Một số tính chất của ánh xạ đa trị và ứng dụng

✬

✩

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————————o0o——————————

ĐỖ SƠN TÙNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Nguyễn Bá Minh

✫

HÀ NỘI, 2017

✪


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường đại học sưu phạm Hà Nội 2 .Tác

giả chân thành cẩm ơn PGS.TS. Nguyễn Bá Minh đã tận tình hướng dẫn
tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng sau đại học, các
thầy cô trong nhà trường đã quan tâm giúp đỡ.
Hà Nội, tháng 8 năm 2017
Tác giả

Đỗ Sơn Tùng

i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn
Bá Minh luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số tính
chất của ánh xạ đa trị và ứng dụng" được hoàn thành bởi sự nhận thức
và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 8 năm 2017
Tác giả

Đỗ Sơn Tùng

ii


Mục lục

Lời mở đầu

1

Bảng kí hiệu và chữ viết tắt

1

Chương 1

2

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

Nón và các khái niệm liên quan . . . . . .
Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị .
Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị . . . .
Tính Lipchitz theo nón của ánh xạ đa trị
Xấp xỉ theo nón của ánh xạ đa trị . . . .

Chương 2
2.1
2.2
2.3

Một số tính chất theo nón của ánh đa trị

Một số ứng dụng của ánh xạ đa trị

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

. 2
. 5
. 13
. 21
. 35
50

Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Bài toán tối ưu véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Bài toán tựa tối ưu véctơ . . . . . . . . . . . . . . . 56

Kết luận

67

Tài liệu tham khảo

68

iii


Lời mở đầu
Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được các nhà Toán học đưa ra từ những
năm đầu của thế kỉ 20 do nhu cầu phát triển của chính bản thân Toán học
và nhiều lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa, tính chất, sự phân
lớp các ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. Và từ đó người
ta cũng tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị cho đa trị.

Berge đã đưa ra các tính chất khác nhau của ánh xạ đa trị. Đó là tính
nửa liên tục và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị. Tương tự như vậy, các
khái niệm lồi trên, lồi dưới, Lipschitz trên, Lipschitz dưới, Lipschitz theo
khoảng cách Hausdorff cũng đươc đưa ra. Tiếp theo, tính khả vi, khả dưới
vi phân của hàm số cũng được mở rộng cho hàm véctơ đa trị (hay ánh
xạ đa trị) trong nhiều không gian khác nhau như Đinh Thế Lục, Nguyễn
Xuân Tấn, Zowe,Tanino.... Đối với ánh xạ đa trị nhiều tác giả cũng đưa ra
khái niệm khác nhau về đạo hàm. Người ta sử dụng các khái niệm đó để
chỉ ra các điều kiện cần, điều kiện đủ cho các bài toán tối ưu véctơ khác
nhau và từ đó xây dựng nên những lý thuyết cho tối ưu véctơ đa trị.
Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất của ánh xạ đa trị
và ứng dụng của nó trong toán học và thực tiễn phát triển rất mạnh. Vì
vậy, sau khi học được các kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm
hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học và mối quan hệ giữa chúng, tôi đã
chọn đề tài “Một số tính chất của ánh xạ đa trị và ứng dụng”.
Luận văn gồm 2 chương
Chương 1 “Một số tính chất của ánh xạ đa trị” trình bày một số khái
niệm và tính chất của nón, điểm hữu trong không gian tôpô tuyến tính,
khái niệm về ánh xạ đa trị... Trình bày một số tính chất về tính lồi, tính
liên tục, tính Lipschitz, xấp xỉ theo nón của ánh xạ đa trị và mối liên hệ
giữa chúng
Chương 2 “Một số ứng dung của ánh xạ đa tri” trình bày một số ứng

1


2

dụng của các tính chất đã nêu ở chương 1 vào việc chỉ ra điều kiện cần,
điều kiện đủ để tồn tại nghiệm của một số bài toán trong lý thuyết tối ưu

véctơ đa trị như: bài toán tối ưu véctơ, bài toán tựa tối ưu véctơ.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính chất của ánh xạ đa trị và các ứng dụng

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tập trung nghiên cứu tính chất của ánh xạ đa trị trên các không gian
tuyến tính

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ đa trị theo nón và ứng dụng
để tìm nghiệm của bài toán tối ưu véctơ.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu và tổng hợp các kiên thức vận dụng vào mục đích
nghiên cứu.


Bảng kí hiệu và chữ viết tắt
R
R+
Rn
Rn+
x∈M
x∈
/M
M ⊂N
M N
2X
M ∪N

M ∩N
M \N
M +N
λM
∂D
conv D
cone D
int D, ri D, cl D
x
x, y
dom F
Gr F
∂f
Du F (Dl F )
Ru F (Rl F )

tập số thực
tập số thực không âm
không gian Euclid n-chiều
tập các véctơ không âm của Rn
phần tử x thuộc M
phần tử x không thuộc M
M là tập con của N
M là tập con của N và khác N
họ tất cả các tập con của X
hợp của 2 tập M và N
giao của 2 tập M và N
hiệu của 2 tập M và N
tổng của 2 tập M và N trong không gian véctơ
ảnh vi tự của tập M theo tỉ số λ trong không gian véctơ

biên của D
bao lồi của D
bao nón của D
phần trong, phần trong tương đối, bao đóng của D
chuẩn của x trong không gian định chuẩn X
tích vô hướng giữa 2 không gian tuyến tính X và X ∗
miền hữu hiệu của ánh xạ F
đồ thị của F
dưới vi phân của hàm f tại x
đạo hàm tiếp liên trên (dưới) của F
đạo hàm radian trên (dưới) của F

1


Chương 1
Một số tính chất theo nón của ánh đa trị
1.1 Nón và các khái niệm liên quan
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian tuyến tính và C ⊂ X. Ta nói rằng
C là nón trong X nếu tc ∈ C với mọi c ∈ C và t ≥ 0.
Nón C gọi là nón lồi nếu C là tập lồi trong X, nón C là nón đóng nếu
C đóng trong X.
Trong trường hợp X là không gian tôpô tuyến tính với tập C bất kì
trong X, ta kí hiệu: cl C, int C, conv C lần lượt là bao đóng, phần trong,
bao lồi của C. Tiếp theo, kí hiệu l(C) = C ∩ (−C), ta có các khái niệm
sau
Cho C là nón trong không gian tôpô tuyến tính X. Ta nói rằng:
i) C là nón nhọn nếu l(C) = 0.
ii) C là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.
iii) C là nón đúng nếu cl C + C\l(C) ⊂ C.

Thấy rằng nếu nón C đóng thì C là nón đúng.
Tiếp theo ta nhắc lại các khái niệm tập sinh và cơ sở của nón
Định nghĩa 1.2. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y . Tập B ⊆
Y được gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu C = cone(B), nếu
C = {tb|b ∈ B, t ≥ 0}.
Trong trường hợp B không chứa điểm gốc O với mỗi c ∈ C, c = 0 đều tồn
tại duy nhất b ∈ B, t ≥ 0 sao cho c = tb thì B được gọi là cơ sở của nón
C. Hơn nữa, nếu B là tập hữu hạn phần tử thì tập C = cone(conv(B))
được gọi là nón đa diện.
2


3

Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính Hausdorff, một nón
có cở sở lồi, đóng, giới nội là nón lồi, đóng, nhọn. Mệnh đề sau đây cho
ta tính chất quan trọng của một nón cơ sở lồi, đóng, giới nội trong không
gian tuyến tính Y .
Mệnh đề 1.3 (xem [5]). Nếu C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội thì với
mọi lân cận W của điểm gốc trong Y đều tồn tại lân cận V của O sao cho
(V + C) ∩ (V − C) ⊆ W
Định nghĩa 1.4. Cho nón C trong không gian tôpô tuyến tính Y . Gọi
Y ∗ là không gian tôpô tuyến tính đối ngẫu của Y . Nón cực C của C được
định nghĩa như sau
C = {ξ ∈ Y ∗ | ξ, c ≥ 0 ∀c ∈ C}.
Ta thấy ngay C là nón, lồi đóng trong Y ∗ với tôpô yếu* σ(Y, Y ∗ ) và hơn
nữa nếu C là nón sinh (nghĩa là Y = C − C) thì C là nón nhọn.
Định nghĩa 1.5. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón lồi
trong Y . Một tập A chứa trong Y được gọi là
i) C-đầy đủ (C- đầy đủ mạnh) nếu A không có phủ dạng

{(xα − cl C)C : α ∈ I}
(tương ứng{(xα − C)C : α ∈ I}),
với (xα ) là lưới giảm trong A
ii) C-compắc nếu mọi phủ của A có dạng
{Uα + C|α ∈ I, Uα là mở }
đều chứa một phủ con hữu hạn.
iii) C-nửa compắc nếu mọi phủ của A có dạng
{(aα − cl C)C |α ∈ I, aα ∈ A}
đều chứa một phủ con hữu hạn.
Định nghĩa 1.6. Cho X là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh
bởi nón lồi C, A là tập con khác rỗng của X.


4

i) Điểm x ∈ A gọi là điểm hữu hiệu lí tưởng của A đối với nón C nếu
y − x ∈ C với mọi y ∈ A. Tập các điểm hữu hiệu lí tưởng của A đối
với nón C được kí hiệu là IMin(A|C) hoặc IMin A.
ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C, nếu không
tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C\l(C). Tập các điểm hữu hiệu Pareto của
A đối với nón C được kí hiệu là PMin(A|C) hoặc PMin A.
iii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (khi int C = ∅ và C = Y ) của A đối
với nón C, nếu x ∈ Min(A|{0} ∪ int C). Tức là x là điểm hữu hiệu với
thứ tự sinh bởi nón int C. Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với
nón C được kí hiệu là WMin(A|C) hoặc WMin A hoặc WMin A.
iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C
nếu tồn tại nón lồi C˜ khác Y và chứa C\l(C) trong phần trong của
˜ Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với
nó để x ∈ PMin(A|C).
nón C được kí hiệu là PrMin(A|C) hoặc PrMin A.

Từ định nghĩa, ta có các khẳng định sau luôn đúng.
a) x ∈ PMin A khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C).
b) x ∈ WMin A khi và chỉ khi A ∩ (x − int C) = ∅.
c) IMin A ⊂ PrMin A ⊂ PMin A ⊂ WMin A.
Định nghĩa 1.7. Cho X, Y là 2 không gian tôpô tuyến tính. Một ánh xạ
đa trị F từ X vào Y mà ứng với mỗi phần tử x ∈ X cho một tập con của
Y được kí hiệu F : X → 2Y hay F : X ⇒ Y . Miền hữu hiệu và đồ thị của
F được định nghĩa như sau
dom F = {x ∈ X|F (x) = ∅}
Gr F = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x), x ∈ dom F }.
Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính với nón C, thì trên đồ thị của F
được định nghĩa
epi F = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x) + C, x ∈ dom F }.
Nếu F xác định trên tập con D khác rỗng của X thì F gọi là compắc
nếu F (D) compắc


5

F gọi là đóng theo nón C (C-đóng) nếu epi F đóng trong X × Y . Dễ
thấy F là C-đóng thì F (x) + C đóng với mỗi x ∈ dom F .
Định nghĩa 1.8. Cho X, Y lầ 2 không gian tôpô, D là tập con khác rỗng
của X, F : D → 2Y là ánh xạ đa trị.
i) F gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ dom F nếu mọi tập mở V trong Y
mà chứa F (x) đều tồn tại lân cận U của x sao cho
F (x) ⊂ V với mọi x ∈ U
ii) F gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ dom F nếu mọi tập mở V trong Y
mà F (x) ∩ V = ∅ đều tồn tại lân cận U của x sao cho
F (x) ∩ V = ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F
iii) F gọi là acyclyc nếu F nửa liên tục trên và ảnh của từng điểm là tập

acyclyc trong Y . Nếu F đồng thời vừa là ánh xạ compắc, vừa là ánh
xạ acyclyc thì F gọi là compắc acyclyc

1.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị
Trong mục này ta luôn xét X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi
địa phương, D là tập con khác rỗng của X, C Y là nón lồi và F là ánh
xạ đa trị từ D vào Y . Ta có định nghĩa
Định nghĩa 1.9. a) F là C-liên tục trên (hoặc C-liên tục duới) tại xo ∈ D
nếu bất kì lân cận V của 0 đều tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho
F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C
(hoặc F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C)
b) F là C-liên tục tại x0 nếu F là C-liên tục trên và C-liên tục dưới tại
x0 .
F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục trên D nếu F là
C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục tại mọi x ∈ D
c) F là C-liên tục trên yếu (C-liên tục dưới yếu) tại x0 ∈ D nếu lân cận
U của x0 trong định nghĩa ở trên là lân cận trong tôpô yếu của X


6

Mệnh đề 1.10. a) Nếu F (x0 ) là tập compắc trong Y thì điều kiện cần và
đủ để F là C-liên tục trên tại x0 là với mọi tập mở G, F (x0 ) ⊂ G + C đều
tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ dom F .
b) Nếu F (x0 ) compắc trong Y thì điều kiện cần và đủ để F là C-liên tục
dưới tại x0 là với mọi y ∈ F (x0 ) và với mọi lân cận V của 0 đều tồn tại
lân cận U của x0 sao cho F (x) ∩ y + V + C = ∅ .
Chứng minh. a) Giả sử F là C-liên tục trên tại x0 . Lấy tập mở G trong
Y sao cho F (x0 ) ⊂ G + C. Vì G mở nên G + C mở. Do F (x0 ) compắc
nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho F (x0 ) + V ⊂ G + C. Vì F là

C-liên tục trên tại x0 nên lấy V là lân cận tùy ý của của 0 trong Y luôn
tồn tại lân cận U của x0 trong X để F (x) ⊂ F (x0 ) + V ∩ V + C. Ta có
F (x) ⊂ F (x0 ) + V ∩ V + C ⊂ F (x0 ) + V ⊂ G + C + C = G + C
Ngược lại, lấy V là lân cận tùy ý của 0 trong Y thì V chứa một tập mở
V chứa 0. Đặt G = V + F (x0 ) thì G mở. Theo giả thiết tồn tại lân cận
U của 0 trong X sao cho F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ dom F . Từ đó
F (x) ⊂ V + F (x0 ) + C ⊂ V + F (x0 ) + C với mọi x ∈ U ∩ dom F . Vậy F
là C-liên tục trên
b) Giả sử F là C-liên tục dưới tại x0 . Lấy V là lân cân của 0 trong Y
thì V chứa lân cận cân V của 0 trong Y . Do F là C-liên tục dưới tại x0
nên có lân cận U của x0 trong X để F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C. Lấy y tùy ý
thuộc F (x0 ) thì y = y0 + v − c với y0 ∈ F (x), v ∈ V , c ∈ C. Suy ra y0 =
y − v + c ∈ F (x0 ) + V + C. Điều này cho thấy y0 ∈ F (x) ∩ (F (x0 ) + V + C)
hay F (x) ∩ (F (x0 ) + V + C) = ∅
Ngược lại, lấy V là lân cận bất kì của 0 trong Y . Vì Y là không gian tuyến
tính lồi địa phương nên V chưa lân cân lồi V của 0 sao cho V + V ⊂ V .
Ta có
F (x0 ) ⊂
(y + V )
y∈F (x0 )

Do F (x0 ) compắc nên có dãy {yi }ni=1 trong F (x0 ) để
n

F (x0 ) ⊂

(yi + V ).
i=1

7

Theo giả thiết tồn tại các lân cận Ui (i = 1, n) của x0 thỏa
F (x) ∩ (yi + V + C) = ∅ với mọi x ∈ Ui ∩ dom F.

∆

Đặt U = ∪ni=1 Ui ta được
F (x) ∩ (yi + V + C) = ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F.
Lấy y ∈ F (x0 ) thì y ∈ yi0 + V và F (x) ∩ (yi0 + V + C) = ∅ với mọi x ∈
U ∩ dom F với i0 nào đó. Từ điều này suy ra
y ∈ F (x) + V + V − C ⊂ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ dom F
Vì y tùy ý nên
F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ dom F
Vậy F là C-liên tục dưới tại x0
Nhận xét. a) Nếu C = {0} và F (x0 ) compắc thì tính C-liên tục trên và
C-liên tục dưới trùng với định nghĩa nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
b) Nếu F là ánh xạ đơn trị thì tính C-liên tục trên và C-liên tục dưới là
một. Và lúc đó F gọi là C-liên tục.
c) Lấy Y = R và C = R+ và nếu ánh xạ đơn trị F là C-liên tục tại x0 ta
suy ra F là nửa liên tục dưới tại x0 theo nghĩa thường.
Xét F : D → 2Y trong đó D ∈ X. Với mỗi ξ ∈ C ta định nghĩa các hàm
gξ , Gξ : D → R
như sau
gξ (x) = inf

ξ, y , x ∈ D

y∈F (x)

Gξ (x) = sup ξ, y , x ∈ D
y∈F (x)

Mệnh đề 1.11. a) Nếu F là C-liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 ∈ dom F
thì với mỗi ξ cố định gξ (tương ứng Gξ ) là hàm số nửa liên tục dưới tại x0 .
b) Nếu F là −C-liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 ∈ dom F thì với mỗi ξ cố
định Gξ (tương ứng gξ ) là hàm số nửa liên tục trên tại x0 .


8

Chứng minh. Với ξ ∈ C là phiếm hàm tuyến tính liên tục nên với > 0
bất kì, tồn tại lân cận V của 0 trong Y để ξ(v) ∈ [− , ].
a) Ta chứng minh gξ là nửa liên tục dưới tại x0 . Do F là C-liên tục trên
tại x0 nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C với mọi
x ∈ U ∩ dom F . Từ đây suy ra
inf

ξ, y ≥

y∈F (x)

inf

ξ, y + inf ξ, v + inf ξ, c .
v∈V

y∈F (x0 )

c∈C

Lại có inf ξ, v ≥ − và inf ξ, c ≥ 0 nên
v∈V

c∈C

ξ, y ≥

inf
y∈F (x)

ξ, y − .

inf
y∈F (x0 )

Điều đó có nghĩa gξ (x) ≥ gξ (x0 ) − . Vậy gξ là nửa liên tục dưới
Tiếp theo, ta chi ra Gξ là nửa liên tục trên tại x0 . Do F là C-liên tục
dưới tại x0 nên tồn tại lân cận U của x0 để F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C với mọi
x ∈ U ∩ dom F . Từ đó ta có
sup ξ, y ≤ sup ξ, y + sup ξ, v + sup ξ, c
y∈F (x)

y∈F (x0 )

v∈V

c∈−C

Vì sup ξ, y ≤ , sup ξ, c ≤ 0 nên

v∈V

c∈−C

Gξ (x0 ) ≤ Gξ (x) + .
Vậy Gξ nửa liên tục dưới tại x0 .
b) Ta chứng minh tương tự như phần a).

∆

Định nghĩa 1.12. Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,
D ⊂ X là tập khác rỗng và I là tập các chỉ số. Họ hàm số {fα : D →
R, α ∈ I} được gọi là nửa liên tục trên (hoặc nửa liên tục dưới) đồng bậc
tại x0 ∈ D nếu với mọi > 0 tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho
fα (x) ≥ fα (x0 ) + (tương ứng fα (x) ≥ fα (x0 ) − )
với mọi x ∈ U ∩ D và α ∈ I
Ta nhắc lại rằng một không gian tôpô tuyến tính tính Hausdorff lồi đia
phương mà mọi tập lồi, đóng, cân và hấp thu đều là lân cận của 0 được
gọi là không gian thùng. Định lý Banach-Steinhaus mở rộng cho lớp hàm
lồi, lõm trên không gian thùng được phát biểu như sau


9

Định lí 1.13. Cho X là không gian thùng, I là tập chỉ số khác rỗng và
fα : X → R, α ∈ I là các hàm lồi và nửa liên tục dưới trong lân cận U0 của
x0 ∈ dom fα với mọi α ∈ I trong X = dom fα với mọi α ∈ I. Giả sử rằng
với mỗi x ∈ X đều tồn tại γ > 0 sao cho fα (x) ≤ γ với mọi α ∈ I. Khi đó
họ {fα |α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại x0 .
Chứng minh. Đặt f α (x) = fα (x + x0 ) − fα (x0 ), ta thấy f α (0) = 0 và f α

liên tục tại x0 khi và chỉ khi fα liên tục tại 0. Vậy ta có thể giả thiết rằng
fα (0) = 0 với mọi α ∈ I và chỉ cần xét tính nửa liên tục trên đồng bậc của
họ {fα |α ∈ I} tại 0.
Vớ > 0 cho trước ta đặt
Aα = {x ∈ X|fα (x) ≤ }
Do fα là hàm lồi và nửa liên tục dưới nên Aα là tập lồi đóng. Do 0 ∈ Aα
nên Aα khác rỗng. Không mất tính tổng quát có thể giả sử U0 là lân cận
lồi, cân, đóng và hấp thu của 0 trong X. Đặt
U=

U0

Aα

(−Aα ).

α∈I

Vì Aα là các tập lồi, đóng chứa 0 nên ∩α∈I Aα ∩ (−Aα ) là tập lồi, cân đóng
chứa 0. Từ đây ta suy ra U là tập lồi, cân, đóng và khác rỗng.
Tiếp theo ta chỉ ra U là tập hấp thu. Thật vậy, lấy x ∈ X bất kì. Theo
giả thiết tồn tại γ > 0 sao chó fα (x) ≤ γ, fα (−x) ≤ γ với mọi α ∈ I. Lấy
γ > . Do
fα ( x) = fα ( x + (1 − )0)
γ
γ
γ
≤

γ

fα (x) + (1 − )fα (0) = fα (x) = γ =
γ
γ
γ

x ∈ Aα với mọi α ∈ I. Vì U0 hấp thu nên tồn tại p0 > 0 sao cho
γ
∀p > p0 đều có x ∈ U0 . Lấy γ0 > M ax(γ, p0 ) thì x ∈ U0 ∩ Aα với mọi
p
γ0
−
α ∈ I. Tương tự ta cũng chỉ ra được
x ∈ U0 ∩ Aα với mọi α ∈ I hay
γ0
x ∈ U0 ∩ (−Aα ) với mọi α ∈ I. Như vậy x ∈ U và do đó U hấp thu.
γ0
γ0
Do X là không gian thùng nên U là lân cận của 0 trong X. Với x ∈ U ta

nên


10

có fα (x) ≤ = fα (0) + với mọi α ∈ I. Điều này cho thấy họ {fα |α ∈ I}
là nửa liên tục trên đồng bậc tại 0. Vậy định lý được chứng minh.
∆
Hệ quả 1.14. Cho X là không gian thùng và f : X → R là hàm lồi và
nửa liên tục dưới trong lân cận U0 của điểm x0 ∈ dom f = X . Khi đó f

liên tục tại x0 .
Chứng minh. Vì dom f = X nên với mỗi x ∈ X đều tồn tại γ > 0 sao
cho f (x) < γ. Xét họ hàm vô hướng xác định trên X chỉ gồm một phần
tử f . Ta thấy f thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.13 nên f nửa liên
tục trên tại x0 ∈ X. Vậy f liên tục tại x0 .
∆
Định lí 1.15. Cho X là không gian thùng, I là tập chỉ số khác rỗng và
fα : X → R, α ∈ I là các hàm lõm và nửa liên tục trong mỗi lân cận U0
của điểm x0 ∈ dom fα , α ∈ I. Giả sử rằng với mỗi x ∈ X đều tồn tại γ > 0
sao cho fα (x) ≥ −γ với mọi α ∈ I. Khi đó họ {fα |α ∈ I} là nửa liên tục
dưới đồng bậc tại x0 .
Chứng minh. Nếu fα là hàm lõm và nửa liên tục trên thì −fα là hàm lồi
và nửa liên tục dưới. Theo Định lý 1.13 ta có điều cần chứng minh.
∆
Hệ quả 1.16. Cho X là không gian thùng, f : X → R là hàm lõm và nửa
liên tục trên trong lân cận U0 của điểm x0 ∈ dom f = X và giả thiết rằng
với mỗi x0 ∈ X thì f (x) > −∞ thì f liên tục tại x0 .
Chứng minh. Ta chưng minh tương tự như Hệ quả 1.14 bằng cách áp
dụng Định lý 1.15.
Tiếp theo, ta tìm điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là C-liên tục
trên hoặc (C-liên tục dưới). Ta xét mối liên quan giữa tính liên tục theo
nón của ánh xạ đa trị F với tính nửa liên tục đồng bậc của họ các hàm
gξ , Gξ . Dưới đây ta luôn giả thiết rằng X là không gian lồi địa phương, Y
là không gian Banach, D ⊂ X là tập lồi trong Y , ta có định lý
Định lí 1.17. Giả sử F : D → 2Y và x0 ∈ dom F với F (x0 ) + C là tập lồi.
Khi ấy, F là C-liên tục trên tại x0 nếu và chỉ nếu họ {gξ |ξ ∈ C , ||ξ|| = 1}
là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x0 .
Chứng minh. Giả sử F là C-liên tục trên tại x0 . Theo định lý Banach
-Steinhaus thì họ {ξ ∈ C : ||ξ|| = 1} lên tục đồng bậc tại x0 cho nên với

11

cho cận V của x sao cho F (x) ⊂ y + (Y \ (−C)) ∪ {0} với mọi
x ∈ V ∩ D. Giả sử (x, y) ∈ Gr F không là cực tiểu toàn cục của (P ) thì


53

tồn tại x0 ∈ D, y0 ∈ F (x0 ) để y − y0 ∈ (−C \ {0}). Đặt xt = tx0 + (1 − t)x
thì xt ∈ D. Do F là C-lồi trên nên
(1 − t)F (y) + ty0 ∈ (1 − t)F (x) + tF (x0 ) ⊂ F (xt ) + C.
Chọn t đủ nhỏ để xt ∈ V , suy ra xt ∈ V ∩ D. Ta được
t(y0 − y) ∈ F (xt ) − y + C ⊂ Y \ (−(C \ {0})) + C ⊂ Y \ (−(C \ {0})).
Suy ra
y − y0 ∈ Y \ (−(C \ {0})),
mâu thuẫn với giả sử.
Vậy (x, y) là cực tiểu toàn cục. Phần còn lại của mệnh đề được chứng
minh tương tự
∆
Mệnh đề 2.2. Cho (x, y) ∈ Gr F . Nếu (x, y) là cực tiểu yếu địa phương
của (P ) thì với mọi x ∈ TDu (x) ta đều có
Du F (x, y)(x) ⊂ Y \ (− int C).
Chứng minh. Giả sử điều ngược lại không đúng, tức là tìm được x ∈
TDu (x) và y ∈ Du F (x, y)(X)∩(− int C). Khi đó, tồn tại (tn ) ⊂ (0, +∞), tn →
0, (xn ) ⊂ X, (yn ) ⊂ Y sao cho
y + tn yn ∈ F (x + tn xn )
và x + tn xn ∈ D. Các dãy (xn ), (yn ) chứa dãy con hội tự xnj → x, ynj → y.
Vì y ∈ − int C nên tồn tại số nguyên j0 sao cho ynj ∈ − int C với mọi
j ≥ j0 . Từ đó

y + tnj ynj ∈
/ y + Y \ (− int C) với moi j ≥ j0

(2.1)

Do (x, y) là cực tiểu yếu địa phương nên tồn tại lân cận V của x để
F (x) ⊂ y + (Y \ (− int C)) với mọi x ∈ V ∩ D
Có xnj → x, tnj → 0 nên tồn tại j1 để x + tnj xnj ∈ V ∩ D. Do vậy,
F (x + tnj xnj ) ⊂ y + (Y \ (int C)) với moi j ≥ j1 .
Suy ra
y + tnj ynj ∈ y + Y \ (− int C) với moi j ≥ j1 .

(2.2)


54

Đến đây thấy (2.1) và (2.2) mâu thuẫn. Vậy ta phải có
Du F (x, y)(x) ⊂ Y \ (− int C) với moi x ∈ TDu (x)

∆

Định lí 2.3. Cho (x, y) ∈ Gr F . Giả sử D là C-xấp xỉ trên của F tại (x, y)
thỏa mãn điều kiện
D(x − x) ∩ (−C) ⊂ {0} với mọi x ∈ D
(D(c − x)) ∩ (− int C) = ∅ với mọi x ∈ D)
Khi đó (x, y) là cực tiểu (cực tiểu yếu) của (P )
Chứng minh. Do D(x − x) ∩ (−C) ⊂ {0} với mọi x ∈ D nên
D(x − x) ∩ (−C \ {0}) = ∅ với mọi x ∈ D
Vì D là C-xấp xỉ trên của F tại (x, y) nên có lân cận U của x để

F (x) − y ⊂ D(x − x) + C với mọi x ∈ U ∩ D.
Ta suy ra được
(F (x) − y) ∩ (−C \ {0}) ⊂ (D(x − x) + C) ∩ (−C \ {0})
Giả sử có z ∈ (D(x − x) + C) ∩ (−C \ {0}) với z = z1 + z2 , z1 ∈ D(x −
x), z2 ∈ C. Từ đó z1 = z − z2 ∈ (−C \ {0}) − C ⊂ −C \ {0}. Vậy
z1 ∈ D(x − x) ∩ (−C \ {0}) = ∅. Từ đó thấy
(D(x − x) + C) ∩ (−C \ {0}) = ∅
và
(F (x) − y) ∩ (− int C) = ∅ với mọi x ∈ U ∩ D.
Do vậy (x, y) là cực tiểu của (P ). Phần còn lại được chứng minh tương
tự
∆
Hệ quả 2.4. Cho D, (x, y) như Định lý 2.3. Nếu D(x−x) ⊂ C (D(x−x) ⊂
int C) với mọi x ∈ D thì (x, y) là cực tiểu (cực tiểu yếu) của (P ).
Chứng minh. Do D(x − x) ⊂ C (D(x − x) ⊂ int C) nên
D(x − x) ∩ −C ⊂ (C ∩ −C ) = {0}
D(x − x) ∩ (− int C ) ⊂ (int C ∩ − int C) = ∅
Theo Định lý 2.3 ta có điều cần chứng minh

∆


55

Hệ quả 2.5. Cho f : D → Y là hàm lồi. Nếu 0 ∈ ∂f (x) thì (x, f (x)) là
cực tiểu của (P ).
Chứng minh. Vì 0 ∈ ∂f (x) nên f (x) ∈ f (x) + C với mọi x ∈ D. Lấy
D(x) = 0 với mọi x ∈ X thì D là C-xấp xỉ trên của f tại (x, f (x)) và
D(x − x) ∈ C với mọi x ∈ D. Do đó áp dụng Hệ quả 2.4 ta có điều cần
chứng minh.

Mệnh đề 2.6. Cho (x, y) ∈ Gr F , F là C-lồi trên và có xấp xỉ compắc tại
(x, y) theo nón C. Nếu
Du F (x, y)(x − x) ⊂ Y \ (−C \ {0}) với mọi x ∈ D
(Du F (x, y)(x − x) ⊂ Y \ − int C với mọi x ∈ D)
thì (x, y) là cực tiểu (cực tiểu yếu) của (P )
Chứng minh. Từ hệ quả 1.67 suy ra Du F (x, y) là C-xấp xỉ trên của F
tại (x, y). Từ giả thiết ta lại suy ra
Du (x − x) ∩ (−C) ⊂ {0} với mọi x ∈ D
(Du (x − x)) ∩ (− int C) = ∅ với mọi x ∈ D)
Vậy F thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.3 nên (x, y) là cực tiểu (cực
tiểu yếu) của (P )
∆
Mệnh đề 2.7. Nếu (x, y) ∈ Gr F và Ru F (x, y)(x − x) ∩ (−C) ⊂ {0}
(Ru F (x, y)(x − x) ∩ − int C = ∅) với mọi x ∈ D thì (x, y) là cực tiểu (cực
tiểu yếu) của (P )
Chứng minh. Theo Định lý 1.58 có Ru F (x, y) là C-xấp xỉ trên của F tại
(x, y). Do vậy F đã thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.3 nên ta có điều
cần chứng minh.
Mệnh đề 2.8. Cho (x, y) ∈ Gr F và F là C-lồi trên, C có cơ sở compắc.
Nếu S u F (x, y)(0) ∩ −C = {0} và với mọi x ∈ D
S u (x − x) ∩ (−C) ⊂ {0} với mọi x ∈ D
(S u (x − x)) ∩ (− int C) = ∅ với mọi x ∈ D)
thì (x, y) là cực tiểu (cực tiểu yếu) của (P ).
Chứng minh. Chứng minh tương tự mệnh đề trên bằng cách sử dụng Hệ
quả 1.64 và Định lý 2.3
∆


56

2.3 Bài toán tựa tối ưu véctơ
Trong mục này ta luôn giả thiết X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến
tính Hausdorff lồi địa phương, D ⊂ X, K ⊂ Z là những tập con khác rỗng,
C Y là nón lồi, đóng, nhọn và có nón liên hợp đều có cơ sở compắc yếu*
B. Và ta ta luôn giả thiết tích vô hướng ·, · giữa các phần tử của Y và
phần tử đối ngẫu Y ∗ của nó là hàm liên tục từ tôpô tích trong Y và tôpô
yếu* trong Y ∗ .
Để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán (GV QOP 1)α ta cần sử dụng
2 định định lý sau
Định lí 2.9 (xem [6]). Cho X là không gian tôpô tuyến tính và D là
tập con khác rỗng, lồi, chấp nhận được của X. Khi ấy, mọi ánh xạ đa trị
compắc acyclyc với giá trị khác rỗng F : D → 2D đều có điểm bất động
x ∈ D, tức là x ∈ F (x)
Định lí 2.10 (xem[5]). Cho X, Y, D, C như trên. Giả sử rằng D là tập
compắc. Khi đó, tập tối ưu Pareto S(D, F ) của bài toán (GV OP ) khác
rỗng nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn
i) C là nón đúng, F là C-liên tục trên trong D và F (x) + C là C-đầy đủ
với mọi x ∈ D
ii) C là nón đúng, F là C-liên tục trên, F (x) là C-nửa compắc với mọi
x∈D
iii) C là sắc, F là C-liên tục trên trong D, F (x) là C-nửa compắc với mọi
x∈D
iv) C thỏa mãn điều kiện (SK), F có giá trị compắc, nửa liên tục trên
trong D
Chứng minh. Xem các Định lý 5.3, 5.4 và Hệ quả 5.5, 5.6 chương 2 trong
[5]
∆
Định lí 2.11. Cho D, K là những tập lồi, chấp nhận được của không gian
tôpô tuyến tính, nón C trong Y . Cho S : D → 2D và F : D × K × D → 2Y
là các ánh xạ đa trị T : D → 2K là ánh xạ đa trị compắc acyclyc với giá

trị khác rỗng. Hơn vậy, nếu ánh xạ đa trị M α : D × K → 2D được định


57

nghĩa bởi
M α (x, y) = {u ∈ S(x)|F (x, y, u) ∩ α Min F (x, y, s(x))|C = ∅}

(2.3)

là compắc acyclyc với giá trị khác rỗng thì bài toán (GV QOP 1)α có
nghiệm.
Chứng minh. Xét ánh xạ đa trị Gα : D × K → 2D×K cho bởi
Gα (x, y) = M α (x, y) × T (x) với mọi (x, y) ∈ D × K.
Khi ấy Gα là ánh xạ compắc acyclyc và có giá trị khác rỗng. Do D, K
là chấp nhận được nên D × K cũng chấp nhận được trong tôpô tích của
X × Z. Do đó, theo Định lý 2.9 Gα có điểm bất động (x, z) ∈ D × K . Tức
(x, z) ∈ Gα (x, z) = M α (x, z) × T (x) ⊂ S(x) × T (x).
Từ điều này, ta suy ra được x ∈ S(x), z ∈ T (x) và
F (x, z, x) ∩ α Min F (x, z, S(x))|C = ∅

∆

Từ Định lý 2.11 ta nhận thấy sự tồn tại nghiệm của bài toán (GV QOP 1)α
liên quan tới các vấn đề:
1) Sự khác rỗng và tính compắc của M α (x, y) với mọi (x, y) ∈ D × K
2) Tính acyclyc của M α (x, y) với mọi (x, y) ∈ D × K.
3) Tính nửa liên tục trên của ánh xạ đa trị M .
Với mỗi (x, y) ∈ D × K, xét ánh xạ đa trị H : S(x) → 2D xác định
bởi H(u) = F (x, y, u), u ∈ S(x). Ta thấy được M α (x, y) = αS(S(x), F )

Điều này cho thấy, tính khác rỗng, tính acyclyc của M α (x, y) liên quan
đến cấu trúc của tập nghiệm của bài toán tối ưu tổng quát (GV OP )α ứng
với S(x), H, C (xem lại Định lý 2.10)
Tiếp theo, ta chỉ ra một vài điều kiện cho tính compắc của ánh xạ M α .
Bằng cách định nghĩa ánh xạ đa trị N α : D × K × D như sau
N α (x, y) = α Min F (x, y, S(x))|C , (x, y) ∈ D × K,
và ta có mệnh đề

(2.4)


58

Mệnh đề 2.12. Cho nón C trong Y và ánh xạ đa trị F : D × K × D → 2Y
là ánh xạ đa trị C-liên tục trên và có giá trị compắc. Hơn nữa, giả sử rằng
ánh xạ đa trị N α xác định bởi (2.4) là (−C)-liên tục trên và N α có giá trị
khác rỗng và compắc. Khi đó, ánh xạ đa trị M α (α = W, P ) xác định bởi
(2.3) là đóng
Chứng minh. Cho(xβ , yβ , uβ ) ∈ Gr M α và (xβ , yβ , zβ ) → (x, y, u). Ta cần
chỉ ra u ∈ N α (x, y). Lấy V là lân cận cân bất kì của 0 trong Y . Vì F là
C-liên tục trên và N α là (−C)-liên tục trên nên tồn tại β sao cho
F (xβ , yβ , zβ ) ⊂ F (x, y, u) + V + C
và
N α (xβ , yβ ) ⊂ N α (x, y) + V − C.
Suy ra
∅ = F (xβ , yβ , zβ ) ∩ N α (xβ , yβ ) ⊂ (F (x, y, u) + V + C) ∩ (N α (x, y) + V − C).
Do vậy
F (x, y, u) ∩ (N α (x, y) + V − C) = ∅.
Điều này đúng với mọi V . Kết hợp với tính compắc của F (x, y, u) và
N α (x, y) ta được

F (x, y, u) ∩ (N α (x, y) − C) = ∅
Lấy a0 ∈ F (x, y, u) ∩ (N α (x, y) − C) thì a0 ∈ N α (x, y). Thật vậy, giả sử
ngược lại a0 ∈
/ N α (x, y).
Nếu α là “Pareto”. Khi ấy tồn tại b ∈ F (x, y, S(x)) với
a0 − b ∈ C \ l(C).
Mặt khác vì a0 ∈ N α (x, y) − C nên ta có thể viết
a0 = a1 − c với c ∈ C \ l(C) và a1 ∈ N α (x, y).
Thay vào (2.5) ta được
a1 − c − b ∈ C \ l(C).

(2.5)


59

Như vậy ta được a1 − b ∈ C \ l(C). Điều này mâu thuẫn với a1 ∈ N α (x, y).
Vậy ta suy ra được a0 ∈ F (x, y, u) ∩ N α (x, y, u) và u ∈ M α (x, y). Trường
hợp I là “yếu” được chứng minh tương tự.
∆
Mệnh đề 2.13. Cho S : D → 2D là ánh xạ đa trị liên tục có giá trị compắc
và F : D × K × D → 2Y là C-liên tục trên và (−C)-liên tục dưới và có giá
trị compắc. Khi đó ánh xạ đa trị M α (α = W ) định nghĩa ở 2.3 là đóng.
Chứng minh. Cho (xβ , yβ , uβ ) ∈ Gr M W và (xβ , yβ , uβ ) → (x, y, u). Ta
cần chỉ ra (x, y, u) ∈ Gr M α . Thực vậy, lấy lân cận V bất kì của 0 trong
Y . Do F là C-liên tục trên bất kì của gốc trong Y tồn tại β0 sao cho
F (xβ , yβ , zβ ) ⊂ F (x, y, u) + V + C với mọi β ≥ β0

(2.6)

Vì (xβ , yβ , uβ ) ∈ Gr M W nên ta có thể viết
zβ ∈ F (xβ , yβ , uβ ) ∩ WMin F (xβ , yβ , S(β ))|C
Do (2.6) ta có thể viết
zβ ∈ z β + V + C với z β ∈ F (x, y, u)

(2.7)

Vì F (x, y, u) là tập compắc nên có thể giả thiết
z β → z ∈ F (x, y, u).
Ta sẽ khẳng định z ∈ WMin F (x, y, S(x))|C . Thật vậy , giả sử ngược lại.
tức là tồn tại z ∈
/ WMin F (x, y, S(x)|C). Vì vậy tồn tại z˜ ∈ F ((x, y, S(x))|C)
với z − z˜ ∈ int C. Lấy lân cận U của gốc trong Y sao cho
z − z˜ + U ∈ int C

(2.8)

Do luôn tồn tại lân cận U của 0 trong Y để U ⊂ U và U + U + U ⊂ U
nên
z − z˜ + U ∈ int C

(2.9)

Tiếp theo, có z˜ ∈ F (x, y, u) với u ∈ S(x) nào đó. Vì S liên tục và xβ → x,
nên tồn tại uβ ∈ S(xβ ) với uβ → u. Từ tính (−C)-liên tục dưới của F ta
suy ra tồn tại β1 sao cho
F (x, y, u) ⊂ F (xβ , yβ , uβ ) + U + C, với mọi β ≥ β1


60

Với z˜ ∈ F (x, y, u) ta có
z˜ ∈ z˜β + U + C với z˜β ∈ F (xβ , yβ , uβ ) nào đó, β ≥ β1

(2.10)

Từ (2.9),(2.10) ta suy ra
zβ − z˜β = z − z˜ + z˜ − z˜β + zβ − z ∈ z − z˜ + U + C + z β − z + V + C
⊂ z − z˜ + z β − z + U + V + C
Vì z β − z → 0 và V là tùy ý nên có thể chọn V = U và tìm được β2 sao
cho với β ≥ β2 ta được
zβ − z β ⊂ z − z˜ + U + U + U + C
⊂ z − z˜ + U + C ⊂ int C + C ⊂ int C
Từ
z˜β ∈ F (xβ , yβ , uβ ) ⊂ F (xβ , yβ , S(xβ ))
Ta suy ra mâu thuẫn với zβ ∈ WMin F (xβ , yβ , S(xβ ))|C . Do vậy, ta kết
luận được z ∈ F (x, y, u) ∩ WMin F (x, y, S(x)), tức u ∈ M W (x, y) hay M W
là đóng.
∆
Định lí 2.14. Cho D, K là các tập lồi khác rỗng, chấp nhận được của
các không gian tôpô tuyến tính X, Z. Nón C ⊂ Y có nón cực C có cơ
sở compắc yếu* B. Cho S : D → 2D là ánh xạ đa trị đóng, compắc với
giá trị lồi, khác rỗng, T : D → 2K là ánh xạ đa trị compắc acyclyc với
giá trị khác rỗng, ánh xạ đa trị F : D × K × D là C-liên tục trên và
(−C)-liên tục dưới. Hơn nữa, giả sử rằng với mọi (x, y) ∈ D × K ánh xạ
đa trị F (x, y, ·) : D → 2Y là C-tựa lồi thực sự và F (x, y, x) ⊂ C với mọi
(x, y) ∈ D × K. Khi ấy, tồn tại x ∈ D, z ∈ K sao cho
x ∈ S(x), z ∈ T (x)
và
F (x, z, z) ⊂ C với mọi x ∈ S(x)

Chứng minh. Ta định nghĩa hàm h : D × K × D → R như sau
h(x, y, u) = min{ min
ξ∈β

z∈F (x,y,u)

ξ, z −

min

ξ, z }, (x, y, u) ∈ D × K × D.

z∈F (x,y,x)

(2.11)