Tài liệu Chuyên đề số phức

Tài liệu toán 12

năm học 2018

S PHC
A.TểM TT GIO KHOA.
1. nh ngha s phc.
Xột
Hai phn t

v

bng nhau

.

:
Phộp cng :
Phộp nhõn:
nh ngha. Tp

, cựng vi phộp cng v phộp nhõn trờn gi l tp s phc

. Phn t

gi l

mt s phc.

2. Tớnh cht phộp cng.
Giao hoỏn:

Kt hp:
Tn ti phn t khụng:
Mi s cú s i:
Phộp tr:

3. Tớnh cht phộp nhõn.
Giao hoỏn:
Kt hp:
Tn ti phn t n v:
Mi s khỏc
Gi s

cú s nghch o :
, tỡm

. Ta cú:

. Gii h cho

ta

Vy,

Phộp chia:

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

vi

- 0946798489

Page | 1


Tài liệu toán 12

năm học 2018

4. nh lý.

S phc bt kỡ
H thc

c biu din duy nht dng

,

, trong ú

, c suy t nh ngha phộp nhõn:

Biu din

gi l dng i s ca s phc
: phn thc ca

Tng

s phc:

Hiu

s phc:

Tớch

s phc:

,

.
. Do ú:

: phn o ca

.

. n v o l .
.
.
.

5. Ly tha n v o
:
,

,

,

, bng quy np ta c:

,

,

,

,

Do ú:

6. S phc liờn hp:
Cho

, s phc

gi l s phc liờn hp ca

. Tht vy,

( pcm ).

. Tht vy,

( pcm ).

l s thc khụng õm.
Tht vy,

( pcm ).
Tht vy,
( pcm ).
Tht vy,
( pcm ).
Tht vy,

tc l

Tht vy,

( pcm ).

( pcm ).

,
Tht vy,
Do ú

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

,
,

( pcm ).

- 0946798489

Page | 2

Tài liệu toán 12

năm học 2018

8. Mụun ca s phc
S

gi l mụun ca s phc

9. Biu din hỡnh hc ca s phc
Mi s phc

c biu din mt im

hoc

hay vộc t

trờn mt phng phc.Ta vit:

.

10. Tớnh cht
i. Gi

. Khi ú:

ii. Gi

ln lt l biu din ca hai s phc

iii. Cho
Khi ú:

i xng vi

qua

;

. Khi ú:

i xng vi
l biu din ca

qua

.

.

.
l biu din ca

v

.

B.PHNG PHP GII TON.

Dng 1. Cỏc phộp tớnh v s phc v cỏc bi toỏn nh tớnh.
Phng phỏp:
Dng 1: Cỏc phộp tớnh v s phc.
S dng cỏc cụng thc cng, tr, nhõn, chia v ly tha s phc.
Dng 2: S phc v thuc tớnh ca nú.
Tỡm phn thc v phn o:
, suy ra phn thc , phn o
Biu din hỡnh hc ca s phc:

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ d 1 Xỏc nh phn thc v phn o ca cỏc s phc :
1. z i 2 i 3 i

2. z

3 4i
4i

2

3. 1 i 1 i z 8 i 1 2i z
Vớ d 2
1. Tỡm mụun ca s phc z, bit rng: 1 2i z 3 8i
2. Tỡm cỏc s thc b, c phng trỡnh z 2 bz c 0 nhn s phc z 1 i lm 1 nghim.
3
2

Vớ d 3. Tỡm s phc z tha món: 2 z z . z3 z 1 4i z 2 zz z




Vớ d 4.



1. Tỡm phn o ca s phc z , bit : z







2 i

1 2i .



2

3

1 i 3
2. Tỡm phn thc v phn o ca s phc z
.

1 i


Vớ d 5.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 3


Tài liệu toán 12

năm học 2018



2. Tỡm phn thc ca s phc z , bit

2


z 1 i z 1 2i

1. Tỡm phn o ca s phc z , bit z 3z 1 2i

2

Vớ d 6. Tỡm s phc z tha món:
9

z 2i
1. z 3i 1 iz v z l s thun o. 2. z z 2 2i v
l s o.
z
z2
z 1
z 3i
1 v
1
Vớ d 7. Tỡm s phc z tha món:
zi
zi
Vớ d 8.1.7 Cho s phc z x yi; x, y tha món z 3 18 26i . Tớnh T z 2

2012

4 z

2012

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn

Bi 1.
1. Cho 2 s phc z1 , z 2 tha món z1 z 2 1 , z1 z 2 3 . Tớnh z1 z 2
2. Tỡm cỏc s thc x, y sao cho :
a. z z' , bit rng: z 2x 3 3y 1 i , z' 2y 1 3x 7 i .
b.
c.

x 2y 4 i 3 3x y x 2i 47 20i .

x yi



3 yi

d.

3 xyi

1 2i

3

1
3

i.
2 2

v

x y 2i

1 2i 3

l ( phc ) liờn hp.

3. Cho z cos180 cos 720 i . Tớnh z .
4. Xỏc nh phn thc v phn o ca cỏc s phc :

33

10
1 i
1
z
1 i 2 3i 2 3i
i
1i
5. Thc hin cỏc phộp tớnh :
9

10

A 1 i 1 i

8
1 1 i
B 1 i i13
13 1 i

i


M i5 i6 i7 ... i18

2

21

3

N 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i

2010

6. Xỏc nh phn thc v phn o ca cỏc s phc :
a. z 2 3i 3 2i
b. z

2

c. z 1 i 1 i

1 2i
3 2i

2

3
2 i 1 i

d. 4) z

4 3i

2

7. Cho z 2x 3x 1 x 1 y 3 i vi x, y l cỏc s thc
Tỡm x, y sao cho:

a. z l s thc.

c. z 6 5i

b. z l thun o v z 4

8. Thc hin cỏc phộp tớnh :
3
3
2 i 2 i

A
2 i 3 2 i 3

1 3 3i
B

2 3i



C i i 2 ... i 2009

D 1 i 1 i ... 1 i

2

2009

3

2010

9. Cho s phc z (1 2x)(1 x) (2 x)(2y 1)i
Trong ú x, y l cỏc s thc. Tỡm x, y sao cho
a. z l s thc

b. z l s thun o v z 1

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

c. z 20 15i .
Page | 4


Tài liệu toán 12

năm học 2018

10. Tỡm phn thc v phn o ca cỏc s phc sau:
a. z
c. z

(1 2i)2
3i
(3 i)(1 2i)

b. z (2 i)3 (3 2i)3

d. z (1 3i)(2 i)2

2

(3 2i)
11. Tỡm modun ca s phc z bit:
a. (1 2z)(3 4i) 29 22i

b.

z

(1 2i)(2 i)
(2 3i)2
Bi 2
1. Tỡm phn thc v phn o ca s phc :
c.

1 i 2 2 i z 8 i 1 2i z

4 2i
1 3i

3 2i (2 3i)2

z 2i
3 2i

d. (2 i)(3z 1) (z 2)(4 5i) .

thi Cao ng nm 2009.

2. Chng minh nu z1 z 2 1 , z1 z2 1 thỡ

z1 z2
l s thc.
1 z1z2

3. Tỡm s phc z tha món z 2 i 1 . Bit phn o nh hn phn thc 2 n v.


5. Tỡm s phc z tha món z.z 3 z z 5 6i .

4. Tỡm s phc z tha món z 1 z 2i l s thc v z 1 5 .

6. Tớnh z bit:
a. 3i 1 z 2i 1

2

b.

z1
2i 3
z2

c.

z 1 3i 2

3z 2
i 1

7. Tỡm s phc z bit :
b. 3z 2(z)2 0

a. 4z (3i 1)z 25 21i

Bi 3 Xột cỏc im A, B,C trong mt phng phc theo th t biu din cỏc s

4i
2 6i
, 1 i 1 2i ,
.
i1
3i

1. Chng minh ABC l tam giỏc vuụng cõn
2. Tỡm s phc biu din bi im D sao cho ABCD l hỡnh vuụng.
Bi 4 Trong mt phng ta Oxy , cho A v B l hai im ln lt biu din 2 nghim phc ca phng trỡnh:
z 2 6z 18 0 . Chng minh rng tam giỏc OAB vuụng cõn.
Bi 5 Chng minh rng:

1. 1 i
2.



2010

1 i

2009



3i 1

2010

l mt s thc

3i 1



2009

l s thun o.

Bi 6 Cho u, v l biu din ca hai s phc 1 3i v 3 2i



1. 3u 2v ; 5u 3v biu din nhng s phc no?



2. Gi x l biu din ca s phc 6 4i . Hóy phõn tớch x qua u, v .
Bi 7 Gi A1 , A 2 , A 3 , A 4 ln lt l biu din hỡnh hc ca cỏc s phc

z1 1 3i, z 2 3 2i, z 3 5 i, z 4 4 5i .

1. Tớnh di cỏc on A1A 2 , A1 A 3 , A1A 4
2. Tỡm s phc cú biu din l im M sao cho A1 A 2 A 4 M l hỡnh bỡnh hnh.
Bi 9.
n

1. Tỡm phn thc ca s phc z 1 i , n N tha món phng trỡnh: log 4 n 3 log 4 n 9 3
2. Tỡm phn o ca s phc z , bit

iz 1 3i z
1 i

z

2

Bi 10.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 5


Tài liệu toán 12

năm học 2018

1. Gi z l nghim ca phng trỡnh z 2 2z 2 0 . Tớnh giỏ tr ca biu thc Q z 2012

1
z

2012

.



2. Tớnh z , bit 2z 11+i z 1 1 i 2 2i.
thi i hc Khi A nm 2011
Bi 11 Tỡm s phc z tha món:
z 1 i
1. z 2i z 1 i v
l mt s thun o.
z 2i
2. z 5 v phn thc ca z bng 2 ln phn o ca nú.
3. z z3

4. z 2 v z 2 l s thun o. thi i hc Khi D ,2010

Bi 12 Tỡm s phc z tha món:
1.

z
z

4
2

z

200
0
1 7i

5i 3
1 0
z
3. z (2 3i)z 1 9i

2. z

thi i hc Khi B nm 2011
thi i hc Khi D nm 2011

2

4. z 2 z z
Bi 13 Tỡm s phc z tha món:
2 z i z z 2i

1.
2
2
z z 2 2

z 2 i 10
3.
z.z 25

z 2i z
2.
z i z 1
z2
1

4. z 2i
z 1 z i 5

zi 1

6.
z i 1 2



5.

1 z 2z i

1 i
1 i

7. z 2 z 8z 44

8. z 3 z

Bi 14
1. Nu z1 z2 1, z1z2 1 thỡ T
2. Nu z1 z2 z3 r thỡ T

z1 z 2
l s thc.
1 z1z 2

z1 z2 z2 z3 z3 z1
z1z 2 z 3

l s thc v

z1z 2 z 2 z3 z 3 z1
z1 z2 z 3

r vi

z1 z 2 z 3 0 .

3. S phc w

z 1
l s thun o z 1 .
z1

Bi 15.
Cho , l hai s phc liờn hp tho món

2

R v 2 3. Tớnh .

Bi 16. Tớnh z1 z2 , z1 z2 , z1 .z2 , z1 2z 2 , 2z1 z 2 bit:
1. z1 5 6i, z 2 1 3i

2. z1 2 3i, z 2 3 4i

1 3
1 2
3. z1 i, z 2 i
4. z1 3 2i,z 2 2 i
2 2
3 3
Bi 17. Cho cỏc s phc z1 1 2i, z 2 2 3i, z 1 i . Tớnh :

1. z1 z 2 z 2

2. z1z 2 z 2 z 3 z 3 z1

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

3. z1 z 2 z 3

Page | 6

Tµi liƯu to¸n 12

4. z12  z 22  z23

n¨m häc 2018

5.

z1 z2 z 3


z 2 z 3 z1

6.

Bài 18. Tìm số phức z thỏa mãn:
1. z  5  7i  2  i

z 22  z 23

2. 2  3i  z  5  i
z
4.
 3  2i
1  3i

3. z(2  3i)  4  5i
5.

z12  z 22

2i
1  3i
z
1 i
2i

6. 2z(1  i)  2iz(1  i)  4i

1
3
1
3

i . Hãy tính: ; z; z 2 ;  z  ; 1  z  z 2 .
z
2 2
Bài 20. Gọi A, B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1  3  2i, z 2  2  3i , z 3  5  4i .

Bài 19. Cho z 

1. Chứng minh A, B,C là ba đỉnh của tam giác. Tính chu vi tam giác đó.
2. Gọi D là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm z để ABCD là hình bình hành.
3. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z' . Tìm z' sao cho tam giác AEB vng cân tại E .

Dạng 2. Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng .
1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  i  1  i  z

Ví dụ 2.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  2  i  z
Ví dụ 3.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  2  z  2  5
1i. Bài tập tự luận tự luyện

Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2 là số ảo.
Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện:



1. z 2  z

2

2. 2 z  i  z  z  2i

Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức:





1. z'  1  3i z  2 , trong đó z là số phức thỏa mãn z  1  2 .
2. z  i  z  i  4

3. z  4  z  4  10

Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức:
1. z  i  z  2  3i
3. z   3  4i   2
2. 2z  3  5i  2

4. z  4  3i  z  3  2i  10

Bài 5: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa:
1. z  4  3i là số thực
2. z  1  2i  1
3. z  3i  z  2  i

4. z  4  3i  z  3  2i  2

5. 5  4i  3z  1

6. z  1  i  z  2  3i  2 .

Bài 6: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa
2z  i
z  2i  3
1.
có phần thực bằng 3
2.
là một số thực dương.
z  2i
z3i
Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
1. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
2. Phần thực của z thuộc đoạn [2;1] .
3. Phần thực của z thuộc đoạn [2;1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3] .
4. z  2

5. 2  z  3

7. 2 z  i  z  z  2i

8. 1  z  2 và phần ảo lớn hơn hoặc bằng

Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489

6. z  1  2i  2
1
.
2
Page | 7


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Dng 3. Cn bc hai ca s phc v phng trỡnh bc hai
Phng phỏp:
1. nh ngha: Cho s phc . Mi s phc tha
Xột s thc
(vỡ cú cn bc hai l ).
Nu

thỡ

cú hai cn bc hai l

v

c bit :
cú hai cn bc hai l
v
2. Cỏch tỡm cn bc hai ca s phc
Vi
. tỡm cn bc hai ca
T

gi l cn bc hai ca

. Nu
(

thỡ

.

cú hai cn bc hai l

l s thc khỏc 0) cú hai cn bc hai l

v

.

.

ta gi

gii h ny, ta c

.

3. Phng trỡnh bc hai vi h s phc
L phng trỡnh cú dng:

, trong ú

a. Cỏch gii: Xột bit thc

v

l cỏc s phc

.

l mt cn bc hai ca

Nu

phng trỡnh cú nghim kộp:

Nu

phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
.

b. nh lớ viột
Gi

l hai nghim ca phng trỡnh :

. Khi ú, ta cú h thc sau:

.

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ d 1.Trờn tp s phc, tỡm m phng trỡnh bc hai z 2 mz i 0 cú tng bỡnh phng hai nghim bng 4i .
Vớ d 2. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc:
2. z2 (2i 1)z 1 5i 0

1. z 2 2z 17 0

4z 3 7i
z 2i
4. 25 5z2 2
zi
Vớ d 3. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc:



3.



2

2

4 25z 6 0

1. z 3 (2 2i)z2 (5 4i)z 10i 0 bit phng trỡnh cú nghim thun o
3

zi
3.
8
z 1

2. z 4 2z3 z 2 2z 1 0


16x 11y
7
x 2
x y2


y 11x 16y 1

x2 y2



3
12

10x 1
x 1
3
2
5x y
3x y


;

3
y 1 12 6
y 1
1


5x y
3x y




78y
20
x 2
x y2

Vớ d 4. Gii h phng trỡnh:
;
y 78x 15

x2 y2




Vớ d 5. Gii h phng trỡnh:



Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 8


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Vớ d 6. Cho s phc z tho món iu kin 11z10 10iz9 10iz 11 0. Chng minh rng z 1.
1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn

Bi 1: Tỡm cn bc hai ca s phc:
1. z 8 6i
2. z 33 56i
3. z 1 4i 3
4. z 5 12i
Bi 2: Tỡm cn bc hai ca cỏc s phc sau:

2
5
5
3 i
3. 1 2i

1. 3i
2.
4
1 i
Bi 3: Gii phng trỡnh sau trờn :
4z 3 7i
1. z 2 1 3i z 2 2i 0 2.
z 2i thi Cao ng nm 2009
zi
z

4

200
0
4. z 3 3 1 2i z 2 3 8i z 2i 5 0
1 7i
z
Bi 4: Gii phng trỡnh sau trờn :

3.

2

z

1. z 2 1 5i z 8 i 0

2. z 2 3 4i z 5i 1 0

3. z 2 3 2i z 5 5i 0

4. z 2 8 1 i z 63 16i 0

5. 1 i z2 2 1 2i z 4 0

6. z 2 2i 1 z 1 5i 0

Bi 5: Gii phng trỡnh sau trờn :
1. z 3 2 1 i z2 5 4i z 10 0

2. z 3 4 5i z2 4 2 5i z 40i 0

3. z 3 3 2 i z 2 2 5 9i z 30i 0
2

Bi 6:


z1
Gii phng trỡnh: z 2
, bit z 3 4i l 1 nghim ca phng trỡnh.
z
7

Bi 7:

Gii phng h trỡnh sau trờn :

Bi 8:


3x y
3
x 2
x y2

Gii h phng trỡnh:
,
y x 3y 0

x2 y 2


z2 z 2 5 2i
1
2
z1 z 2 4 i

1
2

1
3x 1
2
xy



7y 1 1 4 2



xy



Bi 9:
1. Tỡm cỏc s thc a, b : 2z3 9z2 14z 5 (2z 1)(z2 az b) ri gii phng trỡnh sau trờn C:
2z3 9z 2 14z 5 0 .

2. Tỡm cỏc s thc a, b : z 4 4z 2 16z 16 (z2 2z 4)(z 2 az b)
ri gii phng trỡnh sau trờn C: z 4 4z 2 16z 16 0 .
Bi 10:
1. Tỡm tt c cỏ giỏ tr thc ca m phng trỡnh sau cú ớt nht mt nghim thc: z 3 (3 i)z 2 3z (m i) 0 .
2. Bit phng trỡnh 1 i x 2 i x 1 i 0 khụng cú nghim thc. Tỡm nhng giỏ tr cú th cú ca .
Bi 11: Gii cỏc h sau trờn tp s phc
z 1
z1 z 2 z1z 2 9 2i

1. 2

2. z z
2
z1 z 2 11 2i
1.
z z

Dng 4. Phng trỡnh quy v bc hai

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 9


Tµi liƯu to¸n 12

n¨m häc 2018

1i. Bài tập tự luận tự luyện

z2
z1 0
2

Bài 1: Giải phương trình sau trên  : z 4  z 3 
Bài 2: Giải phương trình:

2. 2z4  7z3  9z 2  7z  2  0

1. z 4   2  i  z 2  2i  0

3. 4z4   6  10i  z 3   15i  8  z 2   6  10i  z  4  0
4. z 4   3  i  z3   4  3i  z2  2  3  i  z  4  0



5. 25 5z2  2



2

2

 4  25z  6   0

Bài 3: Giải phương trình:
4

4

1.  z  4    z  6   82



3. z2  1



4

 16  z  1



2. z2  1

4



2

2

  z  3  0

4. z  z  2  z  1 z  3   10

Bài 4: Gọi z1 ,z 2 , z3 , z 4 là các nghiệm phức của phương trình
4

 z 1 
2
2
2
2

  1 . Tính P  z1  1 z2  1 z3  1 z4  1 .

 2z  i 









Dạng 5. Dạng lượng giác của số



phức

Phương pháp:
Cơng thức De – Moivre: Có thể nói cơng thức De – Moivre là một trong những cơng thức thú vị và là nền
tảng cho một loạt cơng thức quan trọng khác sau này như phép luỹ thừa, khai căn số phức, cơng thức Euler.
Cơng thức 1:

Cơng thức 2 :
Số phức

Với

ta có:

và góc

được gọi là argument của z, ký hiệu là

. Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn

1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z 2012


1. z  2  2i
2. z  6  2i
3. z  1  cos  i sin
8
8





Ví dụ 2. Gọi z1 , z 2 là 2 nghiệm của phương trình: z 2  1  3  1  i  z  4i  0 . Tính giá trị biểu thức

Q  z12012  z 2012
2
Ví dụ 3.Tìm số phức z sao cho z 5 và

1
z2

là hai số phức liên hợp.

1
Ví dụ 4. Giải phương trình cos x  cos 2x  cos 3x  .
2
1
Ví dụ 5. Giải phương trình : cos x  cos 3x  cos 5x  cos 7x  cos 9x  .
2
1i. Bài tập tự luận tự luyện
Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489

Page | 10


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Bi 1 :
12

1. Tớnh A 1 i

12

1 i

3

1 i 3

2. Tỡm phn thc v phn o ca s phc z
.
1 i



thi i hc Khi B nm 2011
4

z z
3. Cho s phc z1 ,z2 tha món z1 z2 z1 z2 0 . Tớnh A 1 2
z2 z1

1 3i
4. Cho s phc z tha món z
1 i

4

2

. Tỡm mụun ca s phc z iz
thi i hc Khi A nm 2010

Bi 2 :
k

1004 2008
1. Tớnh giỏ tr biu thc S C02010 3C 22010 32 C42010 ... 1 C2k
C2010 31006 C 2010

2010 ... 3
2010

2. Rỳt gn biu thc:
A cos x cos 2x cos 3x ... cos nx B sin x sin 2x sin 3x ... sin nx
Bi 3 : Tớnh tớch phõn

4



2

s in5x
2. J
dx
sin
x


0

cos 5x
dx
cos x
0

1. I

Bi 4 : Cho dóy s u n xỏc nh bi u1 1, u 2 0, u n 2 u n 1 u n n . Chng minh u n b chn.

Bi 5 : Vit cỏc s phc sau di dng i s
1 i
1. z

1 3i

2012



2. z (1 i)19 1 3i



40

z1 z 2 z3 1

Bi 6 : Cho ba s phc z1 , z 2 , z 3 tho món h: z1 z 2 z3
.
z z z 1
3
1
2

Tớnh giỏ tr ca biu thc T az1 bz 2 cz 3 vi a, b,c .
Bi 7 : Vit dng lng giỏc ca cỏc s phc sau:

2. z 2 cos i sin
6
6



4. z sin i cos
7
7

1. z 3 3i
3. z cos



i sin
9
9

5. z 1 sin



i cos
8
8

6. z

1

7

3i



3 i

8

1 i 9

Bi 8 : Vit cỏc s phc sau di dng i s.
2. z (1 i)11

1. z 1 3i
4. z

(1 i)10 ( 3 i)5

2i

3. z
5. z

( 1 3i)10
Bi 9 : Tỡm s phc z dng lng giỏc bit rng:
5

1. z 2 v mt argument ca 1 i z l
.
12

2. zz 9 v mt argument ca 1 3i z l .
4

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

(1 3)9
(1 i)5

(1 2i)34 (1 i)20
( 3 i)22

Page | 11


Tµi liƯu to¸n 12

3. z 

n¨m häc 2018

1
và một argument của
4

z

2
.
3

là

3 i

z 1  i   4  3 3i 
3

và một argument của
là
.
16
12
13  3i
Bài 10 : Tìm các số ngun dương n để số phức sau là số thực? số ảo?

4. z 

 13 3  9i 
1. 

 12  3i 

n

 7  17i n

2.

3.

 2  3i 2n

 59  11 3i n
 3 3  2i 2n

Bài 11 : Tìm số phức z thoả mãn:
1
1. z 4 và
là hai số phức liên hợp của nhau.
z3
32
2. z 3 và
là hai số phức liên hợp.
z2

Dạng 6. Cực trị của số phức
1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn: z  4  3i  3 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z
Ví dụ 3.6.7 Cho số phức z 

im
, m .

1  m  m  2i 

1
2
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z  1  k

1. Tìm m để z.z 

Ví dụ 4. Tìm số phức z thỏa mãn: z  2i có một acgumen bằng một acgumen của z  2 cộng với


. Tìm giá trị lớn
4

nhất của biểu thức T  z  1  z  i
1i. Bài tập tự luận tự luyện

Bài 1: Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất thỏa mãn:
1.

z  1  5i
z3i

 z  3  4i  1 
2. log 1 
1
 3 z  3  4i  3 


2

1

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn:
1. z  1  2i  2 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
2. z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
Bài 3:
1. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Chứng minh rằng: 1  1  z 3  1  z  z 2  5
2. Chứng minh: z1  z2

2

 z1  z2

2



2

 2 z1  z2

2



3. Chứng minh rằng với mỗi số phức z , có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: z  1 
4. Cho số phức z  0 thỏa mãn z 3 

1

z3

 2 . Chứng minh: z 

2
hoặc z 2  1  1 .
2

1
2
z

Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời thỏa 2 điều kiện: z  z  4  3i và biểu thức A  z  1  i  z  2  3i có giá
trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hai số phức z1 và z 2 . Chứng minh rằng:
Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489

Page | 12


Tài liệu toán 12

1. z1 z2

2

2. 1 z1z 2

năm học 2018

z1 z 2

2

2

z1 z 2

2



2

2 z1 z 2



1 z1z2

2



2

z1 z2

2

3. z1 z 2 z1 z2 z1 z 2 .
Bi 6: Cho s phc z tha z 1 . Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca:

A

z 5i
z

B z 2 z 1 z3 1

Bi 7: Cho s phc tho món z 1 . Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca:
B 1 z 1 z z2
A 1 z 3 1 z
Bi 8: Cho s phc tho món z 2 2i 1. Tỡm Giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca z .
Bi 9: Cho cỏc s phc a, b,c . t a b m, a b n vi mn 0 . Chng mnh rng:





max ac b , bc a

mn
m2 n2

.
1ii. Baứi taọp traộc nghieọm tửù luyeọn
C. P 6 2i.

Vn 1. PHN THC PHN O
Cõu 1. Tỡm phn thc v phn o ca s phc z 3 2i.

D. P 6 2.

Cõu 5. Kớ hiu a , b ln lt l phn thc v phn o ca s
phc z i 1 i . Khng nh no sau õy l ỳng?

A. Phn thc bng 3 v phn o bng 2i.

A. a 1, b i .

B. a 1, b 1.

B. Phn thc bng 3 v phn o bng 2.

C. a 1, b 1.

D. a 1, b i .

C. Phn thc bng 3 v phn o bng 2i.

Cõu 6. Tớnh tng T ca phn thc v phn o ca s phc

D. Phn thc bng 3 v phn o bng 2.

z

Cõu 2. Cho s phc z a bi a; b . Tỡm phn thc v

2

2 3i .

A. T 11 .

B. T 11 6 2 .

C. T 7 6 2 .

D. T 7 .

2

phn o ca s phc z .
A. Phn thc bng a 2 b 2 v phn o bng 2a 2 b 2 .
Cõu
B. Phn thc bng a 2 b 2 v phn o bng 2ab.
C. Phn thc bng a b v phn o bng a 2 b 2 .
D. Phn thc bng a b v phn o bng ab .
Cõu 3. ( CHNH THC 2016 2017) S phc no di
õy l s thun o?
A. z 2 3i.

B. z 3i.

C. z 2.

D. z 3 i.

7.

Tỡm phn

thc

v

phn

o

ca

s

phc

z 4 3i 1 i .
3

A. Phn thc bng 2 v phn o bng 5i .
B. Phn thc bng 2 v phn o bng 7i .
C. Phn thc bng 2 v phn o bng 5 .
D. Phn thc bng 2 v phn o bng 5i .

Cõu 8. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m s phc

z m 2 1 m 1i l s thun o.

Cõu 4. Kớ hiu a , b l phn thc v phn o ca s phc
A. m 1.

3 2 2i . Tớnh P ab.
A. P 6 2i.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

B. m 1 .

C. m 1 .

D. m 0.

B. P 6 2.
- 0946798489

Page | 13


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Cõu 9. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc x , y s phc Cõu 16. ( CHNH THC 2016 2017). Tỡm tt c cỏc s
thc x ; y sao cho x 2 1 yi 1 2i

z x iy 2 x iy 5 l s thc.
2

A. x 1 v y 0 .

B. x 1 .

A. x 0; y 2 .

B. x 2; y 2 .

C. x 1 hoc y 0 .

D. x 1 .

C. x 2; y 2 .

D. x 2; y 2 .

Cõu 10. Cho s phc z a bi . Khi z 3 l mt s thc, khng Cõu 17. Tỡm tt c
x 2 y 2 y 4 i 2i .
nh no sau õy l ỳng ?
A. b 0 v a bt kỡ hoc b 2 3a 2 .

D. a 0 v b bt kỡ hoc b 2 a 2 .

Vn 2. HAI S PHC BNG NHAU
Cõu

11.

Cho

hai

s

z1 a bi a; b

phc

v

z 2 2017 2018i . Bit z1 z 2 , tớnh tng S a 2b.
A. S 1.



3;3 hoc x ; y 3;3 .

z 2 x 3 3 y 1 i

v

cỏc khng nh sau:
5
A. x ; y 0 .
3

5

4
B. x ; y .
3
3

C. x 3; y 1 .

D. x 1; y 3 .

Cõu 13. Bit rng cú duy nht mt cp s thc x ; y tha món

x y x y i 5 3i . Tớnh S x y.

Cõu

B. S 3 .

14. Tỡm tt c

C. S 4 .
cỏc

s

B. x ; y



3;3 hoc x ; y

C. x ; y



3;3 hoc x ; y 3;3 .

D. x ; y



3;3 hoc x ; y 3;3 .

x; y

D. x 1; y 1 .



3;3 .

tha

D. P 12.

Mnh no sau õy l sai?


x 2 y 2 8
A.
.



xy 3



x 4 8x 2 9 0


B.
.
3

y


x

x 1
x 1


C.
hoc
.






y 3
y 3

D. x 2 y 2 2 xy 8 6i .

20.

Vi

x, y

l

hai

s

thc

tha

món

x 3 5i y 1 2i 9 14i . Tớnh giỏ tr ca biu thc
món

P 2 x 3 y.
A. P

C. x 1; y 1 .





Cõu 19. Cho s phc z x iy tha món z 2 8 6i .

2

B. x 1; y 1 .



món

3

2 x y i y 1 2i 3 7i.
A. x 1; y 1 .



tha

Cõu 18. Cho hai s phc z1 a bi a; b v z 2 3 4i .

Cõu
D. S 6 .

thc



D. S 2016.
A. P 168. B. P 600. C. P 31.

z ' 3 x y 1 i . Khi z z ' , chn khng nh ỳng trong

A. S 5.



x, y

thc

Bit z1 z 22 , tớnh P ab.

B. S 4035. C. S 2019.

Cõu 12. Cho hai s phc

s

A. x ; y

B. b 3a .
C. b 2 5a 2 .

cỏc

205
353
172
94
. B. P
. C. P
. D. P
.
109
61
61
109

Vn 3. BIU DIN HèNH HC S PHC

Cõu

15.

Cho

hai

s

thc

Cõu 21. im biu din s phc z 2 3i cú ta l:

x, y

tha

món

2 x 3 1 2 y i 2 2 i 3 yi x . Tớnh giỏ tr ca biu

thc P x 2 3 xy y .
A. P 13 .

B. P 3 .

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

C. P 11 .

D. P 12 .

- 0946798489

A. 2;3 .

B. 2;3 . C. 2;3 .

D. 2;3 .

Cõu 22. ( CHNH THC 2016 2017) Cho s phc
z 1 2i . im no di õy l im biu din ca s phc
w iz trờn mt phng ta ?
Page | 14


Tài liệu toán 12

A. Q 1;2 .

năm học 2018

B. N 2;1.

C. M 1; 2 D. P 2;1.

Cõu 24. Trong mt
phng ta (hỡnh v
bờn),

s
phc
z 3 4i c biu
din bi im no trong
cỏc im A, B , C , D ?
A. im A .

y

A

4

B

Cõu 27. Trong mt phng ta ,
im M l im biu din ca s
phc z (nh hỡnh v bờn). im
no trong hỡnh v l im biu
din ca s phc 2z ?

3

y

Q

E
x

M
O
N

P

A. im N . B. im Q.
x
-4

B. im B .
C. im C .

1

O

-3

C

-4

D

D. im P .

Cõu 28. Trong mt phng ta cho hai im A 4;0 v

B 0;3 . im C tha món iu kin OC OA OB . Khi

ú, s phc c biu din bi im C l:

D. im D .
Cõu 25. ( CHNH
THC 2016 2017) S
phc no di õy cú
im biu din trờn mt
phng ta l im M
nh hỡnh v ?

C. im E .

3

y
M

A. z 3 4i .

B. z 4 3i .

C. z 3 4i .

D. z 4 3i .

1
x
O

-2

A. z 4 2 i.

Cõu 29. Gi A l im biu din ca s phc z 1 6i v
B l im biu din ca s phc z ' 1 6i . Mnh no
sau õy l ỳng?
A. Hai im A v B i xng vi nhau qua trc honh.

B. z 2 1 2i.

B. Hai im A v B i xng nhau qua trc tung.

C. z 3 2 i.

C. Hai im A v B i xng nhau qua gc ta O .

D. z1 1 2i .

D. Hai im A v B i xng nhau qua ng thng y x .

Cõu 26. Gi s M , N , P , Q c
cho hỡnh v bờn l im biu din
ca cỏc s phc z1 , z 2 , z 3 , z 4 trờn
mt phng ta . Khng nh no
sau õy l ỳng?
A. im M l im biu din s
phc z1 2 i.

y
2

N

Cõu 30. Gi A l im biu din ca s phc z 2 5i v B
l im biu din ca s phc z ' 2 5i . Mnh no sau
õy l ỳng?
M
A. Hai im A v B i xng vi nhau qua trc honh.
1 x

-1

B. Hai im A v B i xng nhau qua trc tung.

O
C. Hai im A v B i xng nhau qua gc ta O .
P

B. im Q l im biu din s
phc z 4 1 2i.
C. im N l im biu din s
phc z 2 2 i.
D. im P l im biu din s
phc z 3 1 2i.

-2

Q

D. Hai im A v B i xng nhau qua ng thng y x .

Cõu 31. Gi A l im biu din ca s phc z 4 7i v B
l im biu din ca s phc z ' 4 7i . Mnh no sau
õy l ỳng?
A. Hai im A v B i xng vi nhau qua trc honh.
B. Hai im A v B i xng nhau qua trc tung.
C. Hai im A v B i xng nhau qua gc ta O .
D.Hai im A v B i xng nhau qua ng thng y x .

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 15


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Cõu 32. Gi A l im biu din ca s phc z 3 2i v B Cõu 38. Trong mt phng ta , ba im A, B, C ln lt
l im biu din ca s phc z ' 2 3i . Mnh no sau õy biu din cho ba s phc z 1 i , z 1 i 2 v
2
1
l ỳng?
z 3 a i a . Tỡm a tam giỏc ABC vuụng ti B .
A. Hai im A v B i xng vi nhau qua trc honh.
A. a 3 .

B. a 2 .

C. a 3 .

D. a 4 .

B. Hai im A v B i xng nhau qua trc tung.
C. Hai im A v B i xng nhau qua gc ta O .

Cõu 39. Cho cỏc s phc z1 , z 2 , z 3 cú im biu din trờn mt
phng ta l ba nh ca tam giỏc u cú phng trỡnh ng

D. Hai im A v B i xng nhau qua ng thng y x . trũn ngoi tip x 20172 y 20182 1. Tng phn thc
Cõu 33. Trong mt phng ta , im biu din ca cỏc s
phc z 3 bi vi b luụn nm trờn ng cú phng
trỡnh no trong cỏc phng trỡnh sau:
A. x 3 .

B. y 3 .

C. y x .

D. y x 3 .

v phn o ca s phc w z1 z 2 z 3 bng:
A. 1.

B. 1.

C. 3.

D. 3.

Cõu 40. Cho tam giỏc ABC cú ba nh A, B, C ln lt l
biu
din
hỡnh
hc
ca
cỏc
s
phc
z1 2 i , z 2 1 6i , z 3 8 i . S phc z 4 cú im biu

Cõu 34. Trong mt phng ta , cho s phc z a a 2 i vi
din hỡnh hc l trng tõm ca tam giỏc ABC . Mnh no sau
a . Khi ú im biu din s phc z nm trờn trờn ng
õy l ỳng?
cú phng trỡnh no trong cỏc phng trỡnh sau:
A. Parabol x y 2 .

B. Parabol y x 2 .

A. z 4 5.

B. z 4 3 2i.

B. ng thng y 2 x .

D. Parabol y x 2 .

C. z 4 13 12i.

D. z 4 3 2i.

Cõu 35. Trong mt phng ta , cho ba im A, B, M ln

2

Vn 4. PHẫP CNG PHẫP TR HAI S PHC

lt l im biu din ca cỏc s phc 4, 4i , x 3i . Vi giỏ Cõu 41. ( CHNH THC 2016 2017) Cho hai s phc
tr thc no ca x thỡ A, B, M thng hng?
z1 5 7i v z 2 2 3i. Tỡm s phc z z1 z 2 .
A. x 1 .

B. x 1 .

C. x 2 .

D. x 2 .

Cõu 36. Xột cỏc im A, B, C trong mt phng ta theo th

A. z 7 4i.

B. z 2 5i.

C. z 2 5i.

D. z 3 10i.

t biu din ln lt cỏc s phc z1 2 2i , z 2 3 i v

z 3 2i . Mnh no sau õy l ỳng?

Cõu 42. Tỡm s phc w z1 2 z 2 , bit rng z1 1 2i v

z 2 2 3i .
A. Ba im A, B, C thng hng.
A. w 3 4i .

B. w 3 8i .

C. w 3 i .

D. w 5 8i .

B. Tam giỏc ABC u.
C. Tam giỏc ABC cõn ti A .
D. Tam giỏc ABC l tam giỏc vuụng cõn.
Cõu 37. Gi A, B, C ln lt l cỏc im biu din cỏc s
phc z1 1 3i ; z 2 3 2i ; z 3 4 i . Mnh no sau
õy l ỳng?

Cõu 43. Cho hai s phc z1 1 2i v z 2 2 3i . Xỏc nh
phn o a ca s phc z 3z1 2 z 2 .
A. a 11 .

B. a 12 .

C. a 1 .

D. a 12 .

Cõu 44. Cho hai s phc z1 1 2i v z 2 3 i . Tỡm im

A. Ba im A, B, C thng hng.

biu din s phc z z1 z 2 trờn mt phng ta .

B. Tam giỏc ABC u.

A. M 2; 5.

B. N 4; 3.

C. Tam giỏc ABC cõn ti B .

C. P 2;1.

D. Q 1;7 .

D. Tam giỏc ABC l tam giỏc vuụng cõn.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 16