xứng
Giới thiệu

Lý thuyết siêu đối xứng là hướng mở rộng đối xứng không - thời gian
trong thuyết tương đối hẹp. Vật lý hạt cơ bản gắn liền với việc phân
loại hạt thông qua các đối xứng tương ứng với bất biến của tác dụng S.
Nếu xét đến giới hạn của mô hình chuẩn chúng ta đã biết có hai loại đối
xứng cơ bản sau:
• Đối xứng không - thời gian (còn gọi là đối xứng ngoài): Chẳng


12

hạn như các phép biến đổi Poincare, Biến đổi Lorentz tác dụng trực tiếp
lên toạ độ không - thời gian của hệ vật lý. Chính đối xứng này phân loại
các hạt theo khối lượng và spin.
• Đối xứng trong: Là các đối xứng biến đổi qua lại các thành phần
trường xếp trong cùng một đa tuyến:
Φa (x) −→ M ab Φb (x).

(1.1)

Trong đó các chỉ số a, b là các chỉ số thành phần của trường, Mba là biểu

diễn của toán tử đối xứng. Đối xứng trong phân loại hạt theo tương tác,
theo các số lượng tử như điện tích, màu.....
Nhóm đối xứng trong SM là tích trực tiếp của nhóm đối xứng ngoài (đối
xứng Lorentz) và nhóm đối xứng trong (nhóm chuẩn SU (3)C ⊗SU (2)L ⊗
U (1)Y ) vì tất cả các vi tử của nhóm đối xứng ngoài đều giao hoán với
mọi vi tử của nhóm đối xứng trong. Người ta gọi đây là cách mở rộng
tầm thường nhóm đối xứng ngoài.
Lý thuyết siêu đối xứng tương ứng với sự mở rộng không tầm thường
nhóm đối xứng ngoài bằng cách xây dựng nhóm đối xứng mới bao gồm
các vi tử Lorentz và các vi tử mới không giao hoán với ít nhất một các
vi tử Lorentz. Người ta chia ra được các vi tử này là các vi tử phản giao
hoán có các tính chất sau:
1. Không giao hoán với phép quay
[Q, M µν ] = 0.

(1.2)

Như vậy vi tử này có phép quay Lorentz không sơ đẳng và có spin khác
không. Nó sẽ liên hệ các hạt có spin khác nhau. Cụ thể hơn Qi biến đổi


13

fermion thành boson và ngược lai.
Q | f ermion > = | boson >,
Q | boson > = | f ermion >,

(1.3)

do vậy lý thuyết bất biến siêu đối xứng phải có bậc tự do boson và

fermion bằng nhau [15]. Các fermion và boson biến đổi qua lại lẫn nhau
dưới tác dụng của Q được xếp vào cùng một đa tuyến gọi là siêu đa
tuyến. Siêu đối xứng thống nhất hai thành phần có đặc điểm thống kê
spin khác nhau.
2. Bất biến với phép biến đổi tịnh tiến không thời gian
[Q, E] = [Q, P ] = 0.

(1.4)

3. Phản giao hoán tử {Q, Q+ } là toán tử năng lượng E và xung lượng P
Q, Q+ = αE + βP.

(1.5)

Nếu ta lấy tổng theo tất cả các tổ hợp khả dĩ, thì số hạng tỷ lệ với xung
lượng triệt tiêu và chỉ còn lại số hạng tỷ lệ với năng lượng.
Q, Q+ ∼ E.

(1.6)

Q

Do các tính chất trên nên toán tử Q có tính chất của spinor. Trong siêu
đối xứng người ta có thể làm việc với spinor Majorana hoặc Weyl. Tuy
nhiên làm việc với spinor Weyl sẽ gọn hơn. Trong kí hiệu hai thành phần,
spinor Majorana bốn chiều có dạng:
Q=

Qα
¯ α˙ ,

Q

α = 1, 2;

˙ 2.
˙
α˙ = 1,

(1.7)


14

Đại số siêu đối xứng tổng quát có dạng như sau:
[Qα , Pµ ] =

¯ α˙ , Pµ = 0,
Q
˙

¯β,
[Qα , Mµν ] = (¯
σµν )αβ˙˙ Q
{Qα , Qβ } =
¯˙
Qα , Q
β

¯ α˙ , Q
¯˙

Q
β

(1.8)
= 0,

= 2(σ µ )αβ˙ Pµ .

(1.9)

Trong đó σ µ = (1, σi ), σ¯µ = (1, −σi ). Đại số trên chứa cả hai loại giao
hoán tử và phản giao hoán tử nên được gọi là đại số Lie phân bậc (graded
Lie algebra). Chú ý rằng Qi có thể mang chỉ số i = 1, 2, ...N của nhóm
đối xứng trong. Khi đó người ta gọi là N siêu đối xứng. Trong phần này
chúng tôi chỉ quan tâm đến trường hợp N = 1. Từ điều kiện giao hoán
¯
tử (1.8), ta thấy đối xứng ngoài (đại số Poincare) và đối xứng trong Q, Q
kết hợp một cách không tầm thường. Phần tiếp theo chúng tôi liệt kê các
yếu tố cơ bản nhất cần thiết để xây dụng Lagrangian tổng quát nhất.
1.3.2

Đại số Poincare và các spinor

Đại số Poincare tương ứng với đối xứng không - thời gian trong lý
thuyết tương đối hẹp tác dụng lên các toạ độ không - thời gian xµ như
sau
xµ → x µ = Λµν xν + aµ .

(1.10)

Trong đó Λµν tương ứng với phép biến đổi Lorentz, thoả mãn điều kiện
tensor metric ηµν = diag(1, −1, −1, −1) bất biến, cụ thể:
ΛT ηΛ = η.


15

Tập hợp tất cả các phép biến đổi Lorentz nói trên hợp thành nhóm
Lorentz không đồng nhất. Nhóm này có một nhóm con đặc biệt liên kết
(connected) với phần tử đơn vị và có định thức bằng 1, gọi là nhóm
Lorentz trực giao thời gian riêng (orthochronous) SO(3, 1)↑ . Tất cả các
nhóm con còn lại có thể được xây dựng bằng cách lấy tích trực tiếp của
nhóm con này với ít nhất một trong hai phép biến đổi: nghịch đảo thời
gian T hoặc nghịch đảo không gian P (parity). Do vậy người ta chỉ xét
đến nhóm Lorentz này. Nhóm Poincare có các vi tử kí hiệu M µν và P σ
thoả mãn đại số:
[P µ , P ν ] = 0,
[M µν , P σ ] = i(P µ η νσ − P ν η µσ ).

(1.11)

Các vi tử M µν của nhóm Lorentz có thể mô tả các vi tử quay Ji và các
boost Lorentz theo các liên hệ :
Ji =

k Mjk ;

Ki = M0i , i, j, k = 1, 2, 3,

(1.12)

Vì vậy các phép biến đổi Lorentz liên hệ với các phép quay quanh ba
trục không gian và các boost Lorentz dọc theo chúng. Cụ thể biến đổi
Lorentz của hạt spin J cho bởi:
|J >→ ei(Ja θa +Kb ωb ) |J > .

(1.13)

Các vi tử nhóm Lorentz có biểu diễn theo hai lớp vi tử (không có tính
hermitian hoặc phản hermitian) trong đó mỗi lớp vi tử độc lập thoả mãn
đại số SU (2). Cụ thể người ta đặt:
1
La = (Ja + iKa ),
2

1
Na = (Ja − iKa ).
2

(1.14)


16

Khi đó từ đại số Poincare của các vi tử M µν người ta tìm được các liên
hệ giao hoán tử [14, 16]:
[Ja , Jb ] = i

abc Jc ,

[Ja , Jb ] = i

abc Kc ,

[La , Lb ] = i

abc Lc ,

[Na , Nb ] = i

[Ka , Kb ] = −i

abc Nc ,

[La , Lb ] = 0.

abc Kc ,

(1.15)

Tác dụng của phép biến đổi chẵn lẻ (x0 , x) → (x0 , −x) cho kết quả
Ja → Ja , Ka → −Ka , dẫn đến La ↔ Na . Các kết quả trên cũng cho
thấy sự tương ứng SO(3, 1)↑

SU (2) ⊕ SU (2), đồng thời spin J của hạt

mô tả theo các spin của 2 nhóm SU (2) thành phần: J = j1 + j2 . Như
vậy biểu diễn của nhóm Lorentz có thể đặc trưng bởi hai bán số nguyên
(j1 , j2 ) đặc trưng cho các biểu diễn của hai đại số SU (2) ở trên. Biểu
diễn (j, j) tương ứng hạt có spin nguyên 2j. Hai biểu diễn spinor đơn

giản nhất là (0, 21 ) và ( 12 , 0) tương ứng với các trạng thái hai hạt thành
phần, ψL - Weyl trái và ψR - Weyl phải. Hai trạng thái này vì vậy biến
đổi khác nhau dưới phép biến đổi Lorentz. Cụ thể, biểu diễn ( 12 , 0) tương
ứng với La = 21 σa và Na = 0 (hay Ja = 21 σa , Ka = − 2i σa ) cho biến đổi
Lorentz của ψL :
σa

σb

ψL → e(i 2 θa + 2 ωb ) ψL .
Trong khi đó biểu diễn (0, 12 ) có La = 0, Na =

σa
2

(Ja =

σa
2,

Ka = 2i σa )

thì
σa

σb

ψR → e(i 2 θa − 2 ωb ) ψR .
Nhận xét: Các spinor này biến đổi khác nhau dưới tác dụng của các
boost Lorentz. Các biểu diễn tương ứng biến đổi qua lại lẫn nhau qua

một phép biến đổi chẵn lẻ. Do vậy nếu định nghĩa χα là spinor weyl trái
người ta thu được spinor weyl phải thông qua phép liên hợp chẵn lẻ, ký


17

hiệu χ†α˙ ≡ (χα )† .
Để phân biệt các spinor Weyl trái và phải, người ta qui ước các chỉ số
không chấm trên (α, β, ....) chỉ được ký hiệu cho weyl trái còn các chỉ số
˙
có chấm trên (α,
˙ β....)
chỉ được dùng cho weyl phải.
Tổng trực tiếp của hai biểu diễn weyl trái và phải nói trên chính là biểu
diễn Dirac quen thuộc.
ΨD (x) =

ψα
χ†β˙

≡ (ψL ψR)T ≡ (ψ1 , ψ2 , χ+1 , χ+2 )T .

Sự nâng hạ chỉ số spinor weyl thông qua các tensor phản xứng bất biến
đối với nhóm SU (2)C :

αβ

=

α˙ β˙

=

0

1

−1 0


=−

αβ

=−

α˙ β˙ .

Phần này chúng tôi chỉ tập trung vào biểu diễn Lagrangian theo các
trường spinor hai thành phần.
1.3.3

Siêu không gian và siêu trường

1
ˆ
Trong lý thuyết SUSY, ta phải xây dựng siêu trường Φ(X)
thoả mãn

các điều kiện [8]:

- Là hàm của các toạ độ X trong siêu không gian (superspace).
- Biến đổi theo nhóm siêu Poincare.
Người ta xây dựng siêu không gian bằng cách thêm vào không gian
minkowsky thông thường các toạ độ Grassmann phản giao hoán. Các
biến Grassmann có liên quan tới các toạ độ mở rộng xuất hiện trong siêu
không gian được định nghĩa như sau. Trước tiên người ta xây dựng nhóm
siêu Poincare bằng cách mở rộng không tầm thường nhóm Poincare. Cụ


18

thể bộ hai vi tử fermion Qα , Q+
α˙ được thêm vào nhóm Poincare, với vai
trò tương tự như các vi tử P µ trong các toạ độ thông thường. Tương ứng
trong siêu không gian có thêm các toạ độ Grassmann θα , θ¯α˙ . Hệ toạ độ
siêu không gian được ký hiệu là X = (xµ , θα , θ¯α˙ ). Các hàm biểu diễn siêu
trường mới đều phụ thuộc tất cả các biến trên Φ ≡ Φ(X) = Φ(xµ , θα , θ¯α˙ ).
¯ được khai triển các biến
Các siêu trường vô hướng tổng quát S(xµ , θ, θ)
Grassmann θα , θ¯α˙ như sau [12]:
¯ = ϕ(x) + θψ(x) + θχ
¯ + (x) + (θθ)M (x)
S(xµ , θ, θ)
¯ µ (x) + (θθ)(θ¯λ(x))
¯
¯ (x) + (θσ µ θ)V
+ (θ¯θ)N
¯
¯
+ (θ¯θ)(θρ(x))

+ (θθ)(θ¯θ)D(x).

(1.16)

Như đã nhận xét ở trên, người ta xét S(xµ , θα , θ¯α˙ ) liên quan tới hai phép
biến đổi:
- Biến đổi theo qui tắc biến tổi toán tử trường đối với nhóm Poincare
¯
¯
S(xµ , θα , θ¯α˙ ) → e−i( Q+¯Q) Sei( Q+¯Q) .

- Biến đổi theo qui tắc biến đổi của vector Hilbert trong không gian hàm,
¯
S(xµ , θα , θ¯α˙ ) → ei( Q+¯Q) S = S(x − ic( σ µ θ) + ic∗ (θσ µ ¯), θ + , θ¯ + ¯),

trong đó

là tham số, Q là biểu diễn của Qα , c là hằng số phức liên hệ

với phép tịnh tiến.
x → x − ic( σ µ θ) + ic∗ (θσ µ ¯).
So sánh hai phép biến đổi trên theo các hệ số của xµ , θα , θ¯α˙ cho ta kết
quả:
∂
˙ ∂
˙
− c(σ µ )αβ˙ θ¯β µ := −i∂α − c(σ µ )αβ˙ θ¯β ∂µ ,
∂θα
∂x
∗ β

µ
= i∂α˙ + c θ (σ )β α˙ ∂µ , Pµ = −i∂µ .

Qα = −i
Q+
α˙


19

Đại lượng c được xác định từ liên hệ phản giao hoán tử

Qα , Qβ˙

=

2(σ µ )αβ˙ Pµ ta được Re(c) = 1. Chọn c = 1. Tiếp theo cân bằng hai vế
hai phép biến đổi siêu trường nói trên, tính đến bậc nhất của , ta được
liên hệ giao hoán tử của S với Qα :
¯ S = δ S.
¯ = i( Q + ¯Q)
i [S, Q + ¯Q]

(1.17)

¯ α˙ và Pµ , người ta thu được các biến
Biết được biểu thức cụ thể của Qα , Q
phân tương ứng của từng số hạng khai triển có trong S. Trong đó người
ta đặc biệt chú ý tới δD là một vi phân toàn phần.
i

δD = ∂µ ( σ µ λ+ − ρσ µ ¯).
2
Số hạng này sẽ cho đóng góp vào Lagrangian siêu đối xứng.
Siêu trường tổng quát có nhiều đặc điểm cơ bản có trong nhiều tài liệu
chuẩn hiện nay.
Siêu trường vô hướng tổng quát S không phải là biểu diễn tối giản của
siêu đối xứng nên người ta tìm các biểu diễn tối giản bằng cách giảm đi
số thành phần độc lập của siêu trường tổng quát. Cụ thể người ta đặt
thêm các điều kiện ràng buộc vào siêu trường tổng quát như sau:
¯ α˙ Φ = 0.
1. siêu trường chiral Φ thoả mãn : D
¯ thoả mãn điều kiện: Dα Φ
¯ = 0.
2. Siêu trường phản chiral Φ
3. Siêu trường vector (siêu trường thực) V thoả mãn: V + = V .
4. Siêu trường tuyến tính L thoả mãn điều kiện DDL = 0 và L+ = L.
Thông thường ta chỉ cần xét đến siêu trường chiral (phản chiral) và siêu
trường vector vì hai loại siêu trường này chứa đủ các loại trường vật lý
có trong SM .