Giáo trình toán ứng dụng trong tin học

TRƢỜNG CÔNG NGHỆ BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH

GIÁO TRÌNH

TOÁN ỨNG DỤNG

Giáo viên: NGUYỄN CÔNG NHỰT
Email:
2015


PHỤ LỤC
Nội dung

Trang

Chƣơng 1 TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ ...................................................................... …………….1
1 Tập hợp ............................................................................................................................................1
2. Suy luận toán học .......................................................................................................................7

Chƣơng 2 TÍNH TOÁN VÀ XÁC SUẤT ........................................................... …………….11
1 Tính xác suất theo công thức cổ điển ................................................................................11
2. Xác suất có điều kiện..............................................................................................................13
3. Công thức cộng và nhân xác suất ......................................................................................13
4. Công thức xác suất toàn phần .............................................................................................13

Chƣơng 3 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ............................................................................24

Chƣơng 4 PHƢƠNG PHÁP TÍNH ........................................................................................33
1 Khái niệm số xấp xỉ và sai số ...............................................................................................33
2 Giải gần đúng các phƣơng trình ..........................................................................................34

3 Nội suy và phƣơng pháp bình phƣơng bé nhất .............................................................39
4 Tính gần đúng tích phân xác định ......................................................................................55
5 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính

.........................................................................................59


1


2


3


4


5


6


7


8

9


10


II
§
h i ni
c
t:
nh gi h n ng u t hi n c a i n c
hi u là ( ) g i là c u t c a i n c
ac :
0  P A  1 .

ng

i ta g n cho

h ng âm

ông th c c
t c iển
i n
ồng h n ng: là c c i n c c h n ng y ra nh nhau trong
ph p th
1:
thi trong

h ch n ng u nhiên
trong
i
nc
c p ng h n ng là
c ch ch n ng u nhiên
trong
thi ta
2
cC  435 là
i nc
c p ng h n ng
30
: ung con c c mặt u c h n ng u t hi n nh nhau ta c
i nc
c p ng h n ng là
2 C ng th
á
t
i n
m
P  A  a
n
rong
ma là
i n c thu n l i cho i n c
n: là
i nc
c p ng h n ng
th

trong
a) h
) h
c) h

2:
inh i
câu
inh tr
inh tr
inh tr

thi ch
nh
l i
l i
l i

thu c
trong
c u t:
c c câu
c ng câu
c t nh t câu

câu

c

ng

thi

c cho

ng c ch

11


§
h i ni
3:

:

h pc
iên i trong
c
iên c
h nh tr n
iên c h nh tam gi c
i a c h nh tr n a c h nh tam gi c
y ng u nhiên t
nh iên i
i là i n c l y
c i c h nh tr n
i là i n c l y
c i c h nh tam gi c
i là i n c l y

c i c h nh tr n à h nh tam gi c






P
A
,
P
B
,
P
C
a) nh
) ây gi ta t ài to n: y ng u nhiên t
nh
i t nh c u t
il y
c
c h nh tr n ới i u i n n c h nh tam gi c

:

a ) P  A 
i nc

14
16

, PB  
24
24
l y

c i c h nh tr n à tam gi c:

 P A.B  

6
24

) ây gi ới i u i n i
c h nh tam gi c t c là ph m i t ây gi
c h nh tam gi c rong
i c h nh tam gi c
ta uan tâm n nh ng
tr n t c là
i a c h nh tr n à h nh tam gi c a
hi u c u t c a
ới i u i n i n c
y ra là
rong ài to n này c u t c a
c h nh tr n ới i u i n i c h nh tam g ac là:
6
P A.B  24 6
P A.B 
6

 P A 

PA 
mặt h c l p t
B
B 16
PB  16 16
PB 
24

 

ch
i
i c h nh
i nc
i nc i

 

13


2 C ng th
á
t
i
i n
là i n c liên uan ới nhau c u t c a i n c
ới i u i n
P A.B 
PA 

B
PB 
4:
lớp c
h c inh trong
h c inh mặc o c màu anh
h c inh mặc
o c c anh l n tr ng h n ng u nhiên h c inh nh c u t h c inh
o c màu tr ng ới i u i n o em
c màu anh
GI

 

40

10
60

i
i

là i n c h c inh
c ch n mặc o tr ng
là i n c h c inh
c ch n mặc o anh
là i n c h c inh
c ch n mặc o tr ng l n anh
c u t h c inh
o c màu tr ng ới i u i n o em

10
P A.B  60
PA 

 0.25  25%
B
40
P B 
60

 

14

c màu anh:


§
i nc
c lập:
g i là
i nc
i c
B.

y ra i n c

 B  P A, PB A  PB

c l p n u: P A

h ng nh h

ng

n i c

y ra hay h ng

i c ch h c
y ra c a i n c

nh ch t:
u
là
i nc
c l p th A, B , A, B , A, B  c
i nc
cl p
:

i
lần l t là c c i n c n m tr ng r c a ng i ch i
ng a c
là c c i n c
cl p
h n ng ch i ng c
là c l p
 ung m t ng u n lần
t u c a m i lần tung là c c i n c

ông th c nh n:
1) P A.B   P A.P B  PB .P A
A
B
2) P A.B.C   P A.P B P C
A
AB
A
A
 P An

3) P A1. A2  An   P A1 .P 2  P 3



A
A
A
A
A

A

1 
1 2
1 2
n 1 


ng là nh ng

ng r t ng
a m i ng i
cl p

 
 
  

 A1, A2 ,, An 
)
u
là
c c
i n
c
c
l p
th
P A1. A2  An   P A1 P A2 P An 
) u
là i n c ung h c th A.B    P A.B  P  0
5:
l hàng c
n ph m trong
c
ph ph m
y ng u nhiên lần l t lần
m i lần
n ph m à h ng hoàn l i nh c u t

c ph ph m
:
i
lần l t là c c i n c l y
c ph ph m lần th
à th
t
u ph p th
c ph ph m th c
i nc
ph i ng th i y ra
c là
là i n c l y
c ph ph m
3 2
P A.B   P A.P B  .  0.0158  1.58%
A 20 19
6:
h p i h p c
i ( trong
c
i ) h p c
i ( trong
c
i
)
y ng u nhiên m i h p i nh c u t
c i
:
i

lần l t là c c i n c
y
c i
h p
àh p
c ch p
là riêng l nên c c i n c
là c l p
ac
là i n c l y
c i

 

15


P A.B   P A.PB  

3 4
  0.08  8%
10 15

ông th c c ng
1) P A  B   P A  PB   P A.B 
2) P A  B  C   P A  PB   PC   P A.B   P A.C   PB.C   P A.B.C 
) u
là i n c
c l p th :
P A  B  P A  PB   P A.PB 

2) u
là i n c ung h c th :
7:
ây chuy n n u t g m c ng o n c l p
c u t
m i c ng o n
ng ng ho t ng trong th i gian t lần l t là
à
i t r ng ây chuy n
ng ng ho t ng n u c t nh t c ng o n ng ng ho t ng nh c u t
ây chuy n ng ng ho t ng trong th i gian t

:
i
lần l t là c c i n c
ng o n
à ng ng ho t ng trong th i
gian t
ac
là c c i n c
cl p
hi
là i n c
t nh t trong c ng o n ng ng ho t ng hay i n
c
ây chuy n ng ng ho t ng trong th i gian t
P A  B  P A  PB  P A.PB  0.01  0.02  0.01  0.02  0.0298  2.98%
8:
h p i h p c
i ( trong

c
)
y ng u nhiên m i h p i nh

i ) h p c
c u t
c i

i ( trong

c

i

:
i
lần l t là c c i n c
y
c i
h p
àh p
c ch p
là riêng l nên c c i n c
là c l p
ac
là i n c l y
c i
hay là i n c
y
c t nh t i

3 4 3 4
P A  B   P A  PB   P A.PB       0.487  48.7%
10 15 10 15
:9
3 người ch i ng r
c u t n m tr ng r c a m i ng i l n l t là:
nh c u t :
a) h ng c ai n m tr ng r
b)
t nh t ng i n m tr ng r
c)
ng ng i n m tr ng r
d)
h ng nhi u h n ng i n m tr ng r
10:
Ba inh iên tham gia
thi à h n ng làm
c ài thi c a m i ng i lần l t
là:
a) nh c u t
trong inh iên làm
c ài thi
) a ch c
trong inh iên làm
c ài thi nh c u t
inh iên
h ng làm
c ài thi

11:
c a hàng c
ng n trong
ng au
h ch hàng mua
a) rong
ng c
ng h ng
) t nh t
ng h ng

c
ng

ng h ng ầu tiên h ch hàng mua
nh c u t

12:
a inh iên m i ng i c
uy n ch gi ng nhau
thành ch ng chung
u
m i inh iên l y ng u nhiên
uy n ch t ch ng ch
th
c u t
c t
nh t inh iên l y ng uy n ch c a m nh là ao nhiêu

18

§
ông th c:
a ta c h
a i t

c:

i nc

P Ai , P B 
 Ai 

là
i n c nào
Ai ; i  1, n



ầy

t ng t



à ung h c t ng





i Ai ; i  1, n

i  1, n
y ra trong ph p th

à c liên uan

n h

n

a c PB    P Ai P B  ( c ng th c c u t toàn phần)
 Ai 
i 1
2 C ng th
i
i nc
y ra ta cần t nh c u t Ai nào
ới i u i n
ra:
P Ai P B 
A
 Ai 
P i  
i  1, n
 B
PB 
M t h nh h

y

A1
A4

B

A2

A3
a c h i n c ầy
à ung h c A1, A2 , A3 , A4 
là
i n c nào
t
ng t y ra c liên uan n h i n c trên
 b)
a) PB   P A1 P B   P A2 P B   P A3 P B   P A4 P B

A
A
A
A
 1

 14 
2
3


P Ai P B 
A
 Ai 
P i  
i  1,4
 B
PB 

20


13:
nhà m y n u t ng
ng n phân
ng
phân
ng
n u t
phân
ng là

n g m phân
ng phân
ng
n u t
t ng
n u t
t ng
ng n
t ng

ng n
l ph ph m t ng ng c a c c
nh t l ph ph m chung c a toàn nhà m y.

14:
h p i:

p :
anh
àng
p :
anh
àng
p :
anh
àng
a) h n ng u nhiên h p à t h p
l y ng u nhiên
i nh c u t
il y
ra là i anh
u i l y ra h ng là i anh nh c u t
i
cl yt
h p
) h n ng u nhiên h p à t h p
l y ng u nhiên
i nh c u t
i
l y ra c

màu h c nhau à trong tr ng h p
t nh c u t
i
cl yt
h p th .

21


:
:
)
l i
a)
)
c)

c

tc

iển-

c

thi c
h
h n
nh c u t
thi u h

ng
thi h
nhi u nh t
thi h

t có i

i n

trong

làm

thi ch nh th c à

) ớp h c c a inh iên c
inh iên ( trong
c
rong t th c t p p tới lớp chia làm
nh m m i nh m
u t :
a)
c ng nh m ới
1.
)
c ng nh m ới ch trong
S1, S 2 , S3 .
c)
à t nh t trong
S1, S 2 , S3 c ng nh m

) rong h p c
ng n trong
c
à hoàn l i
ng
ng m c u t
a)
ng u h ng
)
ng u h ng
c)
t nh t
ng h ng
) h c
ng th
h ng

22

ng h ng
:

thi

gi i S1, S 2 , S3 )
inh iên nh c

y ng u nhiên c th t

ông th c c ng nh n

c

t t n ph n:

) thi t c lo i linh i n
o i : hi m
t ng c c linh i
o i : hi m
t ng c c linh i
o i : hi m
t ng c c linh i
ho i t c u t h ng ( t i th i i m
15%, 25%, 5%.
y hi n h ng
nh em lo i linh
) rong
ng c
m y làm i c
m y m y lần l t là
i c
a)
m y cần a ch a
)
t nh t m y cần a ch a
c)
ng m y cần a ch a
)
nhi u nh t m y cần a ch a

n
n
n
ang

i n nào c
rong ca
nh

)
lo i h p
o i c h pm ih pc
n ph m t t
o i c h pm ih pc
n ph m t t
o i c h pm ih pc
n ph m t t
a) y ng u nhiên h p à t h p
l y ra
ph m t t
) a
l y
c n ph m t t nh c
lo i
)

t) c a linh i n lo i

ph ph

ph ph
ph ph
n ph
u t

lần l

t là:

c u t h ng lớn nh t
c u t cần a ch a c a m y
c u t ao cho trong ca làm

m
m
m
m

nh

n ph m

c u t

c

n

cl yt h p

h p ph n

p c
iên t t à iên u
p c
iên t t à iên u
p c
iên t t à
iên u
y ng u nhiên h p à t h p l y ra iên nh c u t anh
a) iên ph n l y ra là iên ph n t t
) a
iên l y ra là ph n t t nh c u t
iên
c l y t h p th
)

c n ph m c a phân
ng c a nhà m y
c ng thành h p
ih pc
n ph m
l
n ph m lo i c a phân
ng
lần l t là:
t nhân iên l y m u mang
h p c a phân
ng
h p c a phân

ng
h p c a phân
ng
t nhân iên h c ch n ng u nhiên h p à
t h p l y ng u nhiên
n ph m
a) m c u t
n ph m l y ra là lo i
) u n ph m l y ra là lo i
nh c u t
n ph m
o phân
ng
n u t

23


Chƣơng 3

MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Chương này được dành để trình bày các khái niệm, các dạng ma trận cơ bản, cũng như các
phép toán và những tính chất cơ bản thường gặp về ma trận. Các khái niệm, tính chất, cách tính về
định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận cũng được đưa ra.
3.1. Ma trận
3.1.1. Các định nghĩa
1. Ma trận cỡ m×n: là một bảng gồm m ×n số được sắp xếp thành m hàng và n cột dưới dạng sau:

 a11 a12 ... a1n 



a21 a22 ... a2 n 

A
 (aij )mn
:



 am1 am 2 ... amn 
với i là chỉ số hàng, j là chỉ số cột; aij là phần tử ở hàng i và cột j.
2. Ma trận cấp n: là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau (m = n).

 a11 a12 ... a1n 


a21 a22 ... a2 n 

A
 (aij ) nn
:



 an1 an 2 ... ann 
Các phần tử aii , i  1, n nằm trên đường chéo chính của A.
Các phần tử aij , i  j  n  1 nằm trên đường chéo phụ của A.
3. Ma trận hàng: là ma trận chỉ có một hàng
Ví dụ:

A = ( 2 4 6 7 8 9 )1x6
4. Ma trận cột: là ma trận chỉ có 1 cột.
Ví dụ

1 
 
0
A 
3
 
 4 41
3.1.2. Các dạng đặc biệt của ma trận.
1. Ma trận không: là ma trận mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0.

24


Ví dụ

0 0 0 
0 0 0 


0 0 0  33
2. Ma trận chéo: là ma trận vuông có các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0.
Ví dụ

1 0 0 
 0 3 0  , ma trận không cấp n là ma trận chéo đặc biệt.



 0 0  2  33
3. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo mà tất cảcác phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1.
Ví dụ

1 0 
 0 1 ,

 22

1 0 0 
0 1 0 


 0 0 1 33

4. Ma trận tam giác trên (dưới): là tam giác có aij  0, i  ( j )
Ví dụ

1 3 5 
0 2 4  ,


 0 0 4  33

5
6

3


8

0 0 0
0 0 0 
9 4 0

0 5 3  44

5. Ma trận chuyển vị của ma trận A: ký hiệu là AT, là ma trận suy từ A bằng cách chuyển các hàng
thành các cột tương ứng.

1 0 
1 3 5 


T
 0 2 4   A  3 2 

 23
5 4  32
6. Ma trận bậc thang: là ma trận thỏa mãn 2 điều sau:
*Các hàng không (có các phần tử đều bằng 0) nằm phía duới các hàng khác không (có ít nhất 1
phần tử khác 0).
*Phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới nằm bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên của hàng
trên.
Ví dụ

25

2 4 6 3
A  0 3 0 1 
0 0 0 2  34
Chú ý
*Ma trận chéo là ma trận bậc thang.
*Hai ma trận cùng cỡ hay cùng cấp được gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương ứng đều bằng
nhau.

A  (aij ) mn , B  (bij ) mn
A  B  aij  bij , i, j
3.1.3. Các phép tính trên ma trận
1. Cộng hai ma trận
a. Định nghĩa
Cho 2 ma trận A = (aij)mxn, B = (bij)mxn.
Tổng (hiệu) của A và B là một ma trận, ký hiệu A±B, có mỗi số hạng bằng tổng (hiệu) của 2 số
hạng tương ứng của 2 ma trận thành phần.
A ± B =[aij ± bij]mxn
b. Tính chất
*A+ B = B+A ( Tính giao hoán)
*(A+ B) + C = A +(B+C) (Tính kết hợp)
* ∃O: A+O = O+A =A ∀A ( O : Ma trận không)
* ∀A, ∃ -A: A +(-A) = (-A) + A = O (- A: Ma trận đối của A)
2. Nhân 1 sốvới 1 ma trận
a. Định nghĩa
Cho ma trận A = (aij)mxn và 1 số k. Tích của số k và ma trận A là một ma trận, ký hiệu K A, có mỗi
số hạng bằng tích của số k với số hạng tương ứng của ma trận A.
kA = [kaij]mxn
b. Tính chất
*(-1)A = -A, ∀A
*k(A + B) = kA + kB; ∀k, ∀A, B

*(k + h )A = kA + hA; ∀k, h, ∀A

26