Định lý điểm bất động banach trong không gian metric từng phần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ÁNH NGỌC

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BANACH
TRONG KHÔNG GIAN METRIC TỪNG PHẦN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ÁNH NGỌC

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BANACH
TRONG KHÔNG GIAN METRIC TỪNG PHẦN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Hà Đức Vượng, thầy
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận
văn này.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn
thể các Thầy, Cô giáo khoa Toán đặc biệt là chuyên ngành Toán Giải tích,
Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng 7 năm 2017
Tác giả

Phạm Ánh Ngọc


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, luận văn
chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Định lý điểm bất động Banach
trong không gian metric từng phần do tôi tự làm.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 7 năm 2017
Tác giả

Phạm Ánh Ngọc

2

Mục lục

Bảng kí hiệu

3

Mở đầu

4

1

Kiến thức chuẩn bị

8

1.1

Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

Định lý điểm bất động Banach trong không gian metric từng
phần

24

2.1

Không gian metric từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2

Định lý điểm bất động Banach trong không gian metric
từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41


3

Bảng kí hiệu

N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

R+

Tập số thực không âm

∅

Tập rỗng

T :X→X

Ánh xạ T từ tập hợp X vào tập hợp X

(X, d)

Không gian metric

d(x, y)

Khoảng cách giữa hai phần tử x và y

(X, p)

Không gian metric từng phần

✷

Kết thúc chứng minh


4

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Cho tập hợp X khác rỗng tùy ý và ánh xạ f : X → X . Nếu có phần tử
x ∈ X thỏa mãn f (x) = x thì x được gọi là điểm bất động của ánh xạ f

trên tập X .
Việc nghiên cứu về điểm bất động của một ánh xạ đã thu hút sự quan
tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh
vực này đã hình thành nên “ Lý thuyết điểm bất động” (fixed point theory)
gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớn như Banach, Brouwer,
Schauder, Sadovski, Tikhonov, Ky Fan,. . .
Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo hai hướng chính:
Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của lớp ánh xạ liên tục,
mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912):
Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong Rn vào chính nó đều
có điểm bất động [1].
Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của lớp ánh xạ co, mở đầu
là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922):

Mọi ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ đều có điểm bất động
duy nhất [1].


5

Ngoài ra còn một hướng thứ ba nghiên cứu về điểm bất động của lớp ánh
xạ không giãn. Lớp ánh xạ này được xem như lớp ánh xạ trung gian giữa
lớp ánh xạ co và lớp ánh xạ liên tục. Kết quả đầu tiên của hướng nghiên
cứu này do Kirk, Browder - Gohde công bố năm 1965.
Năm 1994, Matthews đã đề xướng khái niệm metric từng phần (partial
metric) và không gian metric từng phần được định nghĩa như sau:
X là một tập không rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ thỏa mãn:

1. p(x, x)

p(x, y), ∀x, y ∈ X .

2. Nếu p(x, x) = p(x, y) = p(y, y) thì x = y, ∀x, y ∈ X .
3. p(x, y) = p(y, x), ∀x, y ∈ X .
4. p(x, y)

p(x, z) + p(z, y) − p(z, z), ∀x, y, z ∈ X .

Khi đó, p được gọi là metric từng phần và cặp (X, p) được gọi là không
gian metric từng phần [3].
Các kết quả về điểm bất động trên lớp không gian này đã lần lượt được
công bố.
Năm 2005, Oscar Valero đã mở rộng Nguyên lý điểm bất động Banach
từ không gian metric sang không gian metric từng phần. Kết quả được

công bố trong bài báo: "On Banach fixed point theorems for partial metric
spaces" đăng trên tạp chí Applied General Topology [3].
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động trên không gian
metric từng phần, dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, tôi chọn đề
tài nghiên cứu: "Định lý điểm bất động Banach trong không metric từng


6

phần" .

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động Banach trong không gian metric từng
phần.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian metric từng phần, Định lý điểm bất động
Banach trong không gian metric từng phần.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian metric từng phần và điểm bất động trên lớp
không gian này dựa trên hai bài báo:
- "On Banach fixed point theorems for partial metric spaces" (2005) của
Oscar Valero [3];
- "Partial metric topology" (1994) của S. G. Matthews [4].

5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức về giải tích hàm để phục vụ
cho mục đích nghiên cứu.

7

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Luận văn là bài tổng quan về điểm bất động Banach trong không gian
metric từng phần.
Luận văn gồm hai chương nội dung:
Chương 1, Kiến thức chuẩn bị . Trong chương này chúng tôi trình bày
một số kiến thức cơ bản về không gian tôpô, không gian metric, không
gian metric đầy đủ cùng với ví dụ và phản ví dụ. Cuối cùng, chúng tôi
trình bày về nguyên lý ánh xạ co Banach.
Chương 2, Định lý điểm bất động Banach trong không gian metric từng
phần. Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niềm về metric từng
phần, sự hội tụ trong không gian metric từng phần. Sau đó chúng tôi trình
bày về không gian metric từng phần đầy đủ, cơ sở lân cận trong không
gian metric từng phần. Tiếp theo, chúng tôi trình bày về tựa metric, không
gian tựa metric và không gian tựa metric từng phần.
Cuối cùng, chúng tôi trình bày về nguyên lý ánh xạ co Banach trong không
gian metric từng phần.


8

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không
gian tôpô, cơ sở lân cận trong không gian tôpô, không gian metric, không
gian metric đầy đủ cùng với các ví dụ và phản ví dụ minh họa.
Cuối cùng chúng tôi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach.

1.1

Không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.1. [1] Cho X là một tập hợp khác rỗng, một họ τ các tập
con của X thỏa mãn:
1. ∅, X ∈ τ.
2. Nếu Gα ∈ τ, ∀α ∈ I thì

Gα ∈ τ .
α∈I

n

Gj ∈ τ.

3. Nếu Gj ∈ τ (1, n) thì
j=1

Khi đó (X, τ ) là một không gian tôpô. Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một
điểm, mỗi tập hợp G ∈ τ là một tập mở ( hay τ - mở).
Ví dụ 1.1.1. Cho X = ∅ là một tập hợp tùy ý.
Khi đó τ = {∅, X} là một tôpô trên X ( tôpô thô).


9

Thật vậy, hiển nhiên ∅ ∈ τ, X ∈ τ và ∅ ∪ X = X ∈ τ, ∅ ∩ X = X ∈ τ.
Ví dụ 1.1.2. Họ τ gồm tất cả các tập hợp con của X là một tôpô trên X
(tôpô rời rạc).

Thật vậy, do ∅ là tập con của mọi tập hợp, X là tập con của chính nó nên
ta có ∅ ∈ τ, X ∈ τ.
Nếu Gα ∈ τ với ∀α ∈ I thì

⊂ X nên
α∈I

α∈I

∈ τ.

Nếu G1 , G2 là các tập con tùy ý của X, tức là G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ⊂ X
nên
G1 ∩ G2 ∈ τ.

Định nghĩa 1.1.2. [1] Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô, A ⊂ X, x0 ∈ X.
A được gọi là lân cận của x0 nếu tồn tại tập mở G ∈ τ sao cho x0 ∈ G và
G ⊂ A.

Nhận xét 1.1.1. Nếu U(x) là tập hợp tất cả các lân cận của điểm x thuộc
không gian tôpô (X, τ ) thì U(x) có các tính chất sau:
1. x ∈ U với mọi U ∈ U(x).
2. Nếu U ∈ U(x) và V ∈ U(x) thì U ∩ V ∈ U(x).
3. Nếu U ∈ U(x) và U ⊂ V thì V ∈ U(x).
4. Nếu U ∈ U(x) thì tồn tại V ∈ U(x) sao cho U ∈ U(x), ∀y ∈ V (ta có
thể lấy V là phần trong của U ).
Ngược lại, giả sử X là một tập hợp tùy ý và với mỗi phần tử x ∈ X chỉ ra
được một tập hợp không rỗng U(x) các tập con của X . Khi đó các điều

10

kiện trên thỏa mãn thì ta có thể xác định một tôpô duy nhất trên X , bằng
cách xác định các tập mở sao cho với mỗi x thì U(x) là tập hợp tất cả các
lân cận của x. Tập A ⊂ X là mở nếu ∀x ∈ A đều tồn tại U ∈ U(x) sao
cho U ⊂ A.
Một tập con V(x) của U(x) các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân
cận của x nếu với mỗi U ∈ U(x) đều tồn tại V ∈ U(x) sao cho V ⊂ U.

Định nghĩa 1.1.3. [1] Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực
hoặc phức). Một tôpô trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số
của X nếu các phép toán cộng hai vectơ, nhân vô hướng với một vectơ
trong X là liên tục.
Nghĩa là:
a) Với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X và V là một lân cận tùy ý của x + y thì tồn
tại lân cận V1 của x, lân cận V2 của y sao cho V1 + V2 ⊂ V.
b) Với mỗi x ∈ X, α ∈ K và V là lân cận tùy ý của αx thì ∃ > 0 và lân
cận U của x sao cho ∀β ∈ K mà |β − α| < thì βU ⊂ V.

Ví dụ 1.1.3. R là không gian vectơ tôpô thực.

Chứng minh. Thật vậy R là không gian tuyến tính thực. Họ các khoảng
trên R là một tôpô trên R (tôpô tự nhiên).
Phép cộng các số thực, phép nhân các số thực là liên tục nên tôpô tự nhiên
tương thích với cấu trúc đại số trên R. Do đó R là không gian vectơ tôpô
thực (hay không gian tuyến tính tôpô thực).


11

1.2

Không gian metric

Định nghĩa 1.2.1. [1] Một tập hợp X = ∅, ánh xạ
d:X ×X →R

được gọi là metric, nếu
1. d(x, y) ≥ 0,

d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X .

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X .
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .
Khi đó cặp (X, d) được gọi là không gian metric. Số d(x, y) gọi là khoảng
cách giữa hai phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm của không
gian.

Nhận xét 1.2.1. Cho (X, d) là một không gian metric. Khi đó ta có:
n−1

1. d (x1 , xn ) ≤

d (xi , xi+1 ) , ∀xi ∈ X, i = 1, ...n, n ∈ N ∗ .

i=1

2. |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v), ∀x, y, u, v ∈ X .
3. |d(x, y) − d(y, u)| ≤ d(x, u), ∀x, y, u ∈ X .

Ví dụ 1.2.1. Với hai vectơ bất kỳ x = (x1 , x2 , ....., xk ), y = (y1 , y2 , ...., yk ),
thuộc không gian vectơ thực k chiều Rk (k là số nguyên dương nào đó).
Ta đặt:
k

(xi − yi )2 .

d (x, y) =
i=1

(1.1)


12

Ta có d(x, y) là một metric trên Rk .
Metric (1.1) gọi là metric Eukleides, không gian metric tương ứng gọi là
không gian Eukleides.

Ví dụ 1.2.2. Ta kí hiệu C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số với giá trị thực,
xác định và liên tục trên đoạn [a, b] , (−∞ < a < b < +∞) . Với hai hàm
số bất kỳ x = x (t) , y = y (t) ∈ C[a,b] ta đặt:
d (x, y) = max |x (t) − y (t)| .
a≤t≤b

Khi đó C[a,b] , d là một không gian metric.

Ví dụ 1.2.3. Cho tập hợp X = ∅. Với hai phần tử bất kì x, y ∈ X , ta đặt:
d (x, y) =

1
0

nếu x = y
nếu x = y.

Khi đó (X, d) là một không gian metric.

Nhận xét 1.2.2. Trên cùng một tập hợp ta có thể xác định các metric khác
nhau để được các không gian metric khác nhau. Chẳng hạn trên cùng tập
hợp Rk , ngoài metric Eukleides, ta có thể xác định các metric sau đây:
Với hai phần tử bất kỳ x = (x1 , x2 , ...., xk ) , y = (y1 , y2 , ...., yk ) thuộc Rk ,
ta đặt:
k

|xi − yi |, d2 (x, y) = max |xi − yi | .

d1 (x, y) =
i=1

1≤i≤k


13

Nhận xét 1.2.3. Trong không gian metric (X, d), một hình cầu mở có tâm
tại điểm x ∈ X , bán kính > 0 là
Bd (x, ) = {y ∈ X : d(x, y) < } .

Metric d sinh ra một tôpô τ (d) trên X mà có cơ sở lân cận gồm một họ

các hình cầu mở {Bd (x, ) : x ∈ X}.
Ta gọi τ (d) là tôpô sinh bởi metric d hay ngắn gọn là tôpô metric.

Định nghĩa 1.2.2. [1] Cho (X, d) là một không gian metric, dãy {xn } gồm
các phần tử trong X . Dãy {xn } được gọi là hội tụ tới một điểm x0 ∈ X
nếu
lim d (xn , x0 ) = 0.

n→∞

Tức là ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 thì d(xn , x0 ) < ε.
Phần tử x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn }.
Kí hiệu lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞ .
n→∞

Định nghĩa 1.2.3. [1] Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn } ⊂ X được
gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu
lim d (xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Tức là
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0 : d (xn , xm ) < ε.


14

Nhận xét 1.2.4. Cho (X, d) là một không gian metric. Mọi dãy hội tụ trong
X đều là dãy Cauchy.

Thật vậy, giả sử (X, d) là một không gian metric, dãy {xn } ⊂ X là dãy
hội tụ, tức là lim xn = x0 . Ta chứng minh {xn } là dãy Cauchy.
n→∞

Vì lim xn = x0 nên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
n→∞

ε
d(xn , x0 ) < , ∀n ≥ n0 .
2
ε
d(xm , x0 ) < , ∀m ≥ n0 .
2

Do đó ta có:
d(xn , xm ) ≤ d(xn , x0 ) + d(x0 , xm )
< ε,

∀n, m ≤ n0 .

Hay
lim d(xn , xm ) = 0.

n→∞

Vậy {xn } là dãy Cauchy.
Định nghĩa 1.2.4. [1] Không gian metric (X, d) gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X .

Ví dụ 1.2.4. Tập hợp tất cả các hàm số thực xác định và liên tục trên [a, b],

kí hiệu C[a,b] , với metric
d(x, y) = max |x (t) − y(t)|
a≤t≤b

là không gian metric đầy đủ.


15

Chứng minh. Thật vậy, giả sử {xn (t)} là một dãy Cauchy tùy ý trong
không gian C[a,b] .
Theo định nghĩa dãy Cauchy ta có:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0

thì
d(xn , xm ) = max |xn (t) − xm (t)| < ε.
a≤t≤b

(1.2)

Với mỗi t cố định, dãy {xn (t)} là dãy số thực Cauchy, nên nó hội tụ tức là
phải tồn tại giới hạn lim xn (t).
n→∞

Giả sử
lim xn (t) = x(t), t ∈ [a, b].

n→∞

Vậy hàm số x(t) xác định trên [a, b].

Vì các bất đẳng thức (1.2) không phụ thuộc t nên cho qua giới hạn khi
m → ∞, ta được:
|xn (t) − x (t)| < ε, ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b].

(1.3)

Các bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ dãy {xn (t)} hội tụ đều đến hàm số x(t)
trên [a, b] nên x(t) ∈ C[a,b] .
Do đó dãy Cauchy {xn (t)} hội tụ đến x(t) trong không gian C[a,b] .
Vậy không gian C[a,b] là không gian metric đầy đủ.

L là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên đoạn [0, 1].
Ví dụ 1.2.5. Cho C[0,1]
L là không gian metric không đầy đủ với metric được xác định
Khi đó C[0,1]


16

như sau

1

|x (t) − y (t)|dt,

d(x, y) =

(1.4)

0

L .
trong đó x = x(t), y = y(t); x, y ∈ C[0,1]

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh ánh xạ d được xác định bởi (1.4) là
một metric.
1. Ta có
L
|x(t) − y(t)| ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0,1]
, ∀t ∈ [0, 1].

Suy ra
1
L
|x (t) − y (t)|dt ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0,1]
.
0

Hay
L
d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0,1]
.

Nếu d(x, y) = 0 thì ta có
1

|x (t) − y (t)|dt = 0.
0

Tức là
|x (t) − y (t)| = 0, ∀t ∈ [0, 1].

Vậy ta có x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, 1], hay x = y .

2. Ta có
L
|x(t) − y(t)| = |y(t) − x(t)|, ∀x, y ∈ C[0,1]
, ∀t ∈ [0, 1].


17

Suy ra
1

1
L
|y (t) − x (t)|dt, ∀x, y ∈ C[0,1]
.

|x (t) − y (t)|dt =
0

0

Hay
L
d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C[0,1]
.
L ta có
3. Với mọi x, y, z ∈ C[0,1]

|x (t) − y (t)| = |x (t) − z (t) + z (t) − y (t)|
≤ |x (t) − z (t)| + |z (t) − y (t)|, ∀t ∈ [0, 1].

Suy ra
1

1

|x (t) − y (t)|dt ≤
0

1

|x (t) − z (t)|dt +
0

|z (t) − y (t)|dt.
0

Hay
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
L . Do đó C L là một không gian metric.
Vậy d là một metric trên C[0,1]
[0,1]
L là không gian metric không đầy đủ.
Ta chứng minh C[0,1]
L như sau
Thật vậy, với n ≥ 3 xét dãy hàm {xn } ⊂ C[0,1]


1


1,
0
≤
t
≤


2

n
1
1 1
xn (t) =
−nt + + 1,
≤t≤ +

2
2
2 n


1 1

 0,
+ ≤t≤1
2 n

Khi đó, với mọi số tự nhiên m, n ≥ 3 ta có
1

|xm (t) − xn (t)|dt.

d(xm , xn ) =
0


18

Nếu m ≥ n thì
1
1
+m
2

1
2

|xm (t) − xn (t)|dt +

d (xm , xn ) =
0

|xm (t) − xn (t)|dt
1
2

1

+ n1
2

1

|xm (t) − xn (t)|dt +

+
1
1
+m
2

1
+ n1
2
1
+ n1
2

1
1
+m
2

|m − n| t −

=

1

dt +
2

1
2

Với t ∈

|xm (t) − xn (t)|dt

nt −

n
− 1 dt.
2

1
1
+m
2

1 1
1
, +
ta có
2 2 m
t−

1
≥ 0.

2

Suy ra
1
1
|t − | = t − .
2
2

Với t ∈

1
1 1 1
+ , +
ta có
2 m 2 n
nt −

n
− 1 ≤ 0.
2

Suy ra
|nt −

n
n
− 1| = −nt + + 1.
2
2

Do đó
1
1
+m
2

1
+ n1
2

(m − n) t −

d (xm , xn ) =
1
2

1
= (m − n) t2 − t
2

1
2

−nt +

dt +

n
+ 1 dt

2

1
1
+m
2

1
2
1
2

+

1
m

n
n
+ − t2 +
+1 t
2
2

1
2

+

1

n

1
2

+

1
m


19

1 1
1
−
.
2 n m
Nếu m ≤ n thì bằng cách làm tương tự ta được:
=

d (xm , xn ) =

1
1
−
m n

1
2

.

Do đó
d (xm , xn ) =

1 1
1
− , ∀m, n ≥ 3.
2 m n

Suy ra
lim d (xm , xn ) =

m,n→∞

lim

m,n→∞

1
2

1
1
−
m n

= 0.

L .
Vì vậy {xn } là dãy Cauchy trong C[0,1]

Tuy nhiên dãy này không có giới hạn trên [0, 1].
L sao cho:
Thật vậy, giả sử có x0 ∈ C[0,1]

lim xn = x0 .

n→∞

Hay
1



|x (t) − x0 (t)|dt = 0.

lim d (xn , x0 ) = lim 

n→∞



n→∞

0

Mặt khác ta có
1

|xn (t) − x0 (t)|dt

d (xn , x0 ) =
0
1
2

1
+ n1
2

|1 − x0 (t)|dt +

=
0

1

n
−nt + + 1 − x0 (t) dt +
2
1
2

1
+ n1
2

Ta suy ra

x0 (t) =

|x0 (t)|dt.


 1,
 0,

1
0≤t≤
2
1
≤t≤1
2


20

Ta thấy
lim − xn = 1,

(1.5)

lim + xn = 0.

(1.6)

t→( 12 )

t→( 21 )

1
L .
Chứng tỏ x0 (t) không liên tục tại t = . Do đó x0 (t) ∈
/ C[0,1]
2
L
Vậy C[0,1] là không gian metric không đầy đủ.

1.3

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định nghĩa 1.3.1. [1] Cho không gian metric (X, d), ánh xạ T : X → X
được gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho:
d (T x, T y) ≤ kd (x, y) , ∀x, y ∈ X.

Định lý 1.3.1. [1] Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T là một
ánh xạ co trong X .
Khi đó, tồn tại duy nhất x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗ .
Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X , ta đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 , ...
Khi đó ta có dãy lặp xn+1 = T xn , với n = 0, 1, 2, ...
Theo định nghĩa ánh xạ co, ta có: d (x1 , x2 ) = d (T x0 , T x1 ) ≤ kd (x0 , x1 ) .
d (x2 , x3 ) = d (T x1 , T x2 ) ≤ kd (x1 , x2 ) ≤ k 2 d (x0 , x1 ) .
.........
d (xn−1 , xn ) = d (T xn−2 , T xn−1 )
≤ kd xn−2 , xn−1 ≤ ..... ≤ k n−1 d (x0 , x1 ) .


21

d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ kd xn−1 , xn ≤ k n d (x0 , x1 ) .

Từ đó suy ra: d (xn , xn+1 ) ≤ k n d (x0 , x1 ) .
Lấy m ≥ n, ta có:
d (xn , xm ) ≤ d (xn , xn+1 ) + . . . + d (xm−1 , xm )
≤ k n + k n−1 + . . . + k m−1 d (x0 , x1 )
≤ k n 1 + k + . . . + k m−n−1 d (x0 , x1 )
kn
d (x0 , x1 ) .
≤
1−k

Vì k ∈ [0, 1) nên:
lim k n = 0.

n→∞

Do đó, ta có:
lim d(xm , xn ) = 0.

n→∞

Vậy dãy {xn } là dãy Cauchy. Do X là không gian metric đầy đủ nên ta có:
lim xn = x∗ ∈ X.

n→∞

Với mỗi n ta có:
0 ≤ d (x∗ , T x∗ ) ≤ d (x∗ , xn ) + d (xn , T x∗ )

= d (x∗ , xn ) + d (T xn−1 , T x∗ )
≤ d (x∗ , xn ) + kd (xn−1 , xn ) .

Cho n → ∞ ta được d (x∗ , T x∗ ) = 0 tức là x∗ = T x∗ . Vậy x∗ là điểm bất
động của ánh xạ T trên X .
Bây giờ, ta chứng minh điểm bất động là duy nhất.


22

Giả sử nếu còn có y ∗ ∈ X mà T y ∗ = y ∗ ta có:
d (x∗ , y ∗ ) = d (T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd (x∗ , y ∗ ) .

Vì k < 1 nên d (x∗ , y ∗ ) = 0, do đó x∗ = y ∗ .
Vậy điểm bất động của ánh xạ T là duy nhất.

Ví dụ 1.3.1. Chứng minh phương trình:
x + a sin x = π , a là tham số thỏa mãn 0 < a < 1

có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Đặt y = T x = π − a sin x. Ta có ánh xạ T : R → R.
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sint < t với ∀t > 0.
Xét hàm số f (t) = sin t − t
Ta có:
f (t) = cos t − 1 ≤ 0, ∀t

Do đó f (t) là hàm nghịch biến nên ta có:
Với mọi t > 0 thì f (t) < f (0) = 0.
Hay sin(t) − t < 0, ∀t > 0.
Vậy ta có sin(t) < t, ∀t > 0.

Giả sử x1 , x2 ∈ R, x1 > x2 ta có:
sin

x1 − x2
x1 − x2
<
.
2
2

Hay:
sin

x1 − x2
x1 − x2
<
.
2
2