Phép biến đổi hankel hữu hạn và ứng dụng

(2.2.19)

Trong vật lý, công thức này biểu diễn sự quay chất lỏng trong ống hình
trụ.
2.2.3 Bài toán về sự rung của một màng tròn. Sự rung động đối
xứng tự do của một màng tròn mỏng với bán kính a được cho bởi phương
trình sóng.

50


1
utt = c2 urr + ur ; với mọi 0 < r < a, t > 0.
r

(2.2.20)

Điều kiện biên và điều kiện đầu được xác định bởi

u(r, t) = f (r),

∂u
= g(r) tại t = 0; với 0 < r < a.
∂t
u(a, t) = 0; với mọi t > 0

(2.2.21)

(2.2.22)

Áp dụng biến đổi Hankel hữu hạn bậc 0 của hàm u (r, t) xác định bởi

(2.2.4) đến (2.2.20) - (2.2.22) ta có
du˜ 2
+ cki 2 u˜ = 0
2
dt
d˜
u
u˜ = f˜(ki ) và
dt

t=0

= g˜(ki ).

(2.2.23)

(2.2.24)

Nghiệm của hệ này

u˜(ki , t) = f˜(ki ) cos(ctki ) +

g˜(ki )
sin(ctki ).
cki

(2.2.25)

Biến đổi ngược cho ta công thức nghiệm

2
u(r, t) = 2
a

∞

f (ki ) cos(ctki )
i=1

2
+ 2
cr

Jo (rki )
J1 2 (aki )

∞

g(ki ) sin(ctki )
i=1

Jo (rki )
.
ki J1 2 (aki )

Tổng được cho bởi tất cả các nghiệm dương của Jo (aki ) = 0.

51

(2.2.26)


Ta xét công thức tổng quát hơn của biến đổi Hankel hữu hạn liên kết với
một điều kiện biên tổng quát hơn.

f (r) + hf (r) = 0 tại r = a;

(2.2.27)

với h là hằng số.
Ta định nghĩa biến đổi Hankel hữu hạn của f (r) là
a

Hn { f (r)} = f˜n (ki ) =

rJn (rki )f (r)dr;

(2.2.28)

0

với k là nghiệm của phương trình

ki Jo (aki ) + hJn (aki ) = 0.

(2.2.29)

Phép biến đổi ngược tương ứng được cho bởi
∞

f (r) = Hn { f˜n (ki )} = 2

ki 2 { f˜n (ki )} Jn (rki ).

(2.2.30)

n=1

Biến đổi Hankel hữu hạn này có tính chất toán tử

Hn

1 d
n2
{rf (r)} − 2 f (r) = −ki 2 f˜n (ki ) + [f (+hf (Jn (aki ). (2.2.31)
r dr
r

Bởi đẳng thức (2.2.29) ta được

Hn

1 d
n2
{rf (r)} − 2 f (r)
r dr
r
aki
= −ki 2 f˜n (ki ) −

[f (a) + hf (a)] Jn (aki ).
h

Vậy kết quả (2.2.32) chứa f (a) + hf (a) như một điều kiện biên.
52

(2.2.32)


Kết luận
1. Luận văn trình bày một số kiến thức căn bản về phép biến đổi Hankel
hữu hạn như: khái niệm về phép biến đổi Hankel hữu hạn và phép biến
đổi ngược của nó; Một số tính chất toán tử của phép biến đổi Hankel hữu
hạn.
2. Giới thiệu ứng dụng của phép biến đổi Hankel hữu hạn trong việc giải
quyết ba bài toán trong lĩnh vực vật lý: Bài toán về sự phân bố nhiệt trong
một ống hình trụ; Bài toán về lưu lượng độ nhớt trong một ống hình trụ;
Bài toán về sự rung của một màng tròn.

53


Tài liệu tham khảo
[1] W. W. Bell, Special functions for scientists and engineers, Princeton,
New Jersey Toronto Melbourne, 1967.

[2] B. Davies, Integral tranforms and their applications, Third edition,
Springer, 2001.

[3] L. Debnath and D. Bhatta, Integral tranforms and their applications,

Second Edition, Chapman and Hall/CRC, 2007.

[4] A. D. Poularikas (Editor-in-chief), The tranforms and applications handbook, Second edition, Boca Raton CRC Press LLC, 2000.

54